Cours Matrices
Cours Matrices
Cours Matrices
Premire partie
Cours dalgbre linaire Prsent par
Dr B. Chaouchi
email : chaouchicukm@gmail.com
LUniversit dAlger 1
Facult des sciences
L1 MATHS INFORMATIQUE
Section D
Avril 2016
Chapitre 1
Les Matrices
1.1
Dntions et notations
Dnition 1.1 Une matrice de type (n m) coe cients dans | est un tableau de
n lignes et m colonnes. Les nombres qui composent la matrice sont appels les lments
de la matrice (ou aussi les coe cients). Une matrice n lignes et m colonnes est dite
matrice dordre (n; m) ou de dimension n m .
1. Lensemble des matrices n lignes et m colonnes coe cients dans | se note Mn;m (|) :
2. Les coe cients scrivent sans sparation verticale ou horizontale contrairement aux
tableaux que vous connaissez. La matrice est "encadre" par des parenthses (ou des
crochets)
3. Si A est une matrice de dimension n m, on note gnralement
aij ;
le coe cient qui se trouve la i-me ligne et dans j-me colonne o 1
1 i m:
4. Une matrice A de type (n m) peut scrire sous la forme condense
A = (aij )1
i n;1 i m
Exemple 1.1
2
1
4
A= 4
8
0
3
7
3
3 4
4 5 5
7 3
1
A =4 6
8
3
9
3 5
0
n et
Exemple 1.3
2
3
1
6 5
A =4
1+i
A= 1 0 1
i 4
1.1.1
Cas particuliers :
Matrice nulle : Une matrice A dont tous les lments sont nuls est appele matrice
nulle :
Exemple 1.5
0
6 0
A =6
4 :
0
0
:
:
0
:
:
:
:
0
:
:
:
3
0
0 7
7
: 5
0
1
4
A= 4
8
3
3
4 5
7
0
3
7
Matrice diagonale : cest une matrice carre dont les coe cients en dehors de la
diagonale principale sont nuls.
Exemple 1.7
6
6
A =6
4
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
3
7
7
7
5
Matrice identit dordre n : cest une matrice carre dordre n, dont les lments de
la diagonale sont gaux 1 et tous les autres sont gaux 0. On la note In .
CHAPITRE 1.
4
Exemple 1.8
1
6 0
I4 = 6
4 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
LES MATRICES
3
0
0 7
7
0 5
1
6
6
A =6
4
1
0
0
0
2
-5
0
0
4
9
7
0
4
7
2
4
3
7
7
7
5
Matrice triangulaire infrieure : une matrice triangulaire infrieure coe cients dans |
est une matrice carre coe cients dans | dont les valeurs au-dessus de la diagonale
principale sont nulles, autrement dit A est triangulaire infrieure si et seulement si :
8 ihj : aij = 0:
Exemple 1.10
6
6
A =6
4
1.1.2
1
20
6
2
0
-5
4
7
0
0
7
9
0
0
0
4
3
7
7
7
5
Soit A et B deux matrices ayant le mme nombre de lignes et de colonnes, cest dire
la mme dimension, on dit que
A = B;
si tous les lments de A sont gaux aux lments correspondants de B.
1.2
1.2.1
Oprations lmentaires
Transpose dune matrice
Exemple 1.11
3
9
3 5 ;t A =
0
1
4
6
A=
8
1.2.2
1
9
6 8
3 0
Addition de matrices
3 2
3 2
9
3 7
1+3
5
4
5
4
3 + 4 1 =
6+4
0
5 1
8+5
1
4 6
8
1.2.3
3 2
3
9+7
4 16
3+1 5=4 2
2 5
0+1
13 1
Soit A = (aij ) 2 Mn;m (|) une matrice quelconque et un scalaire. Le produit de A par
est la matrice de mme dimension que A et dont chaque lment est le produit de par
llment correspondant de A, autrement dit, pour A = (aij ) 2 Mn;m (|) : Alors, le produit
A est une matrice de Mn;m (|) avec
A = ( aij ) :
Exemple 1.13
p
En prenant
1
4
6
5
8
3 2 p
1 p5
9
5
4
3 =
6p 5
0
8 5
p 3
9 p5
3 5 5:
0
A:
B = A + ( 1)
B:
Proprits
Soit A; B et C, trois matrices ayant la mme dimension,
admettra les proprits suivantes :
et
deux scalaires. On
CHAPITRE 1.
LES MATRICES
(A + B) =
A+ B
4. ( + ) A =
A+ A
5. ( : ) :A =
1.2.4
: ( :A)
Produit de matrices
n
X
a1k bk1
k=1
Exemple 1.14
A=
2 3 4 5
0 p
p2
B 3
p
B =B
@ 4
p
5
C
p
p
p
p
C=C = 2 2+3 3+4 4+5 5
A
Produit matriciel
A = (aij ) 2 Mn;p (|) et B = (bij ) 2 Mp;m (|) On peut eectuer le produit dune matrice
n lignes et p colonnes par une matrice p lignes et m colonnes. On appelle la matrice
produit, la matrice
C=A B
de dimension n m obtenue en multipliant chaque ligne de A par chaque colonne
de B. Plus prcisment,
C = (cij )
avec
cij =
n
X
aik bkj :
k=1
On remarque la condition de compatibilit sur les tailles des matrices, cest--dire lgalit
entre le nombre de colonnes de la premire matrice A avec le nombre de lignes
de la deuxime matrice B.
Exemple 1.15
Soit la matrice
2 4
1 8
A=
et la matrice
6
4
2 M2;3 (R)
2 p 3
p3
4
B = p5 5 2 M3;1 (R)
7
C = A B 2 M2;1 (R)
et on a
2 p 3
p3
2 4 6
4 5 5
p
1 8 4
7
p
p
p
2 p3 +4 p5 +6 p7
1 3 +8 5 +4 7
C =
=
Exemple 1.16
Soit la matrice
3 2
1 4
A=
et la matrice
4
7
2 M2;3 (R)
3
2
B = 4 3 5 2 M3;1 (R)
9
C = AB 2 M2;1 (R)
et on a
C=
3 2
1 4
4
7
3
2
4 3 5=
9
24
73
Exemple 1.17
Soit la matrice
et la matrice
3
1 2 3
A = 4 4 5 6 5 2 M3;3 (R)
7 8 9
2
3
12 11 10 9
B = 4 8 7 6 5 5 2 M3;4 (R)
4 3 2 1
CHAPITRE 1.
LES MATRICES
3
1 2 3
C= 4 4 5 6 5
7 8 9
3 2
3
12 11 10 9
40 34 28 22
4 8 7 6 5 5 = 4 112 97 82 67 5
4 3 2 1
184 160 136 112
La matrice identit joue pour le produit matriciel une rle similaire au nombre 1 pour
le produit des nombres rels, en supposant que les dimensions permettent le produit,
on a
A In = In A = A:
Le produit matriciel nest pas commutatif
Proprits
On admettra les proprits suivantes :
Soit A; B et C, trois matrices relles ; si les oprations indiques existent, alors on admettra
1. A (B + C) = (A
B) + (A
2. (A + B)
C+B
3. A (B
C=A
C) = (A
B)
C)
C
Dnition1.2
Soit A une matrice carre dordre n. Soit p un entier naturel non nul. On note Ap , la
matrice dnie par
Ap = |A A {zA
p fois
::::A}
B = In
Chapitre 2
Dtereminant dune matrice
A toute matrice carre A dordre n correspond une valeur appele le dterminant de A
que lon dnote det(A) ou encore jAj. Nous viterons la dnition formelle du dterminant
(qui implique des notions de permutations) mais allons plutt nous concentrer sur le calcul
celui-ci.
2.1
a11 a12
a21 a22
a11 a12
a21 a22
:= a11 a22
a21 a12 :
Exemple 2.1
Soit la matrice
A=
2 3
5 4
2 3
5 4
:= 2
5=
7:
Avant de ne pouvoir valuer le dterminant dune matrice 3 3 (ou toute autre matrice de
dimension suprieure), il nous faut dabord voir quelques concepts qui sy rattachent
2.2
10
2.2.1
Le cofacteur,
Cij
dune matrice A est dni par la relation
Cij = ( 1)i+j
ij :
Exemple 2.2
Considrons la matrice
ainsi
3
2 1 4
A =4 5 2 3 5
8 7 3
C12 = ( 1)1+2
12
avec
12
5 3
8 3
C22 = ( 1)2+2
9
22
avec
22
2.2.2
2 4
8 3
26
Soit A = (aij ) 2 Mn;n (|) une matrice carre. Le dterminant de A est donn par la
mthode des cofacteurs
det (A) : =
: =
n
X
j=1
n
X
j=1
aij Cij
aij ( 1)i+j
ij :
11
Exemple 2.3
2
3
2 1 4
A =4 5 2 3 5
8 7 3
alors
jAj = 2 ( 1)1+1
= 2 ( 1)1+1
11 +1
( 1)1+2
12 +4
( 1)1+3
13
5 3
5 2
2 3
+1 ( 1)1+2
+4 ( 1)1+3
7 3
8 3
8 7
= 55
Exemple 2.4
2
3
1 2 3 4
6 8 7 6 5 7
7
B =6
4 9 10 11 12 5
16 15 14 13
jBj
= 1 ( 1)1+1
= 1 ( 1)1+1
1+3
+3 ( 1)
11 +2
( 1)1+2
12 +3
( 1)1+3
13
+ 4 ( 1)1+4
14
7 6 5
8 6 5
10 11 12 +2 ( 1)1+2 9 11 12
15 14 13
16 14 13
8 7 5
8 7 6
1+4
9 10 11
9 10 12 +4 ( 1)
16 15 14
16 15 13
= 0
Donnons maintenant quelques proprits importantes du dterminant : comment se comporte le dterminant face aux oprations lmentaires sur les colonnes et lignes ?
Soit A = (aij ) 2 Mn;n (|)une matrice carre.
1. Les dterminants de A et de t Asont gaux :
12
det(A):
Chapitre 3
Applications
3.1
On appelle inverse de la matrice carre A 2 Mn (|) toute matrice B 2 Mn (|) telle que
AB = BA = In
La matrice B est alors note A 1 :
Proprits :
1. Il su t quune matrice B vrie lune des relations AB = In et BA = In pour quelle
vrie lautre.
2. Si deux matrices A et B sont inversibles, leur produit est inversible et on a
1
(AB)
= B 1A 1:
1
jAj
Dntion 3.1
Soit A 2 Mn (|) une matrice carre n lignes et n colonnes. On appelle la comatrice de
A; la matrice des cofacteurs de la matrice A (dans laquelle on remplace chaque lment
de A par son cofacteur). On la note com (A) :
Dnition 3.2
La matrice adjointe est la matrice transpose de com (A) . Elle a aussi n lignes et n
e
colonnes. On la note A:
Exemple 3.1
3
1 3 7
A =4 2 4 8 5
5 0 6
13
CHAPITRE 3. APPLICATIONS
14
ainsi
1+1
6 ( 1)
6
6
2+1
com (A) = 6
6 ( 1)
6
4
( 1)3+1
4
0
3
0
3
4
8
6
7
6
7
8
1+2
( 1)
( 1)2+2
( 1)3+2
2
24
4
com (A) = 18
4
28
29
6
2
5
1
5
1
2
8
6
7
6
7
8
1+3
( 1)
( 1)2+3
( 1)3+3
3
20
15 5
2
2
5
1
5
1
2
4
0
3
0
3
4
3
7
7
7
7
7
7
5
3.2
1 t
com (A)
jAj
1 e
=
A:
jAj
=
Le problme est de trouver les valeurs des inconnues x; 2y et z qui satisfassent les trois
quations simultanment.
En gnral, un systme de n quations linaires p inconnues peut tre crit sous la
forme suivante
8
a11 x1 + a12 x2 +a13 x3 :::::::::::: + a1p xp = b1
>
>
>
>
< a21 x1 + a22 x2 +a23 x3 :::::::::::: + a2p xp = b2
a31 x1 + a32 x2 +a33 x3 :::::::::::: + a3p xp = b3
(S) :
>
>
>
>
:
an1 x1 + an2 x2 +an3 x3 :::::::::::: + anp xp = bn ;
o x1 , ..., xp sont les inconnues et les nombres aij sont les coe cients du systme.
Le systme dquations linaires (S) peut aussi scrire sous la forme matricielle :
A
X=B
avec :
6
6
A =6
6
4
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13 ::::::::::::a1p
a23 ::::::::::::a2p
a33 ::::::::::::a3p
15
x1
7
x2
7
7 ; X = x3 et B =
7
5
xp
b1
b2
b3
bn
3.2.1
X=B
an dobtenir la solution :
A
X=A
Exemple 3.2
Rsolution du systme :
Calculons A
par la formule
8
< x + 3y + 4z = 50
3x + 5y 4z = 2
(S) :
:
4x + 7y 2z = 31
2
1 3
4
A= 3 5
4 7
A
Sachant que
3
4
4 5:
2
1 t
com (A) :
=
jAj
jAj =
8;
CHAPITRE 3. APPLICATIONS
16
et
18
com (A) = 4 34
32
Donc
3
x
X = 4 y 5= A
z
2
18
1 4
10
=
8
1
2 3
3
= 4 5 5
8
3.2.2
3
1
5 5:
4
18
1 4
1
10
com (A) =
=
jAj
8
1
t
10
18
16
34
18
5
3
32
16 5 :
4
B
34
18
5
3
32
16 5
4
3
50
4 2 5
31
.
Le thorme a rme alors que le systme admet une unique solution si et seulement si sa
matrice A est inversible (dterminant non nul), et cette solution est alors donne par :
xk =
det (Ak )
;
det (A)
Posons :
8
< a1 x + b1 y + c1 z = d1
a2 x + b2 y + c2 z = d2
(S) :
:
a3 x + b3 y + c3 z = d3
2
3
a1 b1 c1
x
d1
A = 4 a2 b2 c2 5 ; X = y et B = d2
a3 b3 c3
z
d3
17
et on a
x=
y=
x=
det (A1 )
=
det (A)
d1
d2
d3
a1
a2
a3
b1
b2
b3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
c1
c2
c3
det (A2 )
=
det (A)
a1
a2
a3
a1
a2
a3
d1
d2
d3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
c1
c2
c3
det (A1 )
=
det (A)
a1
a2
a3
a1
a2
a3
b1
b2
b3
b1
b2
b3
d1
d2
d3
c1
c2
c3