10 exercices d’arithmétique avec correction

Salut à toi, danS le but d’améliorer ton niveau en arithmétique j’ai

conçu ce PdF de 10 exerciceS avec correction, j’aurai

juste une doléance, traite chaque exercice avant de regarder le
corrige pour tirer le max et a la prochaine. Dongmo Marie

Exercice 1:
1) Démontrer que si n est impair, alors est divisible par 8
2) Démontrer que pour tout entier naturel n, ( ) est divisible par 6
a) En utilisant les congruences
b) A l’aide d’un raisonnement par récurrence
3) Déterminer les entiers naturels n tels que soit multiple de 6
4) a) résoudre dans
c) En déduire les entiers naturels A inferieurs à 1000 tels que le reste de la division
euclidienne de A par 19 soit 4 et le reste de la division euclidienne de A par 13 soit 6.
5) Soit on pose a =2n+8 et b= 3n+15, on désigne par ( )
Démontrer que divise 6
6) Donner deux méthodes pour prouver que pour tout élément n de ,
A=
7) Soit n A= et B
a) Montrer que PGCD (A ; B)=PGCD (A ; 4)
b) Déterminer PGCD (A ; B) suivant les valeurs de A et B
c) Pour quelles valeurs de n le nombre F = est-il un entier relatif ?

SOLUTION 1 :

1) *méthode par contraposée ( )

Supposons par contraposée que et montrons

que ( ).

( )

( ) ( )
 ( )

( )

Conclusion :

2) a)* méthode de cas par cas

Quelle est le but ? Montrer que ( )

 {

( ) ( ) ( )
 ( )

{ ( ) ( ) ( )

 {
( ) ( ) ( )
 {
( ) ( ) ( ) ( )

{ ( ) ( ) ( )


{ ( ) ( ) ( )
b)* raisonnement par récurrence
( ) ( ) ( )

( ) ( )
 Supposons p(n) vraie et montrons que p (n+1) l’est aussi, c’est-à-dire
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
 Conclusion : ( ) ( )

3)* méthode cas par cas

 Pour répondre à cette question on va trouver les différents restes possibles de la division
de et nos entiers seront ceux qui ont 0 comme reste.

 ( )
 ( )
 ( )
 ( )
 ( )
 ( )

{ ( )}

4) a)
 PGCD (19 ;-13)=PGCD (19 ; 13)=1, 1|2 (1 divise 2) donc cette équation admet des
solutions dans
 Trouver une solution particulière (* méthode : la remonta da)

( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )

| ( ) ( ) |
( )

( ) ( ) ( )

{( ) }

b) la première chose ici, c’est de pouvoir interpréter ce qu’on te demande

( )

On a:

D’après la question 4.a on aura ( ) on a donc

( )
{ } Pour trouver les valeurs A, tu remplaces a dans
A=247a-72 on a : { }

5) Ici tu dois savoir que : | |

On a ( ) donc | | |( ) |( )
| donc divise 6
6) *première méthode : utilisation des congruences
 ( )

( ) ( )

{ ( )
( )
Donc A est divisible par 11

*Deuxième méthode : raisonnement par récurrence

( ) ( )

( ) ( )

( )
 Supposons p(n) vraie pour et montrons que p(n ) l’est aussi
c’est-a-dire
En effet,
Par hypothèse de récurrence,
( )
( )

( ) Posons k’ k-23 on a
( )
 Conclusion:
7) a) soit ( ) | | | ( ) |
|
| |( ) | ( ) | |
Donc PGCD (A ; B)=PCGD (A ; 4)
b) ( ) ( )
Les diviseurs positifs de 4 sont 1 ; 2 et 4.
 Si A et B sont de parité différente, PGCD (A ;B)=1
 Si A et B sont des multiples de 2 et non de 4 (A ou B), PGCD (A ; B)=2
 Si A et B sont des multiples de 4, PGCD (A ; B)=4
c)le nombre F sera un entier relatif ssi
( )( )

{ }

Exercice 2
Soit a une suite numérique définie par et pour tout entier
naturel,

1. Calculer le PGCD de
2. Calculer les termes de la suite a
3. a-montrer que a vérifie la relation , pour tout entier naturel n.
b-montrer que, pour tout entier naturel n, est un entier naturel.
c-En déduire pour tout entier naturel n, le PGCD de
 4. Soit b la suite définie par
a-montrer que ( ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier
terme
b- exprimer en fonction de n
5. Déterminer pour tout entier naturel n, le PGCD de

SOLUTION 2 :
1) Soit
( ) | |
| ( ) |
Les diviseurs positifs de 3 sont 1 et 3
 ( )
 ( )

Donc ( )

2)

 ( ) ( )
 ( ) ( )
3) a) Ici, tu peux constater que nous avons une expression de
donc on peut procéder par le raisonnement par récurrence.
( )

( )
 Supposons p(n) vraie pour et montrons que p (n+1) l’est aussi, c’est-à-dire

En effet,
( ) ( )
( ) donc p (n+1) est
vraie
 Conclusion :

b) nous allons également procéder par récurrence étant donné que tu as l’expression de

Soit ( )

 Au rang 0 :
( )
 Supposons q(n) vraie pour et montrons que q (n+1) l’est aussi, c’est-à-dire

On a : par hypothèse de récurrence

( )
 Conclusion :
 c) Lorsque tu vois le mot *En déduire *, souviens toi toujours que tu dois utiliser les
questions précédentes pour démontrer ce qu’on te demande
( ) ( )

| | | | ( )

4) a) la première chose ici est de connaitre la forme générale des suites géométriques
( ( ) avec q la raison) alors expliquons ca
( ) ( )

( ) est une suite geometrique de raison 4 et de premier terme

) ( )

Et ( )

5) soit
( ) | |
| ( ) |

De plus,

Exercice 3
1- Démontrer en utilisant les congruences que

2- Dans le plan muni d’un repère orthonormé( ⃗ ⃗), on donne le point A (12 ; 18). On
désigne par B un point de l’axe des abscisses et par C un point de l’axe des ordonnées
tels que (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) on pose
a) Montrer que le couple (x ; y) et solution de l’équation 2x+3y=78
b) trouver une solution particulière ( ) de cette équation.
c) Déterminer tous les couples (x ; y) d’entiers relatifs solution de cette équation

SOLUTION 3 :

1- Etant donné que tu dois utiliser les congruences, tu commences d’abord par interpréter avec
les congruences.

( ) ( )
 ( ) ( )
 ( ) ( ) [17]
( )
2- a ) On a (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , A(12;18)
( ) ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )

b) On a:
( ) ( ) ( )

c) on a :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )
| ( ) ( ) |( )

( )

( ) ( ) ( )

{( ) }

Exercice 4
Le but de cette exercice est de montrer qu’il existe un entier naturel n dont l’écriture décimal du
cube se termine par 2009, c’est-à-dire tel que

1-determiner le reste de la division euclidienne de par 16

2-En déduire que

3-On considère la suite ( ) definie sur par {

( )

a) Démontrer que est divisible par 5

b) Démontrer en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel n on
a: ( )
c) Démontrer par récurrence que pour tout entier n, est divisible par

4-On admet que

a) Déterminer le reste de la division de par 625. que peut-on déduire ?

b) Démontrer alors que

5- En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montré
que est divisible par 10000.

SOLUTION 4 :

1- 2009=

2- ( )
( )
( )
3-a)
( )

Donc

3-b) ( ) ∑ ∑
( )

3-c) soit ( ) ( )

 Au rang 0:
( )( ) ( )
 Supposons p(n) vraie pour et montrons que p (n+1) l’est aussi, c’est-à-dire
( )
( ) Par HR (hypothèse de récurrence)
( )
( )
( )
( )
 Conclusion : ( )

4-a) d’après la question 3-c,

On peut dire que :

4-b) ( ) ( )

( )

5-

( )

Donc est divisible par 10000.

Exercice 5
Une suite est définie pour tout n strictement positif par On se propose
dans ce problème de calculer, pour tout entier naturel non nul n, le plus grand commun diviseur de

( ( )
1- Montrer que pour tout entier naturel n non nul on a ( ) .
2- On suppose que n est pair. Soit q l’entier naturel non nul tel que n=2q
a-montrer que PGCD ( ) ( ) ( ( ) )
b-calculer PGCD (q ; q+1). Puis calculer PGCD ( )
 3- On suppose que n est impair. soit q l’entier naturel non nul tel que n=2q+1
a- Montrer que 2q+1 et 2q+3 sont premiers entre eux
b- Calculer PGCD ( )
4- Déduire qu’il existe une unique valeur de n, que l’on déterminera, pour laquelle
sont premier entre eux

SOLUTION 5 :

1. tu es d’accord avec moi que ∑ , procédons par la récurrence

( )
( ) ( )

 Au rang 1 :
( )
∑ ( ) ( )

 Supposons p(n) vraie pour et montrons que p (n+1) l’est aussi, c’est-à-dire
( )( )
( )

( )
∑ ∑ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

( )( )
( ) ( )

( )
 Conclusion : ( )

2-a) on a:

( ) ( )( )
( ) (( ) ( ) )

( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) )

2-b) * soit d=PGCD (q ; q+1), on a d|q et d|q+1 donc d|-q+q+1 donc d|1 alors d=1
d’où PGCD (q ; q+1)=1

* ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )
( ) ( )

3-a) soit ( ) | | | ( )

D’où 2q+1 et 2q+3 sont premiers entre eux

( )( )
3-b) on a ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) )
( ) ( ) ( ) ( )

Donc ( ) ( )

( )( ) ( )
4. On a: ( ) ( )

( )

 Pour n pair (n=2q) : ( ) ( ) ( )

 Pour n impair (n=2q+1) : ( ) ( ) ( )

Ainsi, ( ) ( )

 ( )
 ( )
Donc ( ) ( )
On travaille sur donc on a un unique n (n=1).
Exercice 6
On considère l’équation ( ) ou les inconnues x et y sont des entiers strictement
positifs

1-Dans cette question, on suppose que ( ) est une solution de (E)

a-Démontrer que sont premiers entre eux.

b-prouver que n’ont pas la meme parite

c-Démontrer qu’il existe un entier k tel que =5k+1 ou 5k-1

2-calculer 1+5 pour y inférieur ou égal à 4

En déduire un couple ( ) solution de (E)

3-Demontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, il existe deux entiers naturels
( √ ) √

4-Donner . Exprimer en fonction

5 A l’aide d’une récurrence sur n, montrer que les couples ( ) de (E)

6-En calculant , montrer que ( √ ) √

√

7- En déduire l’expression de en fonction de n

SOLUTION 6 :

1.a) soit d= ( ) | | | |
D’où sont premiers entre eux

1.b) ici on va utiliser la méthode de cas par cas


( )
( ) ( )

( )
( ) ( )
( )
est pair donc
Conclusion :

2) * { }

 ( ) ( )
 ( ) ( )
*de ce qui précède, pour

Donc (9 ; 4) est un couple solution de (E)

3) ( ) ( √ ) √

 Au rang 1 :
( √ ) √ √
( )
 Supposons p(n) vraie pour et montrons que p (n+1) l’est aussi, c’est-à-dire
( √ ) √
En effet, ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )( √ )
( √ ) √ √ ( ) ( )√
( ) ( )
( √ ) √
{ ( ) ( ) ( ) ( )

 Conclusion : ( √ ) √

4) lors de la démonstration par récurrence, on a pu établir que

( ) ( )

5) soit ( ) ( ) ( )

 Au rang 1 :
 ( )
( ) ( ) ( )
 Supposons p(n) vraie pour et montrons que p (n+ 1) l’est aussi, c’est-à-dire :
( ) ( )
( ) ( )
( )

( )

 Conclusion : ( ) ( )
6) * ( )
√ ( √ )

√ √
( ) [ ] [ ] ( √ )
√ √ ( √ )( √ ) ( √ )

( √ ) ( )
√
√ √ √
( √ ) √
( √ )( √ ) ( √ ) ( )
Car ( ) ( )
√ ( √ ) ( )
7) {
√ ( √ ) ( )

( √ ) ( √ ) [( √ ) ( √ ) ]

√ ( √ ) √ ( √ )

√ ( √ ) [( √ ) ( √ ) ] [( √ ) ( √ ) ]

[( √ ) ( √ ) ]
√

Exercice7

Dans cet exercice, on se propose de déterminer les couples (n ; m) d’entiers naturels non nuls
vérifiant la relation ( )

1-on suppose Montrer qu’il y’a exactement deux couples de solutions

2-on suppose maintenant que

a-montrer que si le couple (n ; m) vérifie la relation (F) alors

b-En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple
(n ; m) vérifie la relation (F) alors n est divisible par 4
 c-En déduire que si le couple (n ; m) vérifie la relation (F) alors

d-pour existe-t-il des couples (n ; m) d’entiers naturels vérifiant la relation (F) ?

3- Conclure, c’est-à-dire déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels non nuls
vérifiant la relation (F)

SOLUTION 7 :

1) { }






Donc pour ( ) ( )

2-a) pour

( )

2-b)

 ( )
 ( )
 ( )
 ( )
( ) ( ) ( )

2-c) de ce qui précède, si (n ; m) vérifie (F) alors n=4k

( )

2-d) pour ( )

Donc il n’existe pas de couple (n ; m) vérifiant (F) pour

3-) en conclusion, ( ) {( )( )}

Exercice 8

On considère la droite (D) d’équation dans un repere orthonorme du

plan
1. Démontré que (D) passe par au moins un point M dont les coordonnées sont des
nombres entiers relatifs
2. Déterminer l’ensemble des points de (D) a coordonnées entières
 3. Déterminer l’ensemble des points de (D) dont les ordonnées entières y vérifient :

SOLUTION 8 :
1) Pour ( ) ( ) ( )

) ( ) ( )
|

( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) | ( ) ( )
| ( )
( ) ( )) (
{ ( ) }
Donc l’ensemble des points de (D) a coordonnées entières sont
( ) {( ) }

{ }

 ( ) ( ) ( )
 ( ) ( ) ( )
 ( ) ( ) ( )
 ( ) ( ) ( )
 ( ) ( ) ( )

Exercice 9 : recherche du plus petit diviseur premier

d’un entier

1) Soit x un nombre réel. factoriser

Soit n un entier naturel supérieur ou égal a 2. On considère les entiers
( )
2) Montrer que n’est pas premier
3) Montrer que tout diviseur de A qui divise n, divise 2
4) Montrer que tout diviseur commun de A et B divise 4n
5) Dans cette question on suppose que n est impair
a) Montrer que A et B sont impairs
b) Montrer que d divise n
c) En déduire que d divise 2 et que A et B sont premiers entre eux
6) On suppose maintenant que n est pair
a) Montrer que 4 ne divise pas A
 b) Montrer que d est de la forme d=2p ou p est un entier impair
c) Montrer que p divise n. En déduire que d=2

SOLUTION 9 :

1) Ici voici la formule à connaitre ( √ )( √ )

On a : (√ ) [ (√ ) √ √ ][ (√ ) √ √ ]
( )( )
2) On a : ( )( ) donc |
|
3)
| | | ( ) | |
Donc un diviseur de A et de n divise 2.
4) Soit a un diviseur commun de A et de B
| | | | |
Donc tout diviseur commun de A et B divise 4n
5) a) on a : ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

B= ( ) ( )

5-b) D’après la question 4; d|4n ; A et B sont impairs (question 5.a) donc

( ) ( ) | ( )

5-c) ( ) | |
Ainsi de ce qu’on a établi à la question 3, d divise 2.

d|2 d=1 ou d=2, A et B étant impair, d=1 .conclusion : A et B sont premiers entre eux

6-a) on a: ( ) ( ) ( ) ( )

L’expression ( ) est impair donc 4 ne divise pas A.

6-b) en remplaçant n par un ( ) on a : A= ( ) et B= ( )

( ) ( )

6-c) d’après la question 4; d|4n 2p|4n p|2n ; p étant impair, pgcd (p ; 2)=1 ; d’après le
théorème de Gauss, p|n (p divise n)
On p|n et p|A (car d=2p) d’après la question 3 ; p|2 donc p=1 ou p=2 or p est impair donc p=1

Ainsi d=2(1)=2

Exercice 10 : le petit théorème de Fermat

1) soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2 et k un entier naturel tel que

a)Démontrer que

b) En déduire que si p est un nombre premier, alors p divise pour tout k vérifiant
c)vérifier ce résultat pour p=7. Que se passe-t-il pour p=8

2) on suppose que p est premier. Démontrer par récurrence (sur a) que pout tout entier naturel a,
on a : La propriete est-elle vraie pour un entier relatif a quelconque ?

3) on suppose toujours que p est premier, déduire de la question précédente que si a est un entier
relatif non multiple de p (et donc premier avec p) on a :

4) Donner alors les restes des divisions euclidiennes de par 11, par31, par 341

5) nous venons comme ça de démontrer ce qu’on appelle le petit théorème de Fermat, qui peut être
énoncé de deux façons différentes :

Première version : soit p un entier naturel premier ; alors pour tout entier relatif,

Deuxième version : soit p un entier naturel premier ; alors pour tout entier relatif a non multiple de
p,

SOLUTION 10 :

1-a) lorsque tu as une telle question, la première chose est de développer sur ton brouillon
enfin de voir comment tu peux procéder pour aboutir au résultat

( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1-b) si p est un nombre premier et ( )

De ce qui précède, | ( )

1-c) pour p=7, ( ) |

Pour p=8, 1 { } ( )

2) SOIT ( )
 Au rang 0 :
 ( )
Supposons p(a) vraie pour et montrons que p (a+1) l’est aussi ; c’est-a-dire,
( ) ( )

( ) ∑ ( ) ∑

( ) ∑ + ∑
|

∑ ∑

∑ ( ) ( ) ( )

 Conclusion :

Soit a=-2 et p=7 on a : ( ) ( ) ( )

Donc la propriété est vraie pour tout entier relatif quelconque.

3) de ce qui précède, pour tout entier relatif quelconque a, on a

( ) ( )

4)

 ( )
( )

 ( )

( )
( )
( )

 ( ) ( ) ( )
( )

j’eSPère que tu en aS tire le meilleur, et Si tu veux PluS

fais donc un tour sur ma chaine You tube (ton max). et S’il
y’a deS améliorations à faire ; des préoccupations, des
queStionS ; je Serai ravie d’en prendre connaissance
(+237654309154). merci d’avance Pour voS critiqueS.