TD N°8 (Complexe) - 1-1
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S : 2020-2021
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Dans toute la suite , le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
Exercice : 1 :
Résoudre dans C ou C2 :
1) 4z − 3i = (1 + i)z − 3i ; 2) z 2 + 2z + 5 = 0 ;( 3) 2z − (2 − i)z̄ + 1 + i = 0
0
1 iz + (1 + i)z − 2i = 0
4) z 2 = i |z|2 ; 5) |z| = |z − 1| = ; 6) 0 .
|z| 2z + 5iz = 1 + i
Exercice : 2 : √
1 3
On pose j = − + i
2 2
1) Calculer j2 et 1 + j + j2 en déduire j3
2) Calculer 1 + j + j2 + · · · + j2019
3) Montrer que (∀n ∈ N) : j2n − jn ∈ iR
Exercice : 3 :
(1 + i) 5π 5π
Calculer le module et un argument de Z = √ . En déduire cos( ) et sin( )
3−i 12 12
Exercice : 4p: √ p √
On pose z = 2 − 3 − i 2 + 3
Calculer z 2 puis en déduire |z| et arg z
Exercice : 5 :
0 0 0 0
Soient z et z deux nombres complexes tels que z 6= z ; 1 + zz 6= 0 et |z| = z = 1 ;
0
z+z
1) Montrer que ∈R
1 + zz 0
0 0
u + zz ū − (z + z )
2) Montrer que (∀u ∈ C) : ∈ iR
z − z0
Exercice : 6 :
Soit θ ∈] − π; π] . Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :
1) z1 = − cos(θ) + i sin(θ) 2) z2 = sin(θ) + i cos(θ) 3) z3 = − cos(θ) − i sin(θ)
1
4) z4 = 1 + cos(θ) + i sin(θ) 5) z5 = i + cos(θ) + i sin(θ) 6) z6 = (avec
1 + i tan(θ)
π
|θ| =
6 )
2
Exercice : 7 :
Déterminez dans le plan complexe les ensembles
E = {M (z) ∈ P/ |z̄ − 3 + i| = |z − 1 − 2i|} F = {M (z) ∈ P/ |z̄ − 3i| = 4}
G = {M (z) ∈ P/z + z̄ = |z|} H = {M (z) ∈ P/ |z + 3i − 1| ≤ 3}
1
K = {M (z) ∈ P/ |z − 1| = 2 |z + 1|} L = {M (z) ∈n P/A(1); M (z)etN (iz) sont alignés}o
π
D1 = {M (z) ∈ P/ arg (z̄) ≡ arg (−2z)[2π]} D2 = M (z) ∈ P/ arg (z + 1 − 2i) ≡ [2π]
2
n π o z−i
D2 = M (z) ∈ P/ arg (z − i) ≡ [2π] D4 = M (z) ∈ P/ ∈ iR
4 z + 2 − 3i
Exercice : 8 : √ √
Soient les nombres complexes a = ( 3 + 2) + i et b = 1 + ( 3 − 2)i . On pose θ ≡ arg(a)[2π] et
on considère les points A(a) et B(b)
i πh
1) Montrer que θ ∈ 0;
2
2) Montrer que ab = 4 puis en déduire que arg(b) ≡ −θ[2π]
"√ #
a √ 3 i
3) Montrer que = 2 + 3 +
b 2 2
π
p √
2+ 3
4) En déduire que cos =
12 2
Exercice : 9 : √ √
Soient les nombres complexes a = 1 + i 3 , b = 3 + i 3 et les points A(a) , B(b)
1
1) Montrer que l’ensemble (E) = M (z) ∈ P/z = az̄ est une droite qui passe par B
2
0 1
2) Pour tout z ∈ C , on pose z = az̄ .
0 0
2
Soient les points M (z) et M (z )
0 1
a) Montrer que z − b = a(z̄ − b̄)
2
b2
b) Montrer que si z 6= b alors 0 ∈ R∗+
(z − b)(z − b)
\
En déduire que (OB) est une bissectrice de l’angle (M BM 0 )
Exercice : 10 :
√
1) Résoudre dans C l’équation z 2 + (1 + 2i 3)z − 3 = 0
2) a) Écrire Sous forme trigonométrique les solutions z1 et z2 telles que (|z1 | < |z2 |)
b) Déterminer l’ensemble des entiers n de Z tels que (z1 )n ∈ R
3) Soient A(z1 ) et B(z2 .Déterminer l’affixe du point C pour que la triangle ABC soit isocèle
−−→ −→ 2π
en A et que AB; AC ≡ [2π]
3
Exercice : 11 (Bac 1995)
z 2 + i 2α+1 sin(α) z − 22α = 0 avec α ∈ [0; 2π[
1) Résoudre dans C l’équation (E) :
2) Écrire les solutions de (E) sous forme trigonométrique
3) A et B sont les images respectives des solutions de E . Déterminer α pour que le triangle
OAB soit équilatéral
Exercice : 12 :
Soit P (z) = z 3 + (1 − i)z 2 + 2(1 + i)z − 8i
1) Montrer que l’équation P (z) = 0 admet une solution imaginaire z0 que l’on déterminera
2) Déterminer a ,b et c tels que P (z) = (z − z0 )(az 2 + bz + c) ; puis résoudre l’équation
P (z) = 0
2
a) Montrer que u4 v = 4w
b) Déterminer en fonction α un argument de u puis en fonction de β un argument de w
1 1 π
c) En déduire que 4 arctan − arctan =
5 239 4
3
1 π
c) En déduire que arg u ≡ arg a + [π]
2 4
3) Montrer que |u| + |v| ≥ 2
Exercice : 18 :
k=n
X
1) Soit α ∈ R . Calculer la somme Sn = cos(x + kα) , avec x ∈ R
k=0
k=n
X 1 kπ
2) Simplifier l’écriture de Tn = cos
2k 3
k=0
Exercice : 20 :
1) Déterminer la nature de l’application F dans les cas suivants , en déterminant ces éléments
caractéristiques
0
a) z = −3z + 2 + i
√ !
0 1+i 3
b) z = z + 1 + 2i
2
0
c) z = (2 + 2i)z + 1
π
2) Soient la translation T~u(1+3i) et la rotation R Ω(2i; et l’homothétie h (Ω1 (1 + i); 2)
2
Déterminer l’expression complexe des transformations T ◦ R ; T ◦ h ; R ◦ h et R ◦ T ◦ h
Exercice : 21 √:
Soit z = 1 + i 3
2
Montrer que les points :A(z) ; B(−z) ; C(z 2 ) et D sont cocycliques
z
4
a) Montrer que (OA) ⊥ (T1 T2 )
b) Soit K le milieu de [T1 T2 ] . Montrer que O , K et A sont alignés
c) En déduire que la droite (OA) est la médiatrice du segment [T1 T2 ]
π
3) Soit r la rotation de centre T1 et d’angle
2
a) Donner l’écriture complexe de la rotation r
√
b) Vérifier que l’affixe du point B , image du point I par la rotation r est b = 2eiθ + i
c) Montrer que (IJ) ⊥ (AB)
d) Déterminer l’affixe du point C image du point A par la translation de vecteur (−e~2 )
d) Montrer que A est milieu de [BC]