Chapitre 1 Matrices et déterminants

I. Matrices
1) Définition
On appelle matrice réelle un tableau rectangulaire de nombres réels.

Exemple

 1 0 1 
A = 
 2 2 3 
A est une matrice à deux lignes et trois colonnes.
On note M n, p ( IR) l’ensemble des matrices réelles à np réels rangés en n lignes et p colonnes.
En général, un élément A de M n, p ( IR) s’écrit :

 a11 a12 ... a1 p 

 
 a21 a22 ... a2 p 
A = 
 
 a 
 n1 an 2 ... anp 
En abrégé, on le note : A  (aij )1i n
1 j  p

L’indice i indique le numéro de la ligne, i 1,.., n

L’indice j indique le numéro de la colonne, j  1,.., p
Dans l’exemple précédent, a11  1 ; a12  0 et a21  2 .

2) Quelques matrices particulières :

- Si n  1 , la matrice A n’a qu’une seule ligne. On l’appelle matrice ligne.

- Si p  1 , la matrice A n’a qu’une seule colonne. On l’appelle matrice colonne.
- Si tous les aij sont nuls, la matrice est dite matrice nulle. On la note 0.
- Si n  p , dans la matrice A , le nombre de lignes est égal à celui de colonnes. Dans ce cas, on
dit que A est une matrice carrée d’ordre n . On note M n ( IR) l’ensemble des matrices carrées
d’ordre n .

Exemple

 0 5 1 
 
A =  1 6 2 
 1 3 0 


1
A est une matrice carrée d’ordre 3.
- Matrice diagonale
Une matrice carrée est dite diagonale si pour tout i, j tel que i  j on a : aij  0 . Autrement
dit, tous les éléments qui sont en dehors de la diagonale principale sont nuls.

Exemple

0 0 0 
 
A = 0 3 0 
 0 0 2 
 
A est une matrice diagonale.
- Matrice unité
Une matrice diagonale telle que pour tout i 1,..n on a : aii  1 est appelée matrice unité
d’ordre n . On la note I n .

Exemple

1 0
I2 =   . I 2 est la matrice unité d’ordre 2.
0 1
- Matrice triangulaire supérieure
Une matrice carrée de M n ( IR) est dite triangulaire supérieure si pour tout i, j 1,..n tels
que i > j on a : aij  0 .

Exemple

 2 1 5 
 
A   0 4 1 
0 0 7
 
A est une matrice triangulaire supérieure.
- Matrice triangulaire inférieure
Une matrice carrée de M n ( IR) est dite triangulaire inférieure si pour tout i, j 1,..n tels
que i < j on a aij  0 .
Exemple

 1 0 0 
 
A   4 2 0 
 6 2 0 
 

2
A est une matrice triangulaire inférieure

3) Transposée d’une matrice

La transposée d’une matrice A appartenant à M n, p ( IR) est la matrice notée t A et

appartenant à M p,n ( IR) . On définit t A de la manière suivante : si A  (aij )1in alors
1 j  p
t A  (a 'ij )1i p avec a 'ij  a ji
1 j  n
t A est obtenu à partir de A en échangeant les lignes et les colonnes de A

Exemples

Soient les matrices

 2
 
1 4 1 
A  3 0 1 ; B    ; C    ;
0  1 2 
 
 3 
On a :
 3
  4 1 
t A   0  ; tB   2 1 0 3 ; tC    C .
 1  1  2 
 

Remarques :
- La transposée d’une matrice ligne est une matrice colonne
- La transposée d’une matrice colonne est une matrice ligne
- Pour toute matrice A on a t t  A
 A
- Une matrice carrée A de M n ( IR) est dite symétrique si pour tout i, j 1,..n avec
i  j on a aij  a ji . On a donc A est symétrique si et seulement si t A  A .
- Si A est une matrice symétrique alors t A est une matrice symétrique.

Exercice
Dans chacun des cas suivants, écrire la matrice transposée de A et indiquer les cas où la
matrice A est symétrique.

 0 5 1 
 
a) A   5 2 2 
 3 2 1


 1 0 
b) A   
 0 2

3
  2 2 4 
c) A   
 0 1 0 

 4 2
d) A   
 2 1
Réponse :
 0 5 3 
 
a) t A   5 2 2 
 1 2 1

 1 0 
b) t A  A   
 0 2
 2 0
 
c) A   2 1
 4 0 
 
 4 2 
d) t A  A   
 2 1
Seul dans les cas b) et d) nous avons des matrices symétriques.

4) Opérations sur les matrices

a) Addition des matrices

Définition

L’addition de deux matrices n’est possible que si ces deux matrices sont de mêmes
dimensions (Ces deux matrices ont le même nombre de lignes et le même nombre de
colonnes).
On définit l’addition de deux matrices A et B de M n, p ( IR) comme suit :
Si A  (aij )1i n et B  (bij )1i  n alors A  B  (cij )1i  n avec cij  aij  bij pour tout
1 j  p 1 j  p 1 j  p

i 1,..n et pour tout j 1,.. p

Exemple

 2 2   4 1  2 1
     
A   0 1 ; B   3 2  donc A  B   3 1 
 0 5   1 5   1 0 
    

4
Propriétés

- L’addition des matrices est commutative : pour toutes matrices A et B de mêmes dimensions
on a : A  B  B  A
- L’addition des matrices est associative : pour toutes matrices A, B et C de mêmes
dimensions on a : ( A  B)  C  A  ( B  C )  A  B  C
- La matrice 0 (matrice nulle de M n, p ( IR) ) est l’élément neutre pour l’addition des
matrices :
Pour tout A  M n, p ( IR) , A  0  0  A  A
- Toute matrice A  M n, p ( IR) admet une matrice opposée notée (- A)
Si A  (aij )1i n alors ( A)  (aij )1i  n
1 j  p 1 j  p
A  (- A)  ( A)  A  0
Remarque : soustraction des matrices

Si A et B sont deux matrices de mêmes dimensions, on définit la différence A  B par :

A  B  A  ( B )

b) Multiplication d’une matrice par un réel

La multiplication d’une matrice A de M n, p ( IR) par un réel  est définie comme suit :
Si A  (aij )1i n alors  A  ( aij )1i n
1 j  p 1 j  p

Exemple
 7 2 3 
 21 6 9  1  
Si A    alors A   1
 0 1 12  3 0 4 
 3 

c) Produit de deux matrices

- Condition d’existence et dimension de la matrice produit

Le produit AB d’une matrice A par une matrice B n’est possible que si le nombre de colonnes
de A est égal au nombre de lignes de B . Dans ce cas, la matrice produit contient un nombre de
lignes égal à celui de A et un nombre de colonne égal à celui de B .
Autrement dit, si A  M n, p ( IR) et B  M p, q ( IR) alors la multiplication de A par B est
possible, et AB  M n, q ( IR) .

- Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne

Soient les matrices A  M 1,n ( IR) et B  M n,1 ( IR) où n  2

La condition citée ci-dessus est vérifiée pour le produit AB , et on a : AB  M1 ( IR)
Nous admettons le résultat suivant :

5
  b1 
 
b 
Si A  a1 a2... an et B   2  alors AB  a1b1  a2b2  ...  anbn
   
 
b 
 n
- Formule du produit de deux matrices dans le cas général

Soientdeux matrices A et B telles que A  M n, p ( IR) et B  M p, q ( IR) . Le produit AB est

défini et AB  (cij )1i  n . Pour tout i 1,..n et pour tout j 1,.. p , l’élément cij est
1 j q
obtenu en faisant le produit de la ligne i dans A par la colonne j dans B selon la règle
appliquée dans le cas du produit d’une matrice ligne par une matrice colonne.
Nous avons ainsi pour tout i 1,..n et pour tout j 1,.. p ,
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  aipb pj
Exemple

Soient les matrices

1 0 
 2 1 0  
A  et B   2 2 
 0 1 3   1 1 
 
A  M 2,3 ( IR) et B  M 3,2 ( IR) donc le produit de A par B est défini et AB  M 2 ( IR) .
c c 
On pose AB   11 12 
 c21 c22 
c11  2.1  1.2  0.1  4
c  2.0  1.(2)  0.(1)  2
On a : 12
c21  0.1  (1).2  3.1  1
c22  0.0  (1).(2)  3.(1)  1
 4 2 
Ainsi, AB   .
 1 1 
Remarque

Le produit des matrices n’est pas commutatif. En plus, le produit AB peut être défini sans que
le produit BA ne soit défini.

Exemple1
0 2 3 
A  1 3 ;  
 1 2 1
A  M1,2 ( IR) , B  M 2,3 ( IR) donc AB est défini.
B  M 2,3 ( IR) , A  M1,2 ( IR) donc le produit BA n’est pas défini.
Exemple 2

6
 1 2 0 1
A  ; B 
0 2 1 0

Les matrices AB et BA sont définies.

 2 1 0 2
AB    et BA    ; AB  BA
 2 0   1 2 

Propriétés du produit des matrices

Soient A1, A2 , B1, B2 et C des matrices telles que A1, A2  M n, p ( IR), B1, B2  M p,q ( IR) ,
C  M q,r ( IR) et  un réel.
Nous avons :
A1 ( B1  B2 )  A1B1  A1B2
( A1  A2 ) B1  A1B1  A2 B2
 ( A1.B1 )  ( A1) B1  A1 ( B1 ).
( A1B1 )C  A1( B1C )

Remarque
Soit A  M n ( IR) , on définit la puissance de A comme suit :
A1  A et pour n  2, A p  A.A...A (p facteurs) .
Par convention, A0  I n

II. Déterminant d’une matrice carrée

Remarque : Nous pouvons définir le déterminant de toute matrice carrée. Dans ce cours,
nous nous intéressons surtout au calcul du déterminant d’une matrice carrée d’ordre 2 ou
d’ordre 3
1) Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 2
a b 
Soit la matrice A    où a, b, c et d sont des réels.
 c d 
On appelle déterminant de A et on note det A, le réel ad - bc.
a b
det A est aussi noté de la façon suivante: .
c d

7
Exemple

 1 -4   2 -1 
A  , B  
 2 3  1 -6 
det A  1.3- 2.(-4)  5
det B  2.(6) 1.(1)  11

2) Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 3 :

Règle de Sarrus
 1 2 -1
 
Soit la matrice A   0 -3 2 
 -5 -2 0 
 

Le calcul du déterminant de A se fait en suivant les étapes suivantes :

- On réécrit à droite de la matrice A la première colonne puis la deuxième colonne
- On ajoute à chacune des diagonales lues à partir de 1, de 2 et de (-1) un signe (+)
- On ajoute à chacune des diagonales lues à partir de (-5), (-2) et 0 un signe (-).
- Le déterminant de A est alors la somme des six termes suivant :

1 2 -1 1 2
0 -3 2 0 3
-5 -2 0 5 2
det A  1.(3).0  2.2.(5)  (1).0.(2)  (5)(3)(1)  (2).2.1  0.0.2
 0  20  0  15  4  0
 1
Exercice

Calculer le déterminant de chacune des matrices suivantes

 0 1 1  3 1 1
   
A   3 2 3  ; B   0 2 0 
 0 1 5   1 1 1
   

3) Propriétés des déterminants

Soient A et B deux matrices de M n ( IR) et  un réel. Nous avons les propriétés suivantes :
det A  det(t A )
det( A)   n det A
det( AB)  det A.det B

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III. Inverse d’une matrice carrée

1) Définition
Une matrice carrée A de M n ( IR) est inversible s’il existe une matrice carrée B de M n ( IR)
telle que AB  BA  I n .

Notation :
Lorsque la matrice A est inversible, sa matrice inverse est notée A-1

Exemple
1 2
Soit la matrice A   
0 3
 2
1  
Vérifier que A est inversible et que son inverse est A-1  
3
 1 
0
 3 

Réponse

 2
1  
On pose B  
3
 1 
0
 3 

A, B  M 2 ( IR) donc les produits AB et BA sont définis.

 2 1
 1.1  2.0 1.( )  2.   1 0 
AB   3 3
 I
 2 1  0 1 2
 0.1  3.0 0.(  )  3. 
 3 3
On vérifie de même que B. A  I 2

2) Propriétés

- La matrice unité d’ordre n est inversible, et son inverse est elle-même.

- Si A est une matrice inversible alors son inverse A-1 est inversible et l’inverse de A-1 est A .
- Soient A et B deux matrices de M n ( IR) , si A et B sont inversibles alors la
matrice AB est inversible et on a : ( AB )-1  B -1 A-1

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Exercice
Démontrer le résultat précédent.

Proposition
Soit A une matrice carrée. On a :
A est inversible  det A  0
Exercice
d 0 0 
 
Soit la matrice A   0 d ' 0 
 0 0 d '' 
 
Montrer que A est inversible si et seulement si d  0, d '  0 et d ''  0

3) Calcul des matrices inverses

a) Cofacteurs

Soit la matrice A  (aij )1i  n . A  M n, p ( IR)

1 j  p

Pour tout i 1,..n et pour tout j 1,.. p , on appelle cofacteur de aij le réel cij défini par :
cij  cof (aij )  (1)i j det A(i, j ) où A(i, j )  M n-1, p-1 ( IR) . La matrice A(i, j ) est
obtenue à partir de la matrice A en éliminant de cette dernière la i ème ligne et
la j ème colonne.
La matrice C  (cij )1i  n est appelée la matrice des cofacteurs de A .
1 j  p
Les matrices A et C ont les mêmes dimensions.
Exemple
 3 4 5 
 
Soit la matrice A   0 1 1 
 3 1 2 
 
1 1
c11  (1)2 1
1 2
0 1
c12  (1)3 3
3 2
0 1
c13  (1)4  3
3 1

b) Proposition

Si A est une matrice inversible et C la matrice des cofacteurs de A alors on a :

10
 1
A-1  t
det A C
Exercice 1
2 3 
Soit la matrice A   
 8 1
Montrer que A est inversible et calculer A-1

Réponse

det A  2.(1)  8.3  26  0 donc A est inversible.

Soit C la matrice des cofacteurs de A
Dans le cas d’une matrice carrée d’ordre 2, les cofacteurs se calculent de la manière suivante :
c11  (1)2 .(1)  1
c12  (1)3.8  8
c21  (1)3.3  3
c22  (1)4 .2  2

 1 8   1 3 
C   donc tC   
 3 2   8 2 
 1 3

Ainsi, A-1  
26 26 
 4 1 
 
 13 13 

Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, montrer que la matrice A est inversible et calculer son inverse
 1 3 1 
 4 5   
A  ; B   0 1 2 
1 3  0 0 1 


11