GMCS073D PDF
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CINEMATIQUE PLANE
3me partie
'- (?!> oublie'le repre (Rj) : (Oj, xj, yj, zj), (Pj) est confondu avec
(Olf xr, y a )
- (P2) on lie^le jrepre (R2) : (02, x2, y2, z2), (P2) est confondu avec
le plan (02, x2, y2)
L JR,
On repre l'orientation de (R2) par rapport (Rj) par 4; = (Xj, x2)
Les deux repres (Rj) et (R2) sont anims d'un mouvement plan. Le
mouvement est une rotation instantane d'axe perpendiculaire (P^) et (P2).
On a donc
-M t * '
fl2 = * 2l
*' 22
Si I A 21 on a V^d) - 0 D'o
A/ Dtermination vectorielle
-M ~*1
Soient V2(02) et &2 les lments de rduction en 02 du torseur des
vitesses. On peut appliquer la thorie gnrale faite prcdemment. Le C.I.R.
du mouvement de (P2) par rapport (Pj) est le point 1 = 1 , pied de la per-
pendiculaire abaisse de 2 sur A2i
On a donc ^ = %A^<0?)
(ni)2
(-' - TTt
u2i -- 4>' 21 A^,V?(0
z- 9) ,
^ , l A^(0?) ^ . ,2)
. B/ Dtermination analytique
Donnons nous les lments du torseur distributeur des vitesses
dans les repres (Ri) et (R2) rduit en 2
foi r x6 "
Dans (Ri) fi2 " 0 V2(0 2 ) = yfl
L*'JRl LoJRl
vx
Dans (R 2 ) ^ 2 = 0
r i +
V 2 (0 2 ) =
f~Vy
L'-U LoJ^
Remarque : (xf, y 1 , 0) et (Vx, Vy, 0) sont les composantes du mme vecteur
respectivement dans (RI) et (Ra). Et l'on a
xf cos ty -sin ip 0 Vx
y1 = sin ty cos ^ 0 Vy
3
0 J
RJ L -1 *- JRD2
Fx 2 "
^I Y2
L-JR2
Vx
r 2ix " 1 A Ty " y
Y2 = L*'.
-t= Lo .
_oj *?
V
X =
2 "^f-
Y2 =
"1^"
^ = 0^2 + OT
" *0 "
- ?o + r^]
L 2 JR
L O J Ri I
"0 1 j~x~
0 A yj
03 . U'J Lo J
|2
1P
"-4"
*
^ $
- -l.
Xl - KO - |l
i - y o * f
Xi et YI sont les coordonnes de I dans (R^)
1/ Dfinition
2/ Proprits
Thorme : Au cours du mouvement la roulante roule sans glisser sur la base
et les deux courbes sont tangentes.
Dfaprs la dfinition
=
^2(D
Soit I point gomtrique
(mobile fictif se trouvant
toujours en concidence avec
le C.I.R.)
trl(I) = fa(I) + $(!)
t^(M) = t^(I) + 1 A 18
V2(M) = .$2 A M
A/ Thorme
B/ Applications
[JP.BROSSARD],
f:~^'*^^^
M [1994], INSA de sans
x2 Poule Lyon, tous
g^^droits
Sser rservs.
sur la dveloppe (T^ de (d). normale
- 145 -
- M y2 enveloppe la courbe
(Ci). Le C.I.R Ii2 est sur
la normale commune M x2
A/ Thorme :
Soient trois plans (P.j), (P2), (P3) glissant l'un sur l'autre. Pour
chaque mouvement relatif (P)/(Pj) on peut dfinir un C.I.R Ifj. Le nombre
de C.I.R est
n = G| = 3
A chaque mouvement (P>/(Pj) on fait correspondre le C.I.R lj
Soit M 6 (P3)
V^(M) = ^3 A I31M ,;t. ^
= o,Jz A ^TS [z normal (Pj), (P2), (P3)]
B/ Exemple
Trouver la base et
la roulante (trajec-
toire de 112) dans
le repre (Rj) et
dans le repre (R2)
respectivement.
Pj tourne autour de
Oj de P0
?2 tourne autour de
02 de PO
On impose de plus que
= ,k = constante
:^2
Q!
A P^on lie ^R0)
(Oif X0, Y0, Z0) tel
que
X 0 =^f
Yo - Z0 A X0
E On se
IlO = 0l 120" 2 propose de chercher I2i
^2 (^l1^ + I10I20> +
^0 (I21H-0) - 0
0)2 d X0 + I2lll0 (W0 * ^D =
0.
T f*
Xinl oi -
~ ^1
Q - 0)2
f~- X"*"Q
u
i u AI (^2Q a)j
0
= d V
01*21 k - i *0
Le point I2i est un point fixe de OjC^. Par suite la base est un cercle de
centre Oj et de rayon r x ' |01I2i| et la roulante un cercle de centre 02 et
de rayon r2 - J0221-J
1/ Nombre de C.I.R
Soit un systme form de N plans glissant les uns sur les
autres. Le nombre de C.I.R est gal au nombre de combinaisons que l'on peut
faire en prenant deux plans parmi les N plans formant le systme.
n
* CN
n = N (N - 1)
II y a n = 4 ^ 3 = 6 C.I.R
a
) 2i.!iL.jJ;,l
k) El-S-^ii^
Fiiure 11 bis
^ Tp$ M
!l3 *2if
^
On va obtenir les C.I.R inconnus
l'intersection de deux lignes droi-
tes portant des C.I.R aligns avec
celui que l'on.recherche.
a) Dtermination de 1^3
Ij3 appartient au mouvement de (Pi)/(P3). Afin de pouvoir appliquer
le thorme des trois plans glissants combinons les lments (1) et (3) avec
respectivement (2) et (4)
(1), (3) combins avec (2) (1), (3) combins avec (4)
_J 2 3 1 3 4
Barrons Ij3 sur la table des C.I.R ou joignons les points 1 et 3 sur le
cercle des C.I.R
1 2 3 4
1^ ^ M
M ^
M 1 I I
b) D5Si2S--2.u.
On combine les lments
(2) et (4) avec les lments (1) et
(3)
1 2 4
Il2 \^)
Ilif
2 3 4
X I
23 3^f
(g) _______
Dterminer :
- la base et la roulante
- l'enveloppe de AB
- la trajectoire d'un point ap-
partenant AB
- la trajectoire d'un point quel-
conque appartenant la roulan-
te
- la trajectoire d'un point quel-
conque du plan mobile.
[JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.
- 151 -
La barre AB constitue un plan (P2) mobile se dplaant sur un plan fixe (PX)
(Oi xx y x zi)
A/ Base et roulante
1/ Mthode graphique
A et B appartiennent au plan
(P2)
- A dcrit QIXJ. lia est sur
la normale en A OjXi
- B dcrit Q\y\- Ii2 est sur
la normale en B Oiyi-
Base
On lie I aux lments du
plan (Pi)
Ojl = 21 (rectangle)
I dcrit sur (Pj) le cercle
de centre Oj et de rayon 21.
Roulante
On relie I aux lments du
plan mobile de I. On voit AB
sous un angle droit. I dcrit
sur (P2) 1 cercle de $ AB
(rayon 1) et de centre 02 mi-
lieu de AB.
(12 - a = \ A tj )
On repre 02 par la relation
"XQ
-o^ = y0
L JEl
On repre la rotation par
ifr (xi , x2)
i - *-^
*1 - ?+$
II faut alors trouver la relation entre ^ f , x', yl qui caractrise le mouve-
ment particulier auquel nous avons affair ici. C est ce que l'on appelle
l'quation de liaison. On a immdiatement :
yj - ij;' 1 sin fy
f
d o
Xi = 21 sin $ Xf + Yf = 4 l2
Y! - 21 cos i/;
Vx = * f 1 cos 2$
Vy = - ipf 1 sin 2ip
B/ Enveloppe de AB
2/ Mthode gomtrique
Le point M est sur le cercle de diamtre 02I qui roule sans glisser sur le
cercle de centre 0^ et de rayon Ojl.
Figure 18
ax + by + c = 0
a - cos ty f fc
(composantes Jdt un vecteur 1N
normal)
b = sin ty
Elle passe par le point 2. D!o
X2/3 + y2/3 = j
2 3
2i2/3 2 l /
Soit M 6 (R)
V2(M) = ^2 A "S
V2(M) | IM passe
donc par (^ . Or si
la vitesse passe cons-
tamment par un point
fixe la trajectoire
est une droite pas-
sant par ce point.
En effet reprons le
point M dans (R^) en
coordonnes polai-
res
Fiwre 20 o^ = P
V^(M) = p f + p |
|
mais V-2(M) = X
On a donc -r = 0 est donc un vecteur fixe et la trajectoire du
point M est une droite. Donc tout point de la
roulante dcrit un diamtre de la base. (-C'est un rsultat dj connu : une
hypocyclode deux rebrous sment s est une droite).
Le solide (82) est constitu par une roue dente contact ext-
rieur de centre et de rayon 1 (roulante)
Une biellette S3 est destine assurer le mouvement de 02
Lo'rsque (-82)" roule sans glisser sur (Sj) un point B2 de la rou-
lante (S2) a une trajectoire rectiligne dans (Sj) (diamtre du cercle de
base).
Fifure 21
Soit P appartenant
au plan mobile. 02P
coupe la roulante
en M et N points
appartenant au plan
mobile.
M et N points de la
roulante dcrivent
les diamtres OjXj
et OiYi de la base.
P dcrit donc une
ellipse d'axes O^Xj
et OiY*.
Fiiure 22
[JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.
- 157 -
F/ Vitesse du point A
^(A) = t*(02) + ^ A ^t
071 = 21 sin ty KI
1 2 3 4
= G
31 l
I32 = G2
^2 = 2
[JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.
~ 159 -
=
D'autre part 121 I
La recherche de Y} est transforme en la recherche de Im (thorme de
l'querre)
- Dterminons 1-3^
Combinons 13^ avec l'lment 2 2 ^ 4
13^. est align avec 123 et I2i+- D'autre part I23 (^4)
IM cot de l'querre (P4 ) enveloppe le point
2tf
I (sommet de l'querre 3) dans le mouvement L
de PI+ par rapport P$
Le C.I.R I3i+ est donc l'intersection H de la normale en I IM et de 12^21
- Dtermination de I^j
Tous les C.I.R sont maintenant connus sauf I^i = YI Combinons les
lments (4) et (1) aux lments (3) et (2).
1 2 4 1 3 4
I I
12 2i+ ^13 3U
(Q) (JT^
et
Il/4 est l'intersection de ^12^-2^ de ^13^3^-
b) exen}2les
La construction se
fait comme prc-
demment .
Enveloppe : c'est
le lieu de M.
M0l"= 2 IG2M
Le point M appartient
donc au cercle de
diamtre IG2 qui
roule sans glisser
sur la base.
La trajectoire de M
est donc une picy-
clode.
fi ' '
b) Exemples
Exemple 1 : centre de courbure d'une picyclode,
Figure 28
On construit facilement le
point YI
On a HY = 2 G^I
Par suite le point YI dcrit
la cyclode dduite de la
cyclode dcrite par H par
la translation de vecteur
2 62!. C'est donc une cyclo-
de gale.
ligure 29
(x, 1b = e
Si - RI y
12 " &2 Y
Y = PI x
IY2 = P2 X
H = M Y
On cherche une relation entre PI, P2, RI, Ra et 6. Pour^cela on crit l'qua-
tion des droites Hy^ et HY2 dans le systme d'axes I, X, Y
X Y
- droite Hy^ + = 1 X, Y coordonnes d'un point courant
1
de la droite Jjjyi dans le systme
d'axes I, X, Y
[JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.
- 165 -
R! sin 0
ict - RI cos 6 ct RI y
- J(I,X, Y)
R2 sin .0
G = R2 cos 0 IG R y
- J(I, X,?)
d'o
RI sin 0 + RI cos 0 m j
PI y
R2 sin 0 + R2 cos 0 m .
P2 P
sin 0 cos 0 _ J
PI( y RI
sin 0 cos0 _ 1
P2 y Ra
en retranchant membre membre
J_ - J_ = (-1 - JL ) ,'
P2 Pi ^2 ^1 sin 0
On pose souvent r-
R2 RI n
J J_ =' 1
P2 Pi b sin 0
J_ , 1
P2 h sin 6
P2 - h sin 6
b) 5E2HY22-i--Ili^-^.i-2SSEH2S^lSHiI-YEX
GI, G sont connus
Yi est connu
Le point yj est l'infini dans la direction IM. yiGl est donc parallle
IM. H est l'intersection de Yi^l et de la normale en I IM. Le point M
rpondant la question sur (A) est donc l'intersection de (A) et de G2H.
Le point H dcrit le cercle de diamtre IG^ lorsqu'on fait varier la direc-
tion (A)
k - G^T
/
'
c) Exemgle
Un cercle de rayon r roule sans glisser sur un cercle de rayon
R = 2r, Trouver le cercle des inflexions.
=
on a P2 h si*1 8
1 = J _ - 1_
h R2 RI
1 1 . 1
=
h 7 + 2?
1 1
2 r
h - t
Ce cercle passa par I o il est tangent aux deux cercles prcdents, il a
pour diamtre
H . r
2/ Cercle des rehaussements
a) Dfinition^du^groblme^et^determintioB^analjrtigue
On cherche le lieu des centres de courbure des enveloppes des
droites du plan mobile.
Pl = - h sin 0
C'est l'quation d'un cercle passant par I, centr sur ly de diamtre d = |h|
et coupant l'axe des y en K f tel que IK! = - h y. Il est donc symtrique du
cercle des inflexions par rapport la tangente commune la base et la
roulante.
b ) 2SEHJi2S-S2SE3H
efi
H dcrit le cercle de diamtre IG2. Yi t 1fhomothtique de H dans l'homo-
thtie de centre GI et de rapport
) ^HSii22.^IlEElI2SEl.S-E2Hs5!?^
Les enveloppes de toutes les droites parallles (D) ont mme
centre de courbure. Considrons en particulier la droite (D*) passant par
Yi Le rayon de courbure |MYI| est nul. L'enveloppe de la droite (Df) pr-
sente donc un point de rebroussement.
d) Exemples
Exemple 1 : un cercle de rayon R roule sans glisser sur une droite. Trouver
le cercle des rebroussements.
1 = 1
h R
Pl - - R sin 6
Mthode gomtrique
Le cercle des rebroussements est symtrique du cercle des inflexions
par rapport la tangente commune la base et la roulante. Le point G2 d-
crivant une droite est sur le cercle des inflexions. Le cercle des inflexions
est le cercle de diamtre IG2 D'o le cercle des rebroussements.
Exemple 2 : les cts d'un angle droit passent par deux points fixes et B.
Trouver le cercle des rebroussements dans le mouvement de l'angle
par rapport au plan li aux points A et B.
Remarque
[JP.BROSSARD], : ledecercle
[1994], INSA Lyon, tous des rebroussements
droits rservs. est confondu avec la base.
- 172 -
mais M est un point appartenant au plan mobile (par contre I est un point
gomtrique)
-**
_ T wW ->
^r
IK - -jr y
J2(M) = ip" zj A S
- i(;12 M
- *f z i A W x
M = K + KM
J2(M) = *'" zi A M - i p f 2 KM
V^(K) - 2 A H = ^ f zx A
^(K) i^" zj A K
=-|ry = h y
W = - ip f h
& - 0
x
Figure 38 KM = y + ^r
- -I T x H;
^
M y |
.oj
x0 O W
* y * ^r y
?2(M) A IM . 0 '
x
posons IM = y
L - J < I . f y)
On a donc
et finalement 0 = x2 + y2 * %' x
*
L^ Jieu des points d'acclration tangentielle nulle est un cercle
centr sur la tangente commune la base et la roulante et passant par I.
Il est orthogonal au cercle des inflexions.
Wy _ W i(jf x
$' " "*"'
Z . .i^.
x ip"
y l!i x
= -Jir-
t
Remaraue : si il," = 0 on a 5i(M)
z
= - ^2. KM. Le point d 1 acclration nulle
^ est donc le point K.
J2(M) = *" Z! A MJ - * l 2 MJ
- K(M)-3|] X
Fn - - Ife~(3&.8) x
Sj^it M l'intersection de
IM avec le cercle des in-
flexions. On aura :
r. KM
Figure f41f o . IM = 0
->F =
]i) t 2 r -+ * >-, -*
n ' V L(KM0 * MoM). IMj X
Fn = - *-^ (M^M . M) X
F = - *|2 (M^M . X) X
F = - i^'2 M!M
n
1/ Thorme
Soient M et M 1 deux points
du repre mobile (R2), soit
J le centre des acclra-
tions, soient les vecteurs
jJ.(M) et J^(M').
On se propose de montrer
que J, M, et l'extrmit A
du vecteur J^CM) ; J, M 1 et
l'extrmit B du vecteur
J(M?) constituent des fi-
gures semblables.
Calculons sinus et cosinus
des angles orients [JM,
J(M)] et pft', i<M')]
j(M) i(;n zj A JM - i|;f2 JM
r^ 3J(M)J
cos [JM, "ti /wN-i = JM - "JiCM)
^ ^
|jM|.|ji(M)|
= ' " ^ f 2 ^2
|jM|.|ji(M)|
r _^ .+ _ - ih 2
cos [JM, J|(M)J .. = ^ .- -,,. ,.,,/-.:;,::^ ..-;-
/l);1'2 -h \\)^
= + y (j&) 2 . 2j
t(J5)2
sin [js;iop] - + ] . |JM| /(* + f)
|JM|
/ IH fz
Dans le plan orient les angles [jS, Jo(M)J et [JS1, 2(Mf)J sont gaux.
Donc les angles [_M, J^WH et L^7^ ^2^M?^ sont auss^ gaux. Ils sont
reprs par a sur la figure.
M1 B = JM
MA JM f
2/ Application
Un cercle de rayon (R2) roule sans glisser sur un cercle de
rayon (Ri). La vitesse du point 2 tant constante en module et donne
calculer l'acclration d'un point M' du plan mobile.
vid) = 0
^(1) = V^02 + ^2 A 2
"2
J02 JA
JM1 " JB
Nota : nous aurions aussi pu faire J^M = JO^ = - fyr2 KO^ = - ij/ 2 JO^
2A JO^ - *"2 ^
d nc =
M% J#
A/
Fiiure 44
On veut construire le centre de courbure yj de l'enveloppe (Cj) d'une courbe
(C2) lie rigidement au repre mobile (R2), decentre de courbure y2 connu.
On ne connait pas la base et la roulante dans le mouvement de (R2) par rap-
port (Ri). La construction d'Euler-Savary ne peut donc pas s'appliquer.
Mais on connait les centres de courbure y{ et y2 des enveloppes (cp et
(Ci1) de deux courbes mobiles (C2) et (C2) de centre de courbure y2 et y2.
La construction de Bobiller permet de rsoudre le problme.
fii - *f ? -
Remarque 2 i lorsque la courbe du plan mobile P2 est une droite 1^ le centre
de courbure y2 est l'infini dans la direction perpendiculaire
D2 et le point caractristique M sur la normale mene de I
D
2-
B/ Droite de Bobiller
Droite YM jf + $ - 1
JL - J_ = (-L - J_)
R
_1
P2 PI R l sin 6'
J_ - I_1 - ri-
R
-L *
P2 Pi "" 2 RI sin e f f
L_ + V_ m
sin 6' sin 611
Sur les directions IM' et IM" (A1 et A11) , prenons deux points P f
et P" situs sur le cercle des inflexions et appartenant au plan mobile. Il
s'agit de deux cercles points yl et Y2 ^es centres de courbure y] et y" de
leur trajectoire sont l'infini dans les directions IM' et IMM. Le point
BI est donc l'infini dans la direction P'P". La droite de Bobiller est
donc parallle P'P".
Droite de Bobiller
relative A'A'1
Fiiurc 45
parallle des droites IMf et IM par rapport la tangente Ix. Il suffit donc
de reporter partir de IM un angle xIM1. On joint Y^Ya Qui coupe (Df) au
point B f . Lfintersection de B'Y! avec IM dtermine Yl cherch.
E/ Exemples
1/ Dterminer le cercle des inflexions du systme bielle manivelle
(mouvement de la bielle par rapport au bti). Dterminer le centre de cour-
bure de la trajectoire d'un point du plan de la bielle.
a) Cercle_des inflexions
On construit le C.I.R I.
On connait les trajectoires de deux points A et D de la bielle
(respectivement le cercle de centre 0 et de rayon OA et la droite OD). On
connait les centres de courbure de ces trajectoires (respectivement le point
0 et le point l'infini dans la direction de la perpendiculaire en D OD).
On obtient donc le point B appartenant la droite de Bobiller l'inter-
section de AD et de la normale en 0 OD. On dtermine facilement Ix tangente
la base et la roulante. Le cercle des inflexions est centr sur la normale
en I la base et la roulante et il passe par I et D (qui dcrit une droite)
Le centre C du cercle des inflexions est donc l'intersection de
[JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon,
la normale en tous
I droits
Ixrservs.
et de
la mdiatrice de ID.
[JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.
- 184 -
On joint AM qui coupe (D1) en B!. On joint OBf qui coupe la droite
IM au point YI cherch.
Dterminons au pralable le C.I.R des mouvements des barres dans les mouve-
ments (P)/(Pj). On dresse les tableaux des C.I.R et l'on a immdiatement
les C.I.R inconnus I 3 ^ et 1^2
1 2 3 4
1 I
12 *23 34
1
13 *2if
I llf
I12, Illf et I23 sont connus directement on veut dterminer I3j. Dressons
la tableau auxilliaire
1 I 2 3
1^2 ^23 ^13 est align avec 123 et
II 3 II2 qui sont connus.
c
) Sl--2HI^HE.i-Ei2i^dlHB-E2i2_H-EiS!!iI
Soit M 5 Ya appartenant au solide (3). On construit la droite de
Bobiller relative aux directions IsjM et l3il2l(A et A") on obtient B f .
l'intersection de 132^ et de (Df). On joint B'l2i clu^- coupe I$iM au centre
de courbure Yl de la trajectoire de M.
2
*3'10 CONSTRUCTION DE BRESSE - FORMULE DE BRESSE
A/ Construction de Bresse
Figure 51
1 = (JL
V
- -U
h R2 RI
reste inchange. Choisissons Gj l'infini sur IGj. On a donc
= et =
f "If 5f
* *
On a donc R ~ h et par suite G = K point diamtralement oppos I
sur le cercle des inflexions.
Conclusion
On remplace le centre de courbure de la base par le point Z 'in-
fini dans la direction de la normale en I la base et la roulante et on
remplace le centre de courbure de la roulante par le point K diamtralement
oppos I sur le cercle des inflexions.
B/ Formule de Bresse
Cercle
des inflexions
Figure 52
O - Pi X
Y? - PI x
IY2 = P2 X.
"Y1 - Pi X
1- - J_ 1
P2 PI h sin 6
soit encore
_J 1_ = 1
72 Yl Mo
Y2Yl Y2M0 =
Y2 (W " Y2Yl)
Y2Yl Y 2 MO = p
M^t MM = "M2
Les points YI et M0 tant situs du mme ct de M, la concavit de la
courbe trajectoire de M est tourne vers MQ
Application
Soit un plan fixe PI auquel on lie le repre 0|f Xj^ Yj^
Soit un plan mobile P2auquel on lie le repre 02, X2, Y2
Le point A2 de P2 appartenant 02Y2 est astreint se dplacer sur une
droite Dj de PI parallle OjYi.
La droite 02X2 de P2 est astreinte par une articulation passer
par l'origine Oj de PJ.
On demande de
- dfinir le cercle des inflexions
dfinir le cercle des rebroussments
- chercher la concavit de la trajectoire d'un point M du plan mobile
(M appartient 02X2)
Figure 53
a) Dtermination du C.I.R
La droite 02X2 enveloppe le cercle point Oj donc I se trouve sur
la normale en C^ 02X2. Le point A2 a pour trajectoire Dj dans PI : I se
trouve sur la normale en A2 Dj. I est donc compltement dtermin.
CHAPITRE 1
COURS - TORSEURS VOLUME 1
EXERCICES - TORSEURS VOLUME 2
CHAPITRE 2
COURS PARTIES 1 & 2 - CINEMATIQUE VOLUME 3
COURS PARTIE 3 - CINEMATIQUE VOLUME 4
EXERCICES - CINEMATIQUE VOLUME 5
CHAPITRES
COURS - LES TENSEURS CARTESIENS D'ORDRE2 VOLUME 6
EXERCICES - LES TENSEURS CARTESIENS D'ORDRE2 VOLUME 7
CHAPITRE 4
COURS - GEOMETRIE DES MASSES VOLUME 6
EXERCICES - GEOMETRIE DES MASSES VOLUME 7
CHAPITRES
COURS- CINETIQUE VOLUMES
EXERCICES - CINETIQUE VOLUME 7
CHAPITRE 6
COURS - THEOREMES GENERAUX DE LA DYNAMIQUE VOLUME 8
EXERCICES - THEOREMES GENERAUX DE LA DYNAMIQUE VOLUME 9
CHAPITRE?
COURS - EQUATIONS DE LAGRANGE - EQUATIONS D'APPELS VOLUME 10
EXERCICES - EQUATIONS DE LAGRANGE - EQUATIONS D'APPELS VOLUME 11
CHAPITRE 8
COURS - EQUILIBRE - STABILITE - PETITS MOUVEMENTS VOISINS VOLUME 12
EXERCICES - EQUILIBRE - STABILITE - PETITS MOUVEMENTS VOISINS VOLUME 13
CHAPITRES
COURS - MOUVEMENT STATIONNAIRE - STABILITE VOLUME 14
EXERCICES - MOUVEMENT STATIONNAIRE - STABILITE VOLUME 15
CHAPITRE 10
COURS - THEORIE DU CHOC VOLUME 16