UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAO LATINO-AMERICANA LABORATRIO DE FSICA TRMICA E ONDULATRIA RELATRIO DE PRTICAS EXPERIMENTAIS

Demonstrao da relao entre MHS e MCU e Ondas estacionrias em cordas

Benhur Azambuja Possatto

Foz do Iguau 2013

RESUMO Este relatrio discorre sobre duas prticas experimentais: Demonstrao da relao entre os movimentos harmnico simples (MHS) e circular uniforme (MCU) e, Ondas estacionrias em cordas. Naquela, atravs da projeo do movimento de um aparelho rotacional, se mostra que o MHS a projeo do MCU num dado eixo. Na ltima prtica por conseguinte, determina-se a frequncia de vibrao de um diapaso pela anlise da onda estacionria propagada pelo mesmo, numa corda. PALAVRAS-CHAVE: oscilaes, ondas, MHS, MCU, frequncia de ressonncia. INTRODUO Demonstrao da relao entre o MHS e o MCU Uma possvel definio do MHS * diz que este : (...) a projeo do movimento circular uniforme em um dimetro de circunferncia ao longo do qual acontece o movimento circular. Considere-se a figura 1: um crculo de raio A e um ponto P desse crculo cujo vetor de posio OP forma um ngulo com o eixo dos x no instante t. Como = t + , o ponto P descreve um MCU de velocidade angular sobre o crculo, partindo da posio inicial Po tal que no eixo dos x, temos
Figura 1

(0) =

. Se X a projeo de P

OX = x = A cos( ) = A cos( t + )

o que coincide com o MHS; dessa forma vemos que se pode considerar o MHS como a projeo de um MCU sobre um dado eixo. Tal fato evidenciado experimentalmente iluminando-se o
* Outra definio diz que o MHS executado por uma partcula sujeita a uma fora de mdulo proporcional ao deslocamento da partcula e orientada no sentido oposto.

MCU de algum dispositivo de giro com feixes de luz paralelos. O fato se mostra de forma anloga invertendo-se a emisso de luz como, quando observara Galileu, o movimento dos satlites de Jpiter; rotacionam num plano de maneira com que sua projeo o que observado seja um MHS em perspectiva, numa reta. Todavia, o movimento feito em torno de Jpiter aproximadamente circular e uniforme. Ondas estacionrias em cordas Em cordas, as ondas que se propagam se definem como mecnicas, pois o fazem num meio material. Com a existncia deste (somente se tiver densidade no caso da corda linear constante ao longo de seu corpo), verifica-se com mais facilidade experimental uma famlia de ondas refletidas. Uma onda (se conservar energia) que se propaga at a extremidade da corda pode ser refletida de duas formas: Como na figura, inverte-se o pulso em relao ao inicial, caso a corda esteja fixada (a). Se a corda, atada a um anel, puder deslizar sem frico num eixo perpendicular ao sentido de propagao da onda (b), o pulso refletido no invertido. Se a corda tiver suas duas extremidades fixas do modo que os pulsos se invertam. E caso a frequncia de perturbaes for feita tal que de
(a) (b) () duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda se propagam em sentidos opostos em uma corda a interferncia mtua produz uma onda estacionria.

As ondas produzidas tm alguns aspectos pertinentes. Se caracterizam por seus pontos de ns: no variam no movimento; ficam definidos sobre um eixo. E os antins, pontos de extremos locais mximos ou mnimos , num eixo ortogonal ao dos ns. Assim, nelas a amplitude varia com a posio, diferentemente das outras ondas senoidais.

Pelo princpio de superposio: considerando ondas que tenham mesna amplitude e constante de fase = 0, ou seja, para y ' ( x ,t )= A cos ( kx t ) y ' ' ( x ,t )= A cos ( kx + t ) temos que a soma de (1) e (2) d y = y ' + y ' ' = Acos ( kx t )+ Acos ( kx + t ) = A [ cos ( kx t )+ cos ( kx + t )] = 2 Acos ( kx ) cos ( t ) . (3) Como a resultante o produto de uma funo de t por uma funo de x, a onda no se propaga. A forma de onda na corda permanece sempre semelhante, mudando apenas a amplitude e, eventualmente, de sinal. Para valores de kx tais que cos(kx) = 0, a amplitude da onda zero. Ou seja, os pontos, onde kx =( / 2)n , esto localizados os ns da onda estacionria. Uma corda de comprimento L, presa em suas extremidades apresenta modos de vibrao para um conjunto bem definido de frequncias chamadas de ressonncia: f =v /=( v / 2L)n , v com n = 1, 2, 3, ; onde o comprimento de onda e v, sua velocidade de progao na corda. Pela relao te Taylor, para n = 1, 2, 3, (1) (2)

( F )

, onde F a tenso na corda.

A velocidade de propagao da onda aumenta com a raiz quadrada da tenso na corda. Assim, ao (...) dobrar-se a intensidade da fora de tenso impressa pelo peso da massa no fio, o aumento sofrido na velocidade de um fator de aproximadamente

(2 ).

Portanto, pela relao de Taylor e considerando a densidade linear da corda, teremos: v =( F /) ; onde a densidade linear de massa da corda e F, o peso aplicado corda para fix-la. Da, se possvel ajustar a tenso para uma corda de densidade linear dada e tambm o seu comprimento, para que vibre na frequncia de ressonncia. Nela, a onda formada ser estacionria.

OBJETIVOS Determinar a frequncia de vibrao de um diapaso atravs de uma onda estacionria ajustando certos parmetros para que as frequncias do diapaso e da corda coincidam. E mostrar a relao entre o MCU e o MHS por projeo luminosa, pela qual tambm se obtm as expresses das grandezas: enlongao (amplitude); velocidade tangencial e acelerao angular num eixo. MATERIAIS E MTODOS Demonstrao da relao entre o MHS e o MCU O experimento se valeu dos seguintes utenslios: aparelho rotacional; setas projetveis vermelha e amarela; luminria; cronmetro; anteparo de projeo (papelo e fita adesiva); Para representar o vetor velocidade tangencial, a seta verde fixada tal que sua disposio seja tangencial ao disco do aparelho rotacional; apontando no sentido horrio. A seta verde por sua vez, representa o vetor acelerao angular. fixada no aparelho rotacional apontando para o centro do disco. Ajusta-se a posio do aparelho rotacional que produz um MCU e a luminria de modo que a projeo no anteparo seja a mais parecida possvel com um MHS, como ilustra a imagem abaixo.* A amplitude do MHS medida servindo-se do raio da circunferncia. Calculado com a medida da projeo do dimetro projetado. Neste caso, o dimetro mensurado foi de 36,3 cm com uma rgua milimetrada de impreciso 0,5 mm. O raio tem pois, aproximadamente 18,15 cm. Liga-se o aparelho rotacional com uma certa frequncia uma alta frequncia dificulta a contagem do nmero de perodos

* Vale ressalvar que no caso deste experimento lanou-se mo de uma luminria em vez de um retroprojetor. O que dificulta do experimento. Sua luz amplia a imagem na projeo e dificulta a vizualizao do MHS.

dos movimentos. A frequncia escolhida foi de aproximadamente 7 Hz. Deve se tomar em conta a impreciso do aparelho e o erro sistemtico de paralaxe na leitura da sua escala. Padroniza-se um nmero de voltas de uma seta para cronometrar o perodo. De forma a minimizar os erros de medio, o nmero foi de nove voltas. Nas tomadas de tempo, esipulou-se o perodo como a razo entre o tempo cronometrado e o nmero de voltas, 9. E calculando a mdia aritmtica de todos os perodos, definimos o tempo a ser considerado; com uma preciso de 0,005 s, para calcular a frequncia mdia (f), a velocidade angular ( ) e a velocidade tangencial (v). Ondas estacionrias em cordas Para se determinar a frequncia de vibrao de um diapaso utilizam-se os seguintes materiais: diapaso; corda de nylon de densidade linear de massa M = 108,3 mg/m; roldana; porta-pesos e massas conhecidas; trena; martelo; e fita adesiva. As massa utilizadas se desconhecidas so previamente aferidas numa balana analtica. A balana usada possuia impreciso 3 casas decimais. Como ilustrado acima, numa haste do diapaso se amarra a corda de nylon. Para evitar que ela deslize envolve-se com fita adesiva a amarra. Na outra extremidade faz-se tenso na corda com o porta-pesos. Assim, os pulsos emitidos so refletidos; condio para ondas estacionrias em cordas com ambas as extremidades fixas. Usando o martelo neste caso, um lpis emborrachado se produz a onda com impactos na haste do diapaso que tem a corda presa. Ajusta-se a tenso e o comprimento da corda para encontrar ns na forma de onda propagada na corda. Quando um n obervado no experimento sua posio, fixa, era marcada por um indicador sob a corda. Com o nmero de ns temos o nmero de harmnicos e o comprimento de onda, . Que vale o comprimento da corda, L sobre o nmero de harmnicos; que por sua vez o nmero de ns menos um. vlido

lembrar que as extremidades fixas da corda tambm so ns. Neste experimento se contablizaram 7 ns, usando 57 gramas de massa exercendo tenso na corda de tamanho ajustado de 46 cm. Relevesse uma impreciso da trena da ordem de 0,5 mm. RESULTADOS E DISCUSSO Demonstrao da relao entre o MHS e o MCU A tabela abaixo vecula todos os perodos cronometrados. Tabela de tomadas de tempo: Perodo (1) Perodo (2) Perodo (3) Perodo (4) Perodo (5) Perodo (6) Perodo (7) Perodo (8) Perodo (9) Perodo (10) 8,72 s 8,69 s 8,81 s 8,91 s 8,19 s 8,68 s 8,43 s 8,50 s 8,30 s 8,65 s Perodo (11) Perodo (12) Perodo (13) Perodo (14) Perodo (15) Perodo (16) Perodo (17) Perodo (18) Perodo (19) Perodo (20) 8,41 s 8,44 s 8,66 s 8,55 s 8,66 s 8,66 s 8,50 s 8,60 s 8,57 s 8,56 s

O perodo, tratado estatisticamente, dado pela mdia dos perodos medidos dentro de um intervalo de confiana de 10 elementos:
10

n=1

Perodo (n) / 10 = 8,57 s = T. Com esse valor para o perodo, temos que a frequncia, dada por 1 / T = 1 / 8,57 s = 0,11

Hertz. A velocidade angular: = 2 f =2 ( 0,11 )=0,73 rad/s. E a velocidade tangenvial, v = * r = 0,73 * 36,3 = 26,58 cm/s.

A tabela a seguir construida para indicar onde algumas grandezas so crescentes ou decrescentes; preenchida de acordo com o movimento no sentido horrio do aparelho. Tabela 1: = cos ( t +) = 0
= 90

X = A*cos( ) X=A X=0 |X| decresce X = -A |X| decresce X=0 |X| cresce X=A |X| cresce

v = Asen () v =0 v = - *A |v| decresce v=0 |v| cresce v = *A |v| cresce v=0 |v| decresce

a = Acos () a = - 2 A a=0 |a| cresce a = 2 A |a| cresce a=0 |a| decresce a = - 2 A |a| decresce

=0 90
= 180

90 180
= 270

180 270
= 360

270 360

Como a projeo do raio de circunfncia tinha 18,15 cm, podemos consider-la como A, a amplitude do movimento. Considerando o sentido horrio do MCU, pode-se construir a Tabela 2. Usada para popular os grficos de X versus e a sobreposio de v e a versus . Tabela 2: = cos( t + ) = 0 = 90 = 180 = 270 = 360 X = A*cos( ) X = 18,15 cm X = 0 cm X = -18,15 cm X = 0 cm X = 18,15 cm v = - Asen () v = 0 cm/s v = 13,14 cm/s v = 0 cm/s v = - 13,14 cm/s v = 13,14 cm/s a= 2 Acos () a = 9,67 cm / s 2 a = 0 cm / s 2 a = -9,67 cm / s 2 a = 0 cm / s 2 a = 9,67 cm / s 2

Tomando os valores da frequncia angular e da amplitude do movimento, o grfico * da funo velocidade escalar tangencial versus :

Onde f(x) equivale a v, a magnitude do vetor velocidade tangencial. O que correspondente com as indicaes da Tabela 1. J o grfico** da sobreposio de v e a, versus como segue:

Onde f(x) e g(x) so respectivamente as funes v e a. Que tambm corresponde com os apontamentos da Tabela 1 e podem ser verificados analisando-se os pontos de extremos de uma delas: corresponde aos de zero da outra.

* Gerado em Gnuplot usando os seguintes comandos: f(x) = -0.73*18.15*sin(x); set xrange [0 : 2*pi]; e plot f(x). ** Grfico criado em Gnuplot, mas com os comandos g(x) = -(0.73^2)*18.15*cos(x); e plot f(x), g(x) na mesma seo em que f(x) foi definida.

Ondas estacionrias em cordas Encontraram-se 7 ns considerando as extremidades fixas para os seguintes v =( F /) = 72,54

parmetros do sistema: 57 g de massa exercendo tenso na corda de comprimento 46 cm. Considerando-se a densidade linear da corda como 108,3 mg/m, m/s. A partir disso, calculamos a frequncia: Hz. A frequncia calculada difere por 29 Hertz da frequncia de fbrica. Com uma acurcia de 6,59 %. Deve -se levar em conta que para realizar o experimento adicionam-se elementos externos haste vibrante do diapaso. Como a corda atada e fita adesiva envolta nela; considerando tambm a impreciso dos outros utenslios. Abaixo exibido um grfico da velocidade de propagao da onda na corda (v) versus ( ) o comprimento de onda:

f =v /=( v / 2L) n , que d 72/(0.46/3) = 469, 56

Onde f(x) a velocidade da onda. O grfico mostra a linearidade no aparecimento de ns conforme a velocidade de propagao da onda. Ou seja, pela relao de Taylor,

em relao tenso aplicada em uma dada corda de densidade linear constante ao longo de seu corpo.

CONCLUSO Finalmente, podemos ver a relao de periodicidade entre o MHS e o MCU. Destacando na projeo a velocidade tangencial e a acelerao angular. E, complementando sua anlise graficmente. Verificamos ainda, na formao da onda estacionria, a formao de ns seguindo uma frequncia, definindo aquela por outros parmtros. Se poderia ainda determinar a densidade linear de outra corda, em posse da frequncia de vibrao do diapaso; aferindo a massa numa balana analtica.

BIBLIOGRAFIA

[1] HALLIDAY, David. RESNIK, R. Walker J. Fundamentals of physics, vol 2: gravitation, waves and thermodynamics, 9th ed. Jefferson City, USA: John Wiley & Sons, Inc., 2012. [2] NUSSENZVEIG, H. Moyss. Curso de Fsica Bsica 2 Fluidos; Oscilaes, Ondas; Calor, 4 ed. So Paulo: Editora Edgar Blucher, 2002. [3] MELLO, G. Irrimarem. 31 Fsica na Escola, v. 8, n. 2: Produzindo ondas transversais em cordas de nylon. Porto Alegre: Colgio So Joo La Salle, 2007. [4] BLACKSTOCK, D. T. Fundamentals of Physical Acoustics, Wiley-IEEE, ISBN 0-47131979-1, 568 pages, 2000.