Resume15 Espaces Prehilbertiens
Resume15 Espaces Prehilbertiens
Resume15 Espaces Prehilbertiens
com
Résumé 15 : Espaces préhilbertiens Si E est un espace euclidien, pour toute forme linéaire ϕ : E → R, il existe un
unique vecteur x0 ∈ E tel que pour tout x ∈ E, ϕ(x) =< x0 , x > .
Dans tout ce cours E sera un R− espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ . E XEMPLES :
......................................................................................................................................................................................................................... B Le produit scalaire usuel sur Rn .
I E SPACES P RÉHILBERTIENS n
X
ϕ : (X, Y ) ∈ (Rn )2 7→ xi yi ∈ R.
Soit E un espace vectoriel réel. On appelle produit scalaire sur E toute
i=1
forme bilinéaire symétrique définie positive sur E, que l’on note généralement
B Le produit scalaire usuel sur Mn,p (R) :
< ., . >.
Ici, “positive” signifie que pour tout x ∈ E, < x, x >> 0 et “définie” signifie que
ϕ : (M, N ) ∈ Mn,p (R) × Mn,p (R) 7→ Trace t
MN .
pour tout x ∈ E, si < x,x >= 0, alors x = 0E .
On remarque que ce produit scalaire est le p.s. défini ci-dessus lorsque l’on iden-
On dit que E, < ., . > est un espace préhilbertien. S’il est de plus de dimen- tifie l’espace des matrices à l’espace des vecteurs de Rnp , i.e
sion finie, il est dit euclidien. n p
Puisque la forme bilinéaire est positive, on peut poser X X
t
Trace MN = mi,j ni,j .
√ i=1 j=1
∀x ∈ E, kxk = < x, x >,
En utilisant les propriétés de la trace, on peut prouver que toute matrice symé-
trique est orthogonale aux matrices antisymétriques.
que l’on appelle norme euclidienne (ou hilbertienne) de x, associée au produit I Soit E = L 2 (I, R) l’espace des fonctions intégrables sur l’intervalle I à valeurs
scalaire < ., . >. Elle vérifie pour tous x, y ∈ E : réelles. L’application
Z
1
ϕ : (f, g) ∈ E × E 7→ f (t)g(t)dt.
< x, y >= kx + yk2 − kx − yk2 Identité de polarisation I
4
kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2 < x, y > Identité d’ Al-Kachi. est un produit scalaire sur E. X
I L’espace `2 (N) des suites réelles telles que u2n est convergente est muni d’un
La première de ces deux égalités prouve qu’il y a une bijection entre les normes n>0
+∞
euclidiennes et les produits scalaires.
X
produit scalaire : u, v = un vn .
n=0
Inégalité de Cauchy-Schwarz-Bunyakowski
.........................................................................................................................................................................................................................
Soient x et y deux vecteurs de E. Alors, < x, y > 6 kxk × kyk . De plus, on
II O RTHOGONALITÉ
Ici, E est un espace préhilbertien sur K = R ou C.
a l’équivalence entre l’egalité < x, y > = kxk × kyk la colinéarité entre x et y.
Le signe de < x, y > est alors égal au signe du coefficient de colinéarité.
§ 1. Entre vecteurs.— Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux lorsque
Inégalité de Minkowski < x, y >= 0, et x est dit unitaire ou normé lorsque kxk = 1, ce qui est le cas de
y/kyk pour tout y ∈ E non nul.
Soient x et y deux vecteurs de E. On a l’égalité : Une famille de vecteurs est orthogonale lorsque ses vecteurs sont deux
à deux orthogonaux, et elle est orthonormale lorsqu’elle est orthogonale et
kx + yk 6 kxk + kyk, que tous ses vecteurs sont unitaires.
avec égalité si et seulement si x et y sont positivement colinéaires.
Théorème IV.3
Dans le cas où F est de dimension finie, pour toute base orthonormale R EMARQUES :
(e1 , . . . , ep ) de F , on a alors : ⊥
La réflexion par rapport à H = Vect (x0 ) , si x0 est unitaire, admet pour expression
p
X
∀x ∈ E, p(x) = < ek , x > ek . s E −→ E .
k=1 x 7−→ x − 2 < x, x0 > x0
R EMARQUES :
On a de jolies caractérisations des projecteurs orthogonaux parmi les projecteurs. Par
exemple, si p est un projecteur de E (qu’on supposera de dimension finie), alors on a
équivalence entre § 4. Suites totales.— On définit ici la notion de base hilbertienne, étendant la
1. ker ⊂ (Im p)⊥ . notion de BON.
2. p est 1−Lipschitzien. Définition IV.6
3. p est auto-adjoint.
Soit (en )n∈N une famille de vecteurs de E. On dit que cette famille est une suite
totale lorsque l’espace vectoriel engendré par cette famille est dense dans E,
i.e lorsque pour tout x ∈ E et tout ε > 0, il existe p ∈ N∗ , a1 , . . . ap ∈ R tels
Théorème IV.4 (Inégalité de Bessel) que
p
Pour toute famille orthonormée (ei )06i6n , et ∀x ∈ E,
X
x − ak ek
6 ε.
k=0
n
X
2 2
< x, ei > 6 kxk .
i=0 E XEMPLES :
(i) La famille des polynomes orthogonaux lorsque l’intervalle d’intégration est un com-
pact.
Théorème IV.5 (de la projection orthogonale) (ii) La base canonique de `2 .
f ∈ O(E) ⇐⇒ ∀x ∈ E, kf (x)k = kxk. (v) Les lignes de M forment une base orthonormée de Rn .
R EMARQUES :
E XEMPLES :
I En particulier, inverser une matrice orthogonale est très simple : il suffit de la
I Toute isométrie de E est ainsi injective (car kf (x)k = 0 ⇔ kxk = 0) et par
transposer.
conséquent bijective car E est de dimension finie.
cos x − sin x
I Les symétries orthogonales sont des isométries. I Toute matrice de rotation est orthogonale.
sin x cos x
I IdE est le seul projecteur orthogonal qui soit une isométrie. Attention au fait
qu’un projecteur orthogonal non trivial n’est PAS un endomorphisme orthogonal.
En particulier, la matrice de passage entre deux BON de E est une matrice I ∀x, y ∈ R, Rx × Ry = Rx+y et Rx−1 × Ry × Rx = Ry .
orthogonale.
......................................................................................................................................................................................................................... De ces trois résultats, on déduit le théorème suivant :
VII G ÉOMÉTRIE V ECTORIELLE EUCLIDIENNE Théorème VII.5 (Réduction de O2 (E))
Rappelons qu’un espace euclidien orienté de dimension n est un espace eu- Soit E un plan euclidien orienté et f ∈ O(E).
clidien dont on a fixé une base de référence B0 . Toute base B de E est ainsi I Si det f = 1, alors
B B
orientée ; elle est dite directe si det PB > 0, et indirecte si det PB < 0.
n
0
En particulier, R est orienté par sa base canonique.
0
1. ∃θ ∈ R tel que pour toute BOND B de E, Mat B (f ) = Rθ .
(
Proposition VII.1 (Conservation de l’aire) cos θ =< u, f (u) >
2. Pour tout vecteur unitaire u ∈ E,
Pour tout Ω ∈ On (R), det Ω = 1 ou −1. sin θ = det(u, f (u))
On note SOn (R) = {M ∈ On (R)/ det Ω = 1}. I Si det f = −1, alors
C’est un sous-groupe de On (R), ◦ appelé groupe spécial orthogonal. Ses élé-
ments sont parfois appelés rotations de Rn . existeune BON directe B de E dans laquelle Mat B (f ) =
1. Il
1 0
.
La version fonctionnelle de cette proposition est : 0 −1
2. Pour tout BON directe B de E, il existe θ ∈ R tel que Mat B (f ) = Sθ .
si f ∈ O(E), alors det f = ±1.
Enfin, le produit de deux réflexions est une rotation, et la réciproque est vraie.
§ 1. Dans le plan orienté.— Nous noterons pour tout réel x :
cos x − sin x cos x sin x
Rx = et Sx = . § 2. Dans l’espace orienté.— Le cas de la dimension 3 est légèrement plus dé-
sin x cos x sin x − cos x
licat à étudier que celui de la dimension 2 car les éléments caractéristiques d’une
Ces deux types de matrices appartiennent à O2 , et le décrivent entièrement : rotation par exemple n’apparaissent pas du premier coup d’oeil. Conformément
au programme, nous ne nous intéresserons qu’aux rotations, i.e aux isométries
Théorème VII.2 (Description de O2 (R))
vectorielles qui conservent l’orientation.
Soit Ω ∈ O2 (R) On rappelle que E est un espace euclidien orienté de dimension 3, et que
I Si det Ω = 1, alors ∃θ ∈ R tel que Ω = Rθ . SO3 (E) est l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E de déterminant
I Si det Ω = −1, alors ∃θ ∈ R tel que Ω = Sθ . 1.
Proposition VII.6 (Réduction de O3 (R))
Propriétés VII.3 (des réflexions)
Soit f ∈ SO3 (E). Alors il existe une base orthonormée directe B = (→
−
e1 , →
−
e2 , →
−
e3 )
Soit x ∈ R. Alors
cos x2 et un réel θ tels que
I Sx est la réflexion par rapport à Vect .
sin x2
1 0 0
I Sx est orthogonalement semblable à la matrice Diag(1, −1).
Mat B (f ) = 0 cos θ − sin θ
Le cas des rotations est plus connu : 0 sin θ cos θ
Propriétés VII.4 (des rotations) Une telle isométrie est appelée rotation de demi-axe R+ → −
e1 et d’angle θ, et
Soit x ∈ R. Alors notée Rot→e1 ,θ .
−
I Rx est la rotation vectorielle de centre 0 et d’angle x. Si θ = π, on dit de f que c’est un retournement, ou un demi-tour.
Proposition VIII.3 n
X Pn
(i) Soit X = xi ei ∈ Rn . Alors, < SX, X >= k=1 λi x2i .
Soit f un projecteur de l’espace euclidien E. On a équivalence entre :
i=1
(i) f est un projecteur orthogonal. (ii) Pour tout X ∈ Rn , λ1 kXk2 6< SX, X >6 λn kXk2 .
(ii) f est un endomorphisme symétrique.
(iii) ker f ⊥ Im f .
(iv) Pour tout x ∈ E, kf (x)k 6 kxk.
(v) La matrice de f dans toute BON est symétrique. Définition VIII.7
Soit M ∈ Sn une matrice symétrique. M est dite :
(i) positive lorsque pour tout X ∈ Rn , < SX, X >∈ R+ .
§ 3. Réduction de S (E).— Ils partagent avec les endomorphismes orthogo-
(ii) définie positive lorsque pour tout X ∈ Rn non nul, < SX, X >∈
naux une propriété de stabilité :
]0, +∞[.
Lemme 1 (Stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable)
Si f est un endomorphisme symétrique de E et si F est un sous-espace vecto-
riel de E stable par f , alors F ⊥ est aussi stable par f .
Géométriquement, cela signifie que l’angle entre un vecteur et son image est
toujours aigu.
Théorème VIII.4 (Spectral)
Soit f un endomorphisme symétrique de E. Alors il existe une BON de E
formée de vecteurs propres de E. Proposition VIII.8 (Caractérisation spectrale de la positivité)
De manière équivalente, f diagonalise en base orthonormale. Ou encore, E est Soit M ∈ Sn une matrice symétrique.
somme directe orthogonale des sous-espaces propres de f . Géométriquement, les (i) M est positive ⇐⇒ toutes ses valeurs propres sont positives.
endomorphismes symétriques sont les affinités orthogonales. (ii) M est définie positive ⇐⇒ toutes ses valeurs propres sont strictement
Théorème VIII.5 positives.
Si S ∈ Sn , il existe D diagonale et Ω ∈ On telles que S = t ΩDΩ.
.........................................................................................................................................................................................................................
R EMARQUES :
IX F IGURES IMPOSÉES
A toute matrice M ∈ Mn , on peut associer des matrices symétriques dont les éléments
propres contiennent des informations utiles sur M , par exemple S1 = t M M, S2 =
M t M, S3 = M +t M . On peut entre autres prouver que pour tout M ∈ GLn , il existe
une BON dont l’image par M est orthogonale. E XERCICES :
E XERCICES :
E XERCICES :
E XERCICES :
CCP 93
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, orienté par la base orthonormée
(i, j, k).
Soit f l’endomorphisme
√ ! de E dont la matrice dans la base (i, j, k) est A =
3 1 √6
1
1
√ √3 − 6 .
4
− 6 6 2
1. (a) Prouver que f est un endomorphisme orthogonal.
(b) Déterminer l’ensemble des vecteurs invariants par f .
2. En déduire la nature de f ainsi que ses éléments caractéristiques.