TS FicheBac06 NbComplexes01c
TS FicheBac06 NbComplexes01c
TS FicheBac06 NbComplexes01c
S
Nombres complexes
(1ère partie)
Exercice n°1. Bac Asie, Juin 2002 (modifié)
1°) Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct (O , ⃗ u ,⃗v ) , on
considère les quatre points A, B, C et D d'affixes respectives :
3 ; 4i ; –2 +3i et 1– i.
a) Placer les points A, B, C et D dans le plan.
b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.
2°) On considère dans l'ensemble des nombres complexes, les deux équations :
z 2−(1+3i) z−6+9i=0 (1) et z 2−(1+3i) z+4+4i =0 (2)
a) Montrer que l'équation (1) admet une solution réelle z 1
b) Montrer que l'équation (2) admet une solution imaginaire pure z 2 .
c) Montrer qu'il existe des nombres complexes a, b, c et d tels que
z 2−(1+3i ) z−6+9i =( z−3)(a z+b)
et z 2−(1+3i ) z+4+4i=( z−4i)(c z+d )
d) En déduire les ensembles de solutions des équations (1) et (2).
On doit d'abord émettre une conjecture qui doit commencer par « il semble que...»
Graphiquement, il semble que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
Term.S – FicheBac n°6a. Nombres complexes © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 2/8
2°.a) Montrons que l'équation (1) admet une solution réelle z 1
(1) : z 2−(1+3i ) z−6+9i =0
2°.b) Montrons que l'équation (2) admet une solution imaginaire pure z 2 .
(2) : z 2−(1+3i ) z+4+4i=0
Pour cela, on pose : z = iy , avec y∈ℝ .
On a alors : (2) ⇔ (iy)2−(1+3i )iy+4+4i=0
⇔ − y 2−1×iy−3i×iy+4+4i =0
⇔ −y2−1×iy−3i×iy+4+4i=0
⇔ − y 2+3 y+4+i(4− y)=0
Or, un nombre complexe est nul si et seulement si, sa partie réelle et sa partie
imaginaire sont (toutes les deux) nulles. Donc
(2) ⇔ − y 2+3 y+4=0 et 4− y=0
⇔ − y 2+3 y+4=0 et y=4
⇔ y=4
puisque y = 4 est aussi solution de la première équation.
{
a=1
b−3 a=−1−3i donc
−3b=−6+9 i
a=1
b=2−3i
. {
Conclusion : On a la factorisation : z 2−(1+3i) z−6+9i=( z−3)(z+2−3i)
Term.S – FicheBac n°6a. Nombres complexes © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 3/8
2°.c' ) Montrons qu'il existe deux nombres complexes c et d tels que
z 2−(1+3i ) z+4+4i=( z−4i)(c z+d )
{ {
c=1 c=1
d −4 ic=−1−3i donc
−4 id =4+4i
d =−1−3i +4 i
−id =1+i
c=1
d =−1+i
. {
Conclusion : On a la factorisation : z 2−(1+3i ) z+4+4i=( z−4i)(z−1+i )
Term.S – FicheBac n°6a. Nombres complexes © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 4/8
Exercice n°2 corrigé :
iz−2
Soit M(z), M ≠ A . On lui associe le point M' d'affixe z', défini par : z ' =
z+i
1°) Montrons que si z est imaginaire pure et z≠−i , alors z' est imaginaire pure.
On pose z = iy , avec y∈ℝ . On a alors :
Dire que z≠−i équivaut à dire que iy≠−i donc y≠−1 . Donc y∈ℝ ∖ {−1 }
2°) Déterminer l'ensemble E1 des points M, dont les affixes vérifient : z ' =z .
Pour tout z≠−i on a les équivalences suivantes :
iz−2
z ' =z ⇔ = z (On remplece z' par son expression en fonction de z)
z+i
iz−2
⇔ − z=0 (On réduit l'équation)
z+i
iz−2− z( z+i)
⇔ =0 (On réduit au même dénominateur)
z+i
2
⇔ iz−2− z −iz =0 (On développe le numérateur)
z+i
2
⇔ −2−z =0 (On réduit l'équation)
z+i
{
2
⇔ −2− z =0 Une fraction est nulle si son numérateur est nul
et z+i≠0 et son dénominateur est non nul
⇔
et z≠−i {
z 2+2=0 ⇔ z 2=−2
et z≠−i {
Arrivé ici, on peut utiliser deux méthodes :
– Soit calculer le discriminant avec a = 1, b = 0 et c = 2.
=0 2−4×1×2=−8 . Donc deux solutions :
−b−i − −0−i 8 −i 2 2
z 1= = = =−i 2
2a 2×1 2
−bi − −0i 8 i 2 2
z 2= = = =i 2
2a 2×1 2
2
– Soit, directement, poser : z 2=−2 ⇔ z 2=i 2 ×2 ⇔ z 2=(i×√ 2)
Ce qui donne les deux solutions : z 1=−i √ 2 ou z 2=i √ 2
Term.S – FicheBac n°6a. Nombres complexes © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 5/8
3°) Déterminer l'ensemble E2 des points M tels que M' soit le symétrique de M par
rapport à O.
{
2
⇔ z +2iz−2=0 Une fraction est nulle si son numérateur est nul
et z+i ≠0 et son dénominateur est non nul
4°) Déterminer l'ensemble E3 des points M tels que z ' soit un nombre réel.
z' est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
Ici, on n'a pas le choix, il faut utiliser la forme algébrique pour séparer z' en partie
réelle et partie imaginaire :
On pose z = x+iy , avec x∈ℝ et y∈ℝ . Alors z≠−i ⇔(x ; y)≠(0 ;−1) .
On peut maintenant exprimer z' sous la forme algébrique :
iz−2 i ( x+iy)−2 ix−( y+2) [ix−( y+2)][ x−i ( y+1)]
z'= = = =
z+i x+iy+i x+i ( y+1) [ x +i ( y+1)][ x−i ( y+1)]
ix2+ x( y+1)−( y+2) x+i ( y+2)( y+1)
Donc z ' =
x 2+( y+1)2
qu'on peut séparer en partie réelle et partie imaginaire :
x( y+1)−( y+2) x x 2+( y+2)( y+1)
z'= +i
x 2+( y+1)2 x 2 +( y+1)2
Term.S – FicheBac n°6a. Nombres complexes © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 6/8
z' est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Donc
x 2+( y+2)( y+1)
Im(z') = 0 ⇔ =0
x 2 +( y+1)2
⇔ x 2+( y+2)( y+1)=0
⇔ x 2+( y+2)( y+1)=0
⇔ x 2+ y 2+3 y+2=0
2
⇔( ) 2
x + y+
3
2
9
− +2=0
4
2
⇔ x +( y+ 3 ) − 1 =02
2 4
2 2
⇔ (x−0) +( y+ 3 ) =( 1 ) 2
2 2
5°) Déterminer l'ensemble E4 des points M tels que z ' soit imaginaire pur.
z≠−i ⇔(x ; y)≠(0 ;−1) . z' est imaginaire pur (ssi) sa partie réelle est nulle. Donc
x( y+1)−( y+2) x
Re(z') = 0 ⇔ =0
x 2+( y+1)2
⇔ x ( y+1)−( y+2) x=0
⇔ xy+ x− yx−2 x=0
⇔ −x=0
⇔ x=0
Attention !! Il ne faut pas oublier d'exclure les points associés aux valeurs interdites.
Ici, z ≠−i signifie que, si x = 0, il faut que y≠−1 .
Conclusion : E4 est l'axe des ordonnées du repère (c'est-à-dire la droite d'équation
x=0 ) privé du point A d'affixe zA= – i (A de coordonnées (0;–1)).
Term.S – FicheBac n°6a. Nombres complexes © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 7/8
Exercice n°3 corrigé :
Pour tout nombre complexe z , on poase P (z)= z 4−1
1°) Factoriser P(z) dans ℂ .
2°) En déduire les solutions, dans l'ensemble ℂ , de l'équation (1) P(z) = 0.
4
3°) En déduire les solutions dans ℂ de l'équation (2) :
2 z+1
z−1
=1 d'inconnue z. ( )
1°) Factoriser P(z) dans ℂ
On pose Z= z 2 . Alors P z= z 22−1=Z 2−1=Z −1 Z 1 . C'est une IR n°3.
D'autre part Z−1= z 2−1= z−1 z1 et Z1= z 2−i 2= z−i zi
Conclusion : la factorisation de P(z) dans ℂ est :
P z = z−1 z1 z−i zi
Term.S – FicheBac n°6a. Nombres complexes © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 8/8