Cable Coax

Travaux pratiques : Propagation le long d’un câble coaxial
PSI* - 2019/2020
Les questions commençant par Pn doivent être traitées en préparation

AVANT la séance de travaux pratiques.
Les questions commençant par En correspondent aux résultats du travail

expérimental.
Ces deux types de numérotations doivent être conservés pour la rédaction

du compte-rendu.
Figure 1 – Anatomie d’un câble coaxial
Ce TP s’intéresse à la propagation des ondes électromagnétiques dans un câble coaxial. La

structure d’un tel câble est représentée sur la photo de la figure 1. On peut distinguer :
• L’âme du câble (D) : généralement en cuivre ;

• La gaine ou blindage (B) : souvent en métal tressé (Cuivre ou Aluminium) ;
• L’isolant (C) : il sépare la gaine et l’âme ;
• La gaine extérieure (A) , en plastique.
D’un point de vue électrique, le système est bien représenté par un ensemble de deux
conducteurs cylindriques coaxiaux. L’âme a un rayon a, la gaine un rayon b et l’isolant
1
(diélectrique) qui les sépare a une permittivité relative εr . Dans ces conditions, on montre
que la capacité et l’inductance linéïques du câble sont respectivement :
2πε0 εr µ0 b
Γ= et Λ = ln
ln ab 2π a
1 Propagation
1.1 Théorie
Figure 2 – Modélisation d’une tranche élémentaire de câble
L’axe du câble est l’axe Ox. Une portion de longueur dx du câble est modélisée par le
montage de la figure 2.
P1 : Montrer que l’intensité i(x, t) et la tension u(x, t) sont reliées entre elles par le système :
∂u ∂i ∂i ∂u
= −Λ et = −Γ
∂x ∂t ∂x ∂t
P2 : En déduire que i(x, t) et u(x, t) sont chacune solution de l’équation de d’Alembert unidi-
mensionnelle :
∂2ψ 1 ∂2ψ
− =0
∂x2 v 2 ∂t2
avec une célérité v = √1ΛΓ = √cεr où c = √ε10 µ0 est la célérité de la lumière dans le vide.
On rappelle
que la solution générale de cette équation différentielle est de la forme ψ(x, t) =
f t − xv + g t + xv qui correspond à la somme d’une onde progressive dans le sens des x

croissants et d’une onde progressive dans le sens des x décroissants.
On va chercher à mesurer cette vitesse en étudiant la propagation d’impulsions de tension

dans le câble.
1.2 Mesures
1.2.1 Principe
Le principe est de mesurer le temps de propagation d’impulsions le long d’une ligne de

longueur L. Ces impulsions, émises par le générateur, sont réfléchies à l’extrémité de la
2
ligne (ce phénomène est étudié en détail dans la deuxième partie du TP) et reviennent au
générateur avec un retard ∆t = 2Lv .
1.2.2 Mesures
Générateur
A B
• • Zt
L = 20 m
Figure 3 – Propagation sur un câble
Manipulation 1 :
E1 : Observer à l’oscilloscope la tension de sortie du générateur d’impulsion avec un câble

coaxial court. Régler le générateur pour obtenir des impulsions d’une durée de 0,05 µs
toutes les 0,5 µs.
E2 : Réaliser le montage représenté sur la figure 3 avec le câble de 20 m de longueur. En A,

placer un Té coaxial de façon à observer la tension en ce point. Laisser pour le moment la
sortie en B ouverte (i.e. Zt = ∞).
Observer le train d’impulsions obtenu en A.
E3 : Comment peut-on identifier les impulsions émises par le générateur et celles qui sont ré-
fléchies ?
E4 : Mesurer ∆t et évaluer l’incertitude de mesure. En déduire les valeurs de v et εr , avec leurs

incertitudes.
E5 : Quel(s) phénomènes dissipatifs , non pris en compte dans le modèle étudié ci- dessus,
peuvent expliquer que les impulsions réfléchies n’ont pas la même amplitude que les im-
pulsions émises ?
E6 : En admettant que l’amplitude suit une loi exponentielle en exp(±αx), mesurer le coefficient
d’absorption α (en m−1 ) des ondes dans le câble.
3
2 Réflexion
2.1 Théorie
2.1.1 Impédance caractéristique
On considère une OPPH se propageant sur le câble : i(x, t) = I0 exp [j(ωt − kx)] et
u(x, t) = U0 exp [j(ωt − kx)].
P3 : Montrer qu’on a alors :

r
ω u Λ
Pour k > 0 = c donc =
k i Γ
r
ω u Λ
Pour k < 0 = −c donc =−
k i Γ
q
Λ
Le paramètre Zc = Γ est appelé impédance caractéristique du câble. Il s’exprime en Ω.
2.1.2 Réflexion d’une OPPH sur une impédance de terminaison
On envoie une onde harmonique depuis les x < L (onde incidente), qui se propage sur un
câble se terminant en x = L. Une onde réfléchie se superpose alors à l’onde incidente. Les
tensions et intensités dans la ligne sont de la forme :
u(x, t) = U+ exp j (ωt − k(x − L)) + U− exp j (ωt + k(x − L))

et
1
i(x, t) = [U+ exp j (ωt − k(x − L)) − U− exp j (ωt + k(x − L))]
Zc
P4 : Montrer que, lorsque le câble se termine en x = L sur une impédance Zt , le coefficient

de réflexion en tension ru = U − Zt −Zc
U+ s’écrit ru = Zt +Zc . Étudier les cas particuliers Zt = 0,
Zt = ∞, Zt = Zc .
2.2 Mesures
E7 : Continuer avec le montage de la manipulation 1, en connectant l’extrémité B à une boîte

de résistances variable.
Observer les impulsions dans le cas Zt = 0. Comparer avec le cas précédent Zt = ∞.
E8 : Déterminer la valeur de Zt qui permet de minimiser les impulsions réfléchies.
4
3 Ondes stationnaires
3.1 Théorie
On se place a nouveau en sortie ouverte (Zt = ∞). On alimente cette fois-ci le système
par une tension sinusoïdale, de sorte que les ondes dans le câble sont harmoniques.
P5 : En négligeant le phénomène d’atténuation, montrer que la tension dans le câble s’écrit :
ω

cos c (x − L)
U = U0 cos (ωt + ϕ)
cos ωc L

ω π
Que se passe-t-il si cL = 2 [π] ?
3.2 Mesures
Ouvrir l’extrémité B et placer le générateur basse fréquence en mode sinusoïdal.
E9 : Observer la tension en A et en B. Déterminer les fréquences de résonance et d’antiréso-

nance. Présenter le résultat dans un tableau.
E10 : Comment utiliser ces mesures pour tester le caractère dispersif ou non de la propagation
dans le câble (dans le domaine de fréquence considéré) ?

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Figure 1 – Anatomie d’un câble coaxial

Ce TP s’intéresse à la propagation des ondes électromagnétiques dans un câble coaxial. La

• L’âme du câble (D) : généralement en cuivre ;

Figure 2 – Modélisation d’une tranche élémentaire de câble

croissants et d’une onde progressive dans le sens des x décroissants.

On va chercher à mesurer cette vitesse en étudiant la propagation d’impulsions de tension

Le principe est de mesurer le temps de propagation d’impulsions le long d’une ligne de

Figure 3 – Propagation sur un câble

E1 : Observer à l’oscilloscope la tension de sortie du générateur d’impulsion avec un câble

E2 : Réaliser le montage représenté sur la figure 3 avec le câble de 20 m de longueur. En A,

E4 : Mesurer ∆t et évaluer l’incertitude de mesure. En déduire les valeurs de v et εr , avec leurs

2.1.1 Impédance caractéristique

P3 : Montrer qu’on a alors :

2.1.2 Réflexion d’une OPPH sur une impédance de terminaison

u(x, t) = U+ exp j (ωt − k(x − L)) + U− exp j (ωt + k(x − L))

P4 : Montrer que, lorsque le câble se termine en x = L sur une impédance Zt , le coefficient

E7 : Continuer avec le montage de la manipulation 1, en connectant l’extrémité B à une boîte

P5 : En négligeant le phénomène d’atténuation, montrer que la tension dans le câble s’écrit :

Ouvrir l’extrémité B et placer le générateur basse fréquence en mode sinusoïdal.

E9 : Observer la tension en A et en B. Déterminer les fréquences de résonance et d’antiréso-

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