Cet exercice contient 12 exercices de mécanique du solide portant sur les torseurs, les champs de vecteurs et les propriétés des moments. Les exercices couvrent des concepts comme les éléments de réduction, l'invariant scalaire, l'axe central d'un torseur et la somme de torseurs.
Cet exercice contient 12 exercices de mécanique du solide portant sur les torseurs, les champs de vecteurs et les propriétés des moments. Les exercices couvrent des concepts comme les éléments de réduction, l'invariant scalaire, l'axe central d'un torseur et la somme de torseurs.
Cet exercice contient 12 exercices de mécanique du solide portant sur les torseurs, les champs de vecteurs et les propriétés des moments. Les exercices couvrent des concepts comme les éléments de réduction, l'invariant scalaire, l'axe central d'un torseur et la somme de torseurs.
Cet exercice contient 12 exercices de mécanique du solide portant sur les torseurs, les champs de vecteurs et les propriétés des moments. Les exercices couvrent des concepts comme les éléments de réduction, l'invariant scalaire, l'axe central d'un torseur et la somme de torseurs.
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École Nationale des Sciences Appliquées Année Universitaire 2023/2024
TD2 de Mécanique du Solide CP2
Exercice 1 Soient quatre points A, B, C, D de l’espace affine E. Montrer que le champ défini par :
est un champ équiprojectif.
Exercice 2
On considère trois vecteurs glissants définis par un point de leur support et leur vecteur libre :
A1(2,1,3)R, A2(1,1,5)R, A3(0,2,0)R
; ;
1) Quels sont les éléments de réduction en O, origine du repère, du torseur associé à cet ensemble de vecteurs glissants ?
2) Calculer l'invariant scalaire. Montrer qu'il existe deux valeurs de m telles que cet invariant soit nul.
3) Déterminer l'axe central du torseur pour la plus petite des deux valeurs trouvées.
Exercice 3
( ) 1 ⃗ U −3 passant par A(1; 1; 2) 4
( ) −5 Soit l’ensemble [V] : ⃗ V −2 passant par B(0; 1; -7) 2
( ) 6 ⃗ W 1 passant par C(1; -8; 5) −2
1) Calculer les éléments de réduction de l’ensemble au point O (0 0 0).
2) Calculer les éléments de réduction de l’ensemble au point D (1 2 6), Par deux
méthodes différentes. 3) Calculer l’Automoment de l’ensemble, V, éléments de réduction en O, Répéter le calcul avec les éléments de réduction en D. Conclusion ? Exercice 4
1/3 On se donne deux vecteurs et de l’espace vectoriel L’objet de cet exercice est de déterminer l’ensemble des vecteurs de vérifiant l’égalité suivante :
Cette équation d’inconnue est appelée «division» vectorielle.
Étudier les deux cas de figure : - est nul - est non nul
Exercice 5
Soient et deux vecteurs donnés et un vecteur inconnu. Montrer que l'équation
vectorielle
admet une solution et une seule.
Exercice 6 On considère le champ de vecteur ⃗ H défini en tout point P ( x , y , z ) de l’espace par :
( ) 1+ 2ty +tz ⃗ H ( P )= −2 tx+tz où tϵ R 3 2−tx−t y 1°) Pour quelles valeurs de t ⃗ H , est-il le moment d’un torseur ? 2°) Donner pour chacune des ces valeurs la résultante de ce torseur.
Exercice 7
Dans l’espace affine euclidien réel orienté e, de dimension 3, muni d’un repère orthonormé direct R ( O , x , y , z ) d’origine O et de base( i⃗ , ⃗j , ⃗k ), on considère le champ de vecteur ⃗ H , qui, pour t réel fixe, associé tout point P∈ e, le vecteur ⃗ H t ( P ) de composantes :
() { X X=1+3 y−tz ⃗ H t ( P )= Y Où Y =−3 x+ 2tz ⌊ x , y , z ⌋ étant le triplet des coordonnées de P. 2 Z Z=2+ tx−t y
1°) pour quelles valeurs de t, ⃗
H t est-il un torseur ? ⃗ 2°) lorsque H t est un torseur, calculer son vecteur et préciser si ce torseur est un glisseur, un couple, rechercher analytiquement son axe.
Exercice 8
Dans le repère ( O , ⃗i , ⃗j , ⃗k ) on considère le champ de vecteur défini en tout point P ( x , y , z ) de
l’espace par :
2/3 ( ) y ⃗ H ( P )= −x−z y 1°) Montrer que ⃗ H est équiprojectif. 2°) Déterminer la résultante du torseur associé au champ de vecteur ⃗ H.
Exercice 9
Soit un cube ABCD A'B'C'D', d'arête a.
a) Déterminer l'axe central du torseur constitué des vecteurs : ⃗ B' C ' , ⃗ AB , ⃗ D' D b) Calculer au centre du cube. Calculer l'automoment du torseur.
Exercice 10 (examen 2015)
Soient deux torseurs [T1] et [T2], de résultante respective ⃗
R1 et ⃗ R2 non nulles, tels que : ⃗ R1.⃗ R2=0 1°) Ecrire les torseurs [T1] et [T2] en un point M quelconque de l'espace E. 2°) Montrer que si leurs axes centraux se coupent, le comoment de [T1] et [T2] est nul. 3°) Démontrer que si le comoment est nul, les axes centraux se coupent à un angle droit.
Exercice 11 (examen 2017)
L'espace étant rapporté à un repère R ( O , ⃗
x , ⃗y , ⃗z ), un glisseur est défini au point O par : G= (O , k ⃗z ) avec k ≠ 0 On considère un point M appartenant au cercle : 2 2 2 x + y =R avec z =0 et R> 0 et un point N appartenant à la droite : y=ax avec z=0 1°) Calculer en M le moment du glisseur G . Quelle est la norme de ce moment ? 2°) Calculer en N le moment du glisseur G . Quelle est la norme de ce moment ?
Exercice 12 (examen 2017)
Soient les points A(1, 0, 0) ; B(0, 1, 1) ; C(1, 1, 0) ; D(1, 1, 1) et E(1, 0, 1), on considère les glisseurs: G 1= ( O , p ⃗ BD ) et G3=( C , r ⃗ OA ) ; G 2 = ( B , q ⃗ CE ) où p , q et r sont des scalaires. Soit τ la somme de ces glisseurs : τ =G 1+ G 2+G 3. 1°) Calculer le moment en O du torseur somme τ . Quel est sa résultante ? 2°) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que le torseur somme τ soit nul. , 3°) Calculer l'invariant scalaire I s de torseur somme τ pour quelle valeur de r ce torseur est un glisseur ? Justifier ? 4°) Dans le cas où ¿), déterminer l'axe central de torseur τ , tracer cet axe pour r =1.
