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    Ptv-Roue À Gorge

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    sur 5

    TD n°2 de Dynamique des Solides

    Exercice n°4

    Une Roue à gorge de masse M, de moment d’inertie I par rapport à l’axe ( ⃗⃗⃗ et de rayon
    R, roule sans glisser sur un plan horizontal sous l’action d’une masse m qui se déplace
    verticalement par le biais d’un fil inextensible passant sur la gorge d’une poulie de masse
    négligeable et de rayon r.

    1. Ecrire les relations de liaison, traduisant les conditions géométriques et


    cinématiques, imposées aux paramètres du système et déduire son nombre de ddL.
    2. Par le principe des travaux virtuels, Trouver l’équation différentielle du mouvement
    du système
    𝑦

    𝑪 𝑨

    𝑮 𝑥

    Figure1

    Correction

    1. Ecrire les relations de liaison, traduisant les conditions géométriques et


    cinématiques, imposées aux paramètres du système et déduire son nombre de
    ddL.

    Paramétrage : 3 paramètres ( , , ϕ)

     Condition de roulement sans glissement (Condition cinématique) :

    ⃗( ⃗

    ⃗( ⃗( ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

     ⃗( ̇

     ⃗⃗ ̇

     ⃗⃗⃗⃗

    1
    D’où : ̇ ( ̇ ⃗

    ̇ ̇ ⃗

    ̇ ̇ Relation holonome (intégrable), on aura après intégration :

    (1)

     Principe de la poulie

    Le fil étant inextensible, sa longueur L est constante.

    On pose :

     à l’instant t=0 :

    - LR0 : le brin du fil maintenu à la roue,


    - Lm0 : le brin du fil maintenu à la masse m.

     à un instant t quelconque :

    - Lr(t) : le brin du fil maintenu à la roue,


    - Lm(t) : le brin du fil maintenu à la masse m.

    Or, on a à tout instant : L = Lr (t) + Lm(t) = Lr0+ Lm0 (a)

    𝝋
    𝑦 𝑳𝑹𝟎

    𝑳𝑹 (𝒕
    𝑪 𝑪 𝑨

    𝑮 𝒙 𝑥

    𝑳𝒎𝟎
    𝑳𝒎 (𝒕
    𝑰

    Figure 1

    2
    ( (

    D’après la relation (1) : donc,

    ( ( (b)

    ( (c)

    Insérons (b) et (c) dans (a), on obtient :

    D’où,

    ( (2)

    Finalement, on a installé 3 paramètres (m=3), et trouvé deux relations de contraintes


    holonômes (c=2), Le système est donc à 1 ddL (n=3-2).

    2. Par le principe des travaux virtuels, Trouver l’équation différentielle du mouvement


    du système

    Le PTV s’énonce comme suit :

     W   Aa   OM , M  S
    Le travail virtuel de la quantité d’accélération  Aa s’écrit,

    { ( } { ( }

    Le travail virtuel associé aux forces extérieures s’écrit :

    { ( ̅ } { ( }

    Le système (S) est formé par la roue (R) et la masse (m).

     On commence par appliquer le PTV sur la masse m (masse ponctuelle):

    La masse m est soumise en B:


    - à l’action de pesanteur,
    - à la tension du fil T.

    ⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

    ⃗( ̇ ⃗⃗⃗⃗ d’où, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

    ⃗( ̈ ⃗⃗⃗⃗

    3
    Donc ̈

    Et ⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

    Or ( ⃗

    ⃗( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

    Donc

    ̈ (

    D’où :

    ̈ ( ̈

     Appliquons le PTV à la roue R (Tous les torseurs sont exprimés dans la base
    (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ :

    La roue est soumise :

    - à l’action de pesanteur,
    - à la tension du fil T.

    Le travail virtuel des quantités d’accélération s’écrit :


    { ( } { ( }

    ̈
    { ( } { | }
    ̈

    ̈
    Or ̈ ̈ { ( } { | }
    ̈

    { ( } { ⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }

    Or : ⃗ ( ̇ ⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗ d’où, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

    { ( } { | }

    4
    ̈
    Donc : { | } { | } ̈ ̈
    ̈

    Le travail virtuel des efforts extérieurs appliqués sur la roue s’écrit :

    { (̅ } { ( }

    { (̅ } { | } (⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗

    Donc { | } { | }

    ̈ ̈

    ( ̈ (

    ̈
    Remplaçons : T par son expression ( ̈ ) et ̈ par ̈ (
    (d’après la
    relation (2))
    On obtient :

    ̈
    ( ( ̈ (
    (

    ̈( ( (

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