Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Ecole Supérieure des Sciences Appliquées d'Alger

Département de la Formation Préparatoire

Chapitre 4 : Ondes élastiques dans les solides

1. Propriétés élastiques des solides déformables

Soit un solide déformable (exemple barreau), rectiligne, de longueur initiale et de section

.

On définit la contrainte moyenne par :

 ( )
 ( )

On définit l’allongement relatif par :

 ( )
 ( )

Dr. MAYOUT Saliha Physique 4, 2ème année, 2021/2022 Page 1

 Loi de Hooke

La courbe ( ), montre trois phases :

( )

Dans la phase élastique, le phénomène est régi par la loi de Hooke :

Avec :
 est une constante propre au solide (matériau), s’appelle le module de Young.

2. Équation de propagation à une dimension

On étudie les ondes longitudinales se propageant dans un barreau. Pour trouver l’équation de
propagation, en appliquant la relation fondamentale de la dynamique sur un élément du
barreau (soumis à une force de traction), de masse volumique , de module de Young , de
masse et de longueur .

Dr. MAYOUT Saliha Physique 4, 2ème année, 2021/2022 Page 2

En appliquant la relation fondamentale de la dynamique sur l’élément :
∑⃗ ⃗ ⃗( ) ⃗( ) ⃗

La projection sur ( ) donne :

( )
( ) ( )
Pour une perturbation de faible amplitude :
( )
( ) ( )
Donc :
( ) ( )

D’où :
( ) ( )
( )
Et comme :
Avec :
[ ( ) ( ( ))] ( ) ( ) ( )

Donc :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
D’où :
( ) ( )
( )

Des équations ( ) et ( ), on obtient :

( ) ( )

Sous la forme :
( ) ( )

C’est une équation de d’Alembert avec :

 ( ) est le déplacement longitudinal de particules.
 √ est la célérité de l’onde.
3. Onde progressive sinusoïdale

a. Considérons la propagation d’une onde progressive sinusoïdale dans le sens des

croissants, soit le déplacement de particules :
( ) ( ( )) ( )
Où :
 est le module du vecteur d’onde.
 est la longueur d’onde.

Dr. MAYOUT Saliha Physique 4, 2ème année, 2021/2022 Page 3

b. Impédance

L’impédance ( ) en un point est définit comme :

( )
( )
̇( )
Pour une onde progressive sinusoïdale se propageant dans le sens des croissants :

( )
( )
̇( )
Donc :
( ) √ √

4. Réflexion et transmission entre deux barreaux semi-infinis

Expressions des déplacements et des forces

Barreau :
( ) ( ) ( )

( )
( )
Barreau :
( ) ( )

( )
( )

Calcul des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude

 Conditions de continuité à l’interface en ;

 Continuité de déplacement
( ) ( ) ( )
 Continuité de force
( ) ( ) ( )

Avec : √ √

Dr. MAYOUT Saliha Physique 4, 2ème année, 2021/2022 Page 4

 On définit les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude par :
( )

( )
| ( )
( )

( )
| ( )

En utilisant les équations ( ) ( ) ( ) ( ), on obtient :

5. Oscillations libres d’un barreau de longueur finie

Considérons un barreau de longueur dont l’une des extrémités, en , est libre et l’autre
extrémité, en , est fixée à un bâti fixe.

𝑈(𝑥 𝑡)

𝐿 𝑥

Les conditions aux limites sont :

( )
{
( )

Avec :
( ) ( ) ( )

( )
( )

Expression de déplacement de particules ( )

En utilisant la condition ( ) , on obtient :

D’où :
( )
( ) [ ] ( ) ( )

En notation réelle :
( ) ⏟ ( ) ( )
( )
C’est une onde stationnaire d’amplitude ( ) ( ).

Dr. MAYOUT Saliha Physique 4, 2ème année, 2021/2022 Page 5

 Positions particuliers

 Nœuds :
( ) ( )
 Ventres :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Pulsations propres

En utilisant la condition aux limites ( ) , on obtient :

( ) ( ) ( )
D’où :
( )
{
( )

6. Oscillations forcées d’un barreau de longueur finie

On considère un barreau dont l’extrémité est reliée un bâti fixe tandis que l’extrémité
est soumise à une force sinusoïdale ( ) .

𝑈(𝑥 𝑡) 𝐹(𝑡)

𝐿 𝑥

Les conditions aux limites sont :

( )
{
( ) ( )

Expression de déplacement de particules ( )

Sous forme matricielle :

( )( ) ( )

Dr. MAYOUT Saliha Physique 4, 2ème année, 2021/2022 Page 6

D’où :

( )

{ ( )
Finalement :
( ) ( )
( )
( )
C’est une onde stationnaire.

Phénomène de résonance
( ) ( ) ( )
D’où :
( )
On observe un phénomène de résonance pour

7. Propagation de l’énergie

a. Densité volumique d’énergie cinétique

̇ ( ) ( )
̇ ( ) ( )
b. Densité volumique d’énergie potentielle

∫ ∫

Nous avons trouvé dans la partie 2 (équation de propagation) que :

( )

D’où :
( )
( )

Finalement la densité volumique d’énergie mécanique :

( ) ( )
( ) ( )

c. Cas d’une onde progressive sinusoïdale

On a :
( ) ( )

En notation réelle :
( ) ( )
Avec :
( )
 ( )
( )
 ( )

Dr. MAYOUT Saliha Physique 4, 2ème année, 2021/2022 Page 7

D’où :
( ) ( )
Avec :
 √

Alors :
( ) ( ) ( )

Sa valeur moyenne :
〈 〉 ∫ ( )
⏟

Dr. MAYOUT Saliha Physique 4, 2ème année, 2021/2022 Page 8