Exos-Cours Complexes-2 - 231128 - 103512 - 231129 - 133756
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NOMBRES COMPLEXES
Exercices d’application
1) Donner les parties réelles, imaginaires et le conjugué des 1) Calculer les modules des nombres complexes z1 = 3 + 4i,
√ 5 √
nombres complexes z1 = −2 + 3i, z2 = −i 3 + , z3 = 4, 1+i 3
2 z2 = 1 − i, z3 = −5 − 2i, z4 = −6, z5 = 9i, z6 = √
i √ 1−i 3
z4 = − , z5 = 0. − 2 (1 + 2i)
4
8 et z7 = 5 .
2) Soit z = (2a + 7) + i(b − 1). A quelle condition z est-il : 4i (2 − i)
a) réel ? b) imaginaire pur ? c) nul ? 2) Soit z ∈ C ∖ {−2}, exprimer les conjugués des complexes
3iz 2 + 5 − 2i z(1 − iz̄)
u= et v= en fonction de z et z̄.
2z + 4 2z − 4iz̄
Opérations dans C
3) Résoudre dans C
1) Soit z = 2 − 3i et z ′ = 5 + i. Mettre les nombres complexes
a) (7 − 3i)z − 2 + i = 0
z + z ′ , −z, z − z ′ , zz ′ , 2z − iz ′ et z z̄ sous forme algébrique.
1 1+i b) (3 + 2i)z + (1 − i)z = 1
2) Écrire sous forme algébrique : z1 = , z2 = et
2 + 3i 1−i
2+i c) |z|2 + 3(z − z) = 13 + 18i
z3 = .
i−3
1 4) Soit z un nombre complexe. Parmi les nombres suivants
3) Mettre sous forme algébrique : z4 = . En déduire l’écri-
i lesquels sont réels ? Imaginaires purs ?
3 + 2i
ture algébrique de z5 = . a = 1 − z z̄ ;
2
b = iz (iz̄) ; c = (z − iz̄) (z + iz̄) ;
i
4) Calculer : d = z − z̄.
a) i0 , i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 , i7 , i8 .
b) i4n , i4n+1 , i4n+2 , i4n+3 , avec n ∈ Z. Racines carrées d’un nombre complexe
81 102 −2023
c) i , i , i (faire la division euclidienne de l’expo-
Déterminer les racines carrées des nombres complexes 3 − 4i,
sant par 4).
i, 5 et −9.
Propriétés de calcul
√ !2 Équations du second degré
1 3
1) Calculer − + i , (5−i) et (4−i) −(1+2i)(1−i).
3 2
2 2 1) Résoudre dans C l’équation 2z 2 − (1 + 5i)z − 2(1 − i) = 0.
2) Pour tout z, z ′ ∈ C, démontrer l’identité remarquable
2) Résoudre dans C l’équation z 2 + z + 1 = 0.
(z + iz ′ )(z − iz ′ ) = z 2 + z ′2
3) Résoudre dans C 3) Trouver les couples de nombres complexes dont la somme
a) (3 + 5i)z = 2i − z vaut i et le produit 1.
Année 2022-2023
Lycée d’Excellence Birago Diop TS2
Année 2022-2023
Lycée d’Excellence Birago Diop TS2
√ !20
Ensembles de points et module 1+i 3 (1 + i)2000
6
z1 = (2 + 2i) , z2 = et z3 = √ .
1−i (i − 3)1000
1) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z telles que
|z − 2| = |z + i|.
Formule de Moivre
2) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z telles que
|z̄ + 3i| = 2. 1) Exprimer cos 3θ et sin 3θ en fonction de cos θ et sin θ.
3) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z telles que 2) a) En utilisant la formule de Moivre, donner la forme tri-
√ gonométrique de (1 + i)n pour tout n ∈ N.
|(1 + i)z − 2| = 3 2.
4) Soit les points A(2i), B(−1−i), G1 = bar {(A, 1); (B, −2)} b) En déduire une expression simple de (1 + i)n + (1 − i)n .
et G2 = bar {(A, 1); (B, 2)}. À tout point M (z) distinct de
z − 2i Formules d’Euler
B, on associe le point M ′ (z ′ ) tel que z ′ = .
z+1+i
1 3
a) Déterminer les affixes des points G1 et G2 . 1) Établir la formule cos3 (x) = cos(3x) + cos(x).
4 4
b) Exprimer OM ′ en fonction de M A et M B. 2) Linéariser sin3 x, sin2 x cos2 x, sin4 x cos x, sin(4x) cos4 x et
c) Déterminer et construire l’ensemble (E ) des points sin x cos2 x.
M (z) du plan tels que OM ′ = 2. 3) Linéariser cos4 x et en déduire une primitive de x 7→ cos4 x.
4) Somme de deux exponentielles complexes
Ensembles de points et argument
a+b
a) Soit a, b ∈ R. En factorisant par ei 2 , écrire avec une
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, ⃗u, ⃗v ).
seule exponentielle les nombres complexes u = eia + eib
Soit les points A(−5 + 3i) et B(1 − i). À tout point M d’affixe
z−1+i et v = eia − eib .
z ̸= 1 + i, on associe le nombre complexe z ′ = .
z + 5 − 3i b) Soit a ∈]0, π[. Écrire sous forme exponentielle les
1) Interpréter géométriquement le module et un argument nombres complexes z1 = 1 + eia , z2 = 1 − eia et
de z ′ 1 − eia
z3 = . On pourra utiliser 1 = ei0 .
1 + eia
2) Déterminer et représenter l’ensemble des points M d’affixe
c) Soit θ ∈ [0; 2π[. Déterminer suivant les valeurs de
z tels que z ′ est réel.
θ, le module et un argument du nombre complexe
3) Déterminer et représenter l’ensemble des points M d’affixe z = 1 + cos θ + i sin θ.
z tels que z ′ ∈ iR− .
Année 2022-2023