Exam An1 Ratt1 2015
Exam An1 Ratt1 2015
Exam An1 Ratt1 2015
Exercice 1. Soit A = (aij )1≤i,j≤n une matrice carrée de taille n et b un vecteur de IRn . On se
propose de résoudre le système (S): Ax = b.
1. On suppose que la matrice A est telle que:
n
X
|ajj | > |aij |, ∀ j = 1...n
i=1
i6=j
(On dit que à diagonale strictement dominante par colonnes. AT est dans ce cas à
diagonale strictement dominante).
1
2
Exercice 2. Soit la matrice colonne C = 0
1
2
et soit la matrice B = CC T et A la matrice donnée par A = I3 + B, où C T désigne la matrice
ligne transposée de C et I3 est la matrice unité de taille 3.
1. Montrer que kBk2 ≤ kCk22 < 1, avec k.k2 désigne la norme matricielle subordonnée associée
à la norme vectorielle euclidienne.
(d) Montrer que si la suite (x(k) ) est convergente, sa limite est solution de système Ax = b.
(e) Montrer que la méthode (1) est convergente pour calculer x̄.