REPUBLIQUE ISLAMIQUE DE MAURITANIE Ecole Supérieure polytechnique

MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR, Institut Supérieur des Métiers de la Mine de Zouerate (IS2M)

DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE ET DES TIC Licence Professionnelle en Maintenance Industrielle

Devoir 1– Correction ´ ( MMAT321)

Exercice 2. Soit la fonction périodique telle que, pour tout [ [ on ait

( )

i- Déterminer la série de Fourier de et donner sa somme

( )
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
( ) ( )

Solution

Puisque est paire, tous ses coefficients sont nuls.

∫ ( )

∫ ( )

[ ]

1
Pour on a

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

Deux intégrations par parties montrent que

( ) ( )
{[( ) ] ∫ ( ) }

∫ ( )

( ) ( )
{[( ) ] ∫ }

( ) ( )
{ [ ] }

( )

( ) ∑ ( ) ( )

( )
∑ ( )

Comme est continue et vérifie les conditions de Dirichlet alors

( ) ( )

Appliquant cette formule à

 il vient
( )
∑ ( )

2
 ∑ ∑ ∑
( ) ( )

∑ ( )∑
( )

 il vient

( )
∑ ( ) ( )

( )
∑

( )
∑

 il vient

( )
∑ ( ) ( )

( )
∑ ( )
( )

( )
∑

( )
∑

Le théorème de Parseval montre que

∑( ) ∫ | ( )|

∑ ∫ ( )

3
 ∑

∑ ∑ ∑
( ) ( )

∑ ( )∑
( )

Exercice 3. Soit la fonction périodique telle que, pour tout [ ] on ait

[ ]
( ) {
( ) [ ]

iii- Déterminer la série de Fourier de et donner sa somme sur [ ]

( )
∑
( )

On rappelle que

( )
∑

Solution

∫ ( )

∫ ( )

[ ]

4
Pour

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

Deux intégrations par parties montrent que

( ) ( )
[ ( ) ] ∫ ( )

∫ ( ) ( )

( ) ( )
[( ) ] ∫

( ( ) ) ∫ ( )

(( ) )

(( ) )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

Deux intégrations par parties montrent que

( ) ( )
[ ( ) ] ∫ ( )

5
 ∫ ( ) ( )

( ) ( )
[( ) ] ∫

∫ ( )

[ ( )]

(( ) )

( ( ) )

( )

( ) ∑ ( ) ( )

( ) (( ) )
∑ ∑
( )

Pour ( ) ( ),

( ) ( )
∑ ∑
( )

( )
∑
( )

( )
∑
( )

( )
∑
( )

( )
∑
( )

6
7