TD2

Université Saint-Joseph Année univ.
2022-2023
ESIB Matière : 020CHTCS1
Département de Génie Chimique Prof : R. LTEIF
TD 2
Atome à un seul électron-Hydrogénoïde
Exercice 1 :
Montrer que les fonctions d’onde angulaire réelles pour l = 1 et m = ± 1 sont orthogonales :
3 3
Y1,1 (q ,j )= sinq cos j et Y1,- 1 (q ,j )= sinq sin j
4p 4p
Exercice 2 :
La fonction d’onde de l’orbitale y(2pz) peut-être représentée sous la forme du produit de la fonction
R(2p) et de la fonction Y(pz) :
-5
(a0 ) 2 æ-r ö
1 3
ç 2a ÷
R (2 p ) = r eè 0ø
cos q
et Y( p z ) =
2 6 2 p
où a0 est le rayon de première orbite de Bohr de l'atome d'hydrogène à l'état fondamental.
1) Déterminer la (ou les) valeur(s) de r en unités de Bohr pour laquelle (ou lesquelles) la probabilité de
présence radiale définie par : P(r) = r2R2 de l’électron 2pz passe par un (ou des) maximum(s).
Comparer la (ou les) valeur(s) trouvée(s) à celle(s) déterminée(s) par le modèle de Bohr.
2) Représenter graphiquement la courbe donnant la densité de probabilité de présence radiale de
l’électron 2pz de l’atome d’hydrogène.
3) Tracer la courbe de la représentation angulaire de cette orbitale en attribuant le signe + et – à chaque
volume de la fonction.
4) Préciser les propriétés de symétrie et les surfaces nodales attendues pour cette orbitale.
Exercice 3 :
On considère l’ion Be+ (Z = 4) dont l’énergie expérimentale est égale à – 525 e.V.
1) Donner l’expression de l’hamiltonien.
2) a) Trouver l’énergie de cet ion en appliquant la méthode de perturbation, approximation ordre zéro
(EH = - 13,54 e.V.).
b) Déduire l’énergie de perturbation.
3) Calculer l’énergie de cet ion en appliquant les règles de Slater.
Exercice 4 :
A) 1) On étudie une orbitale atomique caractérisée par les nombres quantiques n = 2, l = 1, m = 0 et
les fonctions d’onde suivantes en coordonnées polaires :
Établir les expressions de :

a) La fonction d’onde Ψ
b) La densité de probabilité Ψ 2
2) En déduire le nom de l’orbitale correspondante.
3) Donner la représentation spatiale schématique et les signes des parties angulaires de cette
orbitale.
TD1/1
4) On considère la fonction d'onde Radiale de cette orbitale de l'atome d'hydrogène.
a) Déterminer la (ou les) valeur (s) de r pour laquelle (ou lesquelles) la probabilité de présence
définie par P(r) de l'électron dans cette orbitale passe par un (ou des) maximum (s).
b) Représenter graphiquement la courbe donnant la densité de probabilité de présence radiale
de l’électron de l’atome d’hydrogène dans cette orbitale.
B) 1) La fonction d’onde d’une des orbitales 3d de l’atome d’hydrogène s’écrit en coordonnées
polaires :
a) Préciser les valeurs de n, l et m possibles pour cette orbitale.

b) En déduire le nom complet de cette orbitale.
c) Donner la représentation spatiale schématique et les signes des parties angulaires de cette
orbitale.
Exercice 5 :
On donne la fonction propre y 1 relative au niveau d'énergie (propre) fondamental E1 ;
y 1 =y 1s = N ea r (avec N : cte et α Î IR -). Dans ce cas, l'opérateur Δ se réduit en coordonnées polaires à
:
1 d æ 2 d ö
D= 2 çr ÷
r d r çè d r ÷ø
1) Quelle est la particularité de la fonction y 1 ?
2) Calculer la densité de probabilité radiale. Pour quelle valeur de r passe-t-elle par un maximum ?
3) Ecrire effectivement l'équation de Schrödinger pour l'état fondamental. Résoudre l'équation.
Quelles sont alors les valeurs de α et de E1 ? Déduire la valeur de rmax.
On donne (dans le système MKSA) :

h2 e 0 - e2
dV =4 π r2 dr ; a 0 = ; U = ; μ = 9,11 10-31 Kg ;
p µe 2
4p e 0 r
e = 1,6 10 c ; h = 6,62 10 J.s ; ε0 = 8,85 10-12 c2.N-1.m-2
-19 -34
Exercice 6 :
Calculer le rayon de plus grande probabilité r sur lequel on trouvera l’électron qui occupe une orbitale
1s d’un atome hydrogénoïde de numéro atomique Z, et présenter sous forme de tableau les valeurs pour
toutes les entités monoélectroniques de H à Ne9+. Que remarquez-vous ?
La fonction d’onde radiale de l’orbitale 1s est :
3
æZ ö 2 -r
Rn, l = 2 çç ÷÷ e 2
è a0 ø
4 p 2 µ Ze 2 h2
avec r = 2a r ; a= et a0 = = 0,529 Å
h2 n 4p 2 µ e 2
On donne : 12 H ; 24 He ; 37 Li ; 49 Be ; 11
5B ; 12
6C ; 14
7N ; 16
8O ; 19
9F ; 20
10 Ne
Exercice 7 :
Représenter schématiquement, pour ℓ = 2, les possibilités d’orientation du vecteur moment cinétique
orbital d’un électron par rapport à l’axe Oz.
TD1/2

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Établir les expressions de :

a) Préciser les valeurs de n, l et m possibles pour cette orbitale.

On donne (dans le système MKSA) :

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