Fichas Areal 8º
Fichas Areal 8º
Fichas Areal 8º
h π h
1. Seja h a função, de domı́nio − , + ∞ , definida por
3
sen 2 x π
se − ≤ x < 0
sen (x2 )
3
h(x) =
ex
se x ≥ 0
x+1
Mostre que a função h é contı́nua no ponto 0
3.3. Estude a função g quanto à monotonia no intervalo ]0,π] e determine, caso existam, os extremos
relativos.
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x
4. Considere a função f definida em ]0,π[ por f (x) =
sen x
Qual das equações seguintes define uma assı́ntota do gráfico da função f ?
π
(A) x = 0 (B) x = π (C) x = 1 (D) x =
2
Exame – 2018, 1a Fase
Resolva os dois itens seguintes recorrendo exclusivamente a métodos analı́ticos, sem utilizar a calculadora.
π
5.2. Escreva a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1 −
2
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7. Num jardim, uma criança está a andar num baloiço cuja cadeira está suspensa por duas hastes rı́gidas.
has
muro
te
Num determinado instante, em que a
criança está a dar balanço, é iniciada a
contagem do tempo. Doze segundos após d(t)
P
esse instante, a criança deixa de dar balanço
e procura parar o baloiço arrastando os pés
no chão. solo
Admita que a distância, em decı́metros, do ponto P ao muro, t segundos após o instante inicial, é dada
por
30 + t sen (πt)
se 0 ≤ t < 12
d(t) =
30 + 12e12−t sen (πt) se t ≥ 12
Admita que, no instante em que é iniciada a contagem do tempo, as hastes do baloiço estão na verti-
cal e que a distância do ponto P ao chão, nesse instante, é 4 dm
Treze segundos e meio após o instante inicial, a distância do ponto P ao chão é 4,2 dm
cos α 2
8. Considere o desenvolvimento de 2x sen α + , em que α ∈ R e x 6= 0
x
Determine os valores de α, pertencentes ao intervalo ]π,2π[, para os quais o termo independente de x,
neste desenvolvimento, é igual a 1
Resolva este item recorrendo a métodos analı́ticos, sem utilizar a calculadora.
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10. Seja g a função, de domı́nio R, definida por
1 − x2
se x < 1
1 − ex−1
g(x) = 2 se x = 1
3 + sen (x − 1)
se x > 1
1−x
Resolva os itens seguintes recorrendo a métodos analı́ticos, sem utilizar a calculadora.
10.1. Estude a função g quanto à continuidade no ponto 1
10.2. Resolva, no intervalo ]4,5[, a equação g(x) = 3
sen (3x + 3)
se x 6= −1
4x + 4
f (x) =
k+2 se x = −1
Qual é o valor de k ?
5 5 5 5
(A) − (B) − (C) (D)
3 4 4 3
1 2 3π
4 x + cos x se − 2 < x < 0
f (x) =
ln (ex + x) se x ≥ 0
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13. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no
ponto O e raio 1 B
Sabe-se que:
P
• os diâmetros [AC] e [BD] são perpendiculares;
• o ponto P pertence ao arco AB O α
C A
• [P Q] é um diâmetro da circunferência;
• o ponto R pertence a [OD] e é tal que [QR] é paralelo a [AC]
i π h Q R
Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo AOP α ∈ 0, ;
2
Qual das seguintes expressões dá a área do triângulo [P QR], D
representado a sombreado, em função de α ?
Estude, recorrendo a métodos analı́ticos, sem utilizar ia calculadora, a função f quanto à monotonia e
π h
quanto à existência de extremos relativos, no intervalo − ,0
2
Exame – 2016, 2a Fase
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16. Num dia de vento, são observadas oscilações no tabuleiro de uma ponte suspensa, construı́da sobre um
vale.
Mediu-se a oscilação do tabuleiro da ponte durante um minuto.
Admita que, durante esse minuto, a distância de um ponto P do tabuleiro a um ponto fixo do vale é dada,
em metros, por
1
h(t) = 20 + cos(2πt) + t sen (2πt) (t é medido em minutos e pertence a [0,1])
2π
Sejam M e m, respetivamente, o máximo e o mı́nimo absolutos da função h no intervalo [0,1]
A amplitude A da oscilação do tabuleiro da ponte, neste intervalo, é dada por A = M − m
Determine o valor de A, recorrendo a métodos analı́ticos e utilizando a calculadora apenas para efe-
tuar eventuais cálculos numéricos.
Apresente o resultado em metros.
(A) 6 sen (2x) cos(x) (B) 6 sen (x) cos(2x) (C) 6 cos(2x) (D) 6 sen (2x)
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19. Um cubo encontra-se em movimento oscilatório provocado pela força elástica exercida por uma mola.
A figura seguinte esquematiza esta situação. Nesta figura, os pontos O e A são pontos fixos. O ponto P
representa o centro do cubo e desloca-se sobre a semirreta ȮA
A P
19.2. Justifique, recorrendo ao teorema de Bolzano, que houve, pelo menos, um instante, entre os três
segundos e os quatro segundos após o inı́cio da contagem do tempo, em que a distância do ponto P
ao ponto O foi igual a 1,1 metros.
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21. Sejam f e g as funções, de domı́nio R, definidas, respetivamente, por
22. Considere, para um certo número real k, a função f , de domı́nio ] − ∞,e[, definida por
xex−2 se x ≤ 2
f (x) =
sen (2 − x) + k se 2 < x < e
x2 + x − 6
Determine k, de modo que a função f seja contı́nua em x = 2, recorrendo a métodos analı́ticos, sem
utilizar a calculadora.
Sabe-se que:
r B
• os pontos A e B pertencem à circunferência; C
• o ponto B tem coordenadas (0,1) α
A
• a reta r é tangente à circunferência no ponto B
• o ponto C é o ponto de interseção da reta r com a O x
semirreta ȮA
• α é ai amplitude, em radianos, do ângulo AOB, com
πh
α ∈ 0,
2
Qual das expressões seguintes representa, em função de α, a área da região a sombreado?
sen α − α tg α − α tg α α
(A) (B) (C) (D)
2 2 2 2
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hπ πi
24. Considere, para um certo número real k, a função f , contı́nua em , , definida por
4 2
cos x π π
π se ≤x<
4 2
x −
f (x) = 2
k − 3 π
se x =
2
Qual é o valor de k?
26. Na figura seguinte, está representada, num referencial o.n. xOy, uma circunferência de centro O e raio 1
Sabe-se que: y
• os pontos A e B pertencem à circunferência;
• o ponto A tem coordenadas (1,0) B
• os pontos B e C têm a mesma abcissa; α
• o ponto C tem ordenada zero;
• o ponto D tem coordenadas (−3,0) D C O A x
• α é a amplitude,
iπ h em radianos, do ângulo AOB,
com α ∈ ,π
2
Qual das expressões seguintes representa, em função de α, a área do triângulo [BCD] ?
1 1
(A) (−3 − sen α) cos α (B) (−3 + sen α) cos α
2 2
1 1
(C) (3 + cos α) sen α (D) (3 − cos α) sen α
2 2
Exame – 2014, 1a Fase
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27. Seja f uma função cuja derivada f 0 , de domı́nio R, é dada por f 0 (x) = x − sen (2x)
π
f (x) − f
27.1. Determine o valor de limπ 2
x→ 2 2x − π
27.2. Estude o gráfico
i π da função f , quanto ao sentido das concavidades e quanto à existência de pontos de
πh
inflexão em − , , recorrendo a métodos analı́ticos, sem utilizar a calculadora.
2 4
Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade voltada
para cima, o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade voltada para baixo e, caso
existam, as abcissas dos pontos de inflexão do gráfico da função f
x x
28. Seja g a função, de domı́nio R, definida por g(x) = cos2 − sen2
12 12
Qual das expressões seguintes também define a função g?
Seja α 4
a iamplitude,
π h
em radianos, do ângulo
F SE α ∈ ,π
2 α
A aresta da base da pirâmide e, consequente- P S
mente, a área de cada uma das faces laterais variam G E
em função de α Q R
Mostre que a área lateral da pirâmide é dada,
em função de a, por −32 cos α
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30. Na figura ao lado, estão
representados a circunferência
de centro no ponto C e E B D C
de raio 1, a semirreta ĊB, x
a reta AD e o triângulo [ACE]
Sabe-se que: A
y
32. Na figura ao lado, estão representados, num referencial o.n. xOy, o triângulo
[OAB] e a reta r r
Sabe-se que: A
• a reta r é definida por x = −3
• o ponto A pertence à reta r e tem ordenada positiva;
• o ponto B é o simétrico do ponto A em relação ao eixo Ox
• α é a amplitude, em radianos, do ângulo cujo lado origem é o semieixo
positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta ȮA α
iπ h
• α∈ ,π O x
2
iπ h 6
• a função P , de domı́nio , π , é definida por P (x) = −6 tg x −
2 cos x
32.1. Mostre que o perı́metro do triângulo [OAB] é dado, em função de α,
por P (α)
32.2. Determine o declive da reta tangente ao gráfico da função P no ponto
5π B
de abcissa , sem utilizar a calculadora.
6
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sen (−x)
33. Seja f a função, de domı́nio R \ 0 , definida por f (x) =
x
1
Considere a sucessão de números reais (xn ) tal que xn =
n
Qual é o valor de lim f (xn )?
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37. Considere as funções f e g, de domı́nio R, definidas, respetivamente, por
f (x)
x
se x 6= 0
x
f (x) = −x + sen e g(x) = com k ∈ R
2
k
e −1 se x = 0
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40. Na figura ao lado, está representado um trapézio retângulo [ABCD]
Sabe-se que: D C
• BC = 1
• CD = 1
• α é a amplitude, em radianos, do ângulo ADC
iπ h
• α∈ ,π A B
2
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analı́ticos.
1 − cos α
40.1. Mostre que o perı́metro do trapézio [ABCD] é dado, em função de α, por P (α) = 3 +
sen α
√ π
40.2. Para um certo número real θ, tem-se que tg θ = − 8, com < θ < π
2
Determine o valor exato de P 0 (θ)
1 − cos α
Comece por mostrar que P 0 (α) =
sen2 α
D P
41. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que:
• o segmento de reta [AC] tem comprimento 4
• o ponto B é o ponto médio de [AC] 2
• o segmento de reta [BD] é perpendicular a [AC]
x
• o arco de circunferência CD tem centro em B A C
2 B Q
Admita que um ponto P se desloca ao longo do arco CD, nunca coincidindo com C nem com D, e que
um ponto Q se desloca ao longo do segmento de reta [BC] de tal forma que [P Q] é sempre perpendicular
a [BC]
Para cada posição do ponto P , seja x a amplitude, em radianos, do ângulo CBP e seja A(x) a área do
triângulo [AP Q]
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analı́ticos.
i π h
41.1. Mostre que A(x) = 2 sen x + sen(2x) x ∈ 0,
2
41.2. Mostre que existe um valor de x para o qual a área do triângulo [AP Q] é máxima
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43. Na figura ao lado, estão representados, num referencial o. n. xOy, uma y
circunferência e o triângulo [OAB]
Sabe-se que:
• O é a origem do referencial;
• a circunferência tem centro no ponto O e raio 1
A O
• A é o ponto de coordenadas (−1, 0)
x
• B pertence à circunferência e tem ordenada negativa;
2π
• o ângulo AOB tem amplitude igual a radianos. B
3
Qual é a área do triângulo [OAB]?
√ √ √
3 1 1 √
(A) (B) (C) (D) 3
4 2 4
Exame – 2011, Ép. especial
Qual é o valor de k?
√ e
(A) 3
e (B) e3 (C) − (D) 3e
3
Exame – 2011, 2a fase
(A) 2(cos θ + sen θ) (B) cos θ + sen θ (C) 2(1 + cos θ + sen θ) (D) 1 + cos θ + sen θ
Exame – 2011, 2a Fase
47. Para a, b e n, números reais positivos, considere a função f , de domı́nio R, definida por
f (x) = a cos(nx) + b sen (nx)
Seja f 00 a segunda derivada da função f
Mostre que f 00 (x) + n2 f (x) = 0
Exame – 2011, 2a Fase
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1 2 x
48. Qual é o valor de lim sen ?
x→0 x2 2
1 1
(A) 4 (B) 0 (C) (D)
4 2
Exame – 2011, 1a Fase
49. Na figura seguinte está representado, num referencial o. n. xOy, parte do gráfico de uma função f , de
domı́nio R, definida por f (x) = 4 cos(2x)
y
Sabe-se que:
• os vértices A e D do trapézio [ABCD] pertencem ao eixo Ox
• o vértice B do trapézio [ABCD] pertence ao eixo Oy
π
• o vértice D do trapézio [ABCD] tem abcissa −
6
• os pontos A e C pertencem ao gráfico de f f
sen (x − 1)
2 + ex − e se 0 < x < 1
f (x) =
−x
xe + 2x se x ≥ 1
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51. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto O e raio 1
Sabe-se que:
• o ponto A pertence à circunferência;
• os pontos O, A, e B são colineares;
• o ponto A está entre o ponto O e o ponto B Q
• o ponto P desloca-se ao longo da semirreta ȦB, nunca
coincidindo com o ponto A
A x P B
• d é a distância do ponto A ao ponto P O
1 d
• para cada posição do ponto P , o ponto Q é um ponto
da circunferência tal que a reta P Q é tangente à circun-
ferência;
• x é a iamplitude, em radianos, do ângulo
π h
OP Q x ∈ 0,
2
i πh 1 − sen x
Seja f a função, de domı́nio 0, definida por f (x) =
2 sen x
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
51.1. Mostre que d = f (x)
51.2. Considere a seguinte afirmação: Quanto maior é o valor de x, menor é o valor de d
Averigúe a veracidade desta afirmação, começando por estudar a função f quanto à monotonia.
52. Admita que, numa certa marina, a profundidade da água, em metros, t horas após as zero horas de um
π
certo dia, é dada por P (t) = 2 cos t + 8, em que t ∈ [0,24]
6
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analı́ticos.
52.1. Determine a profundidade da água da marina às três horas da tarde, desse dia.
52.2. Determine, recorrendo ao estudo da função derivada, a profundidade mı́nima, em metros, da água
da marina, nesse dia.
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54. Considere a função f , de domı́nio ] − ∞,2π], definida por
ax + b + ex se x ≤ 0
f (x) =
x − sen (2x) se 0 < x ≤ 2π
x
Determine o valor de b, recorrendo a métodos exclusivamente analı́ticos, de modo que f seja contı́nua em
x=0
55. Na figura ao lado, estão representados, num referencial o.n. xOy, uma y
circunferência e o triângulo [OAB].
Sabe-se que: B
• a circunferência tem diâmetro [OA];
• o ponto A tem coordenadas (2, 0); α
• o vértice O do triângulo [OAB] coincide com a origem do referencial; O A x
1
• o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferência superior.
Parai cadah posição do ponto B, seja α a amplitude do ângulo AOB, com
π
α ∈ 0,
2
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analı́ticos.
55.1. Mostre que o perı́metro do triângulo [OAB] é dado, em função de α, por
5 √
56.1. Mostre que f (x) = − 5 tg x + 50 + 5
cos x
π
56.2. Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa
6
Determine o declive da reta r
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58. Seja a função f , de domı́nio [0,π[, definida por f (x) = ex . cos x
π
59. Seja f a função, de domı́nio [0, ], definida por f (x) = sen (2x) cos x
2
Determine, recorrendo a métodos exclusivamente analı́ticos, a equação reduzida da reta tangente
ao gráfico de f , no ponto de abcissa 0.
60. Para um certo número real positivo k, é contı́nua a função f , de domı́nio R, definida por
log (k + x) se x ≥ 0
2
f (x) =
sen (2x)
se x < 0
x
Qual é o valor de k?
π
(A) π − sen (2x) (B) − sen (2x)
2
sen (2x)
(C) π − 2 sen (2x) (D) π −
4
Exame – 2009, 1a Fase
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62. Sejam a, b, c, e d as funções reais de variável real definidas por:
Considere que o domı́nio de cada uma das quatro funções é o conjunto dos números reais para os quais
tem significado a expressão que a define.
Qual é a função cujo gráfico tem mais do que uma assı́ntota?
• um segmento de reta [P Q] P
Considere que: P
• o ponto P , partindo de A, se desloca sobre a circun- 1 3
B x A Q
ferência, dando uma volta completa, no sentido indicado O
pelas setas da figura, em cima
• o ponto Q se desloca sobre a semirreta ȮA, acompa-
nhando o movimento do ponto P , de tal forma que se
tem sempre P Q = 3 d(x)
Para cada posição do ponto P , seja x a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado
origem a semirreta ȮA e por lado extremidade a semirreta ȮP (ver figura, em baixo).
Seja d a função que, a cada valor de x pertencente a [0,2π], associa a distância, d(x), do ponto Q
ao ponto O
63.1. Considere as seguintes afirmações sobre a função d e sobre a sua derivada, d0 (a função tem derivada
finita em todos os pontos do seu domı́nio).
I. d(0) = 2d(π)
II. ∀x ∈ [0,2π], d0 (x) < 0
Elabore uma pequena composição na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é
verdadeira, ou falsa.
Nota: neste item, não defina analiticamente a função d; a sua composição deve apoiar-se na forma
como esta função foi apresentada (para cada valor de x, tem-se d(x) que é a distância do ponto Q ao
ponto O).
i πh
63.2. Defina analiticamente a função d no intervalo 0, (isto é, determine uma expressão que dê o valor
2
de d(x), para cada x pertencente a este intervalo).
Sugestão: trace a altura do triângulo [OP Q] relativa ao vértice P , designe por R o ponto de
interseção desta altura com a semirreta ȮA, e tenha em conta que OQ = OR + RQ.
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65. Seja a função f , de domı́nio [0,π], definida por f (x) = 2 sen (x). cos(x) + 2.
O gráfico da função f interseta a reta y = 1 num só ponto.
Determine, recorrendo exclusivamente a métodos analı́ticos, as coordenadas desse ponto.
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70. Na figura ao lado está representada uma artéria principal do
corpo humano, cuja secção é um cı́rculo com raio R, e uma sua
ramificação, mais estreita, cuja secção é um cı́rculo com raio r.
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73. Considere a expressão f (x) = A + B cos(Cx). Sempre que se atribuem valores reais positivos a A, B e C,
obtemos uma função de domı́nio R.
2π
73.1. Prove que é o perı́odo de qualquer função definida por uma expressão do tipo indicado.
C
73.2. Num certo rio, existe um ancoradouro de atracagem para barcos. A distância do ancoradouro ao
fundo do rio, varia com a maré.
Admita que, num certo dia, a distância do ancoradouro ao fundo do rio, x horas depois das zero
horas desse dia, pode ser modelada por uma função do tipo f (x) = A + B cos(Cx), com x ∈ [0,24[.
74. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. xOy, um arco AB, y
que está contido na circunferência de equação x2 + y 2 = 1.
O ponto C pertence ao eixo Ox e o segmento de reta [AC] é perpendicular a A
este eixo.
α é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB.
Qual é a expressão que dá o perı́metro da região sombreada, em função de α?
α
(A) π × α + sen α + cos α (B) π × α + sen α + 1 − cos α
O C B x
(C) 1 + α − sen α + cos α (D) 1 + α + sen α − cos α
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75. Como sabe, a Terra descreve uma órbita elı́ptica em
torno do Sol.
Na figura está representado um esquema dessa órbita.
Está assinalado o periélio, o ponto da órbita da Terra
mais próximo do Sol.
Na figura está assinalado um ângulo de amplitude x ra-
dianos (x ∈ [0,2π[).
Este ângulo tem o seu vértice no Sol, o seu lado ori-
gem passa no periélio e o seu lado extremidade passa na
Terra.
A distância d, em milhões de quilómetros, da Terra ao
Sol, é (aproximadamente) dada, em função de x por
75.1. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, determine a
distância máxima e a distância mı́nima da Terra ao Sol.
Apresente os valores pedidos em milhões de quilómetros, arredondados às décimas.
2πt
75.2. Sabe-se que x verifica a relação = x − 0,0167 sen x em que:
T
• t é o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo periélio até ao instante em
que atinge a posição correspondente ao ângulo x;
• T é o tempo que a Terra demora a descrever uma órbita completa (365,24 dias).
T
Mostre que, para x = π, se tem t = .
2
Interprete este resultado no contexto da situação descrita.
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77. Na figura ao lado, estão representadas uma semir-
reta ȦB e uma circunferência de centro O e de raio R
1 (os pontos O, A e B são colineares; o ponto A
pertence à circunferência.
1
Considere que o ponto P se desloca ao longo A P
da semirreta ȦB, nunca coincidindo com o ponto A. O α
B
Os pontos R e S acompanham o movimento do
ponto P , de tal forma que as retas P R e P S são
sempre tangentes à circunferência, nos pontos R e
S, respetivamente. S
Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo SOR
(α ∈]0,π[).
α
77.1. Mostre que a área do quadrilátero [ORP S] é dada, em função de α, por f (α) = tg
2
77.2. Calcule lim− f (α) e interprete geometricamente o resultado obtido.
α→π
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G
80. Na figura ao lado está representada uma circunferência com centro
no ponto O e raio 3.
Os diâmetros [EF ] e [GH] são perpendiculares. A I B
81. No Solstı́cio de Junho (dia em que começa o Verão), em qualquer local da Terra situado entre o Equador
e o Cı́rculo Polar Ártico, o tempo t, medido em horas, que decorre entre o nascer e o pôr do Sol, está
relacionado com a latitude λ, desse local, por meio da fórmula
tg λ
cos(7,5 t) = − (φ é a latitude do Cı́rculo Polar Ártico )
tg φ
Os argumentos das funções co-seno e tangente estão expressos em graus.
81.1. Sabendo que φ ≈ 66,5◦ e que a latitude de Beja é de 38◦ , determine o tempo que decorre entre o
nascer e o pôr do Sol, em Beja, no Solstı́cio de Junho.
Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).
Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mı́nimo,
quatro casas decimais.
81.2. Esta fórmula nunca poderia ser aplicável a locais situados entre o Cı́rculo Polar Ártico e o Polo Norte.
Justifique.
82. Na figura seguinte está representada parte do gráfico de uma função periódica.
y
Qual dos valores seguintes poderá ser
perı́odo desta função?
π 2π 4π 8π
(A) (B) −
9 9 9 9
O 2π 14π x
2π 4π 9 9
(C) (D)
3 3
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83. Duas bolas de plástico com o mesmo raio, uma branca e outra preta, flutuam na superfı́cie de um lı́quido
contido num recipiente.
Por ação de uma força exterior, o lı́quido perdeu o estado de repouso em que se encontrava, tendo a
distância de cada uma das bolas à base do recipiente deixado de ser constante.
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85. A Rita foi andar num carrossel. A figura ao lado ilustra a situação.
M
Em cada volta, que se inicia no ponto A, a Rita descreve uma
circunferência com 5 metros de raio, centrada no ponto O, rodando no
sentido indicado na figura. d(x)
A mãe da Rita ficou a observá-la de um ponto M , situado à distância
R
de 8 metros de O e tal que o ângulo AOM é reto.
B
Para cada posição R, da Rita, fica determinado um ângulo de amplitude
x, medida em radianos, que tem como lado origem a semirreta ȮA e 8
como lado extremidade a semirreta ȮR.
x
C
85.1. Mostre que, para cada valor de x, a distância d(x), da Rita à mãe, A
O 5
é dada, em metros, por
√
d(x) = 89 − 80 sen x
π
85.2. Calcule d e justifique o valor obtido, no contexto do problema.
2
86. Na figura ao lado está representado um trapézio retângulo [ABCD], cujas bases têm 10 e 30 unidades de
comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento.
Considere que um ponto P se desloca sobre o segmento [AB]. B 10 C
Para cada posição do ponto P , seja x a amplitude, em radianos, P
do ângulo P DA.
Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento 10
[P D] divide o trapézio em duas figuras com a mesma área. x
Qual das equações seguintes traduz este problema? A 30 D
2 2
30 sen x 30 tg x
(A) = 100 (B) = 100
2 2
30 × 10 sen x 30 × 10 tg x
(C) = 150 (D) = 150
4 4
Exame – 2003, 2a Fase (cód. 435)
π 3π
87. Considere a função f , de domı́nio − , , definida por
2 2
f (x) = x + sen x
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88. Considere a expressão f (x) = a + b sen2 x
Sempre que se atribui um valor real a a e um valor real a b, obtemos uma função de domı́nio R.
88.1. Nesta alı́nea, considere a = 2 e b = −5
1
Sabe-se que tg θ = . Sem recorrer à calculadora calcule f (θ)
2
88.2. Para um certo valor de a e um certo valor de b, a função f tem o y
seu gráfico parcialmente representado na figura ao lado.
1
π
Conforme essa figura sugere, tem-se: −
2
O π x
• o contradomı́nio de f é [−3,1]
• 0 e π são maximizantes
π π
•− e são minimizantes
2 2
−3
Determine a e b.
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A
90. Na figura ao lado está representada a Terra e uma
nave espacial N .
Considere que a Terra é uma esfera de centro C e r
raio r.
A área da superfı́cie da terra visı́vel da nave, θ
C N
representada a sombreado na figura, é dada, em h
função do ângulo θ, por
h π i
f (θ) = 2πr2 (1 − sen θ) θ ∈ 0, .
2
B
90.1. Determine o valor de θ para o qual é visı́vel, da nave, a quarta parte da superfı́cie terrestre.
90.2. Designando por h a distância da nave à Terra, mostre que a área da superfı́cie da terra visı́vel da
2πr2 h
nave é dada, em função de h, por g(h) =
r+h
Sugestão: tenha em conta que o ângulo CAN é reto.
90.3. Calcule lim g(h) e interprete o resultado obtido no contexto da situação descrita.
h→+∞
P
91. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma reta r.
Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado
na figura. Inicialmente, o ponto P encontra-se à distância de duas unidades
da reta r. C
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93. De uma função f , de domı́nio [−π,π], sabe-se que a sua derivada f 0 está definida igualmente no intervalo
[−π,π] e é dada por
f 0 (x) = x + 2 cos x
Utilizando métodos exclusivamente analı́ticos, resolva as duas alı́neas seguintes:
f (x) − f (0)
93.1. Determine o valor de lim
x→0 x
93.2. Estude a função f quanto às concavidades do seu gráfico e determine as abcissas dos pontos de
inflexão.
2 2
94.1. Mostre que o perı́metro do quadrilátero [CEAF ] é dado, em função de x, por f (x) = 2− +
tg x sen x
94.2. Calcule lim
π
f (x) e interprete geometricamente o valor obtido.
x→ 2 −
2 − 2 cos x
94.3. Mostre que f 0 (x) = e estude a função quanto à monotonia.
sen2 x
95. Seja f uma função par, de domı́nio R, que não admite zeros.
Qual das seguintes expressões pode definir a função f ?
π
96. Considere a função, de domı́nio R+ , definida por f (x) = x + sen
x
Utilize métodos exclusivamente analı́ticos para resolver as três alı́neas seguintes:
96.1. Estude a função f quanto à existência de assı́ntotas não verticais do seu gráfico.
96.2. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto de abcissa 2.
96.3. Prove que, no intervalo ]1, + ∞[, a função f não tem zeros.
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97. Na figura ao lado está representado um lago artificial de forma B P2
retangular.
16
Pretende-se construir uma ponte, ligando duas margens do
lago, entre os pontos P1 e P2 , tal como a figura ilustra. 12
x A
cos x
98. Considere a função f , de domı́nio ] − π,π[, definida por f (x) =
1 + cos x
Sem recorrer à calculadora, resolva os três itens seguintes:
98.1. Estude a função f , quanto à existência de assı́ntotas do seu gráfico.
98.2. Mostre que a função f tem um máximo e determine-o.
98.3. Na figura seguinte está representado, em referencial o.n. xOy, uma parte do gráfico da função f .
y
Na mesma figura está também representado um
trapézio [OP QR]. f
O ponto O é a origem do referencial e os pontos P Q
e R pertencem aos eixos Ox e Oy, respetivamente. R
Os pontos P e Q pertencem ao gráfico de f .
1 O P x
Sabendo que o ponto Q tem ordenada ,
3
determine a área do trapézio.
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100. Na figura ao lado está representado o gráfico da função f , de y
domı́nio [0,2π], definida por f (x) = x + 2 cos x.
ln x
102. Indique o valor de lim+
x→0 sen x
(A) −∞ (B) 0 (C) 1 (D) +∞
Exame – 2001, Prova modelo (cód. 435)
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104. Considere a função h definida em R por h(x) = sen x
Qual das seguintes equações pode definir uma reta tangente ao gráfico de h?
√
(A) y = 2x + π (B) y = −2 (C) y = 2x − 9 (D) y = x
Exame – 2000, 2a fase (cód. 435)
106. Um satélite S tem uma órbita elı́ptica em torno da Terra, tal como
se representa na figura ao lado.
Tenha em atenção que os elementos nela desenhados não estão na
mesma escala.
Na elipse estão assinalados dois pontos:
- o apogeu, que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra;
- o perigeu, que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra;
O ângulo x, assinalado na figura, tem o seu vértice no centro da Terra; o seu lado origem passa no perigeu,
o seu lado extremidade passa no satélite e a sua amplitude está compreendida entre 0 e 360 graus.
7 820
A distância d, em km, do satélite ao centro da Terra, é dada por d =
1 + 0,07 cos x
Considere que a Terra é uma esfera de raio 6 378 km.
Determine a altitude do satélite (distância à superfı́cie da Terra) quando este se encontra no apogeu.
Apresente o resultado em km, arredondado às unidades.
Exame – 2000, 1a fase - 2a chamada (cód. 435)
108. No ano de 2000, em Lisboa, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr do Sol, no dia de ordem n do
ano, é dado em horas, aproximadamente por
π(n − 81)
f (n) = 12,2 + 2,64 sen n ∈ {1,2,3, ......, 366}
183
(o argumento da função seno está expresso em radianos).
Por exemplo: No dia 3 de fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre o nascer
e o pôr do Sol foi de f (34) ≈ 10,3 horas.
No dia 24 de março, Dia Nacional do Estudante, o Sol nasceu às seis e meia da manhã. Em que instante
ocorreu o pôr do Sol? Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).
Notas:
• Recorde que, no ano 2000, o mês de fevereiro teve 29 dias.
• Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mı́nimo, três casas
decimais.
Exame – 2000, 1a fase - 1a chamada (cód. 435)
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109.
A
109.1. Seja [ABC] um triângulo isósceles, em que BA = BC.
Seja α a amplitude do ângulo ABC.
Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por
2
BC
× sen α α ∈]0,π[
2 α
B C
109.2. Considere agora um polı́gono regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio 1. Utilize o
resultado do item anterior para mostrar que a área do polı́gono é dada por
n 2π
An = sen
2 n
1
112. Considere a função f , de domı́nio R, definida por f (x) = sen (x) − sen (2x)
2
112.1. Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, determine f 0 (0).
A D
112.2. [ABCD]é um trapézio isósceles; os lados [AD] e BC são paralelos.
Tem-se que: 1 1
• AB = BC = CD = 1
• AD ≤ 1 iπ πi α
Seja α a amplitude do ângulo ABC, α ∈ , B C
3 2 1
iπ πi
112.2.1. Mostre que, para cada α ∈ , , a área do trapézio é igual a f (α).
π 3 2
112.2.2. Determine f e interprete geometricamente o resultado obtido, caracterizando o quadrilátero
2
π
que se obtém para α =
2
Exame – 1999, Prova modelo (cód. 135)
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113. Considere um triângulo retângulo [ABC], cujos catetos são [AB] e [BC].
Admita que se tem AB = 1 e que x designa a amplitude do ângulo BAC.
113.1. Mostre que o perı́metro do triângulo [ABC] é dado por
C
1 + sen x + cos x i πh
f (x) = , x ∈ 0,
cos x 2
i πh π 3
113.2. Seja α ∈ 0, tal que cos +α =− .
2 2 5
Determine o valor de f (α). x
A B
113.3. Recorrendo à função derivada de f , mostre que f é crescente. 1
Interprete geometricamente o resultado obtido.
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116. Duas povoações, A e B, distanciadas 8 km uma da outra estão a igual distância de uma fonte de abaste-
cimento de água, localizada em F .
116.1. Tomando para unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da canalização é dado por
8 − 4 sen x
g(x) = 4 +
cos x
4
(Sugestão: Comece por mostrar que P A = e que F P = 4 − 4 tg x)
cos x
116.2. Calcule g(0) e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e consequente compri-
mento.
116.3. Determine o valor de x para o qual o comprimento da canalização é mı́nimo.
117. Considere a função g, definida em [0,π] por g(x) = sen x + sen (2x)
117.1. Determine os zeros da função g.
π g(x)
117.2. Estude, quanto à existência de assı́ntotas, a função h definida em [0,π] \ por h(x) =
2 cos x
i πh
117.3. Mostre que, para qualquer x ∈ 0, , g(x) é a área de um triângulo [ABC], em que
2
B
• x é a amplitude do ângulo BCA;
• BC = 2
2
• [BH] é a altura relativa ao vértice B;
• AH = 1. x
A 1 H C
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