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La solution numérique d’équation de Blasius

Method · June 2016

DOI: 10.13140/RG.2.1.1144.7929

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La solution numérique d’équation de
Blasius

Mokhtar GHODBANE

Doctorant en énergie mécanique, université de Blida 1, Algérie

Option : systèmes énergétiques et thermique

Email : mokhtar.ghod@gmail.com

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Mokhtar GHODBANE
La solution numérique d’équation de Blasius

1. Les équations de la couche limites

A. Hypothèse de « Prandtl 1904 »

La faible valeur du terme de viscosité pour les fluides usuels et la bonne

concordance loin des obstacles, entre les solutions en fluide parfait et les écoulements réels,
ont conduit « Prandtl » à envisager l’hypothèse suivante : dans un écoulement suffisamment
rapide ou suffisamment étendu, les forces des viscosités ne jouent que dans un très petit
domaine au voisinage des surfaces qui limitent l’écoulement. Sur ces surfaces fixes, la vitesse
du fluide est nulle. A l’extérieur du domaine appelé couche limite, les vitesses du fluide sont
celles de l’écoulement en fluide parfait qui ne tient pas compte des forces de viscosité.

On suppose :

 L’écoulement permanant ;
 Le fluide iso volume ;
 L’écoulement bidimensionnel (x,y).

B. Les équations
 Equation de « NAVIER-STOKES)

( ) ( )

( ) ( )

 Equation de conservation de la masse

( )

C. Hypothèses de PRANDTL


( )

La couche limite a une épaisseur ( ) très faible le long de la paroi solide. Les différences
grandeurs physiques varient très rapidement de la paroi à l’écoulement extérieur (en y).
Donc :

( )

L’écoulement est à infiniment petit près un écoulement unidirectionnel :

2
Mokhtar GHODBANE
La solution numérique d’équation de Blasius

2éme hypothèse de PRANDTL ( )

Avec

Sont négligeables ( )

Donc les équations de la couche limite bidimensionnelle :

( )

( )

L’écoulement bidimensionnel, permanent d’un fluide incompressible, autour d’un obstacle

soit (L) une longueur caractéristique de l’obstacle dans la direction de l’écoulement, les
équations des mouvements sont écrites dans un système de coordonnées (x,y). On suppose
que la paroi à une très faible courbure. En faisant le changement de variables suivant :

Donc :

( )

( ) ( )

Avec
( )

2. La solution de Blasius
A. Méthode de Runge-Kutta
Prenons le cas d’une plaque plane mince dans un écoulement uniforme,
( ) à l’extérieur de la couche limite, et ( ) dans
la couche limite. Donc, les équations du mouvement se réduisent en :

( ) ( )

3
Mokhtar GHODBANE
La solution numérique d’équation de Blasius

Avec (P=cte). Posons ( ) ( ) , donc

( ) ( )

Blasius « 1908 », a proposé ( ) , √ ( ) et ( )

√ ( ) ( ), donc :

( ) ( )

( ) √ ( )

( ) ( )

Après les simplifications, l’équation (10) est équivalente :

( )
Les conditions limites de cette équation sont :
 Près de la paroi solide( ), donc

 {

Pour solution l’équation (11), on pose :

Appliquons les formules de « Runge-kutta » pour chacune des équations

précédentes, on obtient:

Avec (h) est un pas choisi sur l’axe( ).

( )
( )
( )( )
---------------------------------------------------------------------------------------
( )
( )
( )( )
---------------------------------------------------------------------------------------
( )

4
Mokhtar GHODBANE
La solution numérique d’équation de Blasius

( )
( )( )
---------------------------------------------------------------------------------------

( )

( )

( )

5
Mokhtar GHODBANE
La solution numérique d’équation de Blasius

B. L’organigramme

On utilise pour l’obtenir des résultats Fortran, l’organigramme à dessous est expliquer les
étapes de marche de programme.

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Mokhtar GHODBANE
La solution numérique d’équation de Blasius

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Mokhtar GHODBANE
La solution numérique d’équation de Blasius

3. Les résultats

x=0.1 number of iterations = 51

ETA F F' F"

---- --------- --------- ---------

.00 .0000000 .0000000 .3320574

.20 .0066411 .0664078 .3319840
.40 .0265602 .1327642 .3314700
.60 .0597351 .1989373 .3300793
.80 .1061088 .2647092 .3273894
1.00 .1655725 .3297801 .3230073
1.20 .2379496 .3937762 .3165893
1.40 .3229826 .4562618 .3078656
1.60 .4203219 .5167568 .2966636
1.80 .5295193 .5747581 .2829312
2.00 .6500257 .6297656 .2667518
2.20 .7811947 .6813102 .2483511
2.40 .9222916 .7289817 .2280920
2.60 1.0725074 .7724547 .2064549
2.80 1.2309788 .8115093 .1840069
3.00 1.3968098 .8460441 .1613606
3.20 1.5690965 .8760810 .1391284
3.40 1.7469517 .9017607 .1178767
3.60 1.9295269 .9233291 .0980869
3.80 2.1160316 .9411173 .0801267
4.00 2.3057483 .9555175 .0642350
4.20 2.4980417 .9669562 .0505209
4.40 2.6923630 .9758699 .0389739
4.60 2.8882502 .9826825 .0294853
4.80 3.0853229 .9877885 .0218729
5.00 3.2832759 .9915409 .0159086
5.20 3.4818699 .9942446 .0113436

8
Mokhtar GHODBANE
La solution numérique d’équation de Blasius

5.40 3.6809213 .9961544 .0079294

5.60 3.8802929 .9974769 .0054337
5.80 4.0798841 .9983748 .0036500
6.00 4.2796231 .9989723 .0024034
6.20 4.4794594 .9993620 .0015514
6.40 4.6793587 .9996113 .0009816
6.60 4.8792978 .9997675 .0006088
6.80 5.0792618 .9998636 .0003702
7.00 5.2792408 .9999214 .0002207
7.20 5.4792288 .9999556 .0001289
7.40 5.6792221 .9999754 .0000739
7.60 5.8792184 .9999866 .0000415
7.80 6.0792164 .9999928 .0000228
8.00 6.2792153 .9999962 .0000123
8.20 6.4792148 .9999981 .0000065
8.40 6.6792145 .9999990 .0000034
8.60 6.8792144 .9999995 .0000017
8.80 7.0792143 .9999997 .0000009
9.00 7.2792143 .9999999 .0000004
9.20 7.4792143 .9999999 .0000002
9.40 7.6792143 1.0000000 .0000001
9.60 7.8792142 1.0000000 .0000000
9.80 8.0792142 1.0000000 .0000000
10.00 8.2792143 1.0000000 .0000000
9
F
8 F'
Force de frottement ( F'')
7

0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figure (1) : Caractéristiques de la solution de la solution de BLASIUS

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Mokhtar GHODBANE
La solution numérique d’équation de Blasius

2 number of iterations = 52
u v
---------- ----------
.0000000 .0000000
1.9922344 .4651902
3.9829260 .9304638
5.9681192 1.3948946
7.9412760 1.8569491
9.8934028 2.3145139
11.8132845 2.7649483
13.6878535 3.2051691
15.5027029 3.6317696
17.2427423 4.0411726
18.8929685 4.4298115
20.4393061 4.7943281
21.8694511 5.1317732
23.1736420 5.4397895
24.3452785 5.7167606
25.3813215 5.9619085
26.2824301 6.1753288
27.0528211 6.3579611
27.6998722 6.5114979
28.2335197 6.6382442
28.6655241 6.7409455
29.0086869 6.8226026
29.2760974 6.8862936
29.4804759 6.9350174
29.6336558 6.9715694
29.7462271 6.9984565
29.8273371 7.0178472
29.8846320 7.0315573
29.9243084 7.0410602
29.9512431 7.0475174
29.9691676 7.0518185
29.9808608 7.0546270
29.9883385 7.0564246
29.9930262 7.0575526
29.9959069 7.0582464
29.9976423 7.0586648
29.9986672 7.0589120
29.9992605 7.0590553
29.9995973 7.0591368
29.9997846 7.0591821
29.9998869 7.0592068
29.9999415 7.0592201
29.9999702 7.0592270
29.9999849 7.0592306
29.9999924 7.0592324
29.9999960 7.0592333

10
Mokhtar GHODBANE
 La solution numérique d’équation de Blasius

29.9999978 7.0592338
29.9999987 7.0592340
29.9999990 7.0592341
29.9999992 7.0592341
29.9999993 7.0592341

30

25
U
V
20

15

10

0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figure(2):vitesses non dimensionnelles (u) et (v) en fonction de (eta)

4. Conclusion

Dans ce travail, nous avons résolu le problème de BLASIUS par une méthode numérique
très exacte qui est celle du prédicateur correcteur avec estimation de l’erreur. On a pu mettre
en valeur cette méthode dans le calcul des couches limites laminaires, cette laborieuse
méthode nous aide à résoudre les équations différentielles du n ordre, non linéaires et avec
des conditions aux limites qui est le cas de notre étude et de notre problème posé qui
consistait à résoudre une équation différentielle non linéaire et ennuyeuse de l’ordre 3 avec
des conditions aux limites, tout en élaborant par la suite un programme en langage fortran qui
nous aide à calculer les vitesse non dimensionnelles u et v.

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Mokhtar GHODBANE

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