Chapitre 10

Equation différentielles avec conditions aux limites

Le but de ce chapitre est de résoudre numériquement des équations différentielles avec des
conditions aux limites. Ces problèmes ont beaucoup d’application en ingénierie.

1- Equations différentielles étudiées

Les équations différentielles étudiées sont d’ordre 2 avec conditions aux limites dont la forme
générale est :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ ( ) ( )
( )

On suppose que les fonctions ( ), ( ) et ( ) sont suffisamment régulières pour

assurer l’existence et l’unicité de la solution.

Remarque

La différence entre les équations différentielles avec conditions initiales et celles avec
conditions aux limites est :

Dans le 1er cas à , la fonction ( ) ainsi que sa fonction dérivée ( ) sont connues.
Dans le cas des équations avec conditions aux limites, on ne connait que les valeurs de la
fonctions ( ) aux 2 extrémités de l’intervalle [ ], soit ( ) et ( ).

2- Méthode de Tir

La méthode de Tir consiste à résoudre l’équation ( ) ( avec conditions aux limites ) en

utilisant des méthodes déjà développées dans les chapitres précédents. Cette méthode est
basée sur le théorème suivant.

Théorème

La solution de l’équation différentielle avec conditions aux limites ( ) est donnée par :

( ) ( )
( ) ( ( ) ( )
) ( ) ( ( )
)
( )
( ) ( )
Où ( ) et ( ) sont les solutions des équations différentielles avec conditions initiales
suivantes :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ ( )
( )

Et

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ ( )
( )

Démonstration

Montrons que l’expression ( ) est bien solution de l’équation ( ).

Posons :
( ) ( )
( ) ( )
et ( ) ( )
; ( )

L’expression ( ) s’écrit alors ( ) ( ) ( )

⇒ ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )

alors

( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

Donc

( ) ( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )] ( )[ ]

⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( puisque )

Ce qui prouve que ( ) ( ) ( ) est bien solution de l’équation ( ).

Est-ce que ( ) ( ) ( ) vérifie les conditions aux limites ?

En :

( ) ( ) ( ) ( )

En

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
CQFD
On peut résoudre les équations avec conditions initiales :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ ( ) ( )
( )

Et

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ ( ) ( )
( )

En les transformant en 2 systèmes d’équations différentielles et en les résolvant à l’aide des

méthodes déjà vues au chapitre 9.

En posant :

( ) ( ) ( ) ( )
{ et {
( ) ( ) ( ) ( )

On obtient les 2 systèmes suivants :

( ) ( ) ( ) ( )
{ et {
( ) ( ) ( ) ( )

Soit,

( ) ( ) ( ) ( )
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

La solution finale peut alors s’écrire :

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )
⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

Exercice 1

Résoudre l’équation différentielle suivante :

( ) ( ) ( ) ; ( ) et ( )
3- Méthode des différences finies

Cette méthode s’applique facilement aux équations aux dérivées partielles, ce qui n’est pas le
cas de la méthode de Tir.

Considérons l’équation différentielle avec conditions aux limites :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ ( )
( ) ( )

Que l’on réécrit sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
( ) ( )

Le but est toujours de trouver la solution numérique en des points de l’intervalle [ ].

Le principe de la méthode est le suivant :

↳ On subdivise l’intervalle [ ] en intervalles [ ] de longueur , telle que

, ,…, , …. ,

↳ On impose les conditions aux limites : et

↳ On détermine les ( ) inconnues restantes : , , …, , …, en résolvant un

système de ( ) équations linéaires à ( ) inconnues obtenu de la façon suivante :

On écrit l’équation ( ) aux ( ) points ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

On remplace dans cette équation ( ) , ( ) et ( ) par :

● ( )

● ( )

● ( )

L’équation ( ) devient :

( ) ( )( ) ( ) ( ) pour

⇒ ( ) ( )( ) ( ) ( )

⇒ ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )
 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………..
( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )

Finalement, le système de ( ) équations linéaires à ( ) inconnues s’écrit :

( ( )) ( ( )) ( ) ( ( ))

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )
{ ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( ))

Ce système peut être résolu par les méthodes vues aux chapitres 2 et 3.

Exercice 2

Résoudre l’équation différentielle suivante :

( ) ( ) ( ) ; ( ) et ( )

On prendra