Chapitre Espace Vect
Chapitre Espace Vect
Chapitre Espace Vect
Cours de Mathématiques
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie A : Calcul matriciel
a c
Soit A = M 2 (K ) . On appelle déterminant de la matrice A et on note det(A) ou
b d
A le scalaire défini par : det(A)= A =ad-bc.
Remarques
En pratique, on choisira de développer le déterminant d’une matrice par rapport à la
ligne ou la colonne comportant le plus de zéros.
Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit des coefficients de sa
diagonale.
2) Propriétés
3) Théorème
Théorème Si une matrice carrée a deux lignes égales, son déterminant est nul.
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie A : Calcul matriciel
1) Définitions - théorème
2) Propriété
3) Application de base
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie A : Calcul matriciel
Remarque : Lorsque la matrice inverse est compliquée ou trop longue à calculer, on peut
appliquer la méthode des déterminants pour résoudre un système de Cramer (voir exercice 8)
Définitions On appelle opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice A, l’une des
opérations suivantes :
a) l’échange de deux lignes : L i L j i j
b) la multiplication d’une ligne par un scalaire : L i .L i
c) la substitution d’une ligne par sa somme avec un multiple d’une autre ligne :
L i L i .L j
Ces opérations élémentaires peuvent aussi se faire sur les colonnes.
1) Calcul du déterminant d’une matrice par la méthode du pivot de Gauss (Voir exercice 4)
Théorème Le déterminant d’une matrice ne change pas si l’on ajoute à l’une des lignes
une combinaison linéaire des autres lignes.
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie A : Calcul matriciel
Exercice 1
1 2 2 1 1 1
On considère les matrices suivantes : A 8 7 4 ; B 1 1 et C 1 .
13 5 8 1 2 2
Calculer, si cela est possible : A+B, A.B, B.A, A², B², A. A, A.A, B. B, B.B, AC, tC.B
t t t t
1 2 3 3 1 2
2 2
A ; B 1 1 2 ; C 2 0 1 .
5 3 3 1 4 1 0 1
1 r 0 1 0 0 1 0 0
1) Soient les matrices : Sr 0 1 0 , Tr r 1 0 , Ur 0 1 0 où r est un nombre
0 0 1 0 0 1 r 0 1
réel non nul. Calculer leur déterminant.
a b c
2) Soit la matrice : A d e f , effectuer les produits suivants et donner le déterminant
g h k
de la matrice obtenue en fonction de det(A) : Sr.A, Tr.A, Ur.A
1 1 1
Exercice 5 Soit A 2 3 0 , calculer, si c’est possible A-1
1 1 2
CoA
1) A l’aide de la formule : A 1 .
det A
x y z 6
2) Résoudre le système : 2 x 3y 8
x y 2z 0
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie A : Calcul matriciel
Exercice 6 Méthode du pivot de Gauss pour faciliter le calcul de l’inverse d’une matrice
carrée.
1 0 0 0 0 1 0 1 0
1) Soient les matrices : E 1 0 0 1 , E 2 0 1 0 , E 3 1 0 0 ,
0 1 0 1 0 0 0 0 1
k 0 0 1 0 0 1 0 0
M k 0 1 0 , N k 0 k 0 , Pk 0 1 0 où k est un nombre réel non nul.
0 0 1 0 0 1 0 0 k
Montrer que ces matrices, ainsi que celles définies dans l’exercice 4 sont inversibles.
a b c
2) Soit la matrice : A d e f , effectuer les produits suivants : E1.A, E2.A, E3.A Mk.A,
g h k
Nk.A, Pk.A.
x y z 6
4) Résoudre le système 2 x 3y 8 à l’aide de la méthode du pivot de Gauss. Pour cela
x y 2z 0
on procède par opérations élémentaires sur les lignes de la matrice A et simultanément sur les
composantes du vecteur « second membre ».
1 1 0 2
0 1 0 3
Exercice 7 Soit A , calculer, si c’est possible A-1
1 2 1 2
0 0 0 1
CoA
1) A l’aide de la formule : A 1 .
det A
2) Par la méthode du pivot de Gauss
1 1 1 1
Soient A 1 1 2 et B 1 .
2 4 1 0
x y z 1
Soit à résoudre le système linéaire : (S) x y 2z 1 .
2 x 4 y z 0
1) Calculer det(A) ; Que peut-on dire du système (S) ?
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie A : Calcul matriciel
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2) Soient A 1 1 1 2 , A 2 1 1 2 et A 3 1 1 1 où,
0 4 1 2 0 1 2 4 0
pour tout i 1,2,3 la matrice Ai est la matrice obtenue en remplaçant la ième colonne de A
par le vecteur colonne B.
Calculer les déterminants : y1= det(A1), y2= det(A2), y3= det(A3).
y1 y2 y3
3) On pose : z1 , z2 , z3 . Montrer que (z1, z2, z3) est solution du
det(A) det(A) det(A)
système (S) ;
4) Résoudre le système (S).
Exercice 10
0 0
1) Soit B , calculer Bn pour tout entier naturel n.
1 0
1 0
2) Soit A , calculer An pour tout entier naturel n.
1 1
3) Déterminer An pour tout entier relatif, si cela est possible.
1) Description Supposons que nous avons un message à coder écrit avec les lettres A à Z (en
majuscules). L'idée de Lester Hill est de grouper les lettres du message par bloc de m lettres,
puis de les coder simultanément. Dans toute la suite, nous prenons m=2. D'abord, on remplace
chaque lettre par un nombre compris entre 0 et 25 : A devient 0, B devient 1,..., Z devient 25.
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5
On groupe les nombres ainsi obtenus 2 par 2 : x1x2, x3x4, ...,x2n-1,x2n. Chaque groupe de deux
nombres xkxk+1 est codé en utilisant des combinaisons linéaires fixées au préalable :
y = ax + bx
y = cx + dx
a, b, c, d sont des entiers. On retransforme alors les nombres obtenus en lettres par la même
opération que précédemment (0 devient A, ...). Bien sûr, l'entier yk n'est plus forcément compris
entre 0 et 25, mais on le remplace alors par son reste module 26.
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie A : Calcul matriciel
3) Exemple On souhaite coder le mot ELECTION avec la clé (ou matrice) de chiffrement A =
3 5
. Pour cela,
1 2
- On remplace par des nombres, et on sépare en blocs de 2 : ; ; ;
3 5 3 5
- On calcule les vecteurs images : = ; = ;
1 2 1 2
3 5 3 5
= ; =
1 2 1 2
- On retranscrit les lettres : PAWITJDO
On peut remarquer un des intérêt du chiffrement de Hill sur l'exemple précédent : la lettre E est
une fois codée avec P, l'autre fois avec W. C'est ce qu'on appelle un chiffrement poly
alphabétique.
4) Questions
9 4
a) Coder MATHEMATIQUE avec la clé .
5 7
0 0 1 2
b) Expliquer pourquoi les matrices de chiffrement et ne peuvent convenir.
0 0 2 4
a b d −b
c) A = étant une matrice dans ℤ/26ℤ, on pose B = . Calculer AB.
c d −c a
d) Montrer que A est inversible si, et seulement si, det A est inversible dans ℤ/26ℤ. Expliquer
alors pourquoi le chiffrement de Hill est inversible.
e) Votre allié vous a envoyé le message suivant : UWGMWZRREIUB. Vous avez convenu
9 4
avec lui d'utiliser le chiffrement de Hill, avec comme clé de chiffrement la matrice .
5 7
Quel message voulait-il vous transmettre ?
f) Attaque du chiffre de Hill : Vous avez intercepté le message suivant de vos ennemis :
YKTZZUDCLWQOAGKIHXRVANYSPWBYDCLS. Votre espion vous a informé que pour
communiquer, l'état-major adverse utilise le chiffrement de Hill. En outre, connaissant le côté
protocolaire des messages militaires, vous êtes sûr que ce message commence par
MONGENERAL. On note A la matrice de chiffrement.
24 19 12 13
- Justifier que =A . (1)
10 25 14 6
- Que suffirait-il pour trouver A ? Pourquoi est-ce impossible ici ?
- Retrouver A en exploitant une autre égalité comme (1).
- Décrypter le message complet.
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie A : Calcul matriciel
Remarque Pour chiffrer les messages, nous avons utilisé des paires de caractères. La sécurité
serait meilleure en regroupant les caractères par trois ou même par quatre. Dans ces cas, les
calculs se feraient avec des matrices 3*3, 4*4 respectivement, ce qui serait laborieux à faire à
la main. Avec les ordinateurs actuels, en revanche, il est possible de travailler avec des matrices
d'ordre très élevé et leurs inverses.
Le chiffre de Hill souffre d'une faiblesse importante : si le récepteur dispose d'un fragment
même petit de texte en clair, il est possible de déchiffrer le message dans sa totalité.
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
EK E
La multiplication par un scalaire, loi de composition externe : possédant
( V, ) .V
les propriétés suivantes : pour tout V,W vecteurs de E et , scalaires de K :
a) .(V W) .V .W
b) ( ).V .V .V
c) .(.V) (.).V
d) 1.V V
Exemples
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
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Définition : Soit E, un K-espace vectoriel. On dit que F est un sous espace vectoriel de E,
si et seulement si :
a) F E
b) F Ø
c) F est stable pour l’addition dans E : V,W F, V+W F
d) F est stable pour le produit par un scalaire de K : K , V F , .V F.
Définition condensée : Soit E, un K-espace vectoriel. On dit que F est un sous espace
vectoriel de E, si et seulement si :
a) F E
b) F Ø
c) F est stable par combinaison linéaire à coefficients dans K :
V,W F, K, V .W F.
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Exemples
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
Soit E=R I 3,
x1 x 1 x 1 2t 1
F V x 2 / x 1 3.x 2 x 3 0 , F' V x 2 / x 2 3t 1 où t est réel. ,
x x x t 4
3 3 3
x1 x1
x 1 3.x 2 x 3 0 x 1 3.x 2 x 3 0
F' ' V x 2 / , F' ' ' V x 2 / ,
x 2.x 1 5 .x 3 1 x 2.x 1 5.x 3 0
3 3
x 1 x 1 2t
F ( 4) V x 2 / x 2 3t où t est réel. .
x x t
3 3
Quels sont les sous espaces vectoriels de E ?
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Soit E=RI n,
F V / x 1 x 2 x 3 ... x n 0 est un sous espace vectoriel de E.
Soit E le R
I – espace vectoriel des fonctions. Parmi les sous ensembles de E suivants,
lesquels sont des sous espaces vectoriels de E ?
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
F f E / f (1) 0 ………………………………….………………………………
10
F f E / f ( x )dx 0 ………………………………………………………………
8
Remarque
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Exemples
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
Exemples
Sn+1=(1,x,x2,x3 … xn) engendre E=RI n[X], car : P RI n[X], il existe n+1 réels
0 , 1 ,..., n tel que : P( x ) 0 .1 1 .x ... n x n
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I 3?
S4 =( V1=(1 ,0 ,0) ; V2=(0 ,1 ,0) ; V3=(0 ,0 ,1) ;V4=(1 ,1 ,1)) engendre-t-il E=R
…………………………………………………………………………………………
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Exemples
I 3 ? ……………………….
S2=( V1=(1 ,0 ,0) ; V2=(0 ,1 ,0)) forme-t-il une base de E=R
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S4 =( V1=(1 ,0 ,0) ; V2=(0 ,1 ,0) ; V3=(0 ,0 ,1) ;V4=(1 ,1 ,1)) forme-t-il une base de
E=RI 3?
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
S3 =( V1=(1 ,0 ,0) ; V2=(0 ,1 ,0) ; V3=(0 ,0 ,1)) forme-t-il une base de E=RI 3 ? …… …
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…………………………………………………………………………………………
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Exemple
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…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
Exemples
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…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Soient E= RI 3 ; V1=(1 ,-1 ,0) ; V2=(0 ,-1 ,1) et V3=(1 ,1 ,1 ). B=(V1,V2,V3) forme-t-il
base de E ?
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
En effet, …………………………………………………………………………………………
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
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Définition Soit B=( V1,V2,…,Vn) une base de Kn, soit V un vecteur de E. Alors : il existe n
uniques scalaires 1 , 2 ,..., n tels que : V 1 V1 2 V2 ... n Vn ,
les scalaires i sont appelés les coordonnées de V dans la base B.
1
2
.
Nous noterons : VB
.
.
n
Exemples
Soit E= RI 3 . Déterminer les coordonnées du vecteur V=(2 ,-2 ,1) dans la base
canonique.
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Soit E= RI 3 ; V1=(1 ,-1 ,0) ; V2=(0 ,-1 ,1) et V3=(1 ,1 ,1 ). Déterminer dans la base
B=( V1,V2,V3) les coordonnées du vecteur V=(2 ,-2 ,1).
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
x1
Exemple Soit E= RI . F V x 2 / x 1 3.x 2 x 3 0 est un sous espace vectoriel de E,
3
x
3
déterminer une famille génératrice de F, puis en déduire sa dimension.
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Soit F, L'ensemble des solutions des EDLCC du premier ordre et sans second
membre : a.y' ( x ) b.y( x ) 0 avec a ≠ 0.
Soit E, l'espace vectoriel des fonctions dérivables sur RI . F est un sous espace
bx
vectoriel de E de dimension 1 dont une base est e a
Soit F, L'ensemble des solutions des EDLCC du second ordre et sans second
membre : a.y' ' ( x ) b.y' ( x ) c.y( x ) 0 avec a ≠ 0.
Soit E, l'espace vectoriel des fonctions deux fois dérivables sur R I . F est un sous
espace vectoriel de E de dimension 2 dont une base est :
e r1x ; e r2 x où r1 et r2 sont les racines réelles distinctes dans le cas 0
e r1x ; xe r1x où r1 est la racine réelle dans le cas 0
(e cos(βx) ; e sin(βx)) où α + iβ et α − iβ sont les racines complexes dans le
cas 0
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
1) Définitions
Vocabulaire et notation
En effet, …………………………………………………………………………………………
2) Exemples
Id E : E E
L’application identité : est un endomorphisme de E (ou une
V Id E (V) V
application linéaire de E dans E).
f : IR 3 IR 2
x
x z est-elle une application linéaire ?
L’application f, définie par :
y
z y z
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
d
: IR[X] IR[X]
L’application dérivation, définie par : dx est linéaire :
P P'
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…………………………………………………………………………………………
3) Propriétés
Soient E et F, deux espaces vectoriels sur K. Soit B=(u1, u2, …, un) une base de vecteurs
de E.
a) Soient f L(E,F) et g L(E,F).
f=g si et seulement si 1 i n f(u i ) g (u i )
b) Soit f L(E,F) . f est l’application nulle si et seulement si 1 i n f(u i ) 0
c) L’ensemble des applications linéaires de E dans F est un K-espace vectoriel. L(E,F) est
un K-espace vectoriel.
d) La composition d’applications linéaires est une application linéaire :
Soient E,F,G, trois espaces vectoriels sur K. Soient f L(F,G) et g L(E,F).
f g:E F G
Alors f g L(E,G) .
V g( V ) f (g( V ))
c) Si f L(E,F) est bijective, alors f L(F,E)
-1
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
Remarques
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…………………………………………………………………………………………
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Exemples
Id E : E E
L’application identité : . Ker(IdE)=………Im(IdE)= …………..
V Id E (V) V
f : IR 3 IR 2
x
x z .
L’application f, définie par :
y
z y z
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
d
: IR n [X] IR n [X]
L’application dérivation, définie par : dx est linéaire :
P P'
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Exemple
f : IR 3 IR 2
x
x z .
L’application f, définie par :
y
z y z
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d
: IR n [X] IR n [X]
L’application dérivation, définie par : dx
P P'
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
En effet, …………………………………………………………………………………………
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
Vocabulaire
Exemples
Id E : E E
L’application identité : . Ker(IdE)=………Im(IdE)= …………..
V Id E (V) V
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f : IR 3 IR 2
x
x z .
L’application f, définie par :
y
z y z
…………………………………………………………………………………………
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d
: IR n [X] IR n [X]
L’application dérivation, définie par : dx est linéaire :
P P'
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
1) Définition
f :Kp Kn
Soit f une application linéaire de Kp dans Kn :
V W f (V )
On munit Kp de la base Bp=( V1,V2,…,Vp).
f ( V1 ) a 11 W1 a 21 W2 ... a n1 Wn
f ( V2 ) a 12 W1 a 22 W2 ... a n 2 Wn
Supposons que : , alors :
...
f ( Vp ) a 1p W1 a 2p W2 ... a np Wn
f ( V ) 1 (a 11 W1 a 21 W2 ... a n1 Wn ) ... p (a 1p W1 a 2p W2 ... a np Wn )
f ( V ) ( 1 a 11 2 a 12 ... p a 1p )W1 ... ( 1 a n1 2 a n 2 ... p a np )Wn
1 a 11 2 a 12 ... p a 1p
Les coordonnées de f(V) dans la base Bn sont donc : 1 a 21 2 a 22 ... p a 2p
f ( V ) Bn
...
1 a n1 2 a n 2 ... p a np
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
a 11 a 12 ... a 1p 1
1 a 11 2 a 12 ... p a 1p
a 21 a 22 ... a 2p 2 a a ... a
On a donc : A.VBp = 1 21 p 2p
... ... ...
2 22
... ... ... f (V) B
n
a n1 an2 ... a np p 1 a n1 2 a n 2 ... p a np
Rappel important : Dans l’utilisation des indices double aij, i indique la ligne et j la colonne.
On remarque aussi que les colonnes de A représentent les coordonnées des vecteurs f(Vi) dans
la base Bn.
2) Exemples :
Soit RI 3 et R
I 2 munis de leurs bases canoniques respectives C3 et C2, et soit
l’application linéaire de RI 3 dans RI 2 définie par :
f : (IR 3 , C 3 ) (IR 2 , C 2 )
x
x z .
VC3 y WC2
z y z
Déterminer la matrice de f :
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
Soit f, une application définie par les images des vecteurs de la base i , j , k dans la
f (i ) i' j' 2.k '
base i' , j' , k' : f ( j ) j' k ' . Déterminer la matrice associée à f, ainsi que
f (k ) i' j'
l’image du vecteur : V x.i y. j z.k où x, y, z sont des réels.
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Soient E= Kn,
B=(V1,V2,…,Vn) appelée « ancienne base de E ».
B’=(V1’,V2’,…,Vn’) appelée « nouvelle base de E ».
On suppose connaître les coordonnées des vecteurs V1’,V2’,…,Vn’ dans la base B :
V 1' a 11 V1 a 21 V2 ... a n1 Vn
'
V2 a 12 V1 a 22 V2 ... a n 2 Vn
.
...
V ' a V a V ... a V
n 1n 1 2n 2 nn n
31
Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
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Soient E= Kn,
BE=(V1,V2,…,Vn) appelée « ancienne base de E ».
BE’=(V1’,V2’,…,Vn’) appelée « nouvelle base de E ».
On connaît la matrice de passage de BE’ vers BE, que l’on note : P PB' B
E E
Soient F= Kp,
BF=(W1,W2,…,Wp) appelée « ancienne base de F ».
BF’=(W1’,W2’,…,Wp’) appelée « nouvelle base de F ».
On connaît la matrice de passage de BF’ vers BF, que l’on note : Q PB' B
F F
32
Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
Cas particulier Si E=F, alors P=Q et A’=P-1AP, on dit alors que A et A’ sont semblables.
Exemples
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
Définition Une matrice diagonale est une matrice carrée A (a ij ) 1 i n , dont tous les
1 j n
termes n’appartenant pas à la diagonale principale (de a11 à ann) sont nuls.
1 0 ... 0
0 2 0... 0
A .
... ... ... ...
0 0 ... n
35
Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
Définitions
– On appelle vecteur propre d’un endomorphisme f tout vecteur V non nul de E tel
que f(V)= V, ( K).
– On appelle valeur propre d’un endomorphisme f tout nombre déterminé par
l’équation ci-dessus.
– On appelle sous-espace propre associé à la valeur propre , l’ensemble
E V E / f ( V ) V . E est un sous espace vectoriel de E (on peut alors en
extraire une base).
L’équation f(V)= V peut aussi s’écrire : f(V)= Id(V), donc f(V)- Id(V)=0, soit g(V)=0, en
posant g=f- Id.
Si A est la matrice de f (dans la base B=(V1,…,Vn)) et G la matrice de g, on a : G=A- In,
a 11 a 12 ... a 1n
a 21 a 22 ... a 2 n
c’est à dire : G .
... ... ... ...
a n1 a n2 ... a nn
g(V)=0 si et seulement si G.VB=0 si et seulement si :
a 11 a 12 a 1n 0 x1 0
a 21 a 22 a 2n 0 x2 0
x1 x ... x où V ... ... .
... 2
... n
... ... B
a n1 a n2 a nn 0 xn 0
Ce système d’équations est un système homogène ; il possède des solutions non nulles si et
seulement si detG=det(A- Id)=0 (équation caractéristique).
En résumé Pour déterminer les valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice A,
a) Il faut donc d’abord résoudre l’équation caractéristique det(A- Id)=0. Les valeurs
obtenues sont appelées les valeurs propres de A .
b) Il faut ensuite déterminer les vecteurs propres de A, c'est-à-dire résoudre l’équation :
(A- In )(V)=0.
Exemples
3 6
I 2 muni d’une base (V1,V2) l’endomorphisme f de matrice : A
Soit dans R .
8 5
Rechercher les valeurs propres, vecteurs propres, et sous-espaces propres associés.
Peut-on trouver une base de diagonalisation de A ?
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
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1 1 1
Soit la matrice B 0 1 1 , déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de
0 0 2
B. B est-elle diagonalisable dans RI ?
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
1 0 1
Soit la matrice C 0 1 1 déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de
0 0 2
C. C est-elle diagonalisable dans RI ?
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.
....
f ( V ' ) 0. V ' ...0. V ' a V ' a V '
n 1 n 1 n n n n
38
Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
Soit en général f ( Vi' ) a i Vi' , ce qui définit les vecteurs propres. D’où :
La base de diagonalisation B’ est constituée des n vecteurs propres et les ai sont les valeurs
propres i ( i K) .
Cas particulier Si les n valeurs propres sont toutes simples dans K, alors A est diagonalisable
dans K.
Exemple
1 1
La matrice D est –elle diagonalisable sur RI , sur CI ?
1 1
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
Exercice 1 :
I 3 les vecteurs : V1=(2 ,1 ,3) ; V2=(0, ,2) et V3=(-2,1,3), quelle condition doit
1) Soit dans R
remplir pour que (V1,V2,V3) soit un système libre ?
I 3 le système (V1,V2,V3) avec : V1=( ,1,-1) ; V2=(-1, ,1) et V3=(1,1, ).
2) Soit dans R
Déterminer les conditions dans lesquelles ce système est libre ou lié.
I 2 les vecteurs Z1=(2-i,i) ; Z2=(1+i,-1) ; Z3=(1-3i,1+i). Les systèmes (Z1,Z2) et
3) Soit dans C
(Z1,Z3) sont-ils libres ou liés ?
Exercice 2 :
Exercice 3 :
Exercice 4 :
Exercice 5 :
Soit E=R
I [X] et En=RI n[X], l’ensemble des polynômes de degré au plus égal à n.
1) Montrer que En est un sous espace vectoriel de E, et que 1, x, x2, x3, …,xn en est une base.
Quelle est alors la dimension de En ?
2) Montrer que Q=(x-1)(x-2), R=(x-2)(x-3) et S=(x-1)(x-3) forment une base de E2. Quelles
sont les coordonnées de ax2+bx+c dans cette base ?
Exercice 6 :
Montrer que CI est un RI – espace vectoriel, en donner une base. Comparer dimR
I (C
I ) et
n
dimCI (CI ). Généraliser à CI .
Exercice 7 :
40
Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
Dans RI 4, Soit Fa=<V1, V2, Wa> où V1=(3 ,0 ,1 , -1) ; V2=(4, 2, 4, 3) et Wa=(1, 2,3, a).
Déterminer la dimension de Fa et en donner une base suivant les valeurs de a.
Exercice 8 :
f : IR 2 IR 3
x 3y
Soit f, l’application définie par : L’application f, définie par : x .
x y
y 2x y
1) Montrer que f est une application linéaire.
2) Donner une base de Ker(f).
3) Donner une base de Im(f).
4) f est-elle injective, surjective, bijective ?
Exercice 9 :
f : IR 3 IR 2
x
Soit f, l’application définie par : L’application f, définie par : x y z .
y
z x y z
1) Donner une base de Ker(f).
2) Donner une base de Im(f).
3) f est-elle injective, surjective, bijective ?
Exercice 10 :
f : IR 3 IR 4
9.x 1 10.x 2 6.x 3
x1
Soit f, l’application définie par : x 1 2.x 2 2.x 3 .
x2
x 2.x 1 x 2 5.x 3
3 2.x 3.x .x
1 2 3
Exercice 11 :
Soit a0, a1, …, an des réels distincts, soit En=RI n[X], l’ensemble des polynômes de degré au plus
égal à n et soit Vn+1=R I n+1 . Montrer que l’application suivante :
f : E n Vn 1
.est linéaire et injective. En déduire qu’elle est bijective. Dans le
P P(a 0 ), P(a 1 ),..., P(a n )
cas où n=2, donner l’application réciproque.
Exercice 12 : Pour chacune des applications linéaires des exercices précédents, préciser sa
I n considérés.
matrice dans les bases canoniques des espaces R
41
Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
Exercice 13 : Soit f, une application définie par les images des vecteurs d’une base de l’espace
dans lequel on se place. Déterminer la matrice associée à f, son noyau et son image.
1
1) Déterminer les coordonnées dans la base B de W=f(V).
2) Déterminer dimKerf, puis en déduire dim(Im(f)) (appelé aussi le rang de f).
Exercice 15 : Soit A la matrice de M3(RI ) (associée par exemple dans la base canonique à un
4 0 0
3
endomorphisme u de RI ) telle que : A= 2 1 0 . On change de base par la matrice de
4 2 0
3 0 0
passage : P= 2 1 0 . Calculer A’, matrice de u dans cette nouvelle base, puis toutes
4 2 1
les matrices B’ telles que (B’)2=A’. En déduire alors toutes les matrices B, dans la base
initiale, telles que : B2=A.
Exercice 16 : Soit u, une application linéaire de RI 3dans RI 3, dont la matrice par rapport à la
15 11 5
base canonique (e1,e2,e3) est : 20 15 8 .
8 7 6
Montrer que les vecteurs e1’=2.e1+3.e2+e3, e2’=3.e1+4.e2+e3, e3’=e1+2.e2+2.e3 forment une
base de E. Calculer la matrice de u par rapport à cette nouvelle base.
42
Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie B : Des espaces vectoriels à la diagonalisation d'une matrice
Exercice 17 : Soit g une application linéaire de R I 3dans RI 3, qui à tout vecteur de coordonnées
x xz
y associe le vecteur de coordonnées 2 x y dans la base canonique.
z zx
1) Ecrire la matrice de g par rapport à la base canonique, puis celle de g g
2) Soit V1=(0,1,0), V2=(1,-2,1), V3=(-1,-2,1). Montrer que (V1,V2,V3) forme une base de 3 .
Ecrire alors la matrice de g dans cette base puis celle de g g .
Exercice 18 :
2 3
I 2 la matrice M
1) Soit dans R . Diagonaliser M.
2 1
1 i 0
2) Soit Z I 2 rapporté à sa base
, matrice d’une application linéaire f dans C
i i
canonique. Diagonaliser Z.
43
Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie C : Application à la résolution de systèmes différentiels linéaires
1) Méthode
dx 1
dt a 11 x 1 a 12 x 2 ... a 1n x n
dx 2 a x a x ... a x
S n dt 21 1 22 2 2n n
,
...
dx n a x a x ... a x
dt n1 1 n2 2 nn n
dans lequel x1, x2,…,xn sont des fonctions de la variable t. On peut résoudre un tel système par
le calcul matriciel. On travaille pour cela dans la base canonique de RI n.
x1 x '1
x2 x' 2 dx 1 dx 2 dx n
Soit : VC et WC , en posant x'1 , x' 2 , ..., x' n .
... ... dt dt dt
xn x' n
a 11 a 12 ... a 1n
a 21 a 22 ... a 2 n
Soit la matrice : A .
... ... ... ...
a n1 a n2 ... a nn
44
Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie C : Application à la résolution de systèmes différentiels linéaires
dy 1
dt 1 y 1
dy 2 y
2 2
(1) équivaut au système différentiel à variables séparables suivant : S n dt .
...
dy n y
dt n n
Après l’avoir résolu, on obtient donc VB’, puis VC par changement de base : VC=P.VB’ où P
est la matrice de passage de B’ vers C.
dx
dt 3x 6 y
avec x(0)=1 et y(0)=0.
dy
8x 5 y
dt
dx
dt x ( t ) y( t ) 3z( t )
dy
2x ( t ) 2 y( t ) 3z( t ) vérifiant les conditions (initiales) : x(0)=y(0)=0 et
dt
dz
dt 4x ( t ) 2 y( t ) 9z( t )
dz
(0) 27.
dt
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie C : Application à la résolution de systèmes différentiels linéaires
dy1
dt y1 4 y 2 2 y 3
dy
Exercice 1 : Résoudre le système différentiel 2 3y 2 y 3 où y1, y2 et y3 sont des
dt
dy 3
dt 4 y 2 3y 3
fonctions de la variable réelle t, telles que y1(0)=1, y2(0)=-1 et y3(0)=0.
Exercice 2 On peut utiliser le calcul matriciel pour étudier les suites récurrentes (un)n et (vn)n
définies par :
u n 1 2u n 3v n u 0 0
et
v n 1 2u n v n v 0 1
2 3 u
pour cela on pose A et X n n .
2 1 vn
1) Exprimer Xn+1 à l’aide de Xn et A, en déduire l’expression de Xn à l’aide de Xn-1 et A, puis
Xn à l’aide de Xn-2 et A…en déduire que Xn=An.X0.
2) Diagonaliser la matrice A, en déduire An, puis en déterminer les expressions des suites un
et vn en fonction de n.
3) Etudier alors la nature de ces suites.
Exercice 3 :
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie C : Application à la résolution de systèmes différentiels linéaires
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Chapitre 1 : Algèbre Linéaire - Partie C : Application à la résolution de systèmes différentiels linéaires
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