AFA Partiel
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Master 1 MMD
Analyse fonctionnelle approfondie
Les appareils électroniques et les documents sont interdits. Les solutions devront être rédigées de manière
rigoureuse. Lorsque des résultats du cours seront invoqués, ils devront être clairement énoncés. Dans
tout le partiel, on pourra admettre le résultat d’une question pour traiter les questions suivantes.
1. Soit K = [a, b] où a, b ∈ R sont tels que a < 0 < b. Soit F une partie équicontinue de C(K, R).
Montrer qu’on a alors forcément |ui − ui+1 | ≤ η pour tout i ∈ [[1, p − 1]].
(b) La partie F est-elle uniformément équicontinue sur K ?
(c) Montrer que si {f (0) : f ∈ F } est borné alors pour tout x ∈ K, l’ensemble {f (x) : f ∈ F }
est relativement compact dans R.
(a) Montrer que d est bien définie et que c’est une distance.
(b) Montrer que pour toute suite (fk )k∈N de C(R, R) et toute f ∈ C(R, R), on a : (fk )k∈N converge
vers f pour d si et seulement si (fk )k∈N converge uniformément vers f sur tout compact de R.
3. Soit F une partie équicontinue de C(R, R) qui est telle que l’ensemble {f (0), f ∈ F} soit borné.
(a) Soit (fk )k∈N une suite de F. Montrer qu’il existe une sous-suite (fϕ(k) )k∈N qui converge
uniformément sur [−N, N ] pour tout entier N ∈ N∗ .
(b) En déduire que F est relativement compacte dans (C(R, R), d).
et telle que l’ensemble {f (0), f ∈ F} soit borné. Montrer que de toute suite de F, on peut extraire
une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de R.
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Exercice 2. Un théorème de point fixe. Soit H un espace de Hilbert. On note h·, ·i son produit scalaire
et k · k sa norme associée. Soit C un convexe fermé non vide de H.
1. On rappelle le théorème de séparation suivant : si C est sous-ensemble convexe fermé non vide
de H et x ∈
/ C, alors il existe z ∈ H tel que supy∈C hy, zi < hx, zi.
Montrer que si C est un convexe fermé de H, alors C est séquentiellement fermé pour la convergence
faible.
(b) Soit (un )n∈N une suite de H telle que un * u et un − T (un ) → f avec u, f ∈ H.
i) Montrer que
hf − (w − T (w)), u − wi ≥ 0, ∀ w ∈ H.
ii) Montrer que
hf − u − tv + T (u + tv), vi ≤ 0, ∀ t > 0, ∀ v ∈ H
puis que
hf − (u − T (u)), vi ≤ 0, ∀ v ∈ H.
iii) En déduire que u − T (u) = f .
Tn : C −→ C
u 7−→ (1 − 2−n ) T (u) + 2−n a.
Montrer que Tn est bien définie et que Tn admet un point fixe dans C que l’on notera un .
(b) Montrer que un − T (un ) → 0 lorsque n → +∞.
(c) Montrer que T admet un point fixe.