Exocplx
Exocplx
Exocplx
EXERCICE 1
1°) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes
1 3 6 2 z
z 0 = 1 + i ; z1 = − 1 + i 3 ; z 2 = − + i ; z3 = −i ; T = 2 ; P = z 2 × z3
2 2 2 2 z3
2°) Mettre sous algébrique chacun des nombres complexes suivants
1 − 3i
z1 = (2 + i) (–1+ i) + (1 + 2i) ; z2 = (1 + i 3 )3 ; z3 = .
3−i
3°) Mettre sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes
1 3i 13 ( 3 +i )9 ( 1−i )
z1 = ( − ) ; z2 = 1+ i 3 ; Z3 =
2
; z 4 = sin α + i (1 + cos α ) , αε[0 ; π[.
2 2 ( 1+i )
4°) soit α un nombre réel élément de ]0 ; π [ . Déterminer le module et un argument de
chacun des nombres complexes :
z 0 = 1 − e iα ; z 1 = 1 + e iα ; Z =
z0
; T = z 0 × z1 .
z1
EXERCICE 2
1°) Déterminer l’ensemble des images des nombres complexes z tels que
le nombre complexe A = (1– z) (1– iz) soit : a) un réel ; b) un imaginaire pur.
( )
2°) Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; i ; j on considère un point M
z+2
d’affixe z = x + iy , (z ≠– i) et on pose P = .
z+i
a) Écrire P sous la forme algébrique en fonction de x et y.
b) Déterminer l’ensemble (E) des points M du plan tels que :
P soit un réel ;
P soit imaginaire pur.
iz+3
3°) Pour tout nombre complexe z = x + iy ; on pose Z 0 = .
(1 + i ) z − 1
a) Déterminer l’ensemble (E) des points M tels que Z 0 soit un réel
b) Déterminer l’ensemble (F) des points M tels que Z 0 soit un imaginaire pur.
4°) Déterminer l’ensemble des images des complexes z tels que les images des
nombres complexes : i ; z ; iz soient alignées.
EXERCICE 3
Soit f l’application de ℂ dans ℂ définie par f (z) = z4 – 2 z3 – 4 2 z –16
1°) Trouver les réels a et b tels que f (z) = (z2 + 4) (z2 + az + b)
2°) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation f (z) = 0
→ →
3°) Placer dans le plan rapporté au repère orthonormé (o, u ; v ) les images A ; B ; C ;
D des solutions de f (z) = 0 ; puis préciser que ces points appartiennent à un même
cercle dont on précisera le centre et le rayon.
EXERCICE 5
6 −i 2
Soient les complexes z1 = 1– i et z2 =
2
z2
1°) Mettre sous forme trigonométrique z1 ; z2 ; ; z1 × z 2 .
z1
π 6+ 2 π 6− 2
2°) En déduire que cos = et que sin =
12 4 12 4
3°) On considère l’équation d’inconnue réelle x
( 6 + 2 ) cos x + ( 6 − 2 ) sin x = 2
Résolvez cette équation dans ℝ ; puis placez les points images des solutions sur le
cercle trigonométrique.
EXERCICE 6
4
1°)Soit z et Z les nombres complexes définis par : z = 1 + 2 + i 2 − 1 et Z = z
Déterminer les racines quatrièmes de Z sous forme trigonométrique.
π π
En déduire les valeurs exactes de Cos et Sin .
8 8
1 3 1987 −1 3
2°) Déterminer A= ( + i ) ; B = ( + i ) 1992
2 2 2 2
3°) Déterminer et construire l’ensemble (E ) des points M du plan dont l’affixe z
vérifie la condition proposée :
a) z + 1 + 2i = z − 4 ; b) z − 3i = 2 ; c) z − 2 + i = 1 ; d) (1 + i ) z − 2i = 2 .
K = cos(3x)sin2x ; L = sin(3x)sin2x;
EXERCICE 8
Le plan est orienté et rapporté au repère orthonormé direct. Soit A et B deux points
distincts d’affixes respectives a et b
EXERCICE 10
π π
Pour chaque réel α ∊ ] − ; [ , on définit l’application
2 2
fα : ℂ → ℂ
Z ֏ fα (z) = z2cos2α – 2z cosα + 1 + sin2α .
Dans le plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé (o,i,j) on désigne par (E)
π π
l’ensemble des points M d’affixes z telle qu’il existe α ∊] − ; [, vérifiant fα (z) = 0.
2 2
EXERCICE 11
Soit l’application f : ℂ → ℂ
Z ֏ f (z) = z 3 – 3(1+i)z 2 + (3+10i)z + 3(1–3i)
f (z) = (z –1 – i) (az2 + bz + c)
3– Montrer que les points images dans le plan complexe, des solutions de cette
équation sont alignés.
2 z1 z 2 = 3 z1 + z 2 + z 3 = 1
2i z + 2 z ' = 4 − 4i
c) ; d) 1 1 2 2 ; e) z1 z 2 + z1 z 3 + z 2 z 3 = 1
(1+ i ) z − 2 z ' = −5 + 7i + =
z1 z 2 3 z1 z 2 z 3 = 1
4– Résoudre dans ℂ les équations suivantes :
a) z7 =
( 4 + 4i ) 3
b) Z5=
[1− 2 3 +i(2+ 3)
7
]
(1+ i 3 ) 4 (2−i )7 ( 2 + i 6 ) 2
EXERCICE 14
EXERCICE 16
π π
Soit α un nombre réel appartenant à] − ; [ . on considère l’équation d’inconnue z
2 2
complexe (E) : (1+iz) (1–tg α) = (1–iz )3(1+ tg α)
3
EXERCICE 17
EXERCICE 19
Soit l’équation dans ℂ : z 3 –2z 2 –iz + 3 – i = 0
1) Montrer que l’équation admet dans ℂ une solution réelle.
2) En déduire la résolution dans ℂ de cette équation.
3) Soient A ; B ; et C les points images de ces solutions dans le plan complexe muni
d’un repère orthonormé. Déterminer la nature du triangle ABC.
4) Déterminer l’affixe de l’isobarycentre G de ce triangle.
EXERCICE 20
Soit f: ℂ – { - i } → ℂ
iz
z ֏ f (z) =
z+i
1- Déterminer les coordonnées du point B dont l’affixe z0 est telle que :
f (z0) = 1+2i ;
2- Soit z ∈ ℂ – {- i}. On note r le module de z+i et α une mesure de son argument.
Donner la forme trigonométrique de f (z) – i en fonction de r et α.
3- Soit A le point d’affixe – i.
a) Déterminer l’ensemble (ℇ) des points M vérifiant: | f (z)-i | = 2 et l’ensemble (D)
π
des points M tels que soit une mesure l’argument de f (z) – i.
4
b) Montrer que B appartient à (ℇ) et (D) puis construire (ℇ) et (D).
4- à tout point d’affixe Z = ( 2 − 2 − i 2 + 2 ) z . Déterminer l’ensemble (ℇ) des points
M tels que |Z| = 8.
1
5– résoudre dans ℂ, l’équation z2 – (1 + isin2θ) z + isin2θ = 0 où θ est un paramètre
2
réel. En discutant selon les valeurs de θ , on écrira les solutions z1 et z2 de cette
équation sous la forme trigonométrique.
3°) a) Déterminer les racines sixièmes de l’unité ; puis les écrire sous formes
Trigonométrique et algébrique.
b) Calculer (1 − i ) .
6
EXERCICE 22
EXERCICE 23
EXERCICE 25
I)
Soit le complexe Z = ( 3 +1) + i ( 3 −1) .
1°) Déterminer le module et un argument de z2 . En déduire le module et un argument
de z.
π π
2°) Déduire de ce qui précède les valeurs exactes de cos et sin .
12 12
( ) (
3°) Résoudre dans ℝ l’équation : 3 + 1 cos x + 3 − 1 sin x = 2 )
II)
1°) Trouver l’ensemble des points M(x ;y) du plan d’affixe z tel que :
Z2 + 2z – 3 soit un réel .
z + 2i
2°) Déterminer l’ensemble des nombres z tels que : soit réel (on suppose z ≠ 4i).
z − 4i
EXERCICE 26 :
3°) Placer les points images des solutions de l’équation f(z) = 0 dans le plan muni d’un
(
repère orthonormé O ; u ; v . )
4°) Montrer que tous ces points appartiennent à un même cercle dont on précisera le
centre et le rayon (points cocycliques).
On donne A = 5 2 (1 + i) ; B = −5 (1 + i 3 )
1
1°) Déterminer le module et un argument des nombres complexes :A ; B ; A ; .
A
2°) Soit Z le complexe tel que A Z = B. Écrire Z sous forme algébrique puis sous forme
trigonométrique.
13π 13π
3°) En déduire les valeurs exactes de cos et sin
12 12
EXERCICE 28 :
Soit l’équation (E) : z 3 − 10 z 2 + 36 z − 40 = 0 .
1°) Vérifier que 2 est une solution de l’équation (E).
2°) Trouver les réels a ; b ; c tels que : z 3 − 10 z 2 + 36 z − 40 = ( z − 2) (az 2 + bz + c) .
EXERCICE 29 :
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, on considère le polynôme
complexe f ( z ) = z 3 − (5 + i) z 2 + 2(5 + 3i) z − 4(2 + 4i) .
1°) Calculer f (2i) . Que peut-on conclure ?
2°) Trouver les complexes a ; b ; c tels que f ( z ) = ( z − 2i)(az 2 + bz + c) .
3°) a) Calculer ( 1 + 2i )2 .
b) En déduire la résolution de l’équation f ( z ) = 0 .
4°) Soient A ; B ; C les points d’affixes respectives 2i ; 3+i ; 2–2i.
a) Placer les points A ; B ; C.
zC − z B
b) On pose Z = . Donner la forme algébrique de Z. en déduire le module et
zA − zB
un argument de Z.
c) Interpréter le module et un argument de Z.
5°) Soit D le point d’affixe z D tel que z D − zC = z A − z B . Déterminer les coordonnées de D
puis le placer sur la figure précédente.
6°) En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
6°) Déterminer et construire l’ensemble (Q) des points M(x ; y) du plan tel que :
MA2 +MC2 = 32.
7°) Soit D le point d’affixe z D = −1− 3i .
a) Déterminer la nature du polygone ABCD.
b) Calculer le périmètre et l’aire du polygone ABCD.