TD1 Interpolation
TD1 Interpolation
TD1 Interpolation
TD 1 : Interpolation polynomiale
Exercice 1 : polynômes de Lagrange
Soit la fonction f dénie sur l'intervalle [0, 2π] par f : x → cos(x). Détermi-
ner le polynôme de degré 3 qui approxime cette fonction selon la méthode de
Lagrange associés aux réels distincts : x0 = π2 , x1 = π , x2 = 3π
2 et x3 = 2π .
1 dn
(x2 − 1)n (1)
∀x ∈ [−1, 1], Pn (x) =
2n n! dxn
1. Calculez Pn (1) et Pn (−1) ;
2. Montrez que Pn (x) possède n racines simples dans ] − 1; 1[ ;
3. Les polynômes de Legendre sont solutions des équations de Legendre :
[(1 − x2 )u0n ]0 + n(n + 1)u = 0 avec n, le degré du polynôme un . Montrez
que Pn est orthogonal à tout polynôme Pm avec m 6= n ;
4. Quelle est la valeur de la fonction poids dans le cas des polynômes de
Legendre ?
5. Calculez la valeur de ||Pn (x)||2 .
Contexte :
En physique, nous pouvons être amené à résoudre un certain type d'équa-
tion : les équations de Laplace (2).
∇2 V = ∆V = 0 (2)
Nous les retrouvons dans de nombreux domaine d'application (dynamique
des uides, thermodynamique,...) mais un cas particulier va nous intéresser dans
cette partie : nous souhaitons calculer le potentiel à l'intérieur d'une sphère sa-
chant que l'on applique un potentiel de 100V au pôle "nord" de la sphère et un
potentiel de 0V au pôle "sud" [2,3].
1 δ 2 δV 1 δ δV 1 δ2 V
∆V = r + sin(θ) + (3)
r2 δr δr r2 sin(θ) δθ δθ r2 sin2 (θ) δψ 2
1 dn 1 dn
2 n
(x2 − 1)n (6)
Pn (x) = (cos −1) =
2 n! d cos
n n 2 n! dx
n n
Z 1 Z 1 ∞
X
CPn (x)dx = Am r Pm (x) Pn (x)dx Fubini (Pm (x)Pn (x) 6= 0, ∀x, n)
m
−1 −1 m=0
∞
X Z 1
= Am r m Pm (x)Pn (x)dx
m=0 −1
(9)
2. Ce qui peut s'appliquer dans la situation suggérée en début de cette partie, voir [2 p.4]
pour les détails.
Ainsi :
Z 1 Z 1
n
CPn (x)dx = An r Pn (x)Pn (x)dx
−1 −1 (10)
n 2
= An r ||Pn (x)||
Enn, nous obtenons une formule pour le calcul des coecients, ce qui nous
permettra d'obtenir une solution valide pour notre problème :
Z 1
1
An = n CPn (x)dx (11)
r ||Pn (x)||2 −1
Références