Poly
Poly
Poly
solides et fluides
par Emmanuel Plaut a Mines Nancy
Introduction 9
4 Solides elastiques 69
4.1 Loi de comportement elastique lineaire isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.1 Mise en evidence par une experience de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.2 Approche par essais-erreurs basee sur letude de la traction pure . . . . . . . . . . . . 72
4.1.3 Ecriture de la loi contraintes deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.4 Ce que nous apprend le cas du cisaillement pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.5 Ecriture de la loi deformations contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.6 Et la masse volumique dans tout cela ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.7 Ce que nous apprend le cas dune compression pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Problemes delasticite linearise : generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 Conditions limites regulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Linearite : principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.3 Conditions limites globales - Principe de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.4 Solutions analytiques (+ ou exactes) ou numeriques ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Methode des deplacements - Equation de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4 Methode des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Pb. 4.1 : Etude dun barreau parallelepipedique en flexion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Pb. 4.2 : Etude de contacts rectilignes avec forces de compression . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Pb. 4.3 : Etude dun systeme daccouplement elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Pb. 4.4 : Dimensionnement dun tuyau contenant un fluide sous pression . . . . . . . . . . . . 92
Pb. 4.5 : Etude et dimensionnement de coques sous pression pour un sous-marin . . . . . . . 94
Pb. 4.6 : Equilibre dun disque en rotation rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Pb. 4.7 : Barres cylindriques fragiles sollicitees en traction-torsion . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Pb. 4.8 : Ondes propagatives dans un solide elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.6 Notes personnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.5.3 Bilan denergie cinetique dans un ecoulement ouvert : pertes et gains de charge . . . . 154
7.6 Remarques de conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.7 Exercices et problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Ex. 7.1 : Bilan de force general en hydro- ou aerostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Ex. 7.2 : Calcul tres simplifie de laltitude atteinte par un ballon dhelium leste . . . . . . . . 160
Ex. 7.3 : Hydrostatique : etude de deux manometres differentiels . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Ex. 7.4 : Etude de lecoulement laminaire dans un tuyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Pb. 7.1 : Etude et calcul decoulements en tuyau par methode semi-globale . . . . . . . . . . 162
Ex. 7.5 : Equilibre dun liquide en rotation autour dun axe vertical . . . . . . . . . . . . . . . 163
Ex. 7.6 : Etude de letablissement dun ecoulement de Couette plan . . . . . . . . . . . . . . . 164
Pb. 7.2 : Etude dun rheometre de Couette cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Pb. 7.3 : Bilans de force et de charge pour les pompiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Pb. 7.4 : Levitation dune voiture par reaction de jets deau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Pb. 7.5 : Etude de la vidange dun reservoir par un tuyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Pb. 7.6 : Station de Transfert dEnergie par Pompage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.8 Notes personnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Bibliographie 195
Pour ce qui est de la physique, voir la matiere comme un milieu continu est le point de
vue naturel dun observateur-modelisateur qui considere et etudie le comportement macro-
scopique de materiaux solides ou fluides plutot denses et homogenes , cest-a-dire en quasi-
equilibre thermodynamique a une echelle microscopique. Nous revenons sur lhypothese de
modelisation milieu continu dans la premiere partie du chapitre 1. La deuxieme partie du
chapitre 1 est consacree a la cinematique des milieux continus, et le chapitre 2 a letude des
deformations des milieux continus. Dans le chapitre 3, nous introduisons les equations de la
dynamique dun milieu continu, et la notion tres importante de tenseur des contraintes. Le
chapitre 4 est consacre a la theorie des solides elastiques. Le chapitre 5 est dedie a lanalyse di-
mensionnelle, et ses applications a la mecanique des milieux continus solides. Dans le chapitre 6,
on etablit le bilan denergie cinetique dans un milieu continu general et dans un solide elastique
en particulier. Le chapitre 7 se focalise sur la mecanique des fluides parfaits et newtoniens.
Enfin le chapitre 8 presente quelques applications de lanalyse dimensionnelle a la mecanique des
milieux continus fluides.
Suite a la reforme mise en place en 2014, impliquant une diminution du volume horaire alloue
a ce module, en 1ere annee de lecole les applications aux fluides ne seront que peu developpees : les
chapitres 7 et 8 seront peu exploites. Ces chapitres 7 et 8 restent neanmoins dans ce document, car
ils pourront etre utilises dans dautres modules, plus tard. Par exemple, jexploite quelques sujets
de probleme dans le module de Mecanique des fluides que je donne ce semestre en 2eme annee
dans le departement Energie & Fluides. On peut aussi mentionner deux modules electifs lies a la
mecanique des fluides en 2eme annee :
Mecanique des fluides pour lingenieur par Jean-Sebastien Kroll & Mathieu Jenny ;
Mecanique des fluides numerique par Jean-Pierre Bellot.
Jespere enfin que quelques eleves, interesses de facon plus ou moins imprevue initialement par
la mecanique des fluides, pourront un jour revenir sur ces chapitres...
Du point de vue mathematique, les mecaniciens ont eprouve le besoin detendre lanalyse
vectorielle classique que vous avez apprise en classes preparatoires (etude des fonctions de plu-
sieurs variables, definition des operateurs gradient, divergence et rotationnel, theoremes associes)
en une theorie plus vaste quils designent sous le terme analyse tensorielle . Une presentation
de cette theorie est donnee dans le cours de calcul tensoriel et differentiel (Plaut 2017a), en
preliminaire a ce module.
1. Le terme mecanique vient du grec mekhane : machine.
10 Introduction
Le present document contient plusieurs annexes. Les deux premieres, lannexe A, sur les fon-
dements de la cinematique, et lannexe B sur lart de la redaction scientifique, figurent
dans la version papier du tome 1, du fait de leur importance.
Vous devez fournir du travail personnel avant et apres chaque seance de ce module, suivant ce
qui est indique precisement sur la page web dynamique
http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc .
Cette page contient la derniere version PDF complete de ce document, enrichie dannexes supple-
mentaires par rapport au tome 1 papier. Lannexe C introduit la photoelasticimetrie, qui sera
utilisee lors dune experience damphi et de TD. Lannexe D comprend des elements de correc-
tion des exercices et problemes, ainsi que des complements sur certains problemes. Enfin, la page
web contient un lien vers une page dannales...
Ce document a ete ecrit en partenariat avec Rachid Rahouadj, professeur a lecole nationale
superieure delectricite et de mecanique 2 , ou il a ete responsable pendant plusieurs annees dun
module similaire. Je le remercie beaucoup pour ce partenariat tres utile, et ses dessins, figures,
etc... realises avec talent ! Je remercie aussi Didier Bernardin, Mathieu Jenny, Antonio Pereira et
Mohamed Souhar pour des suggestions interessantes. Je signale que je cotoie tout ces collegues
au laboratoire denergetique et de mecanique theorique et appliquee (Lemta), situe sur le campus
de Brabois de lUL, dans lequel je mene mes activites de recherche. Je remercie Sebastien Allain,
Lucile Dezerald & Jean-Sebastien Kroll, de lInstitut Jean Lamour, Yann Gunzburger, du labora-
toire Georessources, Rainier Hreiz du laboratoire Reactions et Genie des Procedes 3 , Jean-Philippe
Chateau et Youssef Souhar pour leurs contributions. Finalement, je souligne que Denis Funfschil-
ling et Mathieu Jenny mont aide a concevoir et realiser lexperience de TD originale qui est le
support du probleme 7.5 4 .
dans le choix de ce modele : sa resolution doit etre possible moyennant des efforts et des
temps de calcul raisonnables. Cest bien sur une demarche de physicien qui nous guidera
dans le choix des hypotheses du modele du milieu continu .
La question 4 ayant donc recu une reponse, nous allons nous concentrer dans un premier temps sur
les questions 1 et 3, afin de definir les hypotheses du modele du milieu continu, puis nous attaquer
a la question 2.
3. la phase gazeuse, phase fluide de densite tres inferieure a celle de la phase liquide,
les phases fluides etant definies par le fait quun morceau de matiere fluide na pas de forme
propre : le liquide epouse la forme du support sur lequel il est pose, le gaz envahit tout le recipient
dans lequel il est contenu.
Une autre definition raisonnable de la difference entre phases solides et fluides consiste a enoncer
quun solide soumis a des forces tangentielles de faible amplitude constantes dans le temps repond
par de faibles deplacements de ses atomes ou molecules, alors quun fluide soumis a des forces
tangentielles de faible amplitude constantes dans le temps repond par des deplacements qui ne
cessent pas, devenant avec le temps de grande amplitude, de sorte quun ecoulement setablit dans
le fluide. Ceci est illustre par lexperience de Couette 3 presentee sur la figure 1.1, sur laquelle on
reviendra lorsquil sagira detablir les lois de comportement des solides et des fluides. Voyez aussi
la version animee de cette figure sur la page web du module. Cette experience de Couette
peut etre realisee, comme le montre, dans le cas fluide, la photographie de la figure 7.2 page 141.
On verra aussi a ce sujet le probleme 7.2. Dans le cas solide, voir le probleme 4.3.
Bien entendu ces differences de comportements macroscopiques 4 sexpliquent par des com-
portements nanoscopiques 5 differents. Dans un solide les atomes ou molecules sont tres proches
matire
axe
solide fluide
les uns des autres 6 donc en interactions fortes, et lagitation thermique est limitee : ceci a pour
consequence leur cohesion et capacite de resistance aux forces illustree par lexperience de
la figure 1.1. Dans un liquide on a des interactions encore assez fortes, puisque les atomes ou
molecules sont encore tres proches 7 , mais lagitation thermique est beaucoup plus grande, dou la
capacite decoulement illustree par lexperience de la figure 1.1. Enfin dans un gaz on a des
densites beaucoup plus faibles 8 , dou des atomes ou molecules en interactions faibles, et une tres
grande agitation thermique, dou une capacite decoulement encore plus grande. Lobjet de la
physique des materiaux ou de la physique des fluides est exactement de preciser ces comportements
nanoscopiques. Ces disciplines seront abordees dans le module de physique quantique du premier
semestre (Andrieu 2008) et celui de physique statistique du second semestre (Gaudry 2012). On
verra quelles sont complexes et que modeliser par exemple en mecanique quantique les proprietes
de transport delectrons dans un semi-conducteur homogene, ou en mecanique statistique la pres-
sion dun gaz parfait tout aussi homogene, requiert deja de serieux efforts. Comme le mecanicien
sinteresse le plus souvent a des situations presentant des heterogeneites a son echelle, il est oblige
de faire des hypotheses simplificatices en ce qui concerne les petites echelles, et ne doit pas vouloir
les decrire trop finement . Ainsi le mecanicien des milieux continus suppose que la matiere est
constituee de particules materielles ou volumes elementaires representatifs de
diametre caracteristique d dans un etat local homogene de quasi-equilibre thermodyna-
mique, suffisamment gros pour contenir suffisamment datomes ou de molecules pour que cette
notion de quasi-equilibre ait un sens du point de vue de la physique statistique,
d ' 10 m , (1.3)
mais il est clair que ces estimations peuvent varier en fonction des applications considerees :
lingenieur en contruction modelisant les fondations dune route constituees dun gravier grossier
estimera sans doute que son volume elementaire representatif est plus grand que celui de lingenieur
etudiant le comportement de petites pieces mecaniques.
Dans le cas de solides ou liquides simples , par exemple des corps purs, des alliages, des
melanges localement homogenes , on peut estimer que ` est de lordre de la dizaine dangstroms,
donc la premiere inegalite (1.1) est satisfaite si d est correctement estimee selon (1.3). Dans le cas
de materiaux composites ou fibreux, de materiaux granulaires, ou de suspensions, les
choses se compliquent, mais a condition daugmenter d on peut parfois (pas toujours !) obtenir des
modeles de milieux continus equivalents relativement pertinents.
Dans le cas de gaz, les heterogeneites atomiques ou moleculaires disparaissent sous leffet des
collisions entre atomes ou molecules : il faut donc prendre pour ` le libre parcours moyen des
atomes ou molecules. Linegalite impliquee par (1.1) et (1.2),
` L,
nest alors pas automatiquement verifiee, surtout si le gaz est de tres faible densite. Pour distinguer
les differents regimes de comportement possibles, on introduit en consequence le nombre de
Knudsen 10
`
K = . (1.4)
L
Un modele de milieu continu ne peut etre developpe que si le nombre de Knudsen est tres petit. En
utilisant par ailleurs le modele du gaz parfait (voir Gaudry 2012), on peut estimer le libre parcours
moyen comme etant
1
` = 2
dm n
9. Dite parfois echelle mesoscopique , du grec
mesos : moyen.
10. Physicien danois de la fin XIXeme - debut XXeme .
1.1. Modele du milieu continu solide ou fluide 15
ou dm est le diametre efficace ( collisionnel ) des atomes ou molecules, de lordre de leur diametre
reel, et n est la densite atomique ou moleculaire du gaz. En remplacant cette densite par sa valeur
donnee par la loi des gaz parfaits (cf. le rappel ci-dessous et lequation 1.6), n = p/(kT ) avec
p la pression, k la constante de Boltzmann, T la temperature absolue, on obtient une estimation
du nombre de Knudsen
1 kT
K = 2 = 2 . (1.5)
dm Ln dm Lp
Le modele du milieu continu ne sera pas valable des que K & 0,01, cest-a-dire pour des gaz tres peu
denses, i.e. chauds ou a faible pression. Ceci ecarte par exemple les gaz de la haute atmosphere,
ou encore la plupart des plasmas, qui jouent un role important dans les procedes de traitement
de surface des materiaux, et qui pourraient un jour jouer un role important en energetique 11 12 .
Comme toute notion physique, la distinction entre solide et fluide a ses limites. Des modeles plus
generaux et sophistiques existent, permettant par exemple de decrire les ecoulements de solides
(!) sur des temps longs, ou au contraire la reponse elastique de certains fluides complexes (!) sur
des temps courts, i.e. de marier les modeles du solide elastique et du fluide visqueux que nous
allons introduire ici ; on parle alors souvent de lois de comportement de type viscoelastique ...
Ces modeles depassent tres largement le cadre de ce module.
h(x, t)i
MMC (x, t)
d L
Fig. 1.2 Dans un gaz, allure en echelle log-log de la courbe de la masse volumique autour de x moyennee
sur une echelle definie par (1.8). Aux petites echelles ' ` la masse volumique apparait comme une fonction
discontinue, puisquau fur et a mesure que le rayon de la boule centree en x augmente le numerateur de
(1.8) augmente de ma a chaque fois que la frontiere de cette boule atteint un nouvel atome. A des echelles
de lordre de d, la masse volumique se stabilise sur une valeur moyenne MMC (x,t). A des echelles de lordre
de L, cette masse volumique varie continument, sous leffet dun gradient thermique par exemple : on peut
imaginer que le point x se trouve au cur dune region chaude, ou le fluide est moins dense ; quand on
seloigne le gaz est plus froid donc plus dense. Ce sont ces dernieres variations que le (thermo)mecanicien
des milieux continus veut pouvoir decrire, tout en oubliant celles a petite echelle.
plutot cette perception de la matiere resulte bien dune prise de moyenne 15 : en moyennant
comme on va lexpliquer toute quantite a lechelle d, on lisse les fluctuations de petite echelle
et on oublie la nature discrete et discontinue (i.e. atomique ou moleculaire) de la matiere.
Considerons un materiau gazeux dans des conditions terrestres, constitue datomes du meme corps
pur de masse ma . On sait que lon peut alors adopter une description classique 16 de ce gaz, en
considerant chaque atome comme une petite boule dure. A linstant t, notons xn (t) les positions
instantanees de ces atomes-boules 17 . Soit x un point dans ce materiau. La masse volumique autour
de x moyennee sur une echelle grande devant le diametre des atomes est
xn = OMn .
La notation des vecteurs avec une barre superieure est aussi definie dans cette annexe.
18. Card(E) est le nombre delements de lensemble E.
19. t0 = t + t avec t un temps nanoscopique , de lordre de grandeur de la duree du libre parcours moyen
dun atome.
1.1. Modele du milieu continu solide ou fluide PSfrag replacements 17
instant t0 instant t
vMMC (X, t0 ) x
X
vMMC (x, t)
Fig. 1.3 Representation schematique du mouvement dans un gaz chaud. Les grosses boules de gauche
et droite representent les positions initiale (a linstant t0 ) et finale (a linstant t) dun volume elementaire
representatif que lon suit dans son mouvement ; la courbe trajectoire epaisse est donc definie comme la
solution de dx/dt = vMMC (x,t) munie de la condition initiale x(t0 ) = X. A cause des phenomenes de
diffusion, un atome particulier (petite boule noire) a une trajectoire proche de cette trajectoire moyenne
seulement au debut ; il en diverge peu a peu.
une courbe differente aux petites echelles ' `, mais, a cause de lhypothese du quasi-equilibre
local, identique aux grandes echelles & d. En dautres termes la prise de moyenne est a la fois
spatiale et temporelle, au sens de la physique statistique. Bien entendu sur des temps longs 20 ,
toute la courbe peut se mettre a dependre du temps, i.e. MMC (x,t) va dependre du temps. Au
bilan, dans le gaz etudie, le mecanicien des milieux continus va pouvoir considerer lensemble de
toutes ces particules materielles de taille d comme un continuum sur lequel des quantites comme
la masse volumique locale MMC (x,t) varient de facon douce. Avec la meme methode de prise
de moyenne, on suppose que lon est capable de definir par exemple la vitesse vMMC (x,t) de la
particule materielle - volume elementaire representatif situee en x a linstant t, ou encore la
Dans les conditions standard de temperature et de pression (le coefficient D augmente fortement
avec la temperature) :
dans un gaz D est de lordre de 104 m2 /s ;
20. Des temps macroscopiques ...
21. Cette temperature est definie a partir de lenergie cinetique (moyenne !) Ea par atome des mouvements dagi-
tation thermique de ceux-ci, grace a une relation de proportionnalite du type Ea = ckT ou c est un coefficient demi
entier dependant du nombre de degres de liberte des atomes ou molecules.
22. Cette remarque vaut surtout pour les fluides, et ce dautant plus quils sont chauds.
18 Chapitre 1. Modele du milieu continu - Cinematique elementaire
dans un liquide comme de leau, D est de lordre de 109 m2 /s (cf. Guyon et al. 2001 pour
ce qui concerne ces cas fluides) ;
dans un solide D est de lordre de 1050 m2 /s (cf. Ashby & Jones 1998).
Il est instructif de faire une application numerique a partir de ces ordres de grandeur. Cette
application montre que lon peut qualifier la cohesion des particules materielles dun
solide comme tres bonne, celle dun gaz comme faible, et celle dun liquide comme intermediaire.
En dautres termes une particule materielle dun solide est vraiment materielle et va
durer longtemps , alors que dans un gaz elle va etre renouvelee assez rapidement . A
cause de ces phenomenes de diffusion, on peut considerer que le terme de volume elementaire
representatif est preferable a celui de particule materielle , que lon continuera cependant
a employer du fait de sa signification moyenne qui reste indiscutable 23 . On reviendra sur ces
phenomenes de diffusion dans le probleme 1.2.
direct dorigine O a ete choisi, cf. lannexe A. En consequence, le vecteur position du point materiel
M est defini par x = OM.
Cette description, qui est la plus naturelle pour les fluides, caracterise justement le mouvement
dun milieu occupant a linstant t le domaine Dt par le champ dit eulerien des vecteurs
vitesses des particules materielles
v(.,t) : Dt R3
(1.11)
x 7 v(x,t)
suppose regulier 24 par rapport a x et t. Dans le cas de fluides, illustre sur la figure 1.4, on peut
acceder a ce champ experimentalement en observant le mouvement de petites particules (poussieres,
microbilles) ayant la meme masse volumique que le fluide, que lon peut considerer en premiere
approximation comme solidaires des particules materielles 25 . On les qualifie alors de tra-
ceurs parfaits . Si xp (t) designe la position dun traceur (parfait) au cours du temps, suivie
par exemple par des moyens optiques (une camera, eventuellement rapide si le mouvement est
23. Pour des materiaux dans lesquels lapproche du milieu continu est pertinente.
24. Disons de classe C 1 au moins.
25. En premiere approximation seulement, ne serait-ce qua cause des phenomenes de diffusion que lon a deja
evoques ! Cest lobjet dune certaine branche de la science des ecoulements diphasiques de dire les limites de
cette premiere approximation, et den proposer de meilleures. Ce probleme est loin detre simple, et fait encore lobjet
de recherches actives a lheure actuelle.
1.2. Cinematique elementaire 19
Fig. 1.4 Champs euleriens de vitesse v(x) (fleches) et de pression p(x) (niveaux de gris) dun
modele decoulement de fluide parfait autour dune aile davion a section elliptique, dans le referentiel
lie a cette aile ; on peut imaginer que cest le referentiel dune soufflerie. Du fait que lecoulement est plus
rapide au-dessus de laile, une depression sy cree ; par ailleurs un point darret existe en avant au-dessous de
laile, dou une forte surpression par effet Bernoulli (cf. la section 7.4). Ceci explique lexistence dune
portance. Ce modele est etabli dans le probleme 3.10 de Plaut (2017b).
position
X = OM0 dans D0 a linstant t0 , (1.13)
alors a linstant t cette meme particule materielle se trouve en
x = OM = (X,t) . (1.14)
Une illustration se trouve sur la figure 1.5. Ainsi (.,t) est lapplication
(.,t) : D0 Dt
. (1.15)
X 7 x = (X,t)
Ceci revient a suivre les trajectoires des particules materielles : la trajectoire de la particule
qui etait en X a linstant t0 est la courbe parametree 29
Naturellement (.,t) doit etre une bijection reguliere 30 de D0 sur Dt . Son inverse est la bijection
(.,t) de Dt sur D0 telle que
On definit naturellement le champ lagrangien des vitesses comme celui des vitesses des
particules lagrangiennes situees en X quelconque dans D0 a linstant t0 ,
V(.,t) : D0 R3
x (X,t) , (1.18)
X 7 V(X,t) =
=
t t
dx
x(t0 ) = X et = v(x(t),t) . (1.20)
dt
Si ce travail est fait quelque soit la position initiale X dans D0 , on en deduit dapres (1.16),
(X,t) = x(t) .
29. La notation x(t) est un peu abusive, car x depend de X, comme le rappelle justement la notation (X,t).
30. Disons de classe C 1 au moins par rapport a X ; on la suppose aussi reguliere par rapport a t, disons de classe
2
C au moins.
1.2. Cinematique elementaire 21
(a) Principe :
(., t)
X
x
en notant
dx = x0 (s)ds . (1.22)
En un point ou toutes les composantes du vecteur vitesse v(x,t) sont non nulles, il passe une ligne
de courant et une seule. En general les lignes de courant forment une famille de courbes dependant
de deux parametres, par exemple les deux coordonnees de leur intersection avec un plan donne.
Un exemple de calcul de lignes de courant sera donne dans le probleme 1.1.
31. Le parametrage par s variant dans un intervalle [s1 ,s2 ] nest surement pas unique, puisquil resulte dun choix
de nature technique.
22 Chapitre 1. Modele du milieu continu - Cinematique elementaire
ligne demission qui est le lieu occupe par les particules materielles qui ont ete chargees en co-
lorant en passant par xP entre tM et linstant dobservation t. En notant t0 cet instant de passage
au point de marquage xP , et en utilisant une description lagrangienne du mouvement, on obtient
que la particule concernee etait en X = (xP ,t0 ) a linstant de reference, dou
n o
CLE = ((xP ,t0 ), t) pour t0 [tM ,t] . (1.23)
dx k v(x(t)) .
Les trajectoires et lignes de courant sont donc confondues. Dautre part tous les points
passant par le meme point xP ont la meme trajectoire, les trajectoires et lignes demission
sont donc confondues.
= L (X,t) . (1.25)
= E (x,t) . (1.26)
Le lien entre les deux se fait grace aux applications et introduites section 1.2.2, suivant les
formules
L (X,t) = E ((X,t),t) et E (x,t) = L ((x,t),t) . (1.27)
Afin decrire des equations devolution basees sur la physique, il importe de suivre les particules
materielles dans leur mouvement. Le bon taux devolution dune quantite comme la masse volu-
mique est donc la derivee particulaire
d L (X,t) dE ((X,t),t) E i E
= = = + (1.28)
dt t dt xi t t
en utilisant la convention de sommation dEinstein 32 . On peut recrire cette equation en remarquant
que, dapres (1.18) et (1.19),
i
= Vi (X,t) = vi (x,t) ,
t
32. Voir le chapitre 1 du cours de calcul tensoriel ; (x1 ,x2 ,x3 ) sont ici les coordonnees dans le repere de travail.
1.3. Problemes 23
dou en description eulerienne, en omettant les exposants E pour alleger les notations,
d
= + v . (1.29)
dt t
Le dernier terme, faisant intervenir la vitesse locale, est dit de convection ou d advec-
tion . Le probleme 1.2 illustre limportance des effets dadvection, et montre leur competition
avec des effets de diffusion.
1.3 Problemes
Probleme 1.1 Etude de lecoulement potentiel autour dun mobile cylindrique
Les ecoulements engendres par des mobiles (par exemple un avion !) sont tres importants
en mecanique des fluides. On sinteresse ici au cas dun mobile cylindrique, que lon peut considerer
en premiere approximation comme bidimensionnel. Il prend donc la forme dun disque de rayon
a. Lecoulement etudie est considere comme incompressible et irrotationnel, donc potentiel. En
quelques mots lhypothese decoulement irrotationnel se justifie en fluide parfait , comme on le
verra dans la section 7.4.6, ou encore en cellules de Hele-Shaw 33 . Ces cellules sont des canaux
plans de faible epaisseur, dans lesquelles les ecoulements sont domines par les effets visqueux. En
consequence on a dans lequation de Navier-Stokes (7.51) equilibre entre le gradient de pression mo-
trice et le terme visqueux, dou une relation de proportionnalite entre la vitesse parallelement aux
plaques et le gradient de pression motrice 34 , qui montre que la encore lecoulement est potentiel. La
theorie complete des ecoulements potentiels bidimensionnels sera par exemple donnee dans Plaut
(2017b). Lobjet du probleme qui suit est premierement de se familiariser avec differentes notions
de cinematique, deuxiemement de continuer a sentraner en analyse tensorielle (manipulation de
div, dx, dy, dr, d, etc...).
1 On commence par travailler dans le referentiel lie au disque. Dans ce referentiel le disque est
centre en x = 0, et le fluide arrive de linfini avec la vitesse U ex . On veut verifier que le champ
de vitesse bidimensionnel
b(y 2 x2 )
cxy
v(x) = vx ex + vy ey avec vx = U 1 + 2 et vy = U 2
(x + y 2 )2 (x + y 2 )2
peut constituer un bon modele de lecoulement, et faire une etude cinematique de cet ecoulement.
Dans ce modele les constantes b et c sont pour linstant des parametres reels ajustables.
1.1 A quel type de description du mouvement correspond la donnee du champ de vitesse v(x) ?
Que peut-on dire de ce mouvement ?
1.2 Montrez que, en imposant une certaine relation entre les parametres b et c, ce champ de vitesse
decrit bien un ecoulement de fluide incompressible,
divv = 0 .
1.3 Montrez que, par un choix adequat de b, on peut assurer la condition dimpermeabilite de
linterface entre le solide et le fluide, cest-a-dire la nullite de la vitesse normale au cercle frontiere.
33. Du nom dun ingenieur et professeur anglais actif fin XIXeme , debut XXeme .
34. Cf. par exemple la section 8.6.3 de Guyon et al. (2001).
24 Chapitre 1. Modele du milieu continu - Cinematique elementaire
x = r cos et y = r sin .
2 On travaille maintenant dans le referentiel lie au fluide a linfini. Dans ce referentiel le disque
est centre en x = U tex .
2.1 En explicitant la transformation de Galilee entre le referentiel lie au disque mobile, repute
relatif , et le referentiel lie au fluide a linfini, repute absolu , donnez lexpression du champ
2.2 Calculez puis tracez les lignes de courant de ce champ de vitesse a linstant initial t = 0.
Indications : vous aurez ici encore interet a exprimer vx et vy en coordonnees polaires (r,).
2.3 Donnez au moins deux raisons pour lesquelles ces lignes de courant different des trajectoires
de cet ecoulement.
1.1 Justifiez par une analyse des symetries de ce probleme (au sens large des proprietes de
symetries geometriques et aussi des echelles physiques ou geometriques) que la dependance spatiale
de a se fera via une dependance en
xi xi
= ,
Dt
1.3. Problemes 25
a = f (t) g() .
a (x,t = 0) = ma (1.33)
1.5 Un village se trouve situe a la hauteur de la bouche de la cheminee, a une distance de 2 ki-
lometres a vol doiseau. Calculez le temps necessaire pour que la concentration en elements radio-
actifs atteigne en ce lieu sa valeur maximale, et donnez alors lordre de grandeur de ce pic de
concentration , sachant que ma = 100 g.
Vous prendrez ensuite un peu de recul pour critiquer cette application numerique et ce modele.
2 On considere le meme phenomene de pollution, mais dans une atmosphere soumise a un vent
que lon suppose en premiere approximation uniforme
v(x,t) = U e1 . (1.34)
2.1 Expliquez ce qui change par rapport a la partie 1, et montrez que la solution de (1.30) est
maintenant de la forme
" #
(x U t)2 + x2 + x2
1
a = A t3/2 exp 2 3
, (1.35)
4Dt
2.2 En supposant que (malheureusement !) le village dont il etait question en 1.5 est sous le
vent en provenance de lusine, reprenez cette question 1.5. Pour lapplication numerique vous
supposerez que U = 20 km/h.
26 Chapitre 1. Modele du milieu continu - Cinematique elementaire
Cinematique avancee :
etude des deformations
(.,t) : D0 Dt
, (2.1)
X 7 x = (X,t)
il est naturel de se poser la question du transport dun petit segment de matiere dX dorigine
X. A priori, comme cela est represente sur la figure 2.1, il sera transforme en une courbe dorigine x
et dextremite x + dx, dautant plus proche dun segment que dX est petit. Dapres la definition du
1. Sans parler du probleme de la rupture des materiaux, qui presentent tous des capacites de deformations
limitees !...
PSfrag replacements
(., t)
x + dx = (X + dX, t)
X + dX
dx = F dX veut dire... dX dx
X x = (X, t)
(., t)
Fig. 2.1 Figure illustrant la definition intrinseque (2.4) du gradient (lagrangien) de la transforma-
tion : F - sous-entendu au point X - est lapplication lineaire qui a la difference de position initiale dX fait
correspondre la difference de position actuelle dx. Cest donc lapplication lineaire representee par la fleche
epaisse.
gradient dun champ de vecteurs donnee dans la section 2.2 du cours de calcul tensoriel, en prenant
la convention du calcul differentiel qui consiste a ne pas rappeler lexistence de termes correctifs
supposes infiniment petits parce que dX est infiniment petit , il existe une relation lineaire
entre dX et dx, soit
dx = X (.,t) dX . (2.2)
qui regit le transport dun (tout) petit segment de matiere dorigine X selon
F : R3 R3
. (2.4)
dX 7 dx = F dX
Comme tous les tenseurs introduits dans cette section 2.1, F est un tenseur lagrangien cest-
a-dire un champ tensoriel dependant de X D0 et t. En repere orthonorme, dapres le cours de
calcul tensoriel, on a
i
F = ei ej , (2.5)
Xj
que lon note parfois de facon legerement abusive
xi
F = ei ej . (2.6)
Xj
En raisonnant en physicien, le fait que le milieu continu garde son integrite localement autour de
x durant le mouvement implique que F est une application lineaire bijective. Mathematiquement
on peut voir cette propriete comme resultant du fait que (.,t) est bijective.
x = (X,t)
PSfrag replacements
(., t)
dx2
X x
dx1
dX1
Fig. 2.2 Representation du phenomene de transport lagrangien dun petit volume pa-
rallelepipedique.
Le volume initial peut se calculer a laide du produit mixte des vecteurs dX1 , dX2 et dX3 , soit le
determinant des vecteurs colonnes representant ces trois vecteurs dans une base quelconque
que
d3 x = J d3 X . (2.11)
2. Cest bien une quantite scalaire intrinseque qui ne depend pas, dapres la theorie des determinants, du choix
de la base utilisee. On dit aussi que cest un invariant du tenseur F. Un autre exemple dinvariant de F est sa trace
trF.
3. Lors dun mouvement on reste toujours du meme cote du miroir, nen deplaise a Lewis Carroll !
Mathematiquement, pour X fixe dans D0 , considerons la fonction continue j : t 7 J(X,t). A t = t0 instant
initial ou de reference, (.,t0 ) se reduit a lidentite, donc F(X,t0 ) = 1 et j(t0 ) = det 1 = 1. Comme F(X,t) est une
bijection, son determinant j(t) ne peut sannuler. Limage continue de [t0 ,t] par j doit donc etre un intervalle de la
forme [j1 ,j2 ] avec 0 < j1 1 j2 .
32 Chapitre 2. Cinematique avancee : etude des deformations
on a
F = R rotation (2.14)
qui nest pas forcement lidentite !
On peut se convaincre quun bon critere de non-deformation locale est celui de la conservation
des produits scalaires entre deux petits vecteurs materiels quelconques dX et dX0 dorigine X,
transportes en dx et dx0 dorigine x = (X,t), comme le montre la figure 2.3 :
le mouvement nest pas deformant autour de X ssi dX, dX0 , on a dx dx0 = dX dX0 . (2.15)
il est clair que, dun point de vue differentiel, lapplication qui au couple de petits vecteurs dX et
dX0 fait correspondre
dx dx0 = F dX F dX0 (2.17)
est une forme bilineaire. Cest donc un tenseur dordre 2 dapres le cours de calcul tensoriel. On
lappelle tenseur des dilatations de Cauchy 4 et on le note C(X,t) ou C :
C : R3 R3 R
. (2.18)
(dX,dX0 ) 7 C(dX,dX0 ) = dx dx0
0
dX
dx
0
Mouvement non deformant : X
(., t) x
dx
dX
0
dX
dx
0
(., t)
Mouvement deformant : X x dx
dX
Fig. 2.3 Representation du phenomene de transport lagrangien du produit scalaire entre deux
petits vecteurs. Dans le cas de la figure superieure, le produit scalaire est conserve, dans le cas de la figure
inferieure, il est modifie.
En termes geometriques ceci equivaut a requerir que F soit une transformation orthogonale ; comme
elle doit etre directe pour des raisons physiques 6 , il sagit forcement dune rotation.
2
dX 6= 0, C(dX,dX) = dx dx = ||dx||2 = F dX > 0 . (2.22)
Cette forme quadratique a une interpretation immediate qui justifie le nom donne a C :
s (
||dx|| C(dX,dX) dilatation dans la direction dX si > 1
(dX) = = = .
||dX|| dX dX contraction dans la direction dX si < 1
(2.23)
Une autre consequence du fait que C symetrique definit une forme quadratique definie positive
est que C peut se diagonaliser sur une base orthonormee, ses valeurs propres etant strictement
positives, et sinterpretant a la facon de (2.23). On reviendra sur linterpretation generale des
composantes du tenseur C dans lexercice 2.1.
De maniere generale, certains mecaniciens parlent de directions principales pour designer
les vecteurs propres dun tenseur dordre 2, et de valeurs principales pour designer les
valeurs propres dun tenseur dordre 2. On reviendra sur ce vocabulaire, et sur une representation
possible dun tenseur symetrique dordre 2, dans la section 3.2.8.
6. Mathematiquement, on a vu dans la section precedente que J = det F est toujours strictement positif. Comme
C = 1 implique que J 2 = 1, on ne peut quavoir J = +1.
34 Chapitre 2. Cinematique avancee : etude des deformations
1
e : (dX,dX0 ) 7 e(dX,dX0 ) = dx dx0 dX dX0 .
(2.24)
2
Il depend de X et t, et permet de mesurer les variations des produits scalaires entre petits vecteurs
dorigine X transportes par le mouvement en x a linstant t. En ecrivant que
1 1 T
e = C1 = F F1 (2.26)
2 2
et
le mouvement nest pas deformant autour de X ssi e = 0 . (2.27)
M0
u M
O
PSfrag replacements PSfrag replacements
M
M0
u
instant t
instant t0 instant t instant t0
O
Fig. 2.4 Figure illustrant la definition (2.35) du deplacement u dun point materiel.
Montrons quune telle application est toujours lineaire. Pourncela on remarque que limage dune
o
base orthonormee ei par f est une base orthonormee, soit f ei . Soient maintenant x1 , x2 , x3
trois scalaires quelconques. Considerons le vecteur
y = f(xi ei ) xi f(ei ) .
On a, par orthogonalite de f,
M, AM = L A0 M0 x xA = L (X XA ) , (2.33)
cest-a-dire que lon a affaire a une transformation homogene au sens de (2.13). Dans ce cas
on a identite entre L et le tenseur gradient de la transformation F, qui est une transformation
orthogonale dapres (2.30). Cette transformation doit etre directe pour des raisons physiques, cest
donc une rotation que lon note R. Au bilan on a donc un mouvement de translation-rotation
en bloc
x = xA + R (X XA ) (2.34)
u(.,t) : D0 R3
. (2.35)
X 7 u(X,t) = x X = (X,t) X
8. On peut remarquer que les demonstrations donnees en classes preparatoires pour aboutir a ce resultat
sont souvent deficientes : en effet elles supposent implicitement la linearite de lapplication f introduite ci-dessus,
linearite qui nest pas si evidente.
36 Chapitre 2. Cinematique avancee : etude des deformations
X u(.,t) = X (.,t) 1 ,
F = 1 + X u(.,t) .
F = 1 + u . (2.37)
En inserant cette egalite dans la definition (2.19) du tenseur des dilatations de Cauchy, on
obtient que celui-ci vaut
C = 1 + u + uT + uT u . (2.38)
1
e = u + uT + uT u . (2.39)
2
Cette reecriture de e, dont on rappelle que la signification physique est donnee par
avec les notations de la section 2.1.4, montre que, en general, lordre de grandeur de e est celui de
u. On definit en consequence lhypothese de petite transformation par
X D0 , F 1 1 u 1 . (2.40)
Techniquement la norme utilisee pour mesurer lordre de grandeur du tenseur u importe peu,
puisque lespace des tenseurs dordre 2 est de dimension finie, egale a 9 (on peut ici raisonner
en termes de matrice), donc toutes les normes sont equivalentes sur cet espace. En pratique on
raisonnera souvent a laide dune norme infinie 9 et en utilisant un repere orthonorme, dou la
traduction suivante de lhypothese de petite transformation :
ui
X D0 , i,j, 1 . (2.41)
Xj
9. Non induite, i.e., L = maxi,j (Lij ).
2.1. Etude lagrangienne des deformations 37
Une autre consequence de lhypothese de petite transformation est que le dernier terme dans
lexpression (2.39) peut etre neglige devant les deux premiers, i.e.
e ' (2.43)
avec
1
= (X,t) = u + uT (2.44)
2
dX = dX0 = dX e1 , (2.46)
on obtient
dx2 = ||dx||2 ' dX 2 + 2 dX 2 11 ,
Un exemple de mouvement local deformant plan est donne sur la figure 2.5.
On remarque aussi que, dapres le resultat de lexercice 1.10 de calcul tensoriel, on a, pour le
jacobien de la petite transformation, cest-a-dire la dilatation volumique,
J = det F = det 1 + u ' 1 + tru = 1 + divu . (2.50)
On note pour terminer une simplification qui se revelera utile en petite transformation : on
peut en premiere approximation considerer que
X ' x , (2.51)
x = (X,t) .
u u xi u
X u = ek = ek = Fik ek .
Xk xi Xk xi
Comme F est tres proche de lidentite du fait de lhypothese de petite transformation (2.40), on
obtient bien, en premiere approximation,
u u
X u ' ik ek = ek = x u .
xi xk
Ceci simplifiera les etudes realisees en petits deplacements et transformations : on pourra confondre
X et x dans le calcul de .
Ceci permet de donner un exemple de mouvement satisfaisant lhypothese des petites deformations 12 ,
puisque
1 T
e = F F1 = 0 1 , (2.54)
2
sans pour autant satisfaire lhypothese de petite transformation, puisque, si R est une rotation
dangle (autour dun certain axe), F est tres differente de lidentite.
12. Pas etonnant pour un solide justement indeformable !
2.1. Etude lagrangienne des deformations 39
12 dX
22 dX
du
dX dX
2 dx
dx
du 12 dX
11
00 11
00
00
11 00
11 2
11 dX
X dX x dX
Fig. 2.5 Representation locale dun mouvement plan deformant sans rotation, i.e. = 0 avec
les notations de la section 2.1.9. Les petits segments de matiere dans la configuration de reference sont pris
dans les directions des axes de coordonnees, et de normes egales, cest-a-dire donnes par lequation (2.48).
Cette figure permet de visualiser les composantes 11 , 22 et 12 du tenseur des deformations linearise,
ainsi que langle de glissement .
= 0. (2.55)
u = . (2.56)
u = u0 + X , (2.57)
qui correspond a une translation pour ce qui est du premier terme, et a une rotation infinitesimale
pour ce qui est du second terme. Un champ de cette forme (2.57), qui correspond a la solution
generale de lequation
= 0 u + uT = 0 , (2.58)
est appele champ de moments . On peut noter que
1
= rot u .
2
u = + , (2.60)
dou, en posant
1
= rot u , (2.61)
2
la formule locale
du = dX + dX . (2.62)
Cette formule, qui sexplicite en repere orthonorme sous la forme
dui = ij dXj + ijk j dXk , (2.63)
montre que localement on peut decomposer les deplacements en une deformation infinitesimale
(terme dX) et une rotation infinitesimale (terme dX). On meditera a ce sujet les figures
2.5 de ce document et 2.2 du cours de calcul tensoriel.
On peut conclure cette etude lagrangienne en remarquant que lhypothese
petite transformation u 1 , (2.64)
K = x v (2.67)
on obtient
d(dx)
= K dx . (2.68)
dt
Comme tous les tenseurs introduits dans cette section 2.2, K est un tenseur eulerien cest-
a-dire un champ tensoriel dependant de x Dt et t. Dapres le cours de calcul tensoriel, si on
travaille en repere orthonorme on a
vi
K = ei ej . (2.69)
xj
2.2. Etude eulerienne des deformations 41
PSfrag replacements
v(x + dx)dt
x + dx
dx(t + dt)
dx(t)
x v(x)dt
Fig. 2.6 Representation du phenomene de transport dun petit segment de matiere dx, entre deux
instants tres proches t et t + dt.
db db((X,t),t) b i b
= = + (2.70)
dt dt xi t t
en utilisant la composition des derivees et en travaillant en repere orthonorme Ox1 x2 x3 . Or i /t
est la vitesse eulerienne vi , donc
db b b
= vi +
dt xi t
i.e., de facon plus intrinseque,
db b
= + x b v . (2.71)
dt t
dxi (t) = dx ei ,
puis evoluant ensuite avec le milieu continu. On met les indices en haut en ecrivant dxi pour des
raisons purement pratiques qui vont seclaircir immediatement. En utilisant les notations de la
section 1.6 du cours de calcul tensoriel, le volume correspondant est
On obtient ainsi
1 d(d3 x)
= ijk Ki1 j2 k3 + ijk i1 Kj2 k3 + ijk i1 j2 Kk3
(dx)3 dt
= i23 Ki1 + 1j3 Kj2 + 12k Kk3
= K11 + K22 + K33
1 d(d3 x)
= trK , (2.73)
d3 x dt
puisque par exemple la seule valeur de i qui correspond a i23 6= 0 est i = 1. Or K est le tenseur
gradient de v, donc en vertu de la formule (2.24) du cours de calcul tensoriel, il vient que le
coefficient de proportionnalite entre le taux de variation du petit volume et ce volume lui-meme
est la divergence de la vitesse,
d(d3 x)
= divv d3 x . (2.74)
dt
d(dx dx0 )
= K dx dx0 + dx K dx0 .
dt
On peut mettre le premier terme sous une forme similaire a celle du second terme en utilisant le
tenseur K transpose, cf. la section 1.4.2 du cours de calcul tensoriel. Il vient
d(dx dx0 )
= dx KT dx0 + dx K dx0 ,
dt
en supprimant les parentheses inutiles ... En introduisant le tenseur des taux de deformation 13
1 1
D = K + KT = v + vT , (2.75)
2 2
il vient lexpression de la derivee particulaire dun produit scalaire entre petits vecteurs,
d(dx dx0 )
= 2dx D dx0 . (2.76)
dt
Le tenseur symetrique D peut se diagonaliser sur une base orthonormee. Un cas particulier de
la formule (2.76), obtenu lorsque dx = dx0 ,
d||dx||2
= 2dx D dx , (2.77)
dt
permet dinterpreter les composantes diagonales de D. Par exemple D11 peut etre, en vertu de
d||dxe1 ||2
= 2dx2 D11 ,
dt
vu comme le taux dallongement, sil est positif, ou taux de contraction, sil est negatif, des
petits segments de matiere orientes dans la direction e1 . De meme
d(dxe1 dxe2 )
= 2dx2 D12
dt
permet didentifier D12 a un taux de glissement entre deux petits segments orientes dans les
directions e1 et e2 .
Dun point de vue eulerien, un solide indeformable est defini par la conservation des produits
scalaires entre segments de matiere, petits ou non. Il suffit en fait dexiger cette conservation pour
de petits segments,
d(dx dx0 )
dx, dx0 , = 0 dx D dx0 = 0 (2.78)
dt
en vertu de (2.76), pour etre capable de determiner completement la structure du champ de vitesse
v. En effet (2.78) donne
D = 0 v + vT = 0 , (2.79)
X x et u v.
De meme que la solution generale de (2.58) prend la forme (2.57), de meme la solution generale
de (2.79) est un champ de moments de la forme
v = v0 + x . (2.80)
1
= rot v .
2
Cette forme (2.80) de champ de vitesse a ete etudiee dans la section A.1.2...
44 Chapitre 2. Cinematique avancee : etude des deformations
dX1 = dX e1 et dX2 = dX e2
avec dX une (tres) petite longueur. Ces vecteurs sont transportes dans le mouvement en dx1 et
dx2 .
||dx1 || ||dx2 ||
1 = et 2 =
||dX1 || ||dX2 ||
grace au tenseur C, et montrez que lon peut interpreter ainsi les composantes diagonales de
[C] = Mat C, {ei } = [Cij ] .
= 0 (modulo ) C12 = 0 .
46 Chapitre 2. Cinematique avancee : etude des deformations
Exercice 2.2 Interpretation des vecteurs propres du tenseur des dilatations de Cauchy
On considere un milieu continu dont le mouvement est caracterise localement, autour dun
point X, a un instant t, par un tenseur des dilatations de Cauchy C. On suppose que ce tenseur
se diagonalise sur une base orthonormee {n1 ,n2 ,n3 }, les valeurs propres associees verifiant
c1 > c2 > c3 .
Montrez que la direction de n1 definit celle des vecteurs dX qui maximisent le rapport
||dx||
R(dX) = ,
||dX||
dx etant le vecteur dX une fois transporte par le mouvement, tandis que celle de n3 definit celle
des vecteurs dX qui minimisent le rapport R(dX).
On etudie le mouvement dun milieu continu dans un referentiel R, dans lequel un repere
orthonorme Ox1 x2 x3 a ete choisi. Le milieu occupe a linstant initial t0 le domaine
x1 = X1 + k(t)X2 , x2 = X2 , x3 = X3 ,
1.1 Rappelez quelle est la signification physique de x. Que peut-on dire de la valeur de la fonction
k a linstant t0 ? Que vaut Dt ?
1.3 Calculez le tenseur gradient de la transformation. Vous en donnerez une expression intrinseque
et une expression matricielle. Vous donnerez aussi une formule de transport qui fait intervenir ce
tenseur, et permet son interpretation physique.
1.4 Que peut-on dire du transport de petits volumes materiels dans ce mouvement ?
1.5 Calculez le tenseur des dilatations de Cauchy, en en donnant une expression intrinseque et
une expression matricielle. Donnez aussi une formule de transport qui fait intervenir ce tenseur.
1.8 Donnez une expression intrinseque et une expression matricielle du tenseur des deformations
de Green-Lagrange. Donnez aussi une formule de transport qui fait intervenir ce tenseur.
1.11 Retrouvez la meme expression du tenseur des deformations linearise en partant du calcul du
champ de deplacements.
2.1 Calculez le champ de vitesse lagrangien puis le champ de vitesse eulerien correspondant a ce
mouvement.
2.2 Calculez le tenseur gradient de vitesse. A quoi peut servir ici ce tenseur ? Verifiez quil est
relie au tenseur gradient de la transformation par la formule etablie dans le cours.
2.4 Calculez le tenseur des taux de deformation. A quoi peut servir ici ce tenseur ? Verifiez quil
est relie aux tenseurs gradient de la transformation et des deformations de Green-Lagrange par la
formule donnee dans le cours.
2.5 Diagonalisez le tenseur des taux de deformation et interpretez physiquement le resultat obtenu.
2.6 Explicitez la decomposition (a priori locale mais en fait, ici, globale) du champ de vitesse en
une deformation instantanee et une rotation instantanee.
Nous avons deja aborde letude du transport de quantites scalaires ou vectorielles dans
les sous-sections 1.2.7 et 2.2.2. Des formules de transport locales ont ete obtenues, mais il semble
au moins aussi important dobtenir des formules globales permettant detudier le transport de
quantites integrees sur un volume. Cest ce que nous allons faire dans la premiere section de ce
chapitre. Au sens strict, la section 3.1.1 releve de la cinematique pure . Par contre, les etudes
des sections suivantes sur le transport de la masse, puis celui de la quantite de mouvement,
font intervenir, outre la cinematique, la loi de physique classique de conservation de la masse.
Nous verrons ensuite, en section 3.2, quune reecriture locale du bilan complet de quantite de
mouvement, prenant donc en compte les forces appliquees a un sous-systeme quelconque du mi-
lieu continu, necessite une etude fine des forces de nature surfacique exercees a linterface entre
ce sous-systeme et le reste du milieu, ou efforts interieurs . Cette etude nous conduira a
introduire le tenseur des contraintes de Cauchy.
Le point de vue utilise est generalement eulerien, mais on verra que la description des forces
surfaciques et lequation locale devolution de la quantite de mouvement finalement obtenues
sadaptent de facon quasi immediate a une description lagrangienne, pourvu que lon soit en petits
deplacements et petites transformations.
Faute de temps, nous ne pourrons donner dinterpretation microscopique du tenseur des contraintes.
Sur ce sujet tres interessant, le lecteur est renvoye a la section 5.4 de Le Tallec (2009).
Notons 0 le domaine materiel occupe a t = t0 par les points qui se trouvent en t a linstant t.
Dapres le theoreme de changement de variable dans une integrale de volume, ecrit a la maniere
dun physicien, on a
d3 x
ZZZ ZZZ
3
C(t) = c(x,t) d x = c((X,t),t) 3 d3 X . (3.3)
t 0 d X
On voit donc, dapres letude de la section 2.1.2, apparaitre la dilatation volumique J = J(X,t)
dans lintegrale ramenee sur la configuration de reference,
ZZZ ZZZ
C(t) = c(x,t) d3 x = c((X,t),t) J(X,t) d3 X , (3.4)
t 0
ce quaurait ecrit directement un mathematicien 2 . Linteret de cette reecriture est que le domaine
dintegration est, maintenant, independant de linstant t considere. On peut donc ecrire que la
derivee par rapport au temps de cette integrale est donnee par lintegrale de la derivee par rapport
au temps de lintegrand, soit, en travaillant en coordonnees orthonormees,
dC c i c J 3
ZZZ
(t) = J + J + c d X . (3.5)
dt 0 xi t t t
Dapres la formule de changement de variable (3.4), utilisee maintenant pour passer dune integrale
sur 0 a une integrale sur t , il vient
dC c
ZZZ
= v c + + c divv d3 x . (3.7)
dt t t
En faisant usage de la formule (2.56) du cours de calcul tensoriel pour simplifier lintegrand, il
vient
d c
ZZZ ZZZ h i
3
c(x,t) d x = + div(cv) d3 x . (3.8)
dt t t t
Lintegrale de volume peut etre transformee en une integrale de surface grace a la formule integrale
de la divergence vue en calcul tensoriel. En notant n la normale sortante au bord t de t , il
vient
d c 3
ZZZ ZZZ ZZ
3
c(x,t) d x = d x + cv n d2 S . (3.9)
dt t t t t
Comme on la deja suggere, la premiere quantite extensive a laquelle on peut appliquer cette
formule est la masse. La densite volumique correspondante est . Une loi fondamentale de la
physique classique est la conservation de la masse, que lon peut donc ecrire, en vertu de (3.8),
dm d
ZZZ ZZZ h i
3
t , = d x = + div(v) d3 x = 0 . (3.10)
dt dt t t t
Ces integrales sont toutes nulles si et seulement si lintegrand est nul. On peut pour sen convaincre
considerer un volume infinitesimal dt centre sur un x quelconque de Dt ; alors, par continuite des
champs integres 3 ,
h
ZZZ h i i
3
+ div(v) d x ' + div(v) (x,t) dt .
dt t t
+ div(v) = 0 . (3.11)
t
3. Une demonstration plus propre sobtiendrait en utilisant un theoreme de la moyenne, qui stipule que, si une
fonction f continue est integree sur un volume, il existe un point particulier A dans ce volume tel que
ZZZ ZZZ
f (M) d3 x = f (A) d3 x .
t t
52 Chapitre 3. Bilans de masse et de quantite de mouvement - Contraintes
En combinant cette equation avec les equations (1.29) de ce document et (2.56) du cours de calcul
tensoriel, on obtient une forme equivalente de cette loi de conservation,
d
= divv . (3.12)
dt
divv = 0 . (3.14)
Nous reviendrons sur dautres consequences de la loi generale eulerienne (3.11) lorsque nous nous
consacrerons a letude de la mecanique des fluides.
d3 x
= J(X,t) ,
d3 X
avec les notations de la section 2.1.2. En appelant d3 m la masse (conservee) du petit element de
matiere dont on suit le mouvement, on peut ecrire qua linstant initial
d3 m
(X,t0 ) =
d3 X
et a linstant actuel
d3 m
(X,t) = .
d3 x
On en deduit, en faisant le quotient de ces deux equations, que
(X,t) 1
= . (3.15)
(X,t0 ) J(X,t)
dE h (e)
ZZZ i
= + div(e v) d3 x .
dt t t
En faisant appel a la formule (2.56) du cours de calcul tensoriel, il vient pour lintegrand
(e) e e
+ div(e v) = e + + e div(v) + (e) (v) = + v e
t t t t
d de 3
ZZZ ZZZ
3
e d x = d x . (3.17)
dt t t dt
d dvi 3
ZZZ ZZZ
vi d3 x = d x.
dt t t dt
ZZZ ZZZ
p = d3 m v = v d3 x (3.18)
t t
Dautre part, en utilisant plutot la formule de transport (3.9), dans laquelle on pose c = vi , il
vient
dpi (vi ) 3
ZZZ ZZ
= d x + vi (v n) d2 S .
dt t t t
Ceci etant valable quel que soit lindice i, on obtient de facon plus intrinseque
dp (v) 3
ZZZ ZZ
= d x + v(v n) d2 S . (3.20)
dt t t t
Cette formule, souvent appelee formule de transport dEuler , se revelera surtout utile en
mecanique des fluides.
54 Chapitre 3. Bilans de masse et de quantite de mouvement - Contraintes
dp
= Rext = somme des forces exterieures appliquees. (3.21)
dt
On suppose dans ce qui suit que lon travaille dans un referentiel galileen, de facon a navoir a
considerer que des forces physiques, et non des forces dinertie 5 . Parmi ces forces il faut distinguer
des forces volumiques a distance, en general le poids,
ZZZ ZZZ
Rpoids = d3 f = g d3 x (3.22)
t t
avec g lacceleration de la pesanteur, et des forces surfaciques de contact, qui sont exercees
a la surface frontiere de t par le milieu exterieur a t , cest-a-dire contenu dans Dt t , le
complementaire de t dans Dt . Pour linstant on suppose que t est interieur a Dt , domaine total
occupe par le milieu 6 , mais on reviendra sur cette hypothese un peu plus tard. Ainsi a lexterieur
de t il y a encore le milieu continu. Le postulat de Cauchy consiste a supposer, en physicien,
que la force elementaire d2 f exercee par le milieu exterieur sur une petite surface d2 S du bord de
t , centree en x, comme cela est represente sur la figure 3.1, verifie les proprietes suivantes :
extensivite de d2 f : d2 f depend lineairement de d2 S pourvu que cette surface soit suffisam-
ment petite ;
localite de d2 f : d2 f ne depend que de lorientation du plan tangent a t au point x,
orientation definie par la donnee de la normale unitaire sortante n a t au point x.
Ce postulat de Cauchy permet dintroduire une densite surfacique defforts, ou vecteur
contrainte T(x,n,t), tel que la force elementaire exercee par le milieu exterieur sur une petite
surface d2 S de normale sortante n soit
d2 f = T(x,n,t) d2 S . (3.23)
Les composantes dun vecteur contrainte sont dimensionnellement des forces par unite de surface
ou pressions ; lunite SI correspondante est donc le Pascal Pa. Naturellement 1 Pa = 1 N/m2 .
Dautres unites sont latmosphere, 1 atm = 1,013 105 Pa, le bar, 1 bar = 105 Pa, the pound per
square inch, 1 psi = 6895 Pa.
5. Linclusion de forces dinertie dans cette loi ne pose aucun probleme de fond, il suffit dalterer g dans
lequation (3.22), cf. lequation (A.43).
6. Ainsi on etudie en ce moment les efforts interieurs au milieu continu, comme le dit le titre de cette
section !..
3.2. Description des efforts interieurs - Tenseur des contraintes 55
PSfrag
n replacements
d2 f
d2 S
t
t
Dt Dt
Fig. 3.1 Representation dune surface elementaire d2 S du bord dun ouvert t isole par la pensee dans
le domaine total Dt , et de la force elementaire d2 f exercee par le milieu contenu dans Dt t sur cette
surface elementaire. La surface t est une coupe virtuelle de Dt .
Legalite (3.23) permet dexprimer la resultante des efforts de surface exerces par le milieu contenu
dans Dt t sur t comme
ZZ ZZ
Rsurfaciques = d2 f = T(x,n,t) d2 S . (3.24)
t t
dp
ZZZ ZZ
3
= d f + d2 f (3.25)
dt t t
dv 3
ZZZ ZZZ ZZ
3
d x = g d x + T(x,n,t) d2 S . (3.26)
t dt t t
On aimerait transformer le dernier terme de (3.26) en terme de volume, afin de pouvoir identifier
une equation locale devolution de la quantite de mouvement, de la forme
dv
= g + ? (3.27)
dt
Il est clair quil nous faut mieux modeliser les efforts interieurs, pour linstant decrits par les
vecteurs contraintes, afin de realiser cet objectif. Cest ce que nous allons maintenant faire.
7. Bien entendu, pour que le modele du milieu continu sapplique, il faut que h d taille des volumes elementaires
representatifs.
56 Chapitre 3. Bilans de masse et de quantite de mouvement - Contraintes
n+
PSfrag
S+ replacements
t S
Dt Dt
Fig. 3.2 Representation dun domaine cylindrique elementaire isole par la pensee dans un milieu
continu occupant le domaine total Dt .
Dautre part, si h est tres petit, les termes de surface dans (3.26) correspondants a lintegrale sur la
frontiere laterale de t sont negligeables devant ceux correspondants aux integrales sur les surfaces
disques superieure et inferieure ,
ZZ ZZ ZZ
2 2
T(x,n,t) d S ' T(x,n+ ,t) d S + T(x,n ,t) d2 S .
t S+ S
ZZ
T(x,n,t) d2 S ' T(x,n+ ,t) a2 + T(x,n ,t) a2 (3.29)
t
On peut voir ce resultat comme une loi de laction-reaction , puisquil exprime en quelque
sorte lequilibre des forces surfaciques exercees de part et dautre dune meme surface disque.
x1 = OM e1 , x2 = OM e2 , x3 = OM e3 , (3.31)
comme cela est represente sur la figure 3.3. Rappelons que le point O designe lorigine de notre
repere. La derniere face, dont on note S laire, est definie par ses sommets P1 , P2 et P3 tels que
h
MPi = ei ,
ni
3.2. Description des efforts interieurs - Tenseur des contraintes 57
P3
n
PSfrag replacements
P2
M
P1
Fig. 3.3 Representation dun petit tetraedre t isole par la pensee dans le milieu continu.
h etant une petite longueur, les ni etant les composantes du vecteur normal unitaire correspondant
n = ni ei .
Explicitons la loi fondamentale de la dynamique (3.26) pour ce tetraedre. En premiere approxima-
tion, si h est tres petit, on peut considerer que les termes volumiques secrivent 8
dv 3 dv Sh
ZZZ ZZZ
d x g d3 x ' g (x,t) , (3.32)
t dt t dt 3
ce dernier facteur (Sh/3) etant le volume du tetraedre t . Dautre part le dernier terme de (3.26),
correspondant aux forces surfaciques, secrit, en ne rappelant que la dependance de T vis-a-vis du
vecteur normal a la surface,
ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ
T d2 S = T(n1 ) d2 S + T(n2 ) d2 S + T(n3 ) d2 S + T(n) d2 S .
Z Zt S1 S2 S3 S
Or les surfaces S1 , S2 et S3 se deduisent de S par projection sur les plans (3.31), elles valent donc
Si = Sni .
On peut retrouver ce resultat de geometrie en appliquant la formule integrale de la divergence au
tenseur identite, sur le volume t du tetraedre. Cette formule donne
ZZZ ZZ
3
div 1 d x = 0 = n d2 S = n S ei Si .
t t
(x,t) : R3 R3
. (3.36)
n 7 (x,t) n = T(x, n, t)
En vertu de (3.23), on peut ecrire, de facon plus explicitement physique, que la force d2 f exercee
par le milieu exterieur sur un element de surface d2 S de normale sortante n est donnee par
Ce tenseur introduit en description eulerienne peut aussi etre utilise en description lagrangienne a
la condition de travailler en petits deplacements et petite transformation. Alors, dune part on peut
confondre x et X, dautre part la normale n a un element de surface est en premiere approxima-
tion la meme dans les configurations initiale et actuelle. En grands deplacements et surtout grande
transformation, il faut etre plus prudent, et utiliser en general en description lagrangienne dautres
tenseurs des contraintes, dits de Boussinesq et Piola-Kirchhoff, voir par exemple les sections V.4
de Salencon (1996), 13.5 de Le Tallec (2009) ou 4.1 de Forest (2009).
Il faut enfin mentionner que la loi (3.37) est aussi supposee valable si d2 S est au bord du domaine
occupe par le milieu continu, cest-a-dire sur linterface entre deux milieux continus differents.
Dans un tel cas on aura le plus souvent (en labsence de phenomenes de tension superficielle , qui
peuvent exister a linterface entre deux fluides) continuite du vecteur contrainte a linterface,
par une sorte de generalisation de la loi de laction-reaction vue en section 3.2.2.
ou lon rappelle que, en composantes sur une base orthonormee, dapres le cours de calcul tensoriel,
ij
div = ei . (3.40)
xj
Ceci etant quel que soit le volume t , on peut identifier les integrands a gauche et a droite de cette
equation. On en deduit la loi locale devolution de la quantite de mouvement,
dv
= g + div . (3.41)
dt
3.2. Description des efforts interieurs - Tenseur des contraintes 59
Cette loi formulee en description eulerienne peut sutiliser en description lagrangienne a la condi-
tion de travailler en petits deplacements et petite transformation. On explicitera alors plutot
lacceleration en termes de la vitesse lagrangienne V, ou du champ de deplacement u, selon
dv V 2u
= = . (3.42)
dt t t2
ZZZ ZZZ
(O) = OM d3 m v = OM v d3 x . (3.43)
t t
Cest bien un champ de moments, au sens ou le moment cinetique par rapport a O se deduit
du moment cinetique par rapport a un autre point A suivant
ZZZ
OA + AM d3 m v = OA p + (A) = (A) + p AO ,
(O) = (3.44)
t
d(O)
ZZZ ZZ
3
= ext (O) = OM d f + OM d2 f . (3.45)
dt t t
Un champ de couples est aussi un champ de moments, au sens ou le couple par rapport a O se
deduit du couple par rapport a un autre point A suivant
ZZZ ZZ
3
OA + AM d2 f
ext (O) = OA + AM d f +
t
ZZZ ZZ !t Z Z Z ZZ
ext (O) = OA d3 f + d2 f + AM d3 f + AM d2 f
t t t t
En consequence, une distribution defforts exterieurs qui a une resultante nulle conduit a un couple
qui ne depend pas du point considere. Des exemples de tels efforts seront rencontres dans le
probleme 4.1.
9. A comparer par exemple a la formule (2.57) pour le champ des petits deplacements dun solide indeformable,
ou a celles (2.80) et (A.18) pour le champ de vitesse dun solide indeformable.
60 Chapitre 3. Bilans de masse et de quantite de mouvement - Contraintes
d
ZZZ ZZZ ZZ
3 3
OM v d x = OM g d x + OM ( n) d2 S . (3.47)
dt t t t
A laide de la formule de transport (3.17), on peut ecrire le terme de gauche sous la forme
d d dv 3
ZZZ ZZZ ZZZ
3 3
OM v d x = (OM v) d x = OM d x.
dt t t dt t dt
d
ZZZ ZZZ ZZZ
3 3
OM v d x = OM g d x + OM div d3 x .
dt t t t
10. Qui permettra par exemple de le diagonaliser sur une base orthonormee.
11. Il ny a pas de couples non associes a des forces, i.e. tous les couples (les termes de droite de 3.47) sont
des moments de forces .
12. Il est clair que lintegrand depend lineairement de n.
3.2. Description des efforts interieurs - Tenseur des contraintes 61
Toujours a laide du tenseur alterne fondamental, on peut ecrire en composantes le terme de gauche
de (3.48) sous la forme
kq 3
ZZZ ZZZ
OM div d3 x = ijk xj d x ei . (3.50)
t t xq
avec les notations de la section 1.6 du cours de calcul tensoriel. Dapres le resultat de lexercice 1.14
de calcul tensoriel, ceci exprime bien que est un tenseur symetrique.
1 2 3 . (3.53)
Une question pertinente posee par Mohr 14 est celle de la caracterisation de lensemble des valeurs
possibles du vecteur contrainte
d2 f
T = T(n) = = n (3.54)
d2 S
lorsque la surface elementaire d2 S centree sur x change dorientation, cest-a-dire lorsque n varie
sur la sphere unite de R3 . Dun point de vue physique, il semble raisonnable de decomposer le
vecteur T(n) en deux contributions, comme cela est represente sur la figure 3.4a :
une composante colineaire a n, i.e. normale a la surface ; cest la contrainte normale 15
le reste, qui est forcement dans le plan de la surface elementaire ; on le designe en consequence
comme la contrainte tangentielle 16 ; sa norme est notee (n), et on a, en vertu du
theoreme de Pythagore,
2
2 (n) = T (n) 2 (n) . (3.56)
13. Dautres parlent des valeurs principales des contraintes .
eme
14. Ingenieur et professeur allemand actif a la fin du XIX siecle.
15. On peut noter que, mathematiquement, la formule (3.55) traduit une percetion de comme etant une forme
quadratique.
16. Ou contrainte de cisaillement ou cission .
62 Chapitre 3. Bilans de masse et de quantite de mouvement - Contraintes
Mohr a propose de representer letat des contraintes en x par lensemble des points ((n), (n))
dans un plan quand n varie. En utilisant une decomposition de n quelconque dans la base propre
{ni },
n = n1 n1 + n2 n2 + n3 n3 , (3.57)
on a, puisque n est unitaire,
n21 + n22 + n23 = 1 . (3.58)
Dautre part
T(n) = n = 1 n1 n1 + 2 n2 n2 + 3 n3 n3 ,
donc les equations (3.55) et (3.56) secrivent
Les equations (3.58), (3.59) et (3.60) constituent un systeme lineaire inhomogene en les variables
(n21 , n22 , n23 ). Le determinant de ce systeme vaut
(1 2 )(2 3 )(3 1 ) .
Commencons donc par etudier le cas generique ou les contraintes propres sont toutes
differentes. Alors la solution du systeme (3.58), (3.59) et (3.60) est unique, et sexprime ainsi 17 :
2 + ( 2 )( 3 )
n21 = , (3.61a)
(1 2 )(1 3 )
2 + ( 3 )( 1 )
n22 = , (3.61b)
(1 2 )(2 3 )
2 + ( 1 )( 2 )
n23 = . (3.61c)
(1 3 )(2 3 )
Comme les n2i sont positifs ou nuls, en prenant en compte lordonnancement (3.53), 1 > 2 > 3 ,
on obtient
2 + ( 2 )( 3 ) 0 , (3.62a)
2
+ ( 3 )( 1 ) 0 , (3.62b)
2
+ ( 1 )( 2 ) 0 . (3.62c)
a b
C2 n2 = 0
T T
C3
C1
x n 3 C1 2 C2 C3 1
d2 S
Fig. 3.4 a : Decomposition dun vecteur contrainte T(n) en une contrainte normale (n) et une
contrainte tangentielle (n). b : Dans un cas generique ou les valeurs propres du tenseur des contraintes
sont toutes distinctes, on represente en grise le lieu des points ((n), (n)) lorsque n decrit la sphere unite.
Cette representation de Mohr est caracterisee par trois (demi) cercles, cf. les equations (3.62).
a linterieur du deuxieme cercle de Mohr C2 , dont le diametre est donne par le segment reliant
(1 ,0) et (3 ,0). Enfin lequation (3.62c) signifie que lon est a lexterieur du troisieme cercle de
Mohr C3 , dont le diametre est donne par le segment reliant (1 ,0) et (2 ,0). Lintersection des
exterieurs de C1 et C3 et de linterieur de C2 est representee en grise sur la figure 3.4b. Cette figure
explique que lon appelle souvent C2 grand cercle de Mohr , C1 et C3 petits cercles de
Mohr . Sur cette figure, on a pris naturellement lintersection des cercles et surfaces que lon
vient devoquer avec le demi-plan 0, puisque est une norme, donc en toute rigueur il faudrait
parler de demi cercles de Mohr au lieu de cercles de Mohr. Sur cette representation, vous
etes invites a visualiser les animations de la page web du module, au niveau de la seance
correspondante. Ces animations seront presentees en amphi.
1 > 2 = 3 . (3.64)
En raisonnant en physicien, on peut voir ce cas comme un cas limite du precedent, obtenu lorsque
2 tend vers 3 par valeurs superieures. Alors le premier cercle de Mohr C1 se reduit a un point,
tandis que le deuxieme cercle C2 sapproche du troisieme C3 jusqua concider avec lui. On en
conclut que la representation de Mohr se reduit a un seul cercle, le cercle C3 dont le diametre est
le segment liant (2 ,0) a (1 ,0). Bien entendu ce resultat peut aussi setablir mathematiquement
en etudiant le systeme (3.58), (3.59), (3.60) ; le lecteur fera cette demonstration a titre dexercice.
1 3
max = max (n) = (3.65)
n 2
rayon du plus grand cercle de Mohr (cf. la figure 3.4b). La contrainte normale correspondant a ce
vecteur est de plus donnee par labscisse du centre de ce cercle,
1 + 3
(n) = C2 = . (3.66)
2
64 Chapitre 3. Bilans de masse et de quantite de mouvement - Contraintes
Par insertion de ces valeurs de et dans le systeme (3.58), (3.59), (3.60), on obtient
1 1
n21 = , n22 = 0 , n23 = .
2 2
En consequence les normales n sont
n1 n3
n = , (3.67)
2
qui correspondent aux deux bissectrices du secteur angulaire forme par n1 et n3 .
De fait beaucoup de materiaux solides supportent plutot bien des contraintes normales elevees,
mais au contraire mal des contraintes tangentielles elevees. En consequence, en anticipant sur le
chapitre suivant, un critere de limite elastique couramment utilise est le critere de Tresca
qui porte justement sur max ,
max < lim . (3.68)
Des exemples dapplication de ce critere seront donnes dans les problemes 4.4 et 4.5.
3.3 Exercices
Exercice 3.1 Representation de Mohr dun etat de contraintes planes
On considere un point materiel x dun milieu continu tel que, a un instant t, le tenseur des
contraintes de Cauchy = (x,t) soit, dans la base orthonormee {ex , ey , ez }, de la forme
= xx ex ex + yy ey ey + xy ex ey + yx ey ex . (3.69)
2 Justifiez lexistence de deux vecteurs unitaires orthogonaux n1 et n2 dans le plan xy, que lon
peut choisir de sorte que {n1 , n2 , ez } soit directe, et de deux reels 1 et 2 , tels que
= 1 n1 n1 + 2 n2 n2 . (3.70)
Soit R la rotation dangle /2 autour de ez . Etant donne un vecteur n quelconque du plan xy, on
considere comme dans le cas tridimensionnel la contrainte normale
1 2 1 2
(n) = C3 + cos(2) et (n) = sin(2) (3.75)
2 2
ou C3 est un reel que vous calculerez. Donnez, grace a un schema, une interpretation geometrique
de cette regle 18 .
3.3 Quelle est la valeur maximale de la contrainte tangentielle si n varie dans le plan xy ? Pour
quelle valeur de n est-elle atteinte ?
Commentaire sur lexercice 3.1 : dans le cas plus general dun etat de contraintes non planes,
si on se restreint a des vecteurs n variant dans un plan engendre par deux vecteurs propres de ,
n1 et n2 , on peut utiliser la meme representation de Mohr.
Exercice 3.2 Retour sur le mouvement de cisaillement pur : etude des contraintes
On revient sur letude du mouvement de cisaillement pur faite dans le probleme 2.1, mais
du point de vue des efforts interieurs. On se place dans le cas dun mouvement de solide, dans
lhypothese de petits deplacements et petite transformation, et on suppose quune configuration
dequilibre, avec k = constante, a ete atteinte. On neglige toute influence de la pesanteur 19 .
2 Quelle equation locale faut-il resoudre dans le domaine D0 , afin de pouvoir calculer le tenseur
des contraintes de Cauchy ? Explicitez la en composantes dans le repere orthonorme Ox1 x2 x3 .
3 On suppose que le materiau est colle sur des plaques solides indeformables situees en X2 = a,
sur lesquelles on a agit pour imposer le mouvement de cisaillement pur. Ecrivez sur la base dun
argument physique la forme du vecteur contrainte sur ces interfaces. Vous ferez une hypothese
de symetrie sous X2 7 X2 pour relier la force tangentielle appliquee au niveau de linterface
superieure a celle appliquee au niveau de linterface inferieure.
Deduisez-en des conditions limites sur valables sur les plans X2 = a.
4 On suppose que le materiau est, au niveau des plans X3 = b, en contact avec un gaz a tres
faible pression, negligeable.
Deduisez-en des conditions limites sur valables sur les plans X3 = b.
5.1 Au vu de toutes ces equations, proposez une forme tres simple de tenseur des contraintes
solution. Vous lecrirez en composantes puis sous forme intrinseque.
5.2 Representez dans le plan X1 OX2 les vecteurs contraintes qui sexercent sur les faces dun
element parallelepipedique 20 de section carree dans le plan X1 OX2 , avec des faces normales a e1
et e2 , etendu dans la direction X3 jusquaux plans X3 = b. Interpretez physiquement son etat de
contraintes.
18. Des animations video illustrant cette regle sont disponibles sur la page web du module.
19. Leffet de celle-ci peut etre considere comme pris en compte dans la configuration de reference de letude.
20. Cet element resulte dune coupe virtuelle dans le materiau, au sens introduit au tout debut de la sec-
tion 3.2.1.
66 Chapitre 3. Bilans de masse et de quantite de mouvement - Contraintes
6.1 Quelle est la representation de Mohr la plus pertinente pour caracteriser letat de contraintes
de ce systeme ? Tracez-la grace a une construction geometrique, sans faire le calcul des contraintes
principales.
6.2 Deduisez de cette representation les valeurs propres et vecteurs propres du tenseur des contrain-
tes. Representez dans le plan physique X1 OX2 les vecteurs contraintes qui sexercent sur les faces
dun element parallelepipedique de section carre dans ce plan, avec des faces orthogonales aux
vecteurs propres dans ce plan, cet element etant toujours etendu dans la direction X3 jusquaux
plans X3 = b. Interpretez physiquement son etat de contraintes.
Solides elastiques
Hooke 1
2u
= g + div , (4.1)
t2
(X,t0 ) (X,t0 )
(X,t) = = ' (X,t0 ) [1 divu(X,t)] , (4.3)
J(X,t) 1 + divu(X,t)
en faisant usage de (2.50). On fera souvent une hypothese dhomogeneite et dindependance par
rapport au temps de la masse volumique,
du moins dans les termes contenant de lequation devolution de la quantite de mouvement (4.1).
La seule equation generale dont nous disposons pour calculer les champs u et est justement cette
1. Physicien anglais du XVIIeme siecle.
2. Rappelons que, avec les hypotheses posees, on peut considerer que x ' X dans u(X,t) et (X,t), donc
confondre les champs lagrangiens et euleriens.
70 Chapitre 4. Solides elastiques
Fig. 4.1 Machine de traction du Lemta : vue densemble a gauche, vue zoomee a droite (arriere
plan efface par traitement dimage). Les mors sont deux grosses pieces cylindriques symetriques, situees
lune en haut, lautre en bas, dans lesquelles lechantillon de materiau a tester est fixe. Deux paires de mors
legeremment differentes sont disponibles. Sur la photographie de gauche on distingue une camera infra-rouge
qui permet de faire des etudes thermomecaniques ; sur la photographie de droite un laser et une camera
permettent de faire des experiences de diffusion de lumiere donnant acces a la microstructure du materiau
en traction (merci a Stephane Andre, Christophe Baravian, Arnaud Blaise et Jerome Dillet).
equation (4.1). Ainsi on a comme inconnues un champ vectoriel et un champ tensoriel, mais comme
equation seulement une equation vectorielle : il manque une equation tensorielle a lappel. Cette
equation depend du materiau considere, cest la loi de comportement de ce materiau.
Nous allons introduire en section 4.1 la loi de comportement des solides elastiques lineaires
isotropes, puis exposer, dans la section 4.2, quelques generalites concernant les problemes de
lingenieur correspondants. Ensuite, dans les sections 4.3 et 4.4, nous presenterons les deux grandes
methodes de resolution utilisees pour resoudre ces problemes. Lapproche utilisee pour introduire
la loi de lelasticite section 4.1, plutot terre a terre , est celle dun physicien applique . Des
approches plus sophistiquees, rigoureuses et systematiques, faisant appel a des bilans denergie
et dentropie, autorises par le developpement complet de la thermomecanique des milieux
continus, sont presentees par exemple dans les chapitres VII de Salencon (1996), 8, 10 et 12 de
Le Tallec (2009), ou 5 de Forest (2009). Des exemples complementaires dapproches microscopiques
de physicien theoricien sont donnes dans les chapitres 9 et 11 de Le Tallec (2009).
z F F/S0 [MPa]
200
x
150
0 100
O
50
0 1 5 10 15 103 /
0
Fig. 4.2 a : Schema dune eprouvette de traction au repos, avec un maillage permettant un suivi
lagrangien. La longueur de la zone utile de leprouvette dans la direction z est `0 . b : Schema de cette meme
eprouvette soumise a des forces de traction F en haut , F en bas . La deformation de leprouvette a
ete simulee grace au logiciel delements finis ABAQUS par Sebastien Allain. La longueur de la zone utile de
leprouvette dans la direction z de traction est maintenant ` = `0 +`, avec ` lallongement. b : Diagramme
de traction presentant la contrainte nominale F/S0 = ||F||/S0 en fonction de lallongement reduit
`/`0 , qui est aussi la deformation zz . Ce diagramme a ete obtenu experimentalement sur un acier doux
a Arcelormittal Research, dans le cadre de letude publiee dans Allain & Bouaziz (2010).
tanement, la force appliquee F, cf. la figure 4.2b 4 . On en deduit un diagramme de traction tel
celui presente sur la figure 4.2c. On observe lexistence dune premiere zone, pres de lorigine dans
le plan (`/`0 , F/S0 ), dans laquelle lexperience est reversible, et il existe une relation lineaire
entre F/S0 et `/`0 . Cest cette region qui correspond au comportement elastique lineaire. On
peut y identifier une premiere constante caracteristique du materiau, son module dYoung 5 E,
tel que
F ` ` 1 F
= E = . (4.5)
S0 `0 `0 E S0
En premiere approximation le champ des deplacements verticaux (dans la direction de la traction)
est, dans la partie utile de leprouvette, lineaire de la forme
uz = zz Z , (4.6)
` ` dz 1 F
zz = = 1 = 1 = , (4.7)
`0 `0 dZ E S0
ou lon a fait apparatre le fait quen transformation homogene la variation de segments infi-
nitesimaux egale celle de segments de taille finie. Dans le cas de lacier presente sur la figure 4.2c,
on a
200 MPa
E ' = 200 GPa . (4.8)
103
4. Le maillage presente ne comprend pas les zones qui seraient en realite prises par les mors, lessai numerique
realise est en ce sens idealise . Cependant, les conditions limites utilisees sont equivalentes, au sens du principe
de Saint Venant que lon verra plus loin, aux conditions reelles...
5. Du nom dun physicien anglais du debut XIXeme ; en anglais on appelle justement E the Youngs modulus.
72 Chapitre 4. Solides elastiques
Par contre, si on depasse la limite delasticite (en traction) marquee sur la figure 4.2c, la
relation entre F/S0 et `/`0 devient non lineaire, et lexperience irreversible. Par exemple si,
une fois arrive en sur la figure 4.2c, on relache la force de traction, on obtient a force nulle un
etat ou leprouvette presente un allongement remanent mesure par la position . On qualifie ce
regime de regime elastoplastique. Dans le cas de lacier presente sur la figure 4.2c, la contrainte
limite delasticite en traction est
0 ' 92 MPa . (4.9)
Un autre resultat experimental general et tres important est que, dans le regime elastique lineaire,
il existe une contraction dans les directions x et y perpendiculaires a la direction de traction
z, comme cela est visible sur la figure 4.2b. Avec les notations de la section 2.1, on peut prouver
experimentalement, en faisant par exemple des mesures optiques de cette contraction, lexistence
dun coefficient de Poisson 6
>0, (4.10)
dx dy dz
xx = 1 = yy = 1 = 1 = zz . (4.11)
dX dY dZ
Pour un acier, est de lordre de 0,3 ; cet ordre de grandeur se retrouve dans beaucoup de
materiaux. Lordre de grandeur de E et pour divers materiaux est donne dans le tableau 4.1.
Premiere tentative
Dans le regime elastique lineaire, en sinspirant de la relation (4.7), il semble naturel de pos-
tuler lexistence dune relation locale lineaire entre le tenseur des contraintes et le tenseur des
deformations,
1
= u + uT = L() . (4.12)
2
On utilise le tenseur des deformations linearise puisque, desormais, on se place en petits deplace-
ments et petite transformation. Une relation du type de (4.12) est coherente avec la definition
donnee en section 1.1.1 des solides, pour lesquels, comme cela est represente sur la figure 1.1, une
force constante implique un deplacement constant 7 . On peut aussi noter que cette loi implique
bien quun mouvement de solide indeformable, correspondant a une rotation en bloc, avec u
antisymetrique en vertu de la decomposition de la section 2.1.9, ne cree pas de contraintes internes
dans un materiau,
= 0 = L(0) .
6. Mathematicien et physicien francais du XIXeme siecle ; en anglais on appelle the Poissons ratio.
7. Alors que, dans les fluides, une force constante implique une vitesse constante.
4.1. Loi de comportement elastique lineaire isotrope 73
Au vu de la relation globale (4.7), il est tentant de poser, tout simplement, une relation de pro-
portionnalite entre et , i.e.
1
= . (4 formule fausse !) (4.13)
E
Cette relation peut sembler, a premiere vue, correspondre a la forme generale dune relation lineaire
entre et dans le cas considere dans tout ce chapitre dun materiau isotrope. Cette hypothese
disotropie,
il ny a aucune direction privilegiee a priori dans le materiau, (4.14)
a en effet pour consequence que les directions propres des tenseurs des deformations et des
contraintes ne peuvent que concider, ce qui est bien assure par (4.13). Ainsi, seules les sollici-
tations mecaniques imposees au materiau introduisent (eventuellement) des directions privilegiees
dans le materiau sous tension , a savoir les directions propres des tenseurs et (deux direc-
tions propres sont reellement privilegiees lune par rapport a lautre seulement si les valeurs
propres associees different).
mg 1 kg 10 m2 /s
' = 10 kPa ,
S 10 cm2
ou a la pression atmospherique, de lordre de
sont souvent negligeables devant les contraintes mises en jeu en mecanique des solides, cf. les
echelles de contrainte du graphe de la figure 4.2b. Deuxiemement, la pesanteur et la pression
atmospherique etaient deja presentes dans la configuration de reference, et on travaille souvent en
74 Chapitre 4. Solides elastiques
elasticite lineaire en difference par rapport a cette configuration de reference : on ne calcule pas
mais 0 , ou 0 est le tenseur des contraintes dans la configuration de reference, en labsence
de tout effort de traction. On anticipe ici sur la linearite des problemes delasticite, sur laquelle on
reviendra section 4.2.2.
Compte tenu de labsence effective de la pesanteur pour notre probleme de traction, letat de
contrainte peut etre considere comme homogene dans toute la partie utile de leprouvette, de
forme cylindrique. On satisfait alors bien lequation dequilibre (4.1),
Ecrivons dautre part les conditions limites aux bords de la partie utile de leprouvette. Celle-ci
est un cylindre daxe Oz, de rayon de reference a et de hauteur de reference `0 , O etant choisi au
centre de la section de cette partie utile la plus proche de la tete inferieure B.
Sur les bords lateraux, pour X 2 + Y 2 = a2 , Z [0,`0 ] : condition de surface libre 8
Xex + Y ey
T = n = = 0. (4.16)
a
T = n = ez = (F/S)ez . (4.18)
Une solution simple de ces equations est le tenseur des contraintes justement dit de traction pure
= ez ez (4.19)
avec
= F/S (4.20)
la contrainte de traction. Dans le cadre des hypotheses de petits deplacements et petite transfor-
mation utilisees ici, on peut confondre dans les valeurs de reference S0 et actuelle S de la section
de leprouvette,
= F/S ' F/S0 . (4.21)
1
= = ez ez .
E E
On aurait donc xx = yy = 0, en contradiction flagrante avec le phenomene de contraction des
longueurs dans les plans horizontaux traduit par lequation (4.11).
8. Puisque lon peut oublier les effets de la pression de lair ambiant.
4.1. Loi de comportement elastique lineaire isotrope 75
Deuxieme tentative
Cette loi est souvent appelee loi de Hooke, en hommage aux travaux de pionnier de ce physicien
anglais sur la mecanique des solides elastiques. En composantes dans une base orthonormee, elle
secrit
1+
ij = ij kk ij . (4.28)
E E
76 Chapitre 4. Solides elastiques
k
= (e1 e2 + e2 e1 ) (4.29)
2
avec k = u1 /X2 1. Dautre part letat de contrainte correspondant a ete determine dans lexer-
cice 3.2 ; en negligeant les effets de la pesanteur terrestre, g ' 0, on a
= (e1 e2 + e2 e1 ) (4.30)
avec = F/S la contrainte de cisaillement appliquee au niveau des plans X2 = a. Ces resultats
sont bien entendu compatibles avec la loi de Hooke (4.27), a condition davoir
k 1+
= . (4.31)
2 E
contrainte de cisaillement
= = = , (4.32)
k u1 /X2 gradient de deplacement
qui doit, physiquement, etre strictement positif. Par identification avec (4.31), on obtient une
expression du module de cisaillement en fonction de E et ,
E
= . (4.33)
2(1 + )
Ceci montre quen general le coefficient de Poisson > 1... ce que lon savait deja dapres (4.10).
1+ 1 2
tr = tr 3 tr = tr . (4.34)
E E E
La loi (4.27) montre donc que
E E E
= + (tr) 1 = + (tr) 1 . (4.35)
1+ 1+ 1+ (1 + )(1 2)
On reconnait en facteur de le double du module de cisaillement (4.33). Afin dalleger les notations,
on introduit aussi une notation pour le coefficient de (tr) 1 ; on appelle premier coefficient de
Lame
E
= . (4.36)
(1 + )(1 2)
9. Les anglo-saxons appellent souvent the shear modulus or rigidity modulus, et le notent plutot G.
4.1. Loi de comportement elastique lineaire isotrope 77
Bien entendu le second coefficient de Lame est alors le module de cisaillement (4.33). Au bilan
on obtient une nouvelle version de la loi de Hooke,
= (tr) 1 + 2 , (4.37)
3 + 2
E = et = . (4.39)
+ 2( + )
(X,t) (X,t0 ) 1 2
(X,t) = = tr(X,t) = tr(X,t) (4.41)
(X,t0 ) E
dapres (4.34).
Bien entendu ceci est compatible avec la loi de Hooke, et, en utilisant lequation (4.41), on obtient
que, dans cet etat, la densite augmente suivant
1 2
(X,t) = 3 = 3p . (4.44)
E
Ceci permet dobtenir une nouvelle inegalite portant sur le coefficient de Poisson,
1 2 0 1/2 , (4.45)
le cas limite
= 1/2
78 Chapitre 4. Solides elastiques
1 1 1 2 E
= = = 3 K = . (4.46)
K p p E 3(1 2)
2
K = + . (4.47)
3
2u
0 = 0 g + div , (4.48)
t2
dans laquelle est lie a donc a u par lintermediaire de la loi de Hooke (4.27) ou (4.37).
Un exemple de condition du deuxieme type (4.50) est celui dune surface libre
Une propriete importante dun probleme pose avec des conditions limites regulieres est lexistence
et unicite de la solution en deplacements u(X,t). Ce resultat, que nous admettons, peut se
demontrer a laide dune approche energetique 11 , cf. par exemple les chapitres X de Salencon
(1996) ou 8 de Forest (2009).
1
ZZ
ui d2 S = udi deplacement moyen donne, (4.53)
S S
ou ZZ
Ti d2 S = Fid force donnee, (4.54)
S
Une consequence de lapproche par conditions limites globales de la forme (4.53), (4.54) ou (4.55)
est que lon perd lunicite des solutions du probleme, qui devient en quelque sorte mal pose. Ceci
nest pas forcement tres dommageable car on a alors, eventuellement, plus de chance pour
trouver une solution analytique simple . Le principe de Saint Venant 13 stipule de plus que, si
le milieu solide etudie est elance au sens ou on peut isoler des regions centrales loin des
11. Ou, plus mathematiquement, variationnelle .
12. La definition generale dun couple a ete rappelee en section 3.2.6.
13. Ingenieur francais du XIXeme siecle.
80 Chapitre 4. Solides elastiques
bords ou sont seulement posees des conditions limites globales, alors toutes les solutions possibles
de ce probleme mal pose presentent un comportement similaire dans ces regions centrales . En
dautres termes toute solution trouvee sera, a priori, pertinente dans les regions centrales du
milieu, mais, par contre, sujette a caution pres des bords ou sont seulement posees des conditions
limites globales. Une illustration de ce principe sera donnee avec lexperience de photoelasticite
sur un barreau en flexion, cf. la figure 4.3 et le probleme 4.1. On notera que dans ce probleme 4.1,
on exprimera les conditions limites globales sur des coupes virtuelles du barreau, prenant la
forme dune section droite ou gauche, de forme simple.
Nous sommes maintenant armes pour discuter des deux grandes methodes de recherche de
solutions analytiques dun probleme delasticite linearise. Avant cela, il faut insister sur le fait
que des solutions analytiques exactes de problemes reguliers nexistent que rarement, et que pour
des problemes simples , par exemple des problemes bidimensionnels. Si lon accepte de traiter
des problemes non reguliers, dans le cas de corps elances, on a plus de possibilites pour trouver
des solutions analytiques. Cependant celles-ci doivent etre considerees comme approchees ,
puisquelles ne sont valables que loin de certains bords (ceux ou sont poses des conditions
limites globales) du corps solide considere dapres le principe de Saint Venant. Cest justement
lobjet de la theorie des poutres , souvent consideree comme une sous-discipline de la
resistance des materiaux , que de systematiser ce type dapproche a la Saint Venant .
Aux Mines de Nancy, des elements de theorie des poutres seront donnes en deuxieme annee dans
le departement Geoingenierie dans le cadre du cours correspondant dOlivier Deck.
Malheureusement 14 de nombreux systemes mecaniques pertinents pour lingenieur utilisent des
corps qui ne sont pas elances ; que lon songe par exemple a une voiture ou a une turbine. De plus,
meme dans le cas de corps elances, on peut desirer, pour garantir la securite dun systeme par
exemple, etre capable de calculer une solution la plus precise possible dun probleme de
mecanique, en allant plus loin quune approche globale a la Saint Venant . Ceci est heureusement
possible grace a lapproche numerique, le plus souvent basee, en mecanique des solides, sur
des methodes delements finis 15 consistant grosso modo a discretiser le domaine occupe
par le milieu continu en petits domaines elementaires, sur lesquels les champs sont constants 16 .
On remplace alors une equation aux derivees partielles (typiquement 4.48) par un grand nombre
dequations differentielles ordinaires, qui sont ensuite resolues numeriquement. Diverses initiations
a ces methodes sont proposees a Mines Nancy en deuxieme annee, par exemple dans le cadre du
cours de Jenny (2016) du departement Energie & Fluides. Un ouvrage de reference assez exhaustif
sur les methodes delements finis est le traite en trois volumes de Zienkiewicz & Taylor (2000). Ce
traite fourmille dexemples et dillustrations ; le feuilleter ne peut-etre que benefique.
1
= u + uT (4.56)
2
= (tr) 1 + 2 . (4.57)
Lexercice de calcul tensoriel 2.9 montre que lon peut obtenir avec cette demarche une equation
de la quantite de mouvement qui fait seulement intervenir le champ de deplacements,
2u
0 = 0 g + ( + )div u + u (4.58)
t2
ou encore
2u
0 = 0 g + ( + 2)div u rot(rot u) . (4.59)
t2
Ces deux equations sont deux formes equivalentes de lequation de Navier 17 . Bien entendu il
faut aussi prendre en compte les conditions limites du probleme.
0 = 0 g + div , (4.60)
La demarche utilisee est alors, en general, de resoudre dabord cette equation ainsi que les condi-
tions limites en contrainte, puis de calculer a laide de la loi de Hooke (4.27),
1+
= (tr) 1 . (4.61)
E E
1
= u + uT (4.62)
2
17. Mecanicien francais du debut du XIXeme siecle. Selon les cas la premiere ou la seconde forme est la plus
pratique ; par exemple pour un champ de deplacement irrotationnel on preferera utiliser la seconde forme (4.59).
82 Chapitre 4. Solides elastiques
nest alors assuree, comme expose dans la section 3.2.4 du cours de calcul tensoriel, que si les 6
conditions de compatibilite geometrique
en repere orthonorme, sont verifiees. On peut reformuler ces conditions en terme de grace a
(4.61) ; on obtient alors les equations de Beltrami 18 , cf. par exemple les sections VIII.6 de
Salencon (1996) ou 8.1 de Forest (2009).
Une fois lexistence de u assuree, encore faut-il le calculer. Pour cela on integre les equations (4.62)
sachant que leur solution nest pas unique. En effet la difference entre deux champs u1 et u2
solutions de (4.62), soit u3 = u2 u1 , verifie
1
(u3 ) = u3 + uT3 = 0 ,
2
cest donc un champ de deplacements de solide indeformable. Dapres letude de la section 2.1.8,
u3 est un champ de moments
u3 = u2 u1 = u0 + X . (4.64)
Lidee pour integrer (4.62) est donc de rechercher seulement une solution particuliere de ce proble-
me ; la solution generale sen deduira par ajout dun champ de moments (4.64) quelconque. En
pratique on commence par integrer par rapport a X1 la composante 11 de (4.62),
u1
Z
= 11 = u1 = 11 dX1 + 1 (X2 ,X3 ) , (4.65)
X1
par rapport a X2 la composante 22 de (4.62),
u2
Z
= 22 = u2 = 22 dX2 + 2 (X3 ,X1 ) , (4.66)
X2
par rapport a X3 la composante 33 de (4.62),
u3
Z
= 33 = u3 = 33 dX3 + 3 (X1 ,X2 ) , (4.67)
X3
puis on essaye de deviner une forme simple des fonctions 1 , 2 , 3 permettant de satisfaire aussi
les composantes non diagonales de (4.62),
u1 u2
+ = 212 , (4.68)
X2 X1
u2 u3
+ = 223 , (4.69)
X3 X2
u3 u1
+ = 231 . (4.70)
X1 X3
18. Mathematicien et physicien italien du XIXeme siecle.
4.5. Problemes 83
Ensuite seulement on se preoccupe des conditions limites en deplacement, qui, en general, per-
mettent de determiner les 6 parametres du champ de moments libre dans u, de sorte que la
solution en deplacements soit vraiment unique.
4.5 Problemes
Nous mettons a votre disposition, dans cette section, huit problemes de mecanique des solides.
Un neuvieme probleme est presente a la fin du chapitre 5, ses questions 4.b et 7.b faisant en effet
reference a des informations donnees dans le chapitre 5. Cependant, ces questions permettant une
validation ne sont pas cruciales, le probleme 5.1 pourrait donc etre aborde independamment de
la lecture et assimilation du chapitre 5.
Pour des questions de mise en page, veuillez tourner la page pour decouvrir le 1er probleme.
84 Chapitre 4. Solides elastiques
(a)
(b) z
O x
On veut modeliser une experience realisee en amphi et TD 6, presentee sur la figure 4.3.
Un barreau parallelepipedique en plexyglass est dispose dans un montage de photoelasticite, cest-
a-dire entre polariseur, analyseur et lames quart dondes. Ceci permet de visualiser les franges
isochromatiques claires, lieu des points ou max (X) defini par (3.65) est multiple dune certaine
contrainte 0 dependant des proprietes optiques du materiau et de la longueur donde moyenne de
la lumiere,
1 3
max (X) = max (X,n) = ' n0 pour n N , (4.71)
n 2
entre lesquelles sintercalent des franges isochromatiques sombres 19 . Ce barreau est en contact
avec 4 points dappuis Pi situes sur sa frontiere. Dans la configuration de reference a forces dappui
nulles, les positions de ces points, dans le repere orthonorme de travail Oxyz, sont donnees par
OP1 = bex + hey , OP2 = aex hey , OP3 = aex hey , OP4 = bex + hey .
Le barreau a une epaisseur 2e dans la direction z, avec deux surfaces libres situees en z = e.
Lorsque les forces dappui ont la meme intensite F 6= 0, ces points ne bougent que tres legerement,
puisque lon se place dans les hypotheses standard de petits deplacements et petite transformation.
19. Le phenomene qui permet la photoelasticimetrie est lanisotropie optique du materiau sous contrainte, que
lon peut supposer directement liee a lanisotropie mecanique, i.e. le fait que les tenseurs des contraintes et des
deformations possedent des valeurs propres distinctes correspondants a des directions propres distinctes. Les eleves
interesses trouveront des explications sur la physique de ce phenomene dans lannexe C.
4.5. Problemes 85
1 Calculez en fonction du chargement, i.e., des coordonnees geometriques definissant les points
dapplication des forces, et de lintensite F de ces forces.
2.1 Ecrivez les conditions limites locales en contrainte quil faut respecter sur les frontieres situees
en y = h, z = e dans la region centrale du barreau.
2.2 Ecrivez les conditions limites globales en contrainte quil faut respecter sur les frontieres en x =
a0 de la region centrale du barreau, coupes virtuelles du barreau, pour garantir lapplication
de forces nulles de chaque cote, et des moments et introduits a la question 1.
4 On cherche une solution en contrainte de ce probleme. Pour cela on suppose tout simplement
que toutes les composantes de verifiant des conditions limites locales de nullite a certains bords
sont nulles dans tout le domaine materiel. Montrez qualors une seule composante de , xx , est
potentiellement non nulle.
5 Poursuivez la recherche dune solution simple en contrainte, en supposant que xx est une
fonction affine des coordonnees,
= (A + BX + CY + DZ) ex ex . (4.72)
5.2 A laide de ce qui precede et des conditions limites globales etablies a la question 2.2, calculez
les coefficients A, B, C et D du modele (4.72). Vous verifierez par analyse dimensionnelle la validite
de votre calcul.
9 A ton a priori existence dun champ de deplacements u(X) dont ce tenseur de deformation
derive ?
10 Avec la methode expliquee dans la section 4.4, integrez le champ de deformation de ce probleme
pour en deduire le champ de deplacements. Vous ferez des hypotheses raisonnables concernant les
constantes dintegration de ce calcul, cest-a-dire le champ de moments libre dans u. Interpretez
physiquement la structure du champ de deplacements ainsi obtenu.
86 Chapitre 4. Solides elastiques
2 Soit r0 > 0. On considere une coupe virtuelle du solide definie par ses frontieres
separant une zone externe contenant O (en blanc) dune zone interne loin de O (en gris
figure 4.4). Sur S, calculez le vecteur contrainte T exerce par la partie externe sur la partie interne.
Representez ce champ T sur S xOy. Commentez : quel type de contrainte exerce la partie externe
sur la partie interne ? Est-ce que la situation representee dans le plan z = 0 depend de z ?
F S`
vide O
solide y
S
e
r
solide
er
Fig. 4.4 Situation etudiee dans le probleme 4.2 - partie I : force de compression localisee, appliquee
au niveau de laxe Oz sur un solide infini. En gris, le domaine interne isole par coupe virtuelle considere
en question 2.
4.5. Problemes 87
ou T est le meme quen question 2. Representez cet equilibre dans le plan xOy. Montrez par un
calcul que cette condition permet dobtenir A en fonction de F 0 . Interpretez physiquement cette
relation.
4 On oublie la coupe virtuelle et sinteresse dorenavant au solide infini. Explicitez les matrices
representant le gradient de deplacement, sa transposee et le tenseur des deformations linearise
dans la base {er ,e ,ez } en terme des fonctions ur , u , toujours inconnues a ce stade, et de leurs
derivees partielles.
6.a Dans linterieur du solide, pour r > 0, || < /2, determinez les valeurs propres ordonnees
1 > 2 > 3 du tenseur des contraintes. Qualifiez par trois adjectifs physiques cet etat de
contrainte.
6.b On admet quavec un solide de taille finie dans la direction z on peut obtenir grosso modo le
meme etat de contrainte, et observer par photoelasticite dans le plan xy (figure 4.5b) les franges
isochromatiques definies par lequation vue en cours,
1 3 = n0 avec nN et 0 > 0 .
a: F b:
vide O
solide y
e
r
solide
er
Fig. 4.5 Situation etudiee dans le probleme 4.2 - partie I. a : En gris, le nouveau domaine interne isole
par coupe virtuelle considere en question 3. b : Photographie experimentale disochromatiques observees en
photoelasticite dans le plan xy, dans cette situation, par Johnson (1985).
88 Chapitre 4. Solides elastiques
8 Explicitez les equations aux derivees partielles quil faudrait resoudre pour calculer le champ de
deplacement u, sans chercher a effectuer cette resolution. Vous garderez A comme parametre de
chargement, et ferez apparatre les coefficients elastiques E et du solide. Ce systeme dequations,
considere seul, a til une solution unique ?
9 On admet que ce systeme portant sur ur et u , une fois resolu, en faisant quelques hypotheses
supplementaires raisonnables, conduit a un champ de deplacement sur S` (reexprime en coor-
donnees cartesiennes)
2 F 0 |y|
ux = (1 2 ) ln , (4.75a)
E y0
(1 2)(1 + ) F 0 (1 2)(1 + ) F 0
uy = + si y < 0, uy = si y > 0, (4.75b)
2 E 2 E
avec y0 > 0 lordonnee dun point de la surface libre qui resterait immobile.
Verifiez lhomogeneite dimensionnelle de ces formules.
Representez sur laxe Oy, au voisinage de lorigine, les champs de vecteurs ux ex puis uy ey puis u.
Vous reglerez y0 , ou, de maniere equivalente, les bornes de variation de y de vos schemas, de sorte
que ux > 0 sur tout le domaine represente.
Commentez physiquement et concluez.
II Contact sur une bande avec une force de compression repartie (figure 4.6)
Comme represente sur la figure 4.6, des forces de pression dintensite p sont appliquees sur une
bande de contact definie par x = 0, y [a,a]. On admet que, en decomposant ce chargement
en chargements elementaires correspondant a des forces lineiques dF 0 = pdy, et en sommant les
champs de deplacement obtenus, de la forme (4.75) en decalant lorigine des y, on obtient finalement
sur la surface x = 0 un champ de deplacement
2 p |a + y| |a y|
ux = (1 2 ) (a + y) ln + (a y) ln + C , (4.76a)
E a a
pa
uy = (1 2)(1 + ) si y a , (4.76b)
E
py
uy = (1 2)(1 + ) si ay a , (4.76c)
E
pa
uy = (1 2)(1 + ) si y a , (4.76d)
E
avec C une constante qui determine la valeur absolue des ordonnees des points de la surface x = 0
qui resteraient immobiles.
objet rigide
vide vide
P' O P y
solide lastique
Fig. 4.6 Situation etudiee dans le probleme 4.2 - partie II : forces de pression reparties sur une
bande de contact definie par x = 0, y [a,a] ; son intersection avec le plan xOy est le segment compris
entre les points P0 et P.
Probleme 4.3 Etude dun systeme daccouplement elastique [test de novembre 2009]
I.2 On suppose que larbre est soumis non seulement a laction du manchon mais aussi a un couple
exterieur a . Montrez a partir de la loi devolution du moment cinetique ecrite globalement pour
larbre quil existe une relation entre et a .
I.3 On suppose que la bague est soumise non seulement a laction du manchon mais aussi a un
couple exterieur b . Montrez a partir de la loi devolution du moment cinetique ecrite globalement
0
pour la bague quil existe une relation entre et b .
I.4 Concluez.
II.2 Calculez le tenseur gradient du champ de deplacement. Vous en donnerez une expression
intrinseque.
II.3 Que peut-on dire de la divergence de u ? Pourquoi cela ? Donnez une consequence mecanique
importante de cette observation.
II.4 A partir de lequation de Navier, montrez que la fonction u(r) verifie une equation differentielle
que vous nommerez tres precisement (nature, etc...).
II.5 Resolvez cette equation en cherchant par exemple des solutions particulieres de la forme r .
On vous demande de donner une solution ne dependant plus que de 0 et dautres parametres
geometriques, et on vous conseille pour cela dexpliciter les conditions limites en deplacement
devant etre verifiees sur les frontieres r = a et b du manchon.
II.6 Simplifiez lexpression du gradient de deplacement compte tenu de la forme trouvee pour u,
puis calculez le tenseur des deformations linearise. On vous demande des expressions intrinseques.
II.7 Etablissez lexpression intrinseque du tenseur des contraintes de Cauchy dans le manchon.
II.8 Calculez la contrainte tangentielle exercee par larbre (le cylindre interieur) sur le manchon
au niveau de leur interface. Verifiez que le signe de est correct.
II.9 Calculez le couple = ez applique par larbre (le cylindre interieur) sur le manchon au
niveau de leur interface. Montrez que 0 est proportionnel a et verifiez lhomogeneite du coefficient
de proportionnalite correspondant. Cette relation de proportionnalite est-elle surprenante ?
0
II.10 Verifiez par un calcul direct du couple applique par la bague (le cylindre exterieur) sur le
0
manchon au niveau de leur interface la relation entre et etablie en I.1. Commentez ce calcul.
II.11 Dans le cas ou un elastomere charge en carbone, de module dYoung E = 1 GPa, coefficient
de Poisson = 0,5, constitue le manchon, que vaut langle de rotation 0 lorsque le couple =
1000 N m, sachant que a = 2,5 cm, b = 3 cm, h = 1 cm ? Commentez le resultat obtenu, en
revenant en particulier sur les hypotheses que lon a utilisees pour lobtenir.
4.5. Problemes 91
a: b: manchon
0
O
III.3 On sinteresse aux contraintes tangentielles ou de cisaillement (x,n) au point x pour une
direction de normale de surface n. Calculez
III.4 Pour un point x situe dans cette region, deduisez de la representation de Mohr les directions
de normale de surface n pour lesquelles le cisaillement est maximal.
III.5 Calculez la valeur de max pour les donnees de la question II.10. Commentez.
92 Chapitre 4. Solides elastiques
Un tuyau du circuit primaire dune centrale nucleaire contient, lorsquil est en fonctionnement,
de leau sous haute pression 20 . On veut etudier la reponse elastique lineaire de lacier, considere
comme un materiau isotrope homogene, constituant ce tuyau, a ces hautes pressions. On travaille
en difference entre la configuration de reference ou le tuyau est plein dair a pression atmospherique
et la configuration actuelle ou le tuyau est plein deau sous haute pression. On considere lair et
leau comme des fluides parfaits. Le chargement en contraintes a prendre en compte au niveau de
la surface exterieure du tuyau, qui reste toujours en contact avec lair, peut etre considere comme
nul. Par contre, au niveau de la surface interieure du tuyau, le chargement en contraintes est defini
par le vecteur contrainte
T = p n
ou p est la difference entre la pression de leau dans la configuration actuelle et celle de lair
atmospherique, n est la normale unitaire sortant du domaine solide. On neglige tout effet de
temperature et on travaille en petits deplacements et petite transformation. Le tuyau est cylin-
drique ; sa section est une couronne de rayons interieur a, exterieur b. On utilise un repere cartesien
Oxyz daxe Oz de revolution du tuyau, et les coordonnees cylindriques associees (r,,z). On neglige
tout effet de courbure ou de limite du tuyau dans la direction z, supposant quil est maintenu en
position par des supports eloignes de la zone detude.
1 Expliquez pourquoi on ne doit pas prendre en compte le poids dans lequation de la quantite
de mouvement qui exprime lequilibre du tuyau. Donnez trois formes differentes de cette equation,
lune faisant intervenir le tenseur des contraintes, deux faisant intervenir le champ de deplacement,
ainsi que les coefficients de Lame et de lacier.
2 Explicitez les conditions limites en contrainte au niveau des surfaces interieure et exterieure du
tuyau, en terme du tenseur des contraintes, de p et des vecteurs de la base locale cylindrique.
3 On rappelle que lon a etabli dans le probleme de calcul tensoriel 2.1, sur la base du principe de
Curie, la forme
u = u(r) er
du champ de deplacement du tuyau, entre les configurations de reference et actuelle, puis celle de
son gradient,
u = u0 er er + (u/r) e e ,
Deduisez de cela quelle est la forme de lequation de lequilibre ecrite question 1 qui est la plus
pratique a utiliser. Montrez a partir de cette equation le fait que la divergence du deplacement est
constante. Vous noterez 2A cette constante, puis montrerez que la fonction u(r) est dune forme
simple ne dependant que de deux coefficients, A et une autre constante dintegration B.
20. Cette eau joue principalement le role dun fluide caloporteur ; elle a aussi un role physique de ralentissement
des neutrons dans le reacteur.
4.5. Problemes 93
4.1 Calculez le tenseur des contraintes ; vous en donnerez une expression intrinseque.
4.2 A partir des conditions limites en contraintes etablies question 2, montrez que les coefficients
p p
A = F (a,b) , B = G(a,b) ,
+
et calculez-les completement. Vous verifierez lhomogeneite de ces formules.
II Etude de dimensionnement
On dimensionne le tuyau en utilisant un critere de limite elastique. Le critere choisi est celui
de Tresca (3.68). On suppose que lacier utilise a un module dYoung E = 210 GPa, un coefficient
de Poisson = 0,28 et une contrainte limite delasticite en traction 0 = 170 MPa.
5 Dans cette question preliminaire, on vous demande de rappeler la forme du tenseur des contraintes
lors dun essai de traction pure. Deduisez-en, dans le cas de lacier considere, la valeur de la
contrainte tangentielle maximale a la limite delasticite, que vous noterez lim .
6.1 Revenant au tuyau en surpression, etudiez les deformations propres. Montrez quon peut les
ordonner avec une valeur propre centrale nulle,
1 > 2 = 0 > 3 .
Interpretez physiquement le signe de chaque valeur, en lien avec la direction propre correspondante.
6.2 A partir de la loi de Hooke, etablissez la relation entre les deformations propres et les
contraintes propres, ordonnees suivant
1 > 2 > 3 .
Calculez les, ainsi que la valeur de la contrainte tangentielle maximale max quand on se place au
rayon r.
6.3 Dans quelle region du tuyau max est-elle la plus elevee ? Vous noterez max la valeur corres-
pondante, et la calculerez. Vous verifierez que max est toujours superieure a la surpression p, et
proposerez une interpretation physique de la formule obtenue.
7.1 Pour des questions de debit volumique, on choisit un rayon interieur a = 35 cm. On sinteresse
dautre part a une centrale pour laquelle la pression de leau est de 155 bars soit 15,5 MPa. En
considerant que la pression atmospherique est de 1 bar, que vaut la surpression p ?
7.2 Representez la courbe max (b) et deduisez du critere de Tresca, applique avec une marge de
securite de 25%,
max (b) 0 = 0,75 lim ,
la valeur du rayon exterieur b quil faut utiliser pour rester dans cette limite. Vous donnerez une
formule litterale pour b fonction de p, 0 et a, que vous commenterez. Vous donnerez aussi sa
valeur numerique, ainsi que celle de lepaisseur du tuyau, e = b a.
94 Chapitre 4. Solides elastiques
8 Dans le cas etudie en deuxieme partie, calculez les constantes A et B qui determinent le champ
de deplacement. Representez lallure de ce champ sur un secteur angulaire du tuyau. Quel est le
deplacement maximal ? Lhypothese des petits deplacements est-elle justifiee ?
1 En faisant lhypothese que la pression interieure est regulee de facon a assurer une situation
confortable pour le pilote, et en utilisant par ailleurs une loi de mecanique des fluides pour evaluer
la pression exterieure, estimez la surpression p. Vous donnerez une formule analytique puis une
valeur numerique de p avec deux chiffres significatifs, qui sera toujours utilisee par la suite.
Commentez physiquement.
NB : cette approximation revenant a surestimer p est justifiee pour le dimensionnement.
2.a Donnez lexpression matricielle puis lexpression intrinseque du tenseur gradient de deplacement.
2.b Au vu de cette expression, que peut-on dire a priori de la decomposition de ce tenseur en
parties symetrique et antisymetrique, ainsi que du rotationnel du champ de deplacement ?
3.a Explicitez lequation de lequilibre de la coque, dans sa configuration actuelle, sous forme
locale. Vous montrerez que la divergence du champ de deplacement est uniforme, et noterez 3A sa
valeur.
4.5. Problemes 95
3.b Par integration, etablissez que u(r) est de la forme Ar + Br ou et sont des exposants
entiers, B est une deuxieme constante dintegration.
4 Calculez le tenseur des deformations linearise. Vous en donnerez une expression intrinseque.
6.a Puisque lon travaille en difference entre la configuration de reference et la configuration ac-
tuelle, exprimez que la surface interieure de la coque est libre, tandis que la surface exterieure est
soumise a la surpression p, de facon intrinseque i.e. faisant intervenir le tenseur des contraintes.
Vous noterez pour linstant b = a + e le rayon exterieur de la coque.
6.b En explicitant ces conditions, calculez A et B en fonction de a, b, p et des coefficients
elastiques de lacier. Vous verifierez lhomogeneite dimensionnelle des formules obtenues, et in-
terpreterez physiquement le signe de A et B.
7.a Pour dimensionner la coque, on admet la validite dun critere de Tresca. Ordonnez les valeurs
propres du tenseur des contraintes et calculez la contrainte tangentielle maximale en tout point de
la coque. Precisez en quel(s) point(s) de la coque cette contrainte tangentielle maximale atteint sa
valeur maximale, que vous noterez max et calculerez.
7.b On suppose que e a ou encore que = e/a 1. Calculez max a lordre le plus bas en ,
puis remplacez dans la formule asymptotique ainsi obtenue par e/a. Commentez physiquement
cette formule.
7.c On admet disposer dun acier pour lequel la valeur limite de max , permettant de rester
de facon sure dans le domaine elastique, est lim = 240 MPa. Calculez analytiquement puis
numeriquement lepaisseur e de la coque avec ce critere.
8 Enoncez precisement trois verifications quil faudrait faire pour valider ces calculs.
= ( 0 /r2 ) er er + ( + 0 /r2 ) e e + zz ez ez ,
10 Afin de proteger le pilote, la coque cylindrique est fermee par des couvercles de forme circulaire,
de rayon maximal b, fixes en z = a. On admet que ces couvercles transmettent integralement
21. Cette forme se deduit dune etude du champ de deplacement, similaire a celle que lon vient deffectuer dans
le cas spherique.
96 Chapitre 4. Solides elastiques
les forces de surpression quils subissent, F = b2 p en norme, au niveau de leur fixation sur
la coque, i.e., sur les couronnes definies par r [a,b], [0,2], z = a. On suppose que
les contraintes exercees par les couvercles sur la coque se repartissent uniformement sur chaque
couronne. Representez schematiquement cette situation, en dessinant la geometrie du systeme, les
forces globales F et F subies par les couvercles de la part de leau exterieure, et lallure du champ
de vecteur contrainte sur les deux couronnes. Deduisez-en les conditions limites a imposer sur ces
couronnes, puis la valeur de zz en fonction de a, b et p.
11 Reprenez les calculs de la question 7 pour cette coque cylindrique. Vous noterez au final ec son
epaisseur, calculee a la fois analytiquement et numeriquement. En comparant au cas de la coque
spherique, concluez physiquement. On attend un argumentaire precis et semi-quantitatif.
III Comparaison analytique des deux geometries dans la limite de coques tres minces
Pour analyser la difference de comportement observee entre les coques spherique et cylindrique,
on considere deux telles coques de meme epaisseur e tres petite. On note toujours = e/a avec a
le rayon interieur. On pose de plus r = a + er = a + ar avec r [0,1] un rayon, spherique
ou cylindrique, adimensionne.
12.a En supposant que r est dordre 1, 0, donnez un equivalent asymptotique de toutes les
composantes non nulles du tenseur des contraintes dans la coque spherique, a lordre dominant en
puissance de .
Donnez alors le tenseur des contraintes a lordre dominant, et sa representation de Mohr.
12.b Meme question, mais dans le cas de la coque cylindrique.
13.a Dans le cas de la coque cylindrique, representez et etudiez lequilibre dans le plan xOy,
a lordre dominant en , dun petit element de coque dextension angulaire 2, axiale z, infi-
nitesimales. Mettez en evidence un effet darche .
13.b Expliquez comment cet effet darche est modifie dans la coque spherique, et concluez.
disque est a. La surface laterale definie en coordonnees cylindriques (r,,z) par r = a est aussi une
frontiere libre. Cette situation est schematisee sur la figure 4.8.
Dans le referentiel R0 galileen du laboratoire, le referentiel R a un mouvement de rotation ca-
racterise par le vecteur vitesse de rotation instantanee
O1
0
0
1 x
La configuration de reference, imaginaire, est celle ou le disque tourne, mais ou les forces dinertie
sont supposees nulles, ce qui reviendrait en fait a un disque non tournant. La configuration actuelle
est celle ou ces forces dinertie sont prises en compte. A lequilibre dans R, seul agit le champ
de force volumique dinertie dentrainement fe X = e X avec la masse volumique du
disque, e lacceleration dentrainement, cf. lexercice A.1. Le materiau du disque est elastique
isotrope lineaire, et on fait lhypothese de petits deplacements, x ' X = rer + zez , et petite
transformation. On travaille bien sur en coordonnees cylindriques (r,,z).
2.1 Justifiez succinctement quil est raisonnable de considerer que les champs de tenseur des
contraintes et de deplacement u ne dependent que de r et z.
2.2 Justifiez succinctement quil est raisonnable de considerer que la composante azimutale du
deplacement u = 0.
3 On suppose que toutes les composantes de la matrice [] representant le tenseur des contraintes
sur la base locale {er ,e ,ez } qui sannulent sur les faces libres z = h sannulent partout. En
explicitant ces conditions de frontieres libres, montrez la nullite dune composante diagonale et
quatre composantes non diagonales de [].
u = ur (r,z) er + uz (r,z) ez ,
et en utilisant une formule du cours de calcul tensoriel, calculez la matrice [G] representant le
gradient du champ de deplacement sur la base locale {er ,e ,ez }.
4.2 Calculez la matrice [] representant le tenseur des deformations linearise sur cette meme base.
4.3 Grace a la loi de comportement du materiau, completez le resultat de la question 3 pour mon-
trer que toutes les composantes non diagonales de [] sont nulles. Deduisez-en la forme intrinseque
generale de , sans plus faire reference aux deplacements.
6 On admet que les equations de compatibilite geometrique des deformations ainsi que la loi de
comportement du materiau conduisent, compte tenu aussi de la forme des champs etudiee ici, a
lequation
rr
r = (1 + )(rr ) (4.77)
r r
avec le coefficient de Poisson du materiau. A laide de cette equation et de celle etablie en
question 5, montrez que rr satisfait une equation de la forme
2 rr rr
r + n + r = 0 , (4.78)
r2 r
avec n > 0 un entier, > 0 un reel, que vous calculerez.
rr = r2 + A(z) rm + B(z) ,
= r2 + B(z) ,
13.1 Montrez que la condition rz = 0 est une relation () entre , r, , E, B 0 (z) et C 0 (r). En
derivant cette equation par rapport a z, montrez que B(z) est un polynome de degre 2 dont le
coefficient de degre 2 est connu, les coefficients b1 de degre 1 et b0 de degre 0 restent a determiner.
Calculez alors B1 (z), en introduisant une constante dintegration b1 .
13.2 En revenant a la relation (), calculez C(r) a une constante c0 pres.
r [0,a] , uz (r, z = 0) = 0 ,
montrez que b1 = 0, B(z) ne depend plus que dun seul parametre inconnu, a savoir b0 .
4.5. Problemes 99
3+ (1 + )
rr = r2 + z 2 + b0 .
8 2( 1)
16 Au vu de cette equation, il est clair que lon ne pourra satisfaire la condition de frontiere laterale
libre en r = a quelque soit z. Supposant h a, on va satisfaire cette condition en moyenne par
rapport a z seulement.
16.1 Comment pourrait-on justifier cette approche ?
16.2 En ecrivant quen moyenne par rapport a z, la frontiere r = a est libre, calculez b0 , et
determinez completement rr .
On considere des barres cylindriques a section circulaire de rayon a, soumises a des sollicitations
de traction-torsion. La modelisation sera faite en elasticite lineaire isotrope, en petits deplacements
et petite transformation. On utilise un repere Oxyz avec Oz laxe de revolution de la barre. On
note indifferemment (r,,z) et (R,,Z) les coordonnees cylindriques dun point materiel x ' X.
La base locale des coordonnees cylindriques est notee {er , e , ez }.
I.1 On propose de rechercher une solution avec, dans le domaine z [0,L1 ], un champ de
deplacement de la forme
u = z ez X = r z e .
Representez ce champ de deplacement dans les sections z = L1 /2 et z = L1 de la barre. Quel
mouvement decrit-il ? Quel est a priori le signe de ? Quelle est sa dimension ? Justifiez que cette
forme de champ de deplacement est pertinente.
Dans ce qui suit, jusqua la question I.8 comprise, on travaille dans le domaine z [0,L1 ].
I.2 Traduisez lhypothese de petits deplacements par une relation du type A B, quil conviendra
de verifier a posteriori.
I.4 Traduisez lhypothese de petite transformation par des relations du type A0 B 0 , et comparez
la a lhypothese de petits deplacements.
I.5 Ecrivez lequation devolution de la quantite de mouvement, sous forme locale, exprimee en
terme de deplacements. Rappeler le nom de cette equation, sa forme utile dans le cas present, et
montrez que cette equation est verifiee.
I.6 Calculez le tenseur des deformations linearise ; on demande son expression intrinseque.
I.7 En faisant lhypothese que la barre est constituee dun materiau isotrope elastique travaillant
en regime lineaire, calculez lexpression intrinseque du tenseur des contraintes de Cauchy.
I.8 Expliquez pourquoi, sur la peripherie de la barre, en r = a, on doit ecrire une condition de
frontiere libre sur le vecteur contrainte. Explicitez cette condition et montrez quelle est verifiee.
I.9 Quel est le principe qui permet de ne pas se preoccuper de la facon exacte avec laquelle le
couple de torsion est applique au niveau z ' L2 , mais decrire seulement des conditions limites
4.5. Problemes 101
11
00
00
11 z
O
L1
y
L2
globales en z = L1 , exprimant que le reste de la barre, pour z [L1 ,L2 ], transmet une force nulle
et le couple ?
I.10 Explicitez ces deux conditions sous une forme integrale generale faisant intervenir le tenseur
des contraintes, les integrales etant effectuees sur une coupe virtuelle de la barre definie par
r [0,a] , [0,2] , z = L1 .
I.11 Montrez que ces conditions sont satisfaites par le tenseur des contraintes calcule en I.7, a
condition que soit proportionnel a , suivant une relation que vous etablirez et commenterez.
Bien entendu vous validerez cette relation par analyse dimensionnelle.
I.12 On considere larbre dentree de la boite de vitesse dun moteur, qui travaille essentiellement
en torsion. Son rayon a = 8 mm, sa longueur libre L1 = 200 mm. Son materiau est un acier de
module dYoung 210 GPa et de coefficient de Poisson 0,28. Calculez le parametre correspondant
a un couple = 120 N m. Commentez. Verifiez les hypotheses de petits deplacements et petite
transformation.
I.13 Calculez les valeurs et vecteurs propres du tenseur des deformations linearise. Faites une
analyse fine de la decomposition en deformation et rotation infinitesimales des variations de
deplacements projetees dans le plan z : notant P = e e + ez ez le projecteur dans le
plan z,
dx2D = P dx = r e d + ez dz ,
vous placant autour dun point x de coordonnees cylindriques (a, 0, L0 ), avec L0 ' L1 /2, calculez
et representez au voisinage de x les champs
avec les notations de la section 2.1.9. Commentez la structure et les liens entre ces champs. Mettez
aussi en evidence des directions detirement et de contraction.
Dorenavant les barres que lon considere sont constituees dun materiau fragile (fonte,
metal froid, craie, beton...) au sens ou le regime elastique lineaire est suivi quasi-immediatement,
a contraintes plus elevees , dune rupture. Dans les essais de traction-torsion consideres, cette
rupture se fait lorsque la contrainte normale positive maximale depasse une valeur limite,
i.e., ces materiaux sont surtout sensibles a la traction.
II.2 Tracez la representation de Mohr de cet etat de contrainte. Quelle est la valeur maximale t
de la contrainte normale positive ? Pour quelle valeur de la normale n dune coupe virtuelle, soit
nt , est-elle atteinte ? Faites le lien avec letude de la question I.16.
II.3 Montrez que la region ou les contraintes t sont maximales est la peripherie de la barre,
definie par r = a.
II.4 On admet que la rupture sinitie sur une courbe inscrite sur la peripherie de la barre, partout
tangente aux coupes virtuelles subissant la traction maximale. En consequence, un vecteur petit
deplacement sur cette courbe
dx = a e d + ez dz
doit etre orthogonal a nt . En explicitant cette condition, et en lintegrant, etablissez lequation
de la courbe de rupture. Quelle est sa geometrie ? Vous comparerez le resultat de ce modele aux
experiences de la figure 4.10.
III.2 On considere enfin un essai de traction-torsion, dans lequel la barre est soumise, pres de
son extremite, a une force F = F ez et un couple = ez . Expliquez pourquoi le tenseur des
contraintes de cet essai peut secrire comme la somme de celui calcule en I et celui rappele en III.1.
Calculez les valeurs propres de ce tenseur somme, et, en utilisant le meme modele de rupture fragile
quen II, predisez la forme de la courbe de rupture. Discutez de son evolution lorsque les efforts
de torsion augmentent par rapport aux efforts de traction. Vous aurez interet a introduire un pas
(ou demi-pas) caracteristique de la courbe. Commentez, en faisant le lien avec la figure 4.10.
4.5. Problemes 103
(a) (b)
Fig. 4.10 a : Craies soumises jusqua la rupture a des essais de traction pure (a gauche), traction -
torsion en augmentant la torsion (en allant vers la droite), torsion pure (a droite). b : Eprouvette en
fonte soumise jusqua la rupture a un essai de torsion pure (Centre des Materiaux de Mines ParisTech,
source Forest 2009).
2 On sinteresse a une onde plane se propageant dans la direction x avec un nombre donde k
(reel strictement positif) et une frequence angulaire (reelle). Son champ de deplacement est
suppose de la forme
u(x,t) = (uex + vey + wez ) cos(kx t) , (4.80)
avec u, v et w des constantes reelles. Quels sont les plans de phase de londe etudiee ? Redemontrez
la formule generale donnant la vitesse de phase ou celerite c dune onde, cest-a-dire la vitesse de
propagation de ses plans de phase, en fonction de k et .
3.1 Dans une premiere approche, on utilise lanalyse dimensionnelle (cf. le chapitre 5) pour
etudier ce probleme. Montrez que lon peut considerer que ce probleme est a trois grandeurs
fondamentales et parametres de controle dimensionnels, dont ou (au choix) k et deux parametres
materiau , plus un parametre de controle materiau adimensionnel, la grandeur dependante
4 Ecrivez lequation qui regit levolution spatio-temporelle du champ (4.80). Vous expliquerez
comment on peut se ramener a une equation qui ne contient que des termes dependant lineairement
du champ de deplacement.
104 Chapitre 4. Solides elastiques
5 Explicitez les trois composantes de cette equation aux derivees partielles, et deduisez-en un
systeme algebrique de la forme
2 [U ] = [L] [U ] (4.81)
avec la masse volumique du solide, [U ] le vecteur colonne
u
[U ] = v ,
w
6 Reformulez le systeme (4.81) en remplacant par son expression en terme de c et k. Quelle est
la nature mathematique du systeme ainsi obtenu, i.e., comment apparaissent c2 et [U ] ?
Montrez par la resolution de ce systeme et par une analyse physique des solutions obtenues,
reposant notamment sur deux dessins (representations spatiales du champ u a t fixe), lexistence
de deux types dondes :
des ondes longitudinales de contraction-dilatation, se propageant a la vitesse c1 ;
des ondes transversales de cisaillement, se propageant a la vitesse c2 .
Vous calculerez les vitesses c1 et c2 , et comparerez au resultat de la question 2.a.
7 Calculez, pour chacun des deux types dondes que vous venez de mettre en evidence, la loi
donnant lexpression de la densite locale (x,t), lorsque lon ecrit celle-ci a lordre U 1 et non plus
U 0 , U designant lordre de grandeur du vecteur [U ] introduit a la question 4. Pour eviter toute
collision au niveau des notations, vous noterez, dans cette question seulement, 0 la densite a
lordre U 0 .
Commentez les resultats obtenu et montrez quils permettent de confirmer la terminologie utilisee
pour designer les deux types dondes.
8 Toutes ces ondes sont-elles dispersives ou non ? De quelles ondes se propageant dans les fluides
sont-elles analogues ?
10.2 Au bout de combien de temps environ un sismographe place a Nancy recevra un signal associe
a un tremblement de terre ayant lieu en Californie ? Expliquez au passage pourquoi les sismologues
distinguent en general des ondes P , Primaires , et des ondes S , Secondaires . Qui
est qui ?
Donnees :
Les coordonnees geographiques de Nancy sont
Analyse dimensionnelle
appliquee a la mecanique des solides
Lanalyse dimensionnelle est une methode qui permet de mettre en place de facon tres
efficace des modeles physiques en general. Comme elle a beaucoup dapplications en mecanique
des fluides, il est neanmoins justifie de lintroduire dans ce cours et a ce niveau. Nous allons
exposer les principes de lanalyse dimensionnelle, qui conduisent notamment au theoreme de
Vaschy-Buckingham 1 , puis deux applications possibles de celle-ci a la mecanique des solides,
en decrivant par exemple comment elle permet de degager des regles de similitude qui autorisent
des etudes sur des maquettes, etc...
Lenonce precedent veut dire quune grandeur physique a une dimension physique
m ` t ,
et qui se lit
Les exposants des dimensions , et sont en general des entiers rationnels. La fonction
de dimensions (5.1) nest absolument pas arbitraire, mais se deduit de la definition physique
de la grandeur consideree a partir de grandeurs plus fondamentales. Par exemple lequation (1.20)
definissant une vitesse (eulerienne),
dx
v(x,t) = ,
dt
montre que
`
v ` t1 . (5.3)
t
De meme la definition (eulerienne) de lacceleration
dv
= ,
dt
montre que
v
` t2 . (5.4)
t
On peut ensuite definir des unites derivees pour des grandeurs non fondamentales, en posant que
letalon de mesure dune quantite dont la fonction de dimensions est (5.1) est
= M L T ; (5.8)
1 = 2 + 3 , (5.10)
avec eventuellement plus ou moins de termes dans le membre de droite. Une telle relation, etablie
typiquement lors dune modelisation, doit absolument etre invariante par changement de
systeme dunites. En effet la physique ne connait pas de frontieres ( !), donc lingenieur francais
utilisant par exemple le systeme dunites international (SI) et son homologue anglais utilisant le
systeme dunites imperial doivent tous deux etre capables de mesurer les quantites 1 , 2 et
3 dans leur systeme dunites, lors dune experience (reproductible) dans des conditions donnees,
et pouvoir tester et valider (avec une certaine precision, forcement finie), la relation (5.10). Plus
generalement tout scientifique peut utiliser le systeme dunites quil veut pour tester la validite
(ou non) de (5.10). Examinons donc ce qui se passe si on change dunites pour tester une equation
de la physique encore plus simple
1 = 2 . (5.11)
1 m1 `1 t1 et 2 m2 `2 t2 avec (1 ,1 ,1 ) 6= (2 ,2 ,2 ) ,
par exemple, pour fixer les idees, 1 6= 2 ; on dit alors que lequation (5.11) est inhomogene
dimensionnellement . Supposons que lon teste legalite (5.11) dans un premier systeme dunites
reposant sur des etalons M, L et T de masse, longueur et temps. On valide alors cette equation
en observant que
1 2
mes(1 ) = ' mes(2 ) = . (5.12)
M 1 L1 T 1 M 2 L2 T 2
On peut tres bien decider dutiliser un autre systeme dunites, dit prime , dans lequel les etalons
de longueur et temps sont inchanges, mais letalon de masse est dix fois plus grand,
M 0 = 10M .
110 Chapitre 5. Analyse dimensionnelle appliquee a la mecanique des solides
Si la loi (5.11) est vraiment physique, on doit retrouver legalite 1 = 2 dans ce nouveau systeme
dunites, cest-a-dire que lon doit avoir
1 2
mes0 (1 ) = ' mes0 (2 ) = . (5.13)
(10M )1 L1 T 1 (10M )2 L2 T 2
En faisant le quotient des relations (5.12) et (5.13) on voit quil faut avoir
ce qui nest pas possible puisque 1 6= 2 ; dans le cas ou 1 serait proche de 2 on peut reprendre
le meme raisonnement en remplacant le facteur 10 entre les etalons M 0 et M par un facteur 1000
par exemple, dou limpossibilite davoir
Ainsi une consequence de linvariance des lois de la physique par choix dunites est le fait que toute
equation de la physique doit etre homogene dimensionnellement , au sens ou tous
les termes dune egalite doivent avoir la meme fonction de dimensions. Cette propriete
peut etre utilisee pour detecter des erreurs de modelisation. En effet si un raisonnement ou
calcul conduit par exemple a une relation de la forme
1 = 2 + 3
avec des fonctions de dimensions differentes pour 1 , 2 et 3 , alors il ne peut sagir dune equation
de la physique, i.e. le raisonnement ou calcul comporte forcement une faute. Un eleve-ingenieur
ou ingenieur se doit donc de toujours tester lhomogeneite dimensionnelle des formules
analytiques quil etablit, pour eliminer au maximum erreurs de raisonnement ou fautes de calcul.
Masse m m1 kilogramme, kg
Longueur ` `1 metre, m
Temps t t1 seconde, s
Couple = F` m1 `2 t2 N m = kg m2 /s2
Deformation = x/X 1
Viscosite cinematique = / `2 t1 m2 /s
Debit volumique q = vS `3 t1 m3 /s
Tab. 5.1 Fonctions de dimensions et unites dans le systeme international (SI) des princi-
pales grandeurs rencontrees en mecanique des milieux continus. Les quatre dernieres lignes relevent de la
mecanique des fluides, les grandeurs listees seront introduites dans le chapitre 7.
Letalon de mesure de longueur a ete defini une premiere fois par une loi francaise de
1795 : le metre est la dix millionieme partie de larc de meridien terrestre entre le pole
boreal et lequateur 7 . Plus recemment on a pose que le metre est la longueur parcourue
dans le vide par la lumiere pendant une duree de 1/299792458 de seconde . La constance
de la vitesse de la lumiere dans le vide resulte des lois de la mecanique relativiste.
Letalon de mesure de masse, le kilogramme, a ete defini par une loi francaise de 1799
comme la masse dun decimetre cube (cest-a-dire un litre !) deau pure a son maximum
de densite i.e. 4 o C. Pour des mesures tres precises on se refere maintenant plutot a des
etalons du kilogramme soigneusement controles. La definition a partir dun volume deau,
elle, releve de la mecanique des milieux continus.
7. Ainsi cet arc mesure 10000 km, donnee a retenir pour des applications geophysiques de la mecanique. On en
deduit en particulier le rayon terrestre rT puisque 14 2rT = 10000 km rT = 2 10000 km ' 6370 km.
112 Chapitre 5. Analyse dimensionnelle appliquee a la mecanique des solides
= f (1 , 2 , ,n ) . (5.14)
m ` t
1 m1 `1 t1
..
.
n mn `n tn . (5.15)
2 , 3 au sens ou
1 1 2 2 3 3 1 1 = 2 = 3 = 0 . (5.16)
Ces grandeurs fondamentales sont typiquement au nombre de trois, sauf dans le cas de modeles
particulierement simples ; on reviendra sur le cas de tels modeles simples ou il y a moins
de trois grandeurs fondamentales a la fin de cette section. Pour une etude plus generale voir par
exemple le chapitre V de Huerre (1998). Enfin, le fait que les grandeurs fondamentales soient les
trois premieres peut etre assure par un eventuel remaniement dindices.
Dapres (5.16) on ne peut exprimer la fonction de dimensions de lune des grandeurs en fonction
des autres, car si on le pouvait il existerait par exemple 1 , 2 tels que
3 1 1 2 2 1 1 2 2 1
3 1. (5.17)
Compte tenu de (5.15), lequation exprimant une liaison eventuelle entre les grandeurs
1 1 2 2 3 3 1 (5.18)
secrit
m1 1 +2 2 +3 3 `1 1 +2 2 +3 3 t1 1 +2 2 +3 3 1 . (5.19)
Si elle a lieu, cette relation doit etre verifiee dans nimporte quel systeme dunites, i.e. on peut
lexpliciter sous la forme dune egalite en remplacant m, ` et t par des valeurs etalons quelconques
M, L et T . Il vient donc
M, L, T, M 1 1 +2 2 +3 3 L1 1 +2 2 +3 3 T 1 1 +2 2 +3 3 = 1 .
8. Sans developper completement un modele.
5.1. Principes de lanalyse dimensionnelle 113
1 2 n
m 1 2 n
. (5.23)
` 1 2 n
t 1 2 n
On choisit alors dans ce tableau 3 colonnes formant une sous-matrice 33 inversible : les grandeurs
correspondantes sont alors les grandeurs fondamentales . Au besoin on renumerote les
grandeurs de sorte que ces grandeurs soient bien 1 , 2 et 3 . Comme les autres grandeurs sont
dependantes dimensionnellement de celles-ci, on peut les exprimer dimensionnellement en fonctions
de 1 , 2 et 3 . Considerons en effet un indice k parmi 4, ,n. On doit pouvoir determiner trois
exposants ak , bk et ck de sorte que
Ceci se prouve et se fait pratiquement en utilisant les fonctions de dimensions (5.15) : la relation
(5.24) secrit
mk `k tk m1 ak +2 bk +3 ck `1 ak +2 bk +3 ck t1 ak +2 bk +3 ck . (5.25)
0 = . (5.29)
a10 b20 c30
0 = F (1 , 2 , 3 , 4 , , n ) .
Cette relation ne peut prendre une forme quantitative quune fois choisi un systeme dunites.
Comme les grandeurs 1 , 2 et 3 sont dimensionnellement independantes on peut definir ce
systeme dunites directement a laide detalons de mesure 1 , 2 et 3 de ces grandeurs. En
pratique on aura donc pour des conditions reelles donnees
0 = F mes(1 ), mes(2 ), mes(3 ), 4 , , n
1 2 3
0 = F , , , 4 , , n . (5.30)
1 2 3
En multipliant letalon de mesure 1 par 10, on en deduit que F ne doit pas dependre de son
premier argument. De meme elle ne peut dependre de son deuxieme ou de son troisieme argument,
eux-aussi dimensionnels. Au bilan F ne peut dependre que de ses arguments adimensionnels. On
peut donc enoncer le theoreme de Vaschy-Buckingham : une relation fonctionnelle (5.14)
= f (1 , 2 , ,n ) (5.31)
0 = F(4 , , n ) (5.32)
On peut envisager divers autres cas particuliers, par exemple, avec deux grandeurs fondamen-
tales mais trois parametres de controle, une grandeur fondamentale et deux parametres de controle,
etc... Le lecteur est invite a resoudre ces cas particuliers par lui-meme, avec la methodologie
developpee ci-dessus, que lon peut attribuer a Vaschy et Buckingham. De tels cas particuliers sont
abordes dans la question 2 du probleme 4.8 ainsi que dans la section 5.3 ci-apres.
Nous allons maintenant, dans les deux sections qui suivent, appliquer la methodologie de Vaschy
et Buckingham a deux problemes assez differents.
nest pas independante de la masse volumique du materiau qui constitue la boule, et de son
diametre D. De plus lelasticite de la boule joue un role, puisque, si elle etait parfaitement rigide,
limpact serait ponctuel. Comme on la vu dans le chapitre 4, en faisant lhypothese simple que le
materiau de la boule est isotrope et travaille en reponse lineaire, on peut caracteriser son elasticite
par son module dYoung E et son coefficient de Poisson . A cause de la relation (5.38), on peut
decider de choisir comme parametres de controle de ce probleme D, , V, E et . La grandeur
dependante est bien sur le diametre de la zone dimpact d.
D V E
m 0 1 0 1 0
.
` 1 3 1 1 0
t 0 0 1 2 0
On voit que lon est dans la situation standard ou les trois premieres grandeurs sont dimension-
nellement independantes, la matrice formee par les trois premieres colonnes etant de determinant 1,
donc inversible. Le groupement 4 permettant dadimensionner E se construit en calculant les ex-
posants a4 , b4 , c4 tels que
E Da4 b4 V c4 .
En extrayant les exposants de m, ` et t dans cette equation aux dimensions, de facon analogue a
ce qui a ete fait pour passer des equations (5.24) a (5.26) lorsque lon a etablit le theoreme , il
vient
0 + b4 + 0 =
1
a4 3b4 + c4 = 1 . (5.39)
0 + 0 c = 2
4
5 = . (5.41)
9. Ce serait le cas ici si on avait rajoute lacceleration de la pesanteur g, ou la viscosite de lair dans les
parametres de controle. Si le lancer de la boule se fait suffisamment pres de la surface, et avec une vitesse V pas trop
petite, la pesanteur ne jouera pas, et les frottements visqueux de lair ambiant non plus...
10. Ce serait le cas ici si on avait oublie la masse volumique par exemple.
5.2. Application : modelisation dun probleme dimpact elastique 117
1111
0000
0000
1111 111
000
000
111
D 1111
0000
0000
1111
0000
1111
000
111
000
111
0000
1111 000
111
000
111
V
111
000
000
111
000 d
111
Fig. 5.1 Phenomene dimpact elastique. Gauche : situation initiale, lancer de la boule enduite de
peinture a une vitesse V controlee en direction de la surface plane rigide. Droite : apres impact et rebond,
une tache de peinture de diametre d est laissee sur cette surface.
d
0 = .
D
La relation generale
d = f (D, , V, E, ) (5.42)
d E
= F , . (5.43)
D V 2
et que les boules aient le meme coefficient de Poisson . Ceci permet denvisager, pour etudier le
cas dune grosse boule, de diametre D1 , une experience analogique, a laide dune boule beaucoup
plus petite, de diametre D2 ; si les conditions de similitude enoncees ci-dessus sont verifiees, on
peut predire que
D1
d1 = d2 .
D2
Tab. 5.2 Table tiree de Sonin (2001), presentant des experiences numeriques dimpact elastique, ainsi
que les symboles correspondant sur les figures 5.2 et 5.3.
1.0 1.0
(a) (b)
0.8 0.8
0.6 0.6
d d
D D 0.4
0.4
0.2 0.2
0.0 0.0
1 100 104 106 1 5 10 50 100 500
E [MPa] V [m/s]
Fig. 5.2 Impact elastique : etude de linfluence du module dYoung (a) ou de la vitesse dimpact (b)
sur la taille reduite de la zone impactee, a partir des donnees de la table 5.2.
d E
= f , (5.45)
D V 2
fonction visible sur la figure 5.3, pour laquelle on pourrait proposer une formule quantitative par
12. Ingenieur-docteur americain travaillant au MIT.
5.3. Application : etude du flambement dune poutre cylindrique 119
1.0
0.8
0.6
d
D 0.4
0.2
0.0
10 100 1000 104 105
E/(V 2)
Fig. 5.3 Etude du probleme de limpact elastique et des donnees de la table 5.2 en utilisant lanalyse
dimensionnelle pour identifier le parametre de controle pertinent, en abscisse.
ajustement numerique. Le lecteur est invite a expliquer physiquement pourquoi la fonction f est
decroissante.
etude, qui concernait aussi une poutre en flexion (meme si elle nest pas cylindrique, et si les
efforts appliques sont plus controles), a conduit a un deplacement de la fibre moyenne (definie par
y = z = 0) de la forme
3
u = u0 x2 ey ,
8 eh3 E
qui ne fait pas intervenir le coefficient de Poisson du materiau.
Nous supposons donc que les parametres de controle sont d, h et E.
La grandeur dependante est la valeur critique Fc de la force F , i.e. le seuil de flambement .
Fc = f (d, E, h)
Fc d4 , Fc h2 ; (5.49)
le fait que lexposant de d soit positif et celui de h negatif peut sinterpreter mecaniquement (faites-
le !). On peut alors raisonnablement supposer que la fonction G de lequation (5.48) est elle-meme
une loi de puissance, de la forme
h h
G = G0 , (5.50)
d d
5.3. Application : etude du flambement dune poutre cylindrique 121
(a) (b)
F
00
11
11
00 00
11
00
11
B 11
00
00
11
1
0 11
00
00
11
0
1
0
1 A 00
11
Fig. 5.4 a : vue schematique, en coupe, dune poutre cylindrique verticale, situee entre deux liaisons
rotules aux points A et B. b : si on applique une force verticale F de norme suffisante, on observe un
phenomene de flambement , la poutre se deforme en flexion dans une certaine direction.
avec G0 une constante sans dimension a determiner experimentalement ou par le calcul. Ceci donne,
par injection dans (5.48),
Fc = G0 E d2 h , (5.51)
dou, par identification avec (5.49),
E d4
= 2 = Fc = G0 . (5.52)
h2
5.3.5 Complements
Des experiences fines, ou, alternativement, un modele, permettent de determiner completement
cette loi, en montrant que 14
G0 = 3 /64 ' 0,48 . (5.53)
Le modele, du originellement a Euler, est presente dans le probleme 5.1. Il utilise diverses hy-
potheses, notamment, lhypothese d h de poutre elancee . Cette hypothese permet daboutir
generalement a des lois dites de theorie des poutres , sous-discipline de la resistance
des materiaux . Des elements de theorie des poutres plus complets que ceux donnes dans le
probleme 5.1 pour des poutres en flexion plane 15 sont presentes dans le departement Geoingenierie
dans le cadre du cours correspondant dOlivier Deck, ou dans les traites Lemaitre et al. (2007);
Dupeux (2009).
Le phenomene etudie ici est bien dune instabilite liee a une bifurcation : lorsque
F > Fc , une configuration droite verticale de la poutre reste possible, mais cette configuration est
instable vis-a-vis de perturbations infinitesimales, qui selon leur orientation vont faire flamber
la poutre dans telle ou telle direction...
Un exemple de flambement de structures tri-dimensionnelles est presente sur la figure D.6, dans
le cadre de commentaires lies au probleme 4.5, qui ne figurent que dans la version PDF de ce
document.
14. On peut remarquer que lestimation la plus triviale, G0 = 1, que lon aurait pu poser a la fin de lanalyse
dimensionnelle, est pertinente !..
15. On peut aussi mentionner le probleme 4.7 pour des poutres en traction - torsion.
122 Chapitre 5. Analyse dimensionnelle appliquee a la mecanique des solides
5.4 Probleme
Probleme 5.1 Etude de poutres en flexion plane [dapres le test de janvier 2015]
On etudie des poutres elancees, constituees dun materiau homogene elastique isotrope
sollicite en regime lineaire, de module dYoung E et coefficient de Poisson . Dans la confi-
guration de reference, ces poutres sont droites : dans le repere cartesien Oxyz, leur fibre moyenne
est definie par le segment
{ M(x,0,0) avec x [0,L] } . (5.54)
Cette fibre moyenne est au centre des sections droites qui sont toutes identiques, i.e., se deduisent
par translations dans la direction x de la section droite 0 situee dans le plan x = 0. Par exemple,
pour une poutre parallelepipedique
Y
1
0
1
0
Z v
1
0
1
0 X
A
5.4. Probleme 123
1.c Verifiez lhomogeneite dimensionnelle de la formule integrale obtenue pour I, par rapport a la
relation I = /C.
1.d Calculez le moment quadratique I dune poutre parallelepipedique de section 0 definie par
(5.55).
1.e Calculez le moment quadratique I dune poutre cylindrique a section circulaire 0 definie par
(5.56).
2 En utilisant les hypotheses faites sur le materiau, etablissez lexpression intrinseque du tenseur
des deformations linearise dans cette portion de poutre.
u(X) = XY ex + ( X 2 + Y 2 + Z 2 ) ey + Y Z ez (5.58)
4.a Admettant quil nest pas pertinent de rajouter un champ de moments a la solution (5.58),
deduisez-en lexpression de la fleche v(X) mesurant le deplacement dans la direction Y de la fibre
moyenne definie par Y = Z = 0. Vous montrerez que v ne depend que de X, , E et I.
4.b Dans le cas dune poutre parallelepipedique, on a affaire a un probleme tres similaire a celui
traite dans le probleme 4.1, pour lequel des elements de solution ont ete donnes dans ce chapitre 5.
Validez, par comparaison, la formule que vous avez etablie pour la fleche v.
4.c En derivant deux fois la formule etablie en 4.a, afin dobtenir une formule plus intrinseque 16 ,
montrez que
d2 v
= f (E,I) ,
dX 2
avec f une fonction que vous expliciterez. Interpretez physiquement cette formule, notamment,
linfluence de chaque variable.
16. Independante dune rotation eventuelle des axes XY Z par rapport aux axes xyz, qui pourrait exister en
realite.
124 Chapitre 5. Analyse dimensionnelle appliquee a la mecanique des solides
Quand on passe de cette etude locale a une etude globale, on admet que cette meme formule
est valable, en remplacant la coordonnee locale X par la coordonnee globale x, en definissant une
fleche globale encore notee v de sorte que toute la fibre moyenne soit definie par y = v(x), et en
tolerant eventuellement un couple lentement variable :
d2 v
= f (E,I) , (5.59)
dx2
avec f la meme fonction. En effet, en general, des translations et rotations permettent de passer de
Oxyz a AXYZ, donc de vglobale a vlocale , et de telles transformations despace laissent invariante
la derivee seconde d2 v/dx2 , qui sapparente a la courbure de la poutre.
M
F 10 v F
0
1 1
0
0
1 x
O A
On admet quen 1ere approximation la position de A est quasiment inchangee par rapport a la
configuration de reference, i.e. A ' O + Lex , et que le flambement est essentiellement du au couple
de flexion du a la force F, estime dans la configuration actuelle, sans considerer v infinitesimal.
5 Calculez ce couple, soit , ramene au point M = O + xex + vey ou lon imagine une coupe
virtuelle, sachant que les efforts a prendre en compte, exerces par laval (x0 > x) sur lamont sont
la force F appliquee en A et un couple nul en A, (A) = 0.
6 En explicitant lequation (5.59) dans ce cas, montrez que v(x) satisfait une equation differentielle
ordinaire lineaire homogene dordre 2.
7.a Montrez que cette equation ne peut admettre des solutions non nulles compatibles avec les
conditions limites v(0) = 0 et v(L) = 0 que pour un ensemble de valeurs de F de la forme
{ Fn = n2 F1 avec n N }, et calculez F1 . Proposez sur la base de ce modele une expression
analytique pour le seuil de flambement Fc , plus petite valeur de F a partir de laquelle ce flambement
est possible.
7.b Dans le cas dune poutre cylindrique a section circulaire definie par (5.56), etablissez lexpres-
sion de Fc en fonction de E, L2 et du diametre d = 2a dune section. Verifiez la coherence de cette
expression avec celle donnee dans ce chapitre.
8 Sur une coupe virtuelle effectuee au milieu (x = L/2) dune poutre flambee comme ci-dessus,
representez le champ de vecteurs contraintes exerces par laval sur lamont. Expliquez la physique.
5.5. Notes personnelles 125
A
1
0
1
0
1
0
1
0 x
O
F
On admet que les deplacements et deformations sont essentiellement dus a leffet du couple cree
par F, calcule dans la configuration de reference.
9 Calculez ce couple ramene en M = O + xex , ou lon imagine une coupe virtuelle, sachant que
les efforts a prendre en compte, exerces par laval sur lamont, sont la force F appliquee en A et
un couple nul en A.
10 Montrez que la fleche v(x) de la poutre satisfait une equation differentielle ordinaire lineaire
inhomogene dordre 2, et resolvez la compte tenu des conditions dencastrement v(0) = v 0 (0) = 0.
Representez lallure de la fibre moyenne deformee.
Le but de la premiere section de ce chapitre est detablir la forme generale du bilan global
denergie cinetique dans un milieu continu. Dans la deuxieme section on examine la forme prise
par ce bilan, et sa signification physique, dans le cas de solides elastiques. Enfin un probleme
dapplication est presente.
dv dv2
v = = g v + (div ) v , (6.2)
dt 2 dt
la demonstration de la premiere egalite faisant lobjet de lexercice de calcul tensoriel 2.10. Intro-
duisons la densite massique denergie cinetique
1 2
ec = v . (6.3)
2
lequation
dEc
ZZZ ZZZ
3
= g v d x + (div ) v d3 x . (6.6)
dt t t
Le premier terme dans le membre de droite de cette equation est la puissance developpee par
les forces volumiques de pesanteur. Le second terme peut, grace a lexercice de calcul tensoriel
2.6, etre reecrit sous la forme
ZZZ ZZZ ZZZ
3 3
(div ) v d x = div( v) d x : v d3 x . (6.7)
t t t
puisque est symetrique, ce qui permet de faire apparaitre le vecteur contrainte T. Ce terme est la
puissance developpee par les forces surfaciques de contact qui sappliquent a la frontiere
t du domaine materiel t . Au bilan on a donc, dapres (6.6),
dEc
= Pext + Pint (6.9)
dt
v = D + . (6.12)
Comme est symetrique tandis que est antisymetrique, on a en composantes dans une base
: = ij ji = ji ij = ij ji .
: = 0. (6.13)
+ 2 : = 1 :
: = (tr) 1 : + 2 : = (tr) (tr)
(6.21)
t 2
puisque
1
: = (tr)2 + : . (6.22)
2 2
1
ZZZ
Ep = : d3X , (6.24)
2
Etot = Ec + Ep , (6.26)
a savoir
dEtot
= Pext . (6.27)
dt
Dans le cas dun systeme isole, sur lequel on napplique aucun effort exterieur, cette loi devolution
devient une loi de conservation,
dEtot
Pext = 0 = = 0 Etot ne depend pas du temps. (6.28)
dt
Pour cette raison on dit que les solides elastiques constituent des systemes conservatifs. Cette
propriete est liee au caractere reversible de la dynamique des solides elastiques en regime lineaire,
deja mentionne en section 4.1.1. Une consequence physique de la loi (6.28) est lexistence de mou-
vements oscillants dans un solide elastique isole, mouvements dans lesquels on a, de facon
3. Puisque et sont strictement positifs, et les facteurs de /2 et sont respectivement un carre et une somme
de carres.
4. Ce nest pas un champ contrairement a : qui est un champ scalaire !
6.3. Probleme 131
periodique dans le temps, transformation denergie cinetique en energie potentielle, puis denergie
potentielle en energie cinetique, etc... Un prototype de tels mouvements oscillants a deja ete
rencontre en classes preparatoires : il sagit des mouvements oscillants dun ressort lineaire. Un
exemple plus sophistique est donne par celui des ondes elastiques, etudie dans le probleme 4.8.
Plus generalement, etant donne une structure solide elastique, on montre en general lexistence de
modes de vibrations de cette structure. Cest lobjet de la dynamique des structures que
de developper des methodes de calcul de ces modes de vibrations, afin de les controler (au
sens large) et de sassurer quils sont sans danger ;
de developper des methodes de caracterisation de ces modes de vibrations, afin detre ca-
pable de les mesurer .
En elasticite pure, ces mouvements oscillants durent eternellement . En pratique, dans tout
systeme reel, existent de legers phenomenes dissipatifs, qui modifient le bilan (6.27) en rajoutant
justement un terme de dissipation strictement negatif,
dEtot
= Pext Pdiss avec Pdiss > 0 . (6.29)
dt
En consequence dans un systeme isole lenergie totale decrot au cours du temps, ce qui signifie que
les mouvements oscillants sont amortis et finissent par disparaitre. On verra dans le chapitre qui
suit un exemple simple de phenomenes dissipatifs dans le cas de milieux continus fluides. Decrire
les phenomenes dissipatifs reels que lon vient devoquer dans un milieu repute solide est
par contre assez ardu, puisque cela necessite typiquement de developper la theorie des milieux
viscoelastiques , qui depasse largement le cadre de ce cours.
6.3 Probleme
Tournez la page sil-vous-plait...
132 Chapitre 6. Bilan denergie cinetique - Cas des solides elastiques
Probleme 6.1 Etude dun lopin cylindrique en compression dans un conteneur rigide
On considere un lopin cylindrique constitue dun materiau solide isotrope elastique. Il est
depose dans un conteneur repute indeformable, comme presente sur la figure 6.1. Les parois de ce
conteneur sont parfaitement lisses de sorte quelles nintroduisent pas de forces de frottement sur
le materiau. Dans le repere Oxyz, et les coordonnees cylindriques associees (r,,z), le conteneur
possede une extension laterale definie par le rayon cylindrique a. Un plateau superieur situe en
z = h, repute indeformable, est solidaire dune presse ; il vient ecraser le lopin.
z = h(t) = ?
1.2 On cherche une solution en deplacement de ce probleme. On fait lhypothese tres simple que
le champ de deplacement est de la forme
u = (A + BZ)ez .
1.3 A quelle condition est-on en petit deplacements ? On se place desormais dans cette hypothese.
1.4 Calculez le gradient du champ de deplacement ; vous en donnerez une expression intrinseque.
Que peut-on dire de la transformation associee a ce mouvement ?
1.5 Grace a une hypothese physique raisonnable, calculez le tenseur des contraintes. Vous en don-
nerez une expression intrinseque, et tracerez la representation de Mohr correspondante. Comment
sinterprete telle physiquement ? A quoi pourrait-elle servir ?
1.6 Quelle force faut-il exercer sur la presse pour la faire descendre ?
1.7 Quelle est lenergie potentielle elastique stockee entre linstant initial et linstant actuel t ?
Verifiez la loi devolution de lenergie totale (6.27).
Complement
Dun point de vue geometrique, lessai du probleme 6.1 ressemble a des essais dits dometri-
ques utilises en mecanique des sols, pour des materiaux peu cohesifs ne pouvant donc pas etre
disposes dans une machine de traction. Ce type dessai represente sur la figure 6.2 permet no-
tamment de caracteriser le tassement des sols, cest-a-dire leur deformation verticale, sous leffet
6.3. Probleme 133
PSfrag replacements
O
x
Fig. 6.1 Schema geometrique en coupe dun systeme dessai de compression dans un conteneur
rigide. Le conteneur et le plateau-presse superieur sont representes en grise ; le lopin est contenu dans la
zone rectangle branche centrale.
dune surcharge, par exemple lors de la construction dun batiment ou dun ouvrage dart, lors
de ledification dun remblai pour la construction dune route, etc... Les sols etant generalement
granulaires (cest-a-dire composes de grains plus ou moins solidaires les uns des autres) et
satures en eau, leur tassement est du au rearrangement des grains (qui se reorganisent selon une
configuration plus dense) et a lexpulsion de leau interstitielle. Souvent, leau ne peut sortir que
tres lentement et le tassement se fait sur des durees pouvant etre extremement longues, jusqua
plusieurs annees. Pour le geotechnicien, il est essentiel de pouvoir prevoir a la fois lamplitude du
tassement (de combien un batiment va-t-il senfoncer dans le sol sur lequel il est construit ?)
et sa duree (combien de temps faudra-t-il attendre avant que lenfoncement se stabilise ?).
Dun point de vue mecanique, lessai dometrique differe grandement de lessai de compression
decrit dans le probleme 6.1 puisque le tassement des sols nest pas elastique, mais au contraire
irreversible et dependant du temps : on parle alors de comportement visco-plastique.
Ces problemes de mecanique des sols seront abordes dans le departement Geoingenierie en general,
et plus particulierement dans le module Sols et Formations superficielles, donne par Yann Gunz-
burger.
Fig. 6.2 Schema de principe dun essai dometrique (Magnan 2000). Afin de permettre lexpulsion
de leau contenue dans lechantillon de sol, les bases superieure et inferieure sont poreuses. Le comparateur
mesure le deplacement vers le bas de la plaque superieure sous leffet de la charge appliquee. La presence
de lanneau lateral rigide rend compte du fait que les mouvements sont essentiellement verticaux dans la
nature, les deplacements horizontaux etant fortement limites par la presence de sol autour de la zone etudiee.
134 Chapitre 6. Bilan denergie cinetique - Cas des solides elastiques
Fluides newtoniens
On revient ici sur la formule cinematique de transport dune quantite extensive C definie par
une densite volumique c = c(x,t),
ZZZ
C(t) = c d3 x , (7.1)
t
" #
dC c c 3
ZZZ ZZZ ZZ
3
= + div(cv) d x = d x + c v n d2 S , (7.2)
dt t t t t t
avec n est le vecteur unitaire normal sortant de t . Afin de preciser linterpretation physique de
la formule (7.2), que nous avons seulement esquissee a la fin de la section 3.1.1, considerons le cas,
courant en mecanique des fluides, dun domaine t tube de courant tel que sa frontiere t se
decompose en
une surface dentree Se sur laquelle v n < 0,
une surface de sortie Ss sur laquelle v n > 0,
une surface laterale (par exemple une paroi solide) S` sur laquelle v n = 0,
Une telle situation est representee sur la figure 7.1. On peut alors recrire le bilan (7.2) sous la
forme
dC
evolution = = accumulation + gain en sortie perte en entree , (7.3)
dt
avec le taux daccumulation (sil est positif, sinon, cest un taux de diminution)
c 3
ZZZ
accumulation = d x, (7.4)
t t
le taux de gain en sortie (en supposant que c est une quantite positive)
ZZ
gain en sortie = c v n d2 S (7.5)
Ss
Ces taux se simplifient dans le cas ou on suppose que c est uniforme en entree et sortie,
ZZ
gain en sortie = cs qs avec qs = v n d2 S = debit volumique sortant, (7.7)
Ss
ZZ
perte en entree = ce qe avec qe = (v n) d2 S = debit volumique entrant. (7.8)
Se
Le bilan (7.3) sinterprete ainsi : le taux temporel global devolution de la quantite C du fluide
contenu dans t , en suivant ce fluide dans son mouvement, soit evolution , est la somme
du taux temporel de variation de C dans t du a deventuelles instationnarites (c depend
effectivement du temps), soit accumulation ,
du taux temporel de gain de C en sortie, puisque dans lecoulement on gagne du volume en
sortie, soit gain en sortie ,
de loppose du taux temporel de perte de C en entree, puisque dans lecoulement on perd
du volume en entree, soit perte en entree .
7.1. Bilans de masse et de quantite de mouvement 137
S`
PSfrag replacements
Se
Ss
Fig. 7.1 Representation schematique dun domaine materiel constituant un tube de courant . Les
fleches representent des vecteurs vitesses.
La valeur du taux devolution de la quantite C, que la cinematique nous permet dexpliciter avec
la formule (7.3), sera finalement donnee par la physique. Par exemple, si C est la masse, par
conservation de la masse,
dm
evolution = = 0,
dt
si C est la quantite de mouvement, par la loi de Newton,
dp
evolution = = Rext = somme des forces exterieures appliquees.
dt
Il est donc temps de passer de la cinematique a la physique des fluides !..
Dans le cas decoulements permanents ou stationnaires, definis par le fait que tous les champs
euleriens sont independants du temps, en particulier
v
= 0 et = 0, (7.10)
t t
il vient ZZ
v n d2 S = 0 . (7.11)
t
Considerons un domaine t tube de courant (figure 7.1). Alors lequation (7.11) exprime la
conservation du debit massique 4 entre les surfaces dentree et de sortie,
ZZ ZZ
m = v n d2 S = v n d2 S , (7.12)
Se Ss
quil est interessant de retrouver et interpreter a laide de la formule (7.3). Le bilan local de
transport de masse a lui aussi ete etabli dans le chapitre 3, il prend deux formes equivalentes
(3.11) et (3.12),
d
+ divv = + div(v) = 0 . (7.13)
dt t
4. En anglais, le debit massique est le mass flow rate, le debit volumique le volume flow rate.
138 Chapitre 7. Fluides newtoniens
On fera la plupart du temps lhypothese que les fluides que lon considere sont incompressibles,
cest-a-dire quen premiere approximation
(x,t) = 0 independante de x et t . (7.14)
Dun point de vue thermodynamique, cette hypothese est coherente avec celle disothermalite,
T (x,t) = T0 independante de x et t . (7.15)
On reviendra sur ces hypotheses en section 7.2.2. Si on insere lhypothese (7.14) dans la loi de
conservation du debit massique (7.12), on obtient la loi de conservation du debit volumique 4
m
ZZ ZZ
2
q = = vn d S = v n d2 S . (7.16)
Se Ss
En pratique, on definit souvent les aires des sections dentree et de sortie du tube de courant
ZZ ZZ
2
Ae = d S et As = d2 S , (7.17)
Se Ss
et a partir de cela des vitesses moyennes ou vitesses debitantes
q q
Ve = et Vs = . (7.18)
Ae As
Dun point de vue local, la loi (7.13) donne enfin en fluide incompressible, la condition
divv = 0 . (7.19)
Par analogie avec le champ magnetique 5 , on dit que le champ de vitesse dun fluide incompressible
est solenodal .
dp (v) 3
ZZZ ZZ
= d x + v(v n) d2 S
dt t t t
la premiere egalite etant la formule de transport dEuler. La forme locale de cette loi devolution
a ete donnee dans lequation (3.41),
" #
dv v
= + x v v = g + div , (7.21)
dt t
avec x la direction parallele aux parois, y la direction orthogonale, et lexistence dune loi dechelle
ne dependant que dun temps reduit,
Dans cette loi universelle V est la vitesse imposee a la paroi mobile, situee a la distance ` de
la paroi fixe, et
`2
tvisqueux = (7.24)
est le temps de diffusion visqueuse, avec ` lespace entre la plaque inferieure fixe et la plaque
superieure mobile, la viscosite cinematique du fluide. Les courbes reduites correspondantes
sont presentees sur la figure 7.2c. Elles suggerent lexistence de contraintes tangentielles de frot-
tements visqueux entre les diverses couches de fluides, par lesquelles les couches superieures
entrainent progressivement les couches inferieures. Au bout dun temps de lordre du temps de
diffusion visqueuse tvisqueux , on atteint un regime decoulement permanent,
y y
vreduit = v = V . (7.25)
` `
On peut alors mesurer la force exercee par le fluide sur la paroi mobile (qui doit etre compensee
par une force motrice egale et opposee pour assurer la constance de la vitesse V de cette paroi),
et on trouve une force par unite de surface
V
T = pey ex avec p une pression et = une contrainte tangentielle, (7.26)
`
Par le principe daction-reaction la contrainte exercee par la paroi mobile sur le fluide est donc
V
T = pey + ex avec = . (7.28)
`
Lexistence dune pression et dune relation lineaire entre la contrainte tangentielle et la
vitesse est verifiee dans de nombreux fluides isotropes dits newtoniens : leau, la plupart des
huiles, des alcools, mais aussi des gaz comme lair, etc... Des valeurs typiques des viscosites et
sont presentees sur la table 7.1 ; quelques informations sur les effets physiques qui controlent
la valeur de la viscosite sont donnes par exemple le chapitre 1 de Plaut (2017b). Ces viscosites
mesurent dune certaine facon la resistance a lecoulement, puisque
n, T(n) = n = pn . (7.29)
Cette pression p est un champ scalaire continu dun fluide a lautre, comme lillustre lexercice 7.3.
En hydrostatique on a donc un tenseur des contraintes
= p1 . (7.30)
Cette forme de tenseur des contraintes est la seule qui nintroduit pas de contraintes tangentielles 8 .
La loi (7.30) peut donc etre vue comme une consequence de lune des definitions des fluides donnees
en section 1.1.1, a savoir quun fluide au repos ne peut supporter de contraintes tangentielles, si
petites soient-elles.
En hydrodynamique 9 , par contre, il est clair que la relation (7.28) ne pourra etre satisfaite que
si lon rajoute un terme de contraintes visqueuses au tenseur des contraintes hydrostatique
(7.30), en ecrivant que
= p1 + . (7.31)
Au vu de la relation (7.28), on pourrait etre tente de poser une relation de proportionnalite entre
et le tenseur gradient de vitesse,
= 2 K = 2 x v , (4 formule fausse !)
mais alors, en faisant tourner en bloc un fluide, ce qui nintroduit aucune deformation, on intro-
duirait des contraintes tangentielles. Ceci nest pas observe, et suggere une relation lineaire entre
le tenseur des contraintes visqueuses et le tenseur des taux de deformation,
= 2 D = K + KT . (7.32)
y PSfrag replacementsb
1.
c
0.8
PSfrag replacements
0.6
by/`
0.4
x
0.2
y
0.
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.
v/V
Fig. 7.2 a : Experience de Couette cylindrique du Lemta menee dans lequipe de Salaheddine
Skali-Lami par Ghania Benbelkacem. En haut on distingue le moteur electrique, de laxe duquel est solidaire
le cylindre interieur (de rayon exterieur a). Entre celui-ci et le cylindre exterieur (de rayon interieur b) se
trouve le liquide a etudier, dont on distingue la surface libre. Le cylindre exterieur est fixe dans une cuve
parallelepipedique. Toutes ces pieces solides sont en plexiglass afin de permettre des visualisations. La cuve
est en general remplie deau (pour les besoins de la photo ce remplissage na pas ete total), afin dassurer
une regulation thermique du systeme et permettre une illumination du fluide par une nappe laser en
minimisant les effets de refraction aux interfaces, puisque leau possede un indice optique proche de celui du
plexiglass. Limage obtenue, reflechie dans un miroir, est ensuite filmee par une camera (objectif visible en bas
de la photo). b : Une experience de Couette cylindrique caracterisee par un petit inter-rayon ` = ba b est
proche dune experience de Couette plane, i.e. dune situation de cisaillement pur entre deux plans. Les
fleches continues representent des vitesses en regime permanent. c : Relaxation par diffusion visqueuse
des profils temporels de vitesse reduite v/V apres un demarrage brutal dune experience de Couette
plane. Laxe des ordonnees correspond a la coordonnee y dans la direction perpendiculaire aux parois. Les
courbes de plus en plus epaisses correspondent a t/tvisqueux = 0, 1/100, 1/10 et 1, cf. (7.24).
142 Chapitre 7. Fluides newtoniens
Ainsi, dapres (7.31), la loi de comportement des fluides newtoniens est donnee par
= p1 + 2 D . (7.33)
Cette loi permet bien de retrouver (7.28) en ecoulement de Couette plan etabli (7.25),
y
v = V ex ,
`
puisqualors
V
K = x v = ex ey
`
donc
V
2 D = (ex ey + ey ex )
`
et en consequence
V
T = ey = pey + ex .
`
Pour nous, fluide newtonien signifiera dorenavant fluide isotrope incompressible sa-
tisfaisant la loi de comportement (7.33), avec la viscosite dynamique qui ne depend que
(faiblement) de la temperature du fluide, comme lillustre la table 7.1.
= 2 D , (7.34)
a celle (4.37) ecrite pour les solides elastiques, qui est a priori analogue sauf que le tenseur des
deformations (linearise) remplace le tenseur des taux de deformation,
= (tr) 1 + 2 , (7.35)
= 1 (trD) 1 + 22 D . (7.36)
La reponse est que, comme nous faisons systematiquement une hypothese dincompressibilite, on
a toujours
trD = divv = 0 , (7.37)
7.2. Loi de comportement des fluides newtoniens incompressibles 143
donc le terme proportionnel a 1 dans (7.36) est toujours nul ; ceci explique pourquoi nous ne
lavons pas introduit.
En realite tous les fluides sont plus ou moins compressibles, leur compressibilite pouvant se
mesurer par le module de compression K strictement analogue de celui introduit en mecanique
des solides, au niveau de la section 4.1.7,
1 1 ln
= = . (7.38)
K p p
Ce module de compression definit dailleurs la vitesse du son dans le fluide considere, suivant la
loi p
cs = K/ , (7.39)
demontree par exemple dans les chapitres VII de Chassaing (2000) ou 3 de Plaut (2017b). Lhy-
pothese du fluide incompressible (7.14) consiste a supposer que ne depend pas de la pression
donc
K = donc cs = .
Elle sera dautant meilleure en pratique que les vitesses decoulements considerees sont petites
devant la vitesse du son, effectivement quasi infinie par rapport a ces premieres. Concretement,
pour leau
K ' 2 GPa = cs ' 1400 m/s . (7.40)
Lapproximation dincompressibilite sera en consequence souvent bien justifiee. Par contre, pour
de lair dans les conditions atmospheriques standard,
Meme dans le cas des fluides incompressibles, auquel nous nous restreignons desormais, il peut
exister des effets non newtoniens compliquant la forme de la loi de comportement (7.33),
surtout lorsquelle est consideree sous sa forme la plus stricte, avec une viscosite qui ne depend
que de la temperature. Par exemple certains fluides structures comme des polymeres ou solutions de
polymeres, mais aussi le sang, ou des fluides agroalimentaires (yaourt, sauce, puree...) presentent
un comportement rheofluidifiant caracterise par le fait que lon peut toujours ecrire la
relation (7.32), mais avec decroissant lorsque les taux de deformation augmentent, i.e. lorsque
D:D
augmente. En consequence la relation (7.32) devient non lineaire par rapport a v. Cest lobjet de
la rheologie 11 que de developper des modeles de lois de comportement pour de tels fluides, et de
10. La science des detonations, qui sont des phenomenes tres rapides.
11. Du grec rheo, rhein : couler.
144 Chapitre 7. Fluides newtoniens
les confronter a la realite. Pour cela on utilise des appareils appeles rheometres permettant
de creer des ecoulements bien controles et de les caracteriser par diverses mesures ; un exemple
basique dexperience rheometrique est celui de lexperience de Couette de la figure 7.2, qui sera
etudiee en detail dans le probleme 7.2, dans le cas simple dun fluide newtonien.
ij p Dij p Dij
div = ei = ij ei + 2 ei = ei + 2 ei
xj xj xj xi xj
en supposant le systeme isotherme 12 . Dapres la definition (2.75) du tenseur des taux de deforma-
tion, on a
Dij 2 vi 2 vj
2 = + = vi + divv ,
xj xj xj xi xj xi
en faisant usage du theoreme de Schwarz des la premiere egalite (cf. la discussion sur les derivees
partielles secondes de la section 2.5.2 du cours de calcul tensoriel). Le second terme est nul dapres
lhypothese dincompressibilite (7.19),
divv = 0 . (7.42)
qui contient un terme de diffusion visqueuse dont on pouvait soupconner lexistence des lenonce
de la propriete (7.23). Lobjet de lexercice 7.6 est dailleurs de montrer que cette equation conduit
bien au comportement (7.23).
On dispose donc dune equation scalaire (7.42) et dune equation vectorielle (7.43) pour calculer
les deux champs euleriens inconnus
le champ scalaire de pression p(x,t) ;
le champ vectoriel de vitesse v(x,t).
Ce modele est donc, a priori, bien pose mathematiquement, et il ne faudrait pas rajouter au
systeme (7.42), (7.43) une loi thermodynamique donnant la pression, comme la loi des gaz par-
faits. En effet on obtiendrait alors un modele surdetermine i.e. mal pose mathematiquement. Ceci
signifie que la pression qui intervient dans (7.43) est une pression mecanique qui na pas
exactement, du point de vue du physicien theoricien, la meme nature que la pression ther-
modynamique comme celle des gaz parfaits, meme si ces deux champs sont identiques pour le
12. Sinon, du fait que = (T ), il faudrait rajouter des termes proportionnels a d/dT , faisant apparatre les
derivees spatiales T /xj de la temperature.
7.3. Equation de Navier-Stokes - Premieres proprietes 145
physicien applique. Ce probleme ne peut etre resolu de facon propre que si on prend en compte les
effets de compressibilite 13 .
Un exemple de condition du type (7.44) sobtient dans le cas ou un bord est constitue dune paroi
solide fixe. On a alors, a cause de lexistence des frottements visqueux, adherence a la paroi du
fluide visqueux
v(x) = 0 . (7.46)
Si le bord est un solide en mouvement a la vitesse vd (x), cette meme condition dadherence a la
paroi sexprime exactement sous la forme (7.44). Un exemple de condition du type (7.45) sobtient
dans le cas ou un bord est en contact avec lair atmospherique ; alors on supposera en general que
A linterface entre deux milieux continus, il faut ecrire plus de conditions limites sous peine
davoir un probleme mathematiquement sous determine. Par exemple a linterface entre deux fluides
visqueux ou entre un fluide visqueux et un solide elastique on doit ecrire en general la continuite
des vecteurs vitesses et (le plus souvent, en labsence de phenomenes de tension superficielle 14 )
celle des vecteurs contraintes, cf. la discussion de la fin de la section 3.2.4.
g = (gz) . (7.49)
On peut donc sous ces hypotheses regrouper les deux premiers termes du membre de droite de
lequation de Navier-Stokes (7.43) en un seul,
g p = b
p avec pb = p + gz la pression motrice. (7.50)
sous-entendu connexe. Lorsque plusieurs domaines fluides coexistent la valeur de la pression motrice
dans chaque domaine na aucune raison detre la meme ; par contre a linterface entre deux domaines
la pression p doit etre continue en vertu de la continuite des contraintes. Cette loi, deja rencontree
en classes preparatoires, sinterprete ainsi : la pression augmente quand laltitude z diminue puisque
le fluide doit supporter le poids des couches superieures.
Cette loi sapplique par exemple dans des tubes de prise de pression, lorsque les ecoulements
consideres sont quasi stationnaires ; cf. sur ce sujet les exercice 7.3 et probleme 7.5. Sur les forces
exercees par un champ de pression hydrostatique, cf. lexercice 7.1.
lexercice 2.10 de calcul tensoriel, pour se convaincre que le terme (7.53) peut se reecrire de deux
facons equivalentes 16
!
v2
a = div(v v) = + rotv v , (7.54)
2
= p1 . (7.55)
Comme le terme proportionnel a dans (7.33) est aussi proportionnel a D, on peut remarquer
que tout fluide newtonien au repos se comporte comme un fluide parfait. Par contre en
situation decoulement aucun fluide nest parfait si ce nest lhelium 4 a tres basse temperature
(T < 2,2 K). En hydrodynamique lhypothese de fluide parfait est donc une hypothese de
modelisation, a peu pres raisonnable si le terme visqueux peut etre neglige devant un terme tem-
porel ou devant un terme dinertie, ce qui peut arriver si on nest pas trop pres dune paroi solide.
Cest surtout un modele tres simplifie qui permet de mettre en evidence quelques phenomenes
pertinents en hydrodynamique, qui se trouvent exister aussi (de facon qualitativement similaire
mais, en general, quantitativement differente) pour des fluides visqueux.
" #
dv v
= + v v = b
p . (7.56)
dt t
dimpermeabilite : si n est la normale a cette paroi, supposee fixe dans un premier temps, on
nexige pas la nullite de v(x) en un point de la paroi, mais seulement celle de la vitesse normale,
v(x) n = 0 . (7.57)
Ainsi on autorise lexistence dune vitesse tangentielle non nulle, i.e. un glissement du fluide
parfait a la paroi. Dun point de vue moins mathematique mais plus physique, ce glissement est
permis par labsence de forces de frottements visqueux dans un fluide parfait.
Dans le cas dune paroi mobile a la vitesse vd (x), on ecrit que
Considerons une trajectoire C de lecoulement permanent, qui est aussi une ligne de courant de
cet ecoulement. Si M est un point courant de cette ligne C, on a, lorsque M varie de dM,
!
v2
pb + = v rotv est perpendiculaire a dM
2
donc !
v2
pb + dM = 0 ,
2
On en deduit que
v2 v2
pb + = p + gz + = constante le long de C. (7.60)
2 2
Suivant Bernoulli 17 , on introduit une quantite homogene a une longueur et appelee charge
18 ,
pb v2 p v2
H = + = z+ + = constante le long de C . (7.61)
g 2g g 2g
Ceci constitue le premier theoreme de Bernoulli 19 . Il met en evidence un effet tres important,
a lorigine dune multitude dapplications en mecanique des fluides : comme, le long de C,
v2
p = constante(C) gz , (7.62)
2
une zone de survitesse, v2 plus grande que la moyenne, cree une depression, p plus faible
que la moyenne. Une interpretation physique de cet effet est que, lorsque les atomes ou molecules
constituant le fluide vont plus vite, elles ont moins de temps pour heurter une surface (physique
ou virtuelle), donc pour y creer des forces de pression.
En prenant le rotationnel de cette equation, comme le rotationnel dun gradient est nul, et la masse
volumique est constante, on obtient lequation de la vorticite
rotv
= rot v rotv . (7.64)
t
Cette equation devolution spatio-temporelle montre que, si on part a t = t0 dun ecoulement sans
vorticite, tel que
rotv = 0 dans le domaine fluide, (7.65)
alors a tout instant ulterieur on aura aussi rotv = 0 dans le domaine fluide. Ainsi il nexiste
pas de mecanisme de creation de vorticite en fluides parfaits.
v = . (7.66)
Lexistence de ce potentiel est interessante dun point de vue theorique car il est plus facile de
calculer (et de manipuler) un champ scalaire quun champ de vecteur. En raison de cette existence
on dit que les ecoulements irrotationnels sont aussi des ecoulements potentiels . La condition
dincompressibilite (7.19) montre alors que est harmonique,
divv = 0 = 0 . (7.67)
19. Quil soit premier ou deuxieme importe peu, et dailleurs cette numerotation depend des auteurs. Ce qui
importe cest de retenir les hypotheses de validite de ce theoreme et sa demonstration, somme toute plutot simple.
Ce conseil vaut aussi pour le second theoreme de Bernoulli, qui arrivera en section 7.4.7.
150 Chapitre 7. Fluides newtoniens
La theorie des ecoulements potentiels est une sous-discipline de la mecanique des fluides qui permet
dobtenir des resultats qualitativement corrects (voire, parfois, semi-quantitativement corrects)
assez facilement . Elle est historiquement importante, puisque par exemple en aerodynamique
les premiers modeles developpes lont ete grace a cette theorie 20 . Un autre domaine dans lequel
cette theorie a porte beaucoup de fruits est celui des ecoulements en milieux poreux (par exemple
dans un terrain geologique), voir par exemple Polubarinova-Kochina (1962).
Dans un ecoulement potentiel lequation dEuler (7.63) secrit, en faisant une hypothese de
regularite raisonnable sur ,
! !
v2 pb
+ = . (7.68)
t 2
v2 pb v2 p
+ + = + + + gz = + gH est independant de x . (7.69)
t 2 t 2 t
est, en general, non lineaire. En consequence il nexiste pas de principe de superposition valable
generalement en mecanique des fluides. Il existe cependant des cas ou le terme non lineaire sannule
pour des raisons geometriques ; nous allons etudier lun deux dans ce qui suit, avant den venir
au probleme de la transition vers la turbulence.
20. Voir les chapitres 6 de Chassaing (2000), VIII de Huerre (1998), ou 3 de Plaut (2017b).
7.5. Proprietes des ecoulements de fluides newtoniens 151
Un ecoulement est dit unidirectionnel dans la direction x1 si son champ de vitesse est de la
forme 21
v = v(x1 ,x2 ,x3 ,t) e1 . (7.71)
v
divv = = 0,
x1
En consequence
vi v v
v = ei ej = e1 e2 + e1 e3 ,
xj x2 x3
donc le terme non lineaire dans lequation de Navier-Stokes
v v = 0 . (7.73)
v
e1 v e1 = b
p. (7.74)
t
Les termes de gauche dependent lineairement de v, on peut donc deja parler dun principe de
superposition si pb est vue comme une source exterieure de mouvement. Une autre consequence
de lequation (7.74), plus precisement de ses composantes suivant e2 et e3 , est que pb ne depend
pas de x2 et x3 ,
pb = pb(x1 ,t) . (7.75)
valable dans tout le domaine fluide. Comme celui-ci est toujours suppose connexe, cette identite
entre fonctions de variables independantes (x2 et x3 dun cote, x1 de lautre) ne peut avoir lieu que
si les fonctions considerees sont independantes des variables spatiales x1 , x2 et x3 . En remontant
au niveau de lequation (7.76), on a lexistence dune fonction G(t) telle que
Ainsi le gradient de pression motrice (le G veut dire gradient ) est uniforme. Par
integration de cette derniere egalite il vient
i.e. une pression constante dans toutes les sections droites x1 = constante de lecoulement. Des
exemples decoulements unidirectionnels sont etudies dans les exercices 7.4 et 7.6.
Les trajectoires des points materiels constituant le milieu continu fluide en ecoulement unidi-
rectionnel sont donnees, dapres (1.20) et (7.72), par les solutions dequations differentielles de la
forme
dx1 dx2 dx3
= v(x2 ,x3 ,t) , =0, =0.
dt dt dt
Elles se font donc le long de droites
qui sont a la fois les trajectoires, lignes demission et lignes de courant de lecoulement unidirec-
tionnel. Ainsi les differentes couches ou lames de fluides restent paralleles les unes aux
autres et ne se melangent pas ; on dit pour cette raison que lecoulement est laminaire.
Lexperience montre que, lorsque lon observe les lignes demission dun traceur colore dans
un ecoulement, injecte de facon plus ou moins homogene en amont, ces lignes ne restent pas
droites, mais se tordent et souvent se melangent . Ce phenomene est par exemple visible sur la
figure 7.3. Il est caracteristique decoulements turbulents. Le probleme de la transition vers la
turbulence dune part et de la modelisation de la turbulence dautre part est un probleme tres
actuel en mecanique des fluides, sur lequel travaillent de nombreux chercheurs des domaines public
et prive. En effet la plupart des ecoulements aerodynamiques, mais aussi beaucoup decoulements
hydrodynamiques, sont turbulents. Ce probleme de la turbulence sera effleure au chapitre 8. Une
introduction interessante a ces sujets est par exemple donnee dans Tritton (1988); Kundu (1990);
Guyon et al. (2001); Plaut & Peinke (2017).
Rappelons que lenergie cinetique (6.5) contenue dans un domaine materiel t verifie la loi
devolution (6.9),
dEc
= Pext + Pint . (7.81)
dt
7.5. Proprietes des ecoulements de fluides newtoniens 153
Fig. 7.3 Photographie dun ecoulement turbulent au dessus dune plaque plane, realisee par le
departement aerodynamique fondamentale et experimentale de lONERA. Lecoulement moyen a lieu de la
gauche vers la droite. Un traceur colore a ete injecte de facon la plus uniforme possible en amont. Ses lignes
demission sont tordues par lecoulement turbulent, et presentent une dynamique rapide qui serait visible
sur un film.
Compte tenu de la loi de comportement (7.33), la puissance des efforts exterieurs peut se
decomposer en trois contributions,
Ce terme de frottements visqueux , deja introduit en section 7.2.1, va etre justifie par letude
de la puissance des efforts interieurs, dont on va maintenant voir quelle provient du meme terme
2D dans la loi de comportement (7.33), et quelle decrit une dissipation denergie.
On a etabli dans le chapitre 6 que la puissance des efforts interieurs qui intervient dans
(7.81) vaut ZZZ
Pint = : D d3 x . (7.86)
t
Dapres la loi de comportement (7.33), en fluide newtonien lintegrand vaut
: D = p 1 : D + 2 D : D .
p trD = p divv = 0
154 Chapitre 7. Fluides newtoniens
en composantes, puisque D est symetrique. Cette quantite est une somme de carres, toujours po-
sitive, et constitue une mesure de lintensite des taux de deformations presents localement dans
lecoulement. En consequence la puissance des efforts interieurs dans un fluide newtonien est tou-
jours negative, egale a
ZZZ
Pint = 2 D : D d3 x = Pdiss 0 , (7.88)
t
qui est donc une puissance dissipee par les effets visqueux. En effet, si le systeme fluide est
isole, le bilan (7.81),
dEc
= Pext Pdiss , (7.89)
dt
secrit
dEc
= Pdiss 0 . (7.90)
dt
Il signifie que lenergie cinetique de lecoulement ne peut que diminuer au cours du temps, de sorte
que celui-ci va finir par disparaitre. On dit en consequence que les fluides visqueux constituent des
systemes dissipatifs. Bien entendu les fluides parfaits, dans lesquels = 0 donc
Pdiss = 0 ,
constituent une exception : ils representent des systemes conservatifs dans lesquels un ecoule-
ment meme non entretenu perdurerait eternellement. Cette propriete remarquable (et irrealiste !)
explique sans aucun doute leur nom de fluides parfaits .
v2
ec = ,
2
il vient, dapres la formule de transport (3.9), compte tenu de lhypothese de stationnarite,
dEc d
ZZZ
= ec d3 x
dt dt t
(ec ) 3
ZZZ ZZ
= d x + (ec )v n d2 S
t t t
dEc
ZZ
= v2 v n d2 S , (7.91)
dt 2 t
7.5. Proprietes des ecoulements de fluides newtoniens 155
ou lon rappelle que n = n(x) designe le champ des normales sortantes unitaires sur t . Faisons
lhypothese H1 que les surfaces dentree Se et de sortie Ss du tube de courant t sont
planes, et qua leur niveau lecoulement est (quasi) unidirectionnel,
Cette hypothese implique que le debit massique (7.12) circulant dans le tube de courant
ZZ ZZ
m = v d2 S = v d2 S . (7.93)
Se Ss
Inseree dans (7.91), elle donne dautre part, puisque v n sannule sur le bord lateral de t ,
dEc
ZZ ZZ
3 2
= v d S + v 3 d2 S . (7.94)
dt 2 Se 2 Ss
Introduisons les fonctions valeurs moyennes sur les sections dentree et de sortie du tube de courant,
1 1
ZZ ZZ
2
hf ie = f (x) d S et hf is = f (x) d2 S , (7.95)
Ae Se As Ss
avec Ve et Vs les vitesses debitantes en entree et sortie. Dautre part lequation (7.94) secrit
dEc
3
3
= v s As v e Ae . (7.97)
dt 2 2
Definissons les coefficients denergie cinetique, sans dimension,
3
3
v e v s
e = 3
et s = . (7.98)
Ve Vs3
Dans le cas dun fluide parfait, et dun tube de courant dont les bords lateraux sont des parois
solides (cas frequent !...), comme il ny a pas de frottements a ces parois on suppose souvent que
lecoulement est uniforme sur les sections Se et Ss ,
En consequence
e = s = 1 .
Cette formule est aussi approximativement valable (en moyenne) en ecoulement turbulent, car
alors le profil de vitesse est assez uniforme, en dehors de couches limites au voisinage des parois.
Dans le cas dun ecoulement laminaire dans un tuyau, etudie dans lexercice 7.4, ou les effets
visqueux sont tres importants , par contre
e = s = 2 .
Ces deux cas extremes suggerent quen general les coefficients sont proches de 1, ce qui est
souvent verifie. En utilisant ces coefficients , on a en tout cas en general
!
dEc 3 3 1 2 1 2
= As s Vs Ae e Ve = m s Vs e Ve . (7.99)
dt 2 2 2 2
156 Chapitre 7. Fluides newtoniens
Travaillons maintenant pour reformuler le terme de puissance des forces de pesanteur (7.83),
ZZZ
Ppesanteur = g v d3 x . (7.100)
t
Grace a lun des resultats de lexercice 2.2 du cours de calcul tensoriel on a, en choisissant laxe
des z vers le haut comme en section 7.3.3,
en faisant usage de (7.92). En posant lhypothese H2 que les sections Se et Ss ont une faible
extension verticale, i.e. que
on obtient
Ppesanteur ' gze Ve Ae gzs Vs As = m(gze gzs ) . (7.102)
Considerons maintenant les puissances des forces de pression et de frottement visqueux,
ZZ ZZ
2
Ppression + Pvisqueux = pn v d S + 2 D n v d2 S . (7.103)
t t
Le bord lateral, sur lequel v n = 0, ne contribue pas a la premiere integrale. En fluide parfait, le
terme visqueux est toujours nul. En fluide visqueux, et en supposant que le bord lateral est une
paroi solide - cest notre hypothese H3, necessaire seulement en fluide visqueux - on y a v = 0,
donc ce terme visqueux est encore nul sur le bord lateral. En consequence ces deux puissances
doivent se calculer seulement sur Se et Ss . Afin de mener a bien ce calcul, on va exploiter le fait
que les ecoulements sur ces sections ont ete supposes unidirectionnels, cf. lequation (7.92). Dapres
letude faite en section 7.5.1, et en particulier le resultat (7.79), valable ici a cause de (7.101), la
pression est approximativement constante sur les sections Se et Ss ,
On en deduit
m
ZZ ZZ
Ppression = pn v d2 S pn v d2 S = pe Ve Ae ps Vs As = (pe ps ) (7.105)
Se Ss
compte tenu de (7.96). Dautre part, en choisissant par exemple sur Ss un repere local tel que
n = e1 , on peut utiliser les notations de la section 7.5.1 pour expliciter lintegrand de la puissance
des contraintes visqueuses dans (7.103). Il vient
v
D n v = D e1 (ve1 ) = D11 v = v = 0
x1
7.5. Proprietes des ecoulements de fluides newtoniens 157
en vertu du fait que lecoulement est forcement uniforme dans la direction e1 , cf. la discussion au ni-
veau de lequation (7.72). Ainsi la puissance des forces de frottement visqueux reputees exterieures
est, en premiere approximation, nulle. Le bilan (7.89) secrit donc
dEc
= Ppesanteur + Ppression Pdiss
dt!
1 1 m
m s Vs2 e Ve2 = m(gze gzs ) + (pe ps ) Pdiss (7.106)
2 2
pe e Ve2 ps s Vs2
He = ze + + et Hs = zs + + . (7.107)
g 2g g 2g
Dans ce cas, qui est, en fait, celui que nous venons de considerer, il vient
general les pertes de charge regulieres dans des tuyaux ou canaux longs, proportionnelles
a la longueur de ces tuyaux ou canaux (cf. par exemple la section 8.2.4 du prochain chapitre), des
pertes de charge singulieres dues a des vannes, robinets, coude, convergent, etc... Des lois
phenomenologiques ont ete developpees pour estimer ces pertes de charge, cf. par exemple White
(1994); Idelcik (1999).
Pour que lecoulement soit effectivement permanent, il faut donner de la charge au fluide,
par exemple avec un chateau deau , comme cela sera etudie (avec un chateau deau reduit
a sa forme la plus simple !) dans le probleme 7.5.
Une autre facon de donner de la charge au fluide consiste a utiliser une pompe, comme cela sera
etudie dans les problemes 7.3 et 7.6. Dans ce cas, on admet que le bilan global (7.108) reste
valable dans le tube de courant situe entre la section dadmission (en entree) et la section de
refoulement (en sortie) de la pompe, et comprenant celle-ci, mais en remplacant la puissance
agissante supplementaire par celle exercee par les parties solides (en mouvement) de la pompe
sur le fluide. On neglige ainsi, en premiere approximation, la dissipation, et on obtient donc que
la pompe produit un gain de charge proportionnel a sa puissance mecanique Ppompe ,
Ce gain de charge correspond, lorsque ladmission et le refoulement se font dans des conditions
similaires, a un gain de pression ppompe ; alors la puissance
De meme, dans un tube de courant centre sur une turbine hydraulique, on admet que le bilan
global (7.108) reste valable, mais en remplacant la puissance agissante supplementaire par
celle exercee par les parties solides (en mouvement) de la turbine sur le fluide... puissance qui est
maintenant negative puisque lon preleve de lenergie au fluide :
Les calculs de pertes et gains de charge dans les circuits hydrauliques sont tres importants en
mecanique des fluides appliquee : des exemples concrets seront donnes dans les problemes 7.3,
7.5 et 7.6.
Dun point de vue plus fondamental, il conviendrait de completer ces bilans denergie cinetique
par un bilan denergie interne, et en particulier de montrer que lenergie dissipee est transformee
en energie interne. Un tel bilan sort du cadre de cet enseignement ; voir a ce sujet les chapitres III
de Huerre (1998) ou Chassaing (2000), ou le chapitre 1 de Plaut (2017b).
Soit un objet solide occupant un ouvert t dans un fluide de masse volumique . Ce systeme
est suppose a lequilibre, ainsi p = p0 gz avec g lacceleration de la pesanteur, z la coordonnee
verticale. Calculez la resultante des efforts de pression exerces par le fluide sur le solide. Montrez
que la resultante des efforts lies a la pression contante p0 est nulle,
ZZ
p0 n d2 S = 0 , (7.117)
t
avec n la normale unitaire sortant de t , alors que la resultante des efforts lies au terme gz,
ZZ
+gz n d2 S = , (7.118)
t
est toujours verticale. Donnez linterpretation physique et le nom de cette derniere force.
Indication : utilisez la formule integrale de la divergence, appliquee a certains tenseurs dordre 2.
160 Chapitre 7. Fluides newtoniens
Exercice 7.2 Calcul tres simplifie de laltitude atteinte par un ballon dhelium leste
[test de janvier 2014]
En octobre 2012, Felix Baumgartner a battu plusieurs records du monde, dont celui de laltitude
la plus elevee atteinte par un homme en ballon (cf. www.redbullstratos.com). On veut developper
un modele tres simplifie pour estimer laltitude maximale atteinte par le ballon dhelium avec
capsule quil a utilise. Latmosphere dans laquelle monte le ballon est supposee standard ; ses
proprietes (accessibles par le Standard Atmosphere Package de Mathematica ou sur le site web
www.digitaldutch.com/atmoscalc) sont presentees sur la figure 7.4.
3.a On admet qua cause des frottements visqueux le ballon arrete son ascension a une altitude
zm ou la formule precedente conduit a une acceleration nulle, = 0. Calculez analytiquement puis
numeriquement la valeur de la masse volumique de lair a cette altitude.
3.b En utilisant des donnees de la figure 7.4, estimez zm avec ce modele. Commentez physiquement.
1.1 Calculez la hauteur h1 que lon pourrait lire sur un manometre en U renverse comme celui
presente sur la figure 7.5a.
1.2 Faites une application numerique dans le cas ou p = 50 Pa. En pratique on lit h1 a loeil, sur
des graduations. La precision de lecture de h1 est donc de 0,5 mm. Estimez en consequence la
precision sur p obtenue avec ce manometre.
24. directement liee a la perte de charge .
7.7. Exercices et problemes 161
300
troposphere stratosphere
280
T [K]
260
240
220
200
0 10 20 30 40
100 1.2
80 1.0
[kg/m3 ]
p [kPa]
0.8
60
0.6
40
0.4
20 0.2
0 0.0
0 10 20 30 40 0 10 20 30 40
z [km] z [km]
Fig. 7.4 Dapres le modele US Standard Atmosphere - 1976, representation, en fonction de laltitude
z, de la temperature absolue T , pression p, et masse volumique de lair.
a b
air A B
h1
eau eau
g
h2
A B
liquide
lourd g
Fig. 7.5 a : Manometre en U renverse. b : Manometre en U a deux fluides. Dans les deux cas
des tubes plastiques flexibles sont utilises pour relier le manometre, en general fait de verre ou de plastique
rigide, a la canalisation, aux deux points de prise de pression A et B.
2.1 Calculez la hauteur h2 que lon pourrait lire sur un manometre en U a deux fluides de la
figure 7.5b. Le liquide lourd utilise est un melange dether et de trichlorethylene, non miscible avec
leau, de masse volumique ` = 1010 kg/m3 dans les conditions ambiantes.
2.2 Faites une application numerique dans le cas ou p = 50 Pa. Lequel de ces deux systemes
conduit a la mesure la plus precise de la chute de pression ?
La direction verticale, opposee a celle de la gravite g, est donnee par la direction Z dun repere
OXY Z qui peut etre different de Oxyz.
p = p0 + Az + BZ
3.a Soit D un sous domaine quelconque de , de normale unitaire sortante n. Montrez, en faisant
usage de lanalyse tensorielle, que
ZZZ ZZ
g d3 x + (ph n) d2 S = 0 . (7.119)
D D
4.a Dans le cas ou n = er , montrez que Tv est de la forme ez , et reliez = (r) a w0 (r).
Donnez au moins une raison physique permettant dexpliquer que (r) > 0 des que r > 0.
4.b Dans le cas ou en plus r = a, donnez lexpression vectorielle de la contrainte visqueuse exercee
par le fluide sur le tuyau. Sa norme est la contrainte parietale p , que vous relierez a (a).
Commentez physiquement.
7.7. Exercices et problemes 163
5.a Explicitez le bilan (7.120) dans le cas ou D est un domaine fluide plus petit que ,
r0
L
a
Deduisez-en (r0 ) en fonction de G et r0 , et commentez physiquement cette relation.
5.b En etendant ce qui precede au cas r0 = a, montrez que la contrainte parietale p depend de
facon simple de G et a. Commentez physiquement cette relation.
6 Retrouvez a laide de la relation etablie en 5.a, valable pour r = r0 quelconque, la forme precise
de lecoulement laminaire vue en cours.
7 On considere dorenavant le cas dun tuyau horizontal ; pour fixer les notations on suppose que
Z = y. Calculez la force totale F exercee par le tuyau sur le fluide contenu dans , au niveau de
leur surface de contact Sl , puis, par le principe de laction-reaction, la force totale F0 exercee par
le fluide contenu dans sur le tuyau. Expliquez lorigine physique precise des deux termes qui
composent cette force.
8.a Calculez numeriquement le gradient de pression motrice, la contrainte parietale et ces deux
termes de force dans le cas dun ecoulement de petrole de masse volumique = 800 kg/m3 , viscosite
dynamique = 0,025 Pa s, dans un tuyau de rayon a = 4 cm, longueur L = 20 m, avec une vitesse
debitante V = 4 m/s. Commentez physiquement.
8.b En prenant du recul, critiquez ce modele, dans le cas de lapplication numerique precedente.
9 On etudie le cas dun ecoulement turbulent dans les conditions de la question 8.a. On admet
que la relation etablie question 5.b entre p , G et a est aussi valable dans ce cas. A laide de
resultats du chapitre 8, calculez numeriquement le gradient de pression motrice puis la contrainte
parietale dans ce cas. Comparez aux resultats de la question 8.a et commentez physiquement.
Exercice 7.5 Equilibre dun liquide en rotation autour dun axe vertical
[dapres le test de janvier 2013]
2 Explicitez lequation de lequilibre local du liquide dans le referentiel R. Montrez que lon peut
en deduire la forme generale du champ de pression dans le liquide, puis la forme de la surface libre
superieure du liquide, ou il est en contact avec de lair atmospherique. Esquissez la forme de cette
surface sur un schema.
164 Chapitre 7. Fluides newtoniens
v = v(y,t) ex .
1 Explicitez le bilan local de quantite de mouvement dans le liquide et montrez a partir de celui-ci
que le champ de pression motrice ne depend que de r seulement, pb = pb(r) .
4 Quelle est la valeur du couple moteur quil faut exercer sur le cylindre interieur pour entretenir
son mouvement ? Expliquez comment on peut mesurer la viscosite dynamique du liquide.
7.7. Exercices et problemes 165
5 Dans le but davoir une bonne precision sur la mesure de , quelle est la bonne geometrie dun
rheometre de ce type ?
6.1 Faites un bilan global denergie cinetique pour ce probleme, et interpretez physiquement ce
bilan.
6.2 Si a = 3 cm, b = 4 cm, h = 20 cm, le fluide est une huile 1000 fois plus visqueuse que leau,
quelle puissance doit developper le moteur pour entretenir un ecoulement permanent a la vitesse
de rotation = 5 rad/s ?
7 A quoi faut-il faire attention lorsque lon fait de telles mesures rheologiques ?
On admet provisoirement 27 que les pertes de charge regulieres dues a la dissipation visqueuse
associee a lecoulement turbulent dans toute la longueur du tuyau
et ce quelque soit la forme prise par le tuyau (pas forcement rectiligne). En bout de tuyau est
fixee une lance en metal, qui consiste essentiellement en un robinet suivi dun cone convergent
profile de diametre dentree d = 70 mm et de diametre de sortie dj = 20 mm. On admet quil ny
a pas de pertes de charge singulieres dues au robinet, qui lorsquil est ouvert degage totalement le
passage pour leau, ni au convergent. Cette situation est representee sur la figure 7.6a.
2 On considere ici une situation ou le jet sortant de la lance est dirige sur un mur. Sur ce mur,
il diverge comme cela est represente sur la figure 7.6b. On fait un bilan sur le volume deau t
represente sur cette figure. Son bord t est une surface de revolution daxe Ox horizontal : sa
surface dentree est Sje , disque de diametre dj , et daire Aj ; sa surface laterale en contact avec lair
est Sa ; sa surface de sortie du jet est Sjs ; sa surface de contact avec le mur est Sm . En introduisant
le vecteur unitaire sortant n de t , on suppose que les ecoulements sont uniformes sur Sje ,
ou v ' Vj n, et Sjs , ou v ' Vs n. Ceci a une consequence sur les champs de pression dans ces
sections, que vous donnerez.
A laide de la loi globale devolution de la quantite de mouvement, evaluez la force exercee par le
jet sur le mur, au niveau de la surface Sm . Vous supposerez que lair ambiant est un fluide parfait
non pesant. Faites une application numerique et commentez.
26. Dans ce probleme tous les diametres donnes sont des diametres interieurs.
27. On reviendra sur cette question dans lexercice 8.1.
166 Chapitre 7. Fluides newtoniens
(a) (b)
Sjs
Sje Sm x
Sa
Sjs
g
Fig. 7.6 a : Schema de la situation etudiee dans le probleme 7.3 autour des pompiers. Notez sur la
lance la poignee dun robinet a boisseau. b : Schema de la situation etudiee dans la question 2.
3 Estimez la vitesse et la pression dans le tuyau dans une section droite de celui-ci situee juste
avant la lance. Vous ferez lhypothese que les ecoulements sont quasi uniformes dans cette section
et dans la section de sortie du jet dans lair.
4 Faites un bilan des pertes de charge dans le circuit hydraulique. Vous supposerez que le tuyau
est horizontal, quil ny a pas de pertes de charge entre la surface libre du reservoir et ladmission
de la pompe, et que la pompe fournit un gain de charge Hpompe > 0, que vous calculerez.
7 On considere maintenant une autre situation ou le pompier sattaque a un feu declare en haut
dun immeuble. Utilisant une echelle, le pompier est maintenant place a 15 metres du sol. Sachant
que la pompe est situee a 1 metre du sol, quelle est la nouvelle charge Hpompe quil faut utiliser
pour assurer le meme debit deau ? Quelle est la nouvelle puissance developpee par la pompe ?
Quelle est la nouvelle pression au refoulement de la pompe ?
8 Dans cette question subsidiaire plus difficile, on revient a la situation des questions 1 a 6, ou
la lance et le tuyau sont rectilignes horizontaux orientes dans la direction x. On suppose que la
pression au refoulement de la pompe est toujours egale a celle calculee question 6. On veut estimer
la force F exercee par les fluides eau et air sur la lance, qui doit etre compensee par la somme
de la force exercee par le pompier sur la lance quil tient en mains
et de la force exercee par les parois du tuyau situees en amont de la lance sur la lance.
8.1 On suppose le robinet a boisseau ferme, ce qui revient a placer un disque solide bouchant tout
le tuyau dans le tuyau. En faisant notamment un bilan de forces pour leau contenue dans la lance,
estimez analytiquement F dans ce cas, soit F1 . Calculez numeriquement F1x .
8.2 On suppose le robinet ouvert laissant sortir le jet deau. Calculez notamment grace a un bilan
de quantite de mouvement pour leau contenue dans la lance les nouvelles valeurs de F, soit F2 ,
analytiquement et numeriquement pour ce qui est de la composante x.
8.3 Par comparaison, expliquez cette phrase tiree dun guide de pompiers : Lorsque leau
sechappe de la lance, une force sexerce dans le sens oppose provoquant un effet de recul plus
ou moins important en fonction du type de lance, de la forme du jet et de la pression appliquee a
lentree .
7.7. Exercices et problemes 167
(a) (b) 0
1 z
0
1
0
1
0
1
0
1
l
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
10
1
0
1
O x
111111111111111111111111
000000000000000000000000
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
l
0
1
00
11000
111
0111
1
00
11000
0
1
00
11
0000
111
1
00
11000
111
0111
1
11
00
0000
1
11
00
0111
000
1
00
11000
111
0111
1
00
11
0
1000
00
11
0
1000
111
100
0
11
00
11
00
00
11
1
00
1
11
00000
111
11
0
1
111
000
11
00
0
1
111
000
Fig. 7.7 Situation etudiee dans le probleme 7.4 de levitation dune voiture par reaction de jets
deau. a : photographie densemble ; b : schema de principe dun tuyau coude avec convergent.
Probleme 7.4 Levitation dune voiture par reaction de jets deau [test de janvier 2010]
Une experience de levitation dun vehicule a ete realisee par des pompiers, en disposant 10
tuyaux munis de lances orientees vers le sol sur un cadre solidaire dune voiture. Les tuyaux et
lances, tous identiques, sont disposes de facon symetrique, 4 dun cote lateral, 4 de lautre cote, 1
a lavant et 1 a larriere du cadre, comme on le voit sur la photographie de la figure 7.7a 28 . Le but
de ce probleme est de modeliser de facon simple cette experience, afin de mieux la comprendre.
On va pour cela sinteresser en premier lieu a la region terminale dun tuyau, qui comprend un
coude, et la lance correspondante, essentiellement un convergent pour nous, comme schematise sur
la figure 7.7b. On suppose un etat stationnaire atteint. Dans celui-ci le referentiel lie au repere
Oxyz, avec Ox axe horizontal du tuyau juste avant le coude, Oz axe vertical de la lance, est fixe
par rapport au referentiel du sol, et galileen. On etudie la dynamique dun volume deau t situe
entre x = l et la sortie de la lance, elle meme situee en z = l, avec l = 30 cm. Le rayon interne
du tuyau est a = 5 cm. Le rayon interne de la lance, en sortie, est b = 1,25 cm. La longueur l est
suffisamment grande pour pouvoir considerer que les ecoulements en entree et sortie dt sont peu
influences par le coude, donc quasi uniformes et unidirectionnels. De meme on considerera que les
pressions en entree, pe , et en sortie, ps , de t , sont uniformes dans les sections dentree et de sortie
correspondantes, Se et Ss .
1 Le debit volumique etant le debit maximal possible dans des conditions de proximite des pompes,
soit approximativement q = 1100 l/ min, quelles sont les vitesses en entree, Ve , et en sortie, Vs , de
t ?
H = He Hs = Ve2 /(2g)
avec g lacceleration de la pesanteur. Calculez numeriquement cette perte de charge, puis la pression
pe en entree. Commentez.
3.1 Exprimez de facon cinematique la derivee par rapport au temps de la quantite de mouvement
de leau contenue a un instant t dans t , lorsque lon suit cette eau dans son mouvement. Simplifiez
28. Cette photographie est tiree dun film circulant sur Internet (mots cles : pompiers soulevent voiture ), dont
au maximum cette expression. Pour cela vous expliciterez les integrales et ferez intervenir le debit
massique. Vous interpreterez physiquement la formule obtenue.
3.2 Exprimez de facon dynamique cette meme derivee, et simplifiez au maximum lexpression
obtenue. Vous noterez m0 la masse deau contenue dans t , F la force exercee par le tuyau coude
et la lance sur cette masse deau.
0
3.3 Deduisez de ce qui precede et dune loi fondamentale de la mecanique la force F exercee par
le volume deau t sur le tuyau coude et sa lance.
4 Faites le bilan des forces agissant sur le tuyau coude et sa lance, dont la masse est notee m1 . Vous
supposerez que le tuyau en amont exerce une force purement verticale m2 g. Vous supposerez que
lair environnant est un fluide parfait a la pression patm , et utiliserez pour calculer la force totale
due a lair la formule integrale de la divergence appliquee au tenseur des contraintes correspondant,
prolonge dans tout lespace ; ceci vous permettra de vous ramener a des integrales de surface sur
00
Se et Ss uniquement. Vous identifierez grace a ce bilan la force F exercee par le cadre sur le tuyau
coude et sa lance, au niveau des fixations du tuyau sur le cadre, supposees de petite taille.
6 On considere maintenant le tuyau et la lance symetrique du precedent par rapport a lun des
plans de symetrie verticaux du cadre 29 . Par exemple si le 1er tuyau et lance etait a larriere, on
considere le tuyau et lance de lavant, ou si le 1er tuyau et lance etait dun cote lateral, on considere
le tuyau et lance de lautre cote. Representez schematiquement ce couple de tuyaux et lances, puis
par un raisonnement determinez la force totale R1 exercee par ce couple sur le cadre.
Commentez lexpression analytique de R1 ; expliquez notamment pourquoi on ne retrouve pas
leffet de resistance a la pression mis en evidence a la fin du probleme 7.3.
7 Quelle est la force totale exercee par les 10 tuyaux et lances sur le cadre ? Sachant que
estimez le poids de lensemble voiture et cadre. Lexperience a telle pu etre menee avec une voiture
standard ?
8 Estimez lordre de grandeur des pertes de charge dans chaque tuyau entre le refoulement de la
pompe et lentree du volume t considere au debut. Vous supposerez pour mener ce calcul que
tout se passe comme si le tuyau etait droit, de longueur L ' 20 m.
10 Toujours dans ce cas, et sachant que chaque pompe est alimentee par un reservoir deau dont
la surface libre se trouve a une hauteur h0 = 2 m au-dessus de ladmission de celle-ci, estimez le
gain de charge Hpompe que doit fournir celle-ci, puis la puissance developpee par celle-ci. Verifiez
que cette puissance est bien inferieure a la puissance maximale que peut delivrer cette pompe dans
ces conditions de fort debit, soit 14 kW.
29. Plans contenant les droites avant-arriere ou gauche-droite .
7.7. Exercices et problemes 169
t1 ' s . (7.125)
V ' (7.127)
Re ' (7.128)
En faisant une experience de vidange partant de h ' 70 cm, on mesure lorsque h = 60 cm,
en regime quasi-stationnaire, les niveaux dans les tubes de prise de pression situes en x2 =
38 cm et x4 = 93 cm,
z2 = cm , z4 = cm . (7.130)
' (7.131)
Enfin vous evaluerez, au debut de la vidange, la perte de charge Hreguliere (0 L), et les
rapports
V 2 /(2g) Hsinguliere
' et ' (7.134)
Hreguliere (0 L) Hreguliere (0 L)
Le jet a lair libre montre des fluctuations caracteristiques de la transition vers la turbulence
lorsque h atteint des valeurs de lordre de 10 cm (voir sur ce sujet la figure 1 de Hof et al.
2006). On sort de ce regime de transition vers un regime laminaire lorsque
hf ' cm , (7.135)
t ' . (7.136)
Modelisation
1 En ecrivant une loi de conservation, etablissez la relation entre le taux de vidange h = dh/dt
et la vitesse debitante V dans le tuyau. Vous considererez que, au niveau de la surface libre du
reservoir, lecoulement de vidange est quasi uniforme. Commentez la relation obtenue.
2 Explicitez le bilan de pertes de charge pour cet ecoulement de vidange, entre la surface libre du
reservoir et la sortie du tuyau, qui se fait a lair libre. Vous negligerez les pertes de charge dans le
reservoir et en entree du tuyau, ainsi que les termes denergie cinetique dans les expressions des
charges en entree-sortie. Vous introduirez le coefficient de perte de charge dans le tuyau, qui
depend dapres le cours du nombre de Reynolds Re dans le tuyau et de sa rugosite relative .
(a) (b)
z
z = h(t)
z=0
x=0 x=L
Fig. 7.8 a : Figure de principe (echelle non respectee) de la situation etudiee dans le probleme 7.5.
b : Vue zoomee en coupe dune prise de pression, constituee dun court tube vertical en acier soude sur le
tuyau, tube sur lequel un flexible transparent (en gris) est emmanche. Les fleches horizontales schematisent
le champ de vitesse moyen dans le tuyau.
differentielle ordinaire qui regit levolution temporelle de la hauteur deau h(t). Montrez que lon
peut mettre cette equation sous la forme
3/7
7 h0
h = |h| = h4/7 (7.137)
3
ou est un temps caracteristique que vous calculerez analytiquement. Vous testerez lhomogeneite
dimensionnelle de la formule obtenue pour , et donnerez sa valeur numerique. Vous expliquerez
physiquement la dependance de par rapport a tous les parametres.
3.2 Resolvez analytiquement lequation (7.137). Donnez les expressions de h(t) et h(t) en fonction
de h0 , t et .
3.3 Demontrez que, dans ce regime, le nombre de Reynolds est de la forme
Re = Re0 (1 t/ )
et donnez les expressions de Re0 et en fonction de tous les parametres de controle primaires de
ce probleme, i.e., en remplacant par son expression. Expliquez physiquement la dependance de
Re0 par rapport a tous ces parametres.
Effectuez le calcul numerique de Re0 .
3.4 Donnez les expressions numeriques des fonctions h(t) et Re(t). Representez les graphes de ces
fonctions.
3.5 On admet que lecoulement etant fortement perturbe par les phenomenes dentree dans le
tuyau a partir du reservoir et des tubes de prise de pression, la turbulence subsiste jusqua Re '
1750. Au bout de quelle duree tf apres le debut de la vidange prevoit-on une sortie du regime
turbulent ?
4 Comparez les resultats du modele avec ceux des experiences, et tentez dexpliquer les ecarts
eventuellement observes, en esquissant un modele plus precis.
172 Chapitre 7. Fluides newtoniens
1.b En supposant que ce debit Q1 dans la conduite principale se repartit de facon symetrique dans
les conduites secondaires, calculez le debit q1 dans les conduites secondaires en mode production.
1.c Toujours en mode production, donnez les expressions des vitesses debitantes V1 dans la
conduite principale, v1 dans les conduites secondaires. Que peut-on dire des nombres de Reynolds
associes ?
1.d Calculez numeriquement ces vitesses debitantes et nombres de Reynolds sachant que D = 6 m.
2.a En mode pompage, on se donne en general 7,5 h pour remonter 90% du volume du bassin
inferieur, initialement plein, dans le bassin superieur, initialement rempli a 10% seulement. Calculez
le debit volumique total Q2 correspondant, suppose constant pendant tout le pompage.
2.b Calculez numeriquement en mode pompage les vitesses debitantes V2 dans la conduite prin-
cipale, v2 dans les conduites secondaires, et les nombres de Reynolds correspondants.
2.c Que peut-on dire de la nature des ecoulements dans les conduites, quel que soit le mode de
fonctionnement de la centrale ?
3 En considerant que la rugosite absolue du beton vaut 1 mm, estimez a laide du cours le co-
efficient de perte de charge p dans la conduite principale (indice p), a la fois en modes
production (valeur p1 ) et pompage (valeur p2 ). Donnez une formule explicite generale puis faites
les applications numeriques. Commentez.
32. Dans ce probleme, on fait appel a certains resultats de la section 8.2.
7.7. Exercices et problemes 173
(a)
(b)
Fig. 7.9 a (en couleurs dans la version PDF) : vue aerienne de la Station de Transfert dEnergie
par Pompage (STEP) de Revin, photo Airdiasol pour EDF. b : schema de principe de la STEP a 2 groupes
turbines-pompes (disques) etudiee dans le probleme 7.6 ; echelle non respectee ; en haut : vue de cote ; en
bas : vue par dessus.
174 Chapitre 7. Fluides newtoniens
4 En considerant que letat de surface de lacier inoxydable constituant les conduites secondaires
est bon, equivalent a celui dun acier neuf, sa rugosite absolue vaut 0,05 mm. Estimez le coefficient
de perte de charge s dans les conduites secondaires (indice s), a la fois en modes production
(s1 ) et pompage (s2 ). Commentez.
Commentez physiquement.
5.b Sachant que les longueurs de conduites sont L = 750 m et l = l1 + l2 = 120 m, calculez H1 .
6.a Estimez analytiquement la puissance mecanique potentiellement captee par une turbine, puis
par les deux turbines, soit P1 .
6.c Le rendement du groupe turbine - alternateur est r = 0,87. Calculez numeriquement la puis-
sance electrique produite Pe1 .
8.b Le rendement du groupe moteur electrique - pompe est r0 = 0,90. Calculez numeriquement la
puissance electrique consommee Pe2 .
8.c Calculez numeriquement lenergie electrique consommee E2 pendant les 7,5 h de pompage.
12.b Commentez cette formule, notamment sa separation en deux termes tres differents. Discutez
des variations de ces deux termes lorsque Q augmente, et representez sur un graphe lallure de la
fonction P (Q). Montrez quun optimum existe, et expliquez la physique qui le definit.
12.c Quelle serait la valeur numerique 33 de la puissance maximale que lon pourrait obtenir ? A
quel debit serait-elle atteinte ? Commentez.
33. Cette derniere question etait subsidiaire lors du test, elle ne peut se traiter completement et precisement
quen faisant usage dun logiciel du type Mathematica.
176 Chapitre 7. Fluides newtoniens
Chapitre 8
Analyse dimensionnelle
appliquee a la mecanique des fluides
secoulant autour dun obstacle cylindrique de grande longueur dans la direction z. En pratique
cette configuration peut par exemple etre approchee dans une soufflerie ou dans un canal hy-
draulique suffisamment larges, le rayon du cylindre etant lui suffisamment petit. Les grandeurs
physiques qui sont les parametres de controle du systeme sont
1. A laide dun modele de fluide parfait, vous avez maintenant tous les elements en main pour vous en convaincre.
178 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle appliquee a la mecanique des fluides
la vitesse a linfini V ;
le diametre du cylindre d ;
la masse volumique du fluide ;
sa viscosite dynamique .
On nintroduit pas la viscosite cinematique car elle nest pas independante de et . On nin-
troduit pas non plus, ni la pression a linfini p , ni lacceleration de la pesanteur g, ce pour
deux raisons. Dune part ces deux quantites peuvent etre incluses dans la pression motrice pb dans
lequation de Navier-Stokes qui permet de modeliser cet ecoulement, et on peut eliminer cette
pression motrice en travaillant avec lequation de la vorticite. Dautre part (surtout) lexperience
montre quelles nont pas dinfluence. Ainsi lexperience faite a plus haute pression ou dans la
station spatiale internationale (en appesanteur), toutes choses etant egale par ailleurs, conduit au
meme resultat en ce qui concerne la grandeur dependante qui nous interesse, a savoir la force de
tranee fx exercee par le fluide sur le cylindre par unite de longueur de celui-ci dans la direction z.
V d
m 0 0 1 1
.
` 1 1 3 1
t 1 0 0 1
On voit que lon est dans la situation standard ou les trois premieres grandeurs sont dimension-
nellement independantes, la matrice formee par les trois premieres colonnes etant de determinant
0 0 1
1 1 3 = +1 6= 0
1 0 0
V a4 db4 c4 .
En extrayant les exposants de m, ` et t dans cette equation aux dimensions, de facon analogue a
ce qui a ete fait pour passer des equations (5.24) a (5.26) lorsque lon a etablit le theoreme , il
vient
0 + 0 + c4 = 1
a4 + b4 3c4 = 1 . (8.2)
a + 0 + 0 = 1
4
Fig. 8.1 Gauche : lignes de courant - Droite : champ de vorticite (hors du plan de lecoulement
bidimensionnel) predit par simulation numerique de lequation de Navier-Stokes de lecoulement autour
dun cylindre, avec le code volumes finis LS-STAG du Lemta par Yoann Cheny et Olivier Botella. a :
Regime decoulement permanent a Re = 40 ; une recirculation dans le sillage du cylindre correspond
a deux grands tourbillons contra-rotatifs attaches a celui-ci. b : Regime decoulement oscillant a Re =
100 : le detachement de tourbillons contra-rotatifs cree une allee tourbillonnaire de Benard-Von-
Karman . Pour des realisations naturelles de ce phenomene, voir la figure 8.6.
Ceci nous conduit a un systeme dont la structure est la meme que le systeme (8.2), a savoir
0 + 0 + c0 = 1
a0 + b0 3c0 = 0 .
a + 0 + 0 = 2
0
La solution est a0 = 2 et b0 = c0 = 1 .
Le groupement 0 est donc la tranee reduite
fx
0 = . (8.4)
V2 d
fx
0 = = F(40 ) = F(Re) . (8.5)
V2 d
Il est de tradition en mecanique des fluides de faire apparatre une densite volumique denergie
cinetique dans le denominateur de la tranee reduite, en introduisant simplement un facteur 2. On
definit ainsi naturellement le coefficient de tranee 4
Cx = Ct = 20 (8.6)
4. Drag coefficient en anglais. On le notera aussi bien Cx que Ct , lavantage de la notation Ct est quelle ne
fait pas reference a un repere... meme sil importe de retenir que, par definition, la force de tranee est colineaire au
vecteur vitesse en amont (8.1) !
8.2. Etude de lecoulement dans un tuyau 181
Ct
Re
Fig. 8.2 Coefficient de tranee de lecoulement autour dun cylindre en fonction du nombre de
Reynolds caracteristique. Cette courbe representant la synthese de tres nombreux travaux experimentaux,
puisquelle setend sur 8 decades de nombre de Reynolds, est tiree du chapitre 3 de Tritton (1988). On
recommande de se reporter a cet ouvrage, qui donne des elements dinterpretation physique de cette courbe.
fx
Cx = Ct = 1 = F(Re) . (8.7)
2 V2 d
Cette relation a ete verifiee par des generations dexperimentateurs qui ont montre que, a condition
de considerer la valeur moyenne de Cx dans le cas de regimes decoulements turbulents, on peut
effectivement representer toutes les mesures de Cx , ou hCx it , sur une courbe universelle 5 qui
est celle de la figure 8.2. De la formule remarquable (8.7) on peut deduire les regles de similitude
pour la tranee. Par exemple, si une etude dun ecoulement est faite sur une maquette 10 fois
plus petite, a meme nombre de Reynolds la force de tranee sur le systeme reel 10 fois plus grand
sera telle que le Cx est le meme, dou la force elle-meme si on connait tous les parametres de
controle du systeme reel et de sa maquette. Une illustration de cette demarche dans un cas un peu
plus complexe sera lobjet de lexercice 8.3.
Pour conclure cette section, dans le cas dun obstacle quelconque de taille finie, presentant
une aire A perpendiculairement a lecoulement amont (8.1), on definit le coefficient de tranee
par lequation analogue a (8.7),
Fx
Cx = Ct = 1 2
, (8.8)
2 V A
ou Fx est maintenant la force totale exercee, dans la direction x, par lecoulement sur lobstacle.
Lun des buts de l aerodynamique est de mieux comprendre ce qui controle Ct ... afin,
en general, de reduire au maximum Ct , par exemple, avec des objets de meilleure forme
geometrique ...
2
q = d V (8.9)
4
a peu pres constant. En regime turbulent ce debit peut legerement fluctuer ; par contre on est
en general capable dassurer que sa valeur moyenne temporelle est a peu pres constante 6 . Dans
lequation (8.9) on a ecrit le debit sous la forme du produit de la section 4 d2 du tuyau par la
vitesse debitante
4q
V = . (8.10)
d2
Clairement cette vitesse V , le diametre d et la longueur L sont des parametres de controle du
systeme. Il faut y ajouter la masse volumique du fluide et sa viscosite dynamique ; la viscosite
cinematique sen deduit. Lhypothese du tuyau long , L d, permet de ne pas trop se
preoccuper du probleme de letablissement de lecoulement pres de la section dentree du tuyau,
et en consequence de supposer que lecoulement est etabli dans la quasi-totalite du tuyau : il est
grosso-modo invariant par translations dans la direction de laxe du tuyau.
Letat de surface des parois internes du tuyau a une influence sur les ecoulements. En premiere
approximation, ce qui importe le plus est la taille moyenne des rugosites de la paroi 7 , que lon
note e. Lorsque celle-ci est negligeable, on dit que le tuyau est lisse ; cest le cas par exemple
des tuyaux en verre, en caoutchouc ou en PVC 8 . Les tuyaux constitues par contre de materiaux
metalliques presentent eux une rugosite, qui peut devenir grande en cas de corrosion. Un tuyau
en acier neuf presente ainsi une rugosite
Enfin des tuyaux en ciment ou beton sont fortement rugueux au sens ou, typiquement,
e ' 1 mm . (8.13)
Pour des valeurs plus precises, qui dependent aussi du procede de fabrication du tuyau, voir par
exemple le tableau 6 de Bonnin (1983) ou le chapitre II de Idelcik (1999).
La grandeur dependante importante est, bien entendu, la perte de charge ( reguliere ) H =
He Hs entre les sections dentree et de sortie du tuyau, en utilisant les notations de la section 7.5.3.
6. Pour ne pas alourdir les notations on ne notera pas hqit ou hV it dans ce qui suit, mais simplement q ou V .
7. Absolute roughness en anglais.
8. Le polychlorure de vinyle est un polymere thermoplastique qui, sous sa forme rigide, peut servir a constituer
des tuyaux.
8.2. Etude de lecoulement dans un tuyau 183
PSfrag replacements
a b
a
PSfrag replacements
a
c
PSfrag replacementsb
a
b
PSfrag replacements d
c
Fig. 8.3 Figures de lexperience de Reynolds (1883) sur les ecoulements en tuyau, telles
quelles sont dans cet article. a : Montage experimental. b : Observation visuelle du filet colore en regime
laminaire, Re < Ret . c : Observation visuelle du filet colore en regime turbulent, Re > Ret . Du fait du temps
dintegration de lordre du dixieme de seconde inherent a la vision, on percoit une zone grise dans laquelle
le filet a subit un melange turbulent . d : Dans le meme regime, une observation mieux resolue en temps,
grace a un flash, montre un filet distordu, suggerant lexistence de petits tourbillons a la dynamique rapide.
V d L e
m 0 0 1 1 0 0
.
` 1 1 3 1 1 1
t 1 0 0 1 0 0
Ce nombre de Reynolds a effectivement ete introduit par ce physicien anglais 9 dans une
etude memorable (Reynolds 1883) sur le probleme de la transition vers la turbulence en
ecoulements en tuyau. Cette etude reposait sur lutilisation dun traceur colore injecte au centre
du tuyau et sur lobservation de la ligne demission correspondante, les guillemets signifiant
que, du fait de la largeur du filet colorant, on a plutot affaire a un tube demission . Reynolds
a etabli que, pour une experience donnee, il existe un nombre de Reynolds de transition vers
la turbulence Ret au dela duquel lecoulement ne reste plus laminaire mais devient turbulent, i.e.
le tube demission nest plus droit et de largeur constante (figure 8.3b) mais devient, en apparence,
distordu et tres large (figure 8.3c). Des observations mieux resolues en temps montrent un filet
tres distordu voire detruit sous leffet du melange turbulent (figure 8.3d). Le nombre de
Reynolds de transition vers la turbulence
lorsque les experiences sont realisees sans precautions particulieres, mais peut augmenter jusqua
10000 ou plus dans le cas dun tuyau place dans un environnement tres calme, i.e. en presence de
9. Actif a la fin du XIXeme et au tout debut du XXeme siecle.
184 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle appliquee a la mecanique des fluides
L
5 = (8.16)
d
et la rugosite relative 11
e
6 = = . (8.17)
d
pbe pbs b
p
H = He Hs = = , (8.18)
g g
la bonne approche physique consiste a considerer quil sagit essentiellement dune perte de pression
motrice. On determine donc, en fait, le groupement associe a b p. Pour cela il faut calculer les
exposants a0 , b0 et c0 tels que
p V a0 db0 c0 .
b
V = W/2 , (8.21)
10. La transition vers la turbulence dans un tuyau depend (de la forme et) du niveau de ces perturbations
exterieures, et un meilleur modele que celui expose ici introduirait (pour une forme de perturbations donnee) lam-
plitude reduite A/V des perturbations en vitesse. On definirait alors un seuil de transition Ret (A/V ), qui vaut
2000 si A/V ' 2% (cas standard) mais 10000 si A/V ' 0,1% (cas dun environnement tres calme)... Des resultats
recents (Avila et al. 2011) ont montre que les choses sont en fait encore plus complexes, le nombre de Reynolds
critique dependant de la longueur du tuyau et/ou de la duree de lexperience...
V2 L
H = (Re, ) . (8.24)
2g d
On a introduit un facteur 2 qui permet de faire apparatre une densite denergie cinetique lorsque
cette equation est reformulee en terme de chute de pression motrice
V 2 L
b
p = (Re, ) . (8.25)
2 d
La fonction adimensionnelle introduite en (8.24) est le coefficient de perte de charge 12 . Par
identification entre (8.23) et (8.24), on obtient quen regime decoulement laminaire
= 64/Re . (8.26)
Cette valeur, independante de la rugosite relative , a ete confirmee par de nombreuses experiences.
En regime decoulement turbulent les choses se compliquent, et de nombreuses etudes, a
dominante experimentale, ont permis detablir des formules plus ou moins empiriques, conduisant
a labaque de la figure 8.4. Dans le cas dun tuyau a paroi lisse, ' 0, on dispose en regime de
turbulence pas trop forte, pour 3000 . Re . 105 , de la formule de Blasius 13
Cette formule est implicite et necessite un calcul numerique pour etre utilisee ; linteret de labaque
de la figure 8.4 est de permettre destimer graphiquement. Cependant, une formule explicite
generale, donc, dutilisation plus pratique, a ete developpee par Haaland (1983), a la fois pour
12. Certains lappelent plutot coefficient de frottement ; les anglais notamment, qui parlent de friction factor.
13. Ce professeur allemand du XXeme siecle etablit cette formule a partir de letude de donnees experimentales
publiees par dautres personnes, cf. Hager (2003).
14. log signifie le logarithme en base 10. Karman, ingenieur dorigine hongroise, Nikuradze, ingenieur dorigine
georgienne, et Prandtl, physicien allemand, furent actifs durant la premiere moitie du XXeme siecle. Les limites de
validite des formules sont indicatives, comme discute plus loin ; de plus les valeurs de ainsi predites le sont a
quelques % pres.
186 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle appliquee a la mecanique des fluides
tuyaux a paroi lisse ( = 0) et rugueuse ( > 0). Elle a ete ajustee sur la formule de Karman-
Nikuradze-Prandtl pour tuyau lisse et sur une formule similaire dite de Colebrook & White pour
tuyau rugueux. Cette formule de Haaland
2
= 1,8 log (/3,7)1,11 + 6,9 Re1 , (8.29)
pourrait selon son auteur etre utilisee pour 4000 . Re . 108 , 0 . . 5 102 . Remarquablement,
en tuyau rugueux et turbulence forte completement developpee, lorsque Re +, le coefficient
de perte de charge cesse de decrotre et tend vers une valeur finie.
Signalons, pour terminer ce paragraphe dedie aux ecoulements turbulents en tuyau, que les etudes
experimentales datent de la premiere moitie du XXeme siecle et ne sont pas extremement precises.
En particulier, la limite Re ' 108 indiquee ci-dessus, revendiquee comme limite superieure de
validite de la formule (8.29) par Haaland (1983), est sans doute trop elevee. Une etude experimentale
recente en tuyau lisse a haut Reynolds, publiee dans McKeon et al. (2005), propose par exemple,
pour 104 . Re . 4 107 , d actualiser la formule de Karman-Nikuradze-Prandtl sous la forme 15
1/ = 1,930 log(Re ) 0,537 . (8.30)
2000 . Re . 4000 ,
on a une tres grande sensibilite aux perturbations exterieures, donc labsence de lois uni-
verselles pour le coefficient de perte de charge , qui peut dailleurs presenter des fluctuations
dassez grande amplitude, ce qui nest pas le cas en regime laminaire ou turbulent. Cest pour
cette raison quil ny a pas de courbes dans cet intervalle sur la figure 8.4. Comme on la evoque
section 8.2.2, on est amene dans ce regime a faire une etude de linfluence des perturbations
exterieures, non seulement du point de vue de leur amplitude, mais aussi du point de vue de leur
forme. Ces etudes, commencees en 1883, sont loin detre terminees, comme en temoigne le fait
que des articles de recherche ont ete publies recemment sur ce sujet (Hof et al. 2006; Schneider
et al. 2007; Avila et al. 2011). De maniere plus generale le probleme de la transition vers la
turbulence et de la modelisation de la turbulence sont des sujets de recherche tres importants
en mecanique des fluides, sur lesquels de nombreux chercheurs travaillent a lheure actuelle 16 ...
15. Cette formule (8.30) serait plus pertinente a partir de Re & 106 ; elle conduit a des valeurs de superieures a
celles estimees par (8.28) de 2% pour Re ' 106 , 3% pour Re ' 107 , 5% pour Re ' 4 107 .
16. Dont certains chercheurs du Lemta.
8.3. Conclusion : nombres adimensionnels en mecanique des fluides 187
PSfrag replacements
Re
Fig. 8.4 Coefficients de perte de charge des ecoulements en tuyau en fonction du nombre de
Reynolds Re et de la rugosite relative (Bonnin 1983). Observez quen regime turbulent, pour Re & 4000,
les coefficients obtenus sont tres superieurs a ceux predits par la loi de (Hagen-)Poiseuille (8.26).
Ainsi le nombre de Reynolds apparat comme lordre de grandeur du quotient du terme non
lineaire inertiel par le terme visqueux,
O v v L1 V V
Re = = (8.32)
O(v) L2 V
V L
Re = . (8.33)
Le fait que la transition vers la turbulence ait lieu lorsque le nombre de Reynolds augmente montre
que, en general, cette transition est due au terme non lineaire inertiel dans lequation de Navier-
Stokes, qui domine alors les termes stabilisants de diffusion visqueuse.
De la meme maniere on peut introduite par exemple le nombre de Strouhal 17
O(v/t) V f f L
St = = 1 = (8.34)
O v v L V V V
O v v L1 V V V2
Fr = = = . (8.35)
O(g) g gL
Un nombre de Froude grand signifie que les effets de la gravite sur lecoulement sont (a priori)
negligeable. On peut introduire beaucoup de nombres adimensionnels, lorsque plus deffets phy-
siques sont pris en compte : lindex de Guyon et al. (2001), par exemple, recense 19 nombres
adimensionnels en hydrodynamique. Vous pourrez decouvrir certains dentre eux dans les modules
sur les phenomenes de transfert et la mecanique des fluides donnes dans ou par les departements
de lecole relevant de lenergie...
8.4 Exercices
On propose quatre exercices classiques destines a illustrer linteret de lanalyse dimension-
nelle appliquee a la mecanique des fluides. Suit un exercice d ouverture , qui depasse legerement
le cadre de ce module. Cet exercice illustre la puissance de lanalyse dimensionnelle comme outil
de modelisation physique generale.
Les deversoirs triangulaires constituent des systemes de mesure de debit aptes a mesurer le
debit dun ruisseau ou dune petite riviere (figure 8.5). Ils sont constitues essentiellement dune
plaque plane obturant lecoulement mais comportant une ouverture triangulaire, langle au sommet
de cette ouverture etant . Le liquide debitant sechappe par cette ouverture, et en mesurant la
hauteur h de liquide au-dessus de louverture on peut acceder au debit volumique q. En utilisant
un modele de fluide parfait, et en negligeant les effets de tension superficielle a linterface entre le
liquide et lair, etablissez par analyse dimensionnelle la forme de la formule a utiliser pour deduire
le debit de la mesure de h.
Exercice 8.3 Similitude pour letude des performances dune helice davion
On desire construire une maquette dhelice davion 19 destinee a reproduire, dans un labora-
toire situe au niveau de la mer, des conditions similaires a celles rencontrees en vol a 4000 metres
daltitude, altitude nominale de vol de lappareil. A cause des valeurs elevees de la vitesse angu-
laire de rotation de lhelice, des effets de compressibilite interviennent dans ce probleme, qui sont
a b
Fig. 8.5 a : Exemple dutilisation dun deversoir triangulaire pour mesurer le debit dun ruisseau.
Photographie extraite du site web de Jean Melounou consacre a son memoire de matrise en geographie
physique. b : Schema de principe dun deversoir triangulaire, tire de Remenieras (1986).
2.1 Par analyse dimensionnelle, etablissez la nature des parametres de controle adimensionnels de
ce probleme. Vous prendrez comme parametres de controle dimensionnels la vitesse moyenne V
de lair par rapport a lhelice, le diametre d de lhelice, la masse volumique de lair, sa viscosite
dynamique , la vitesse du son c et la vitesse angulaire de rotation de lhelice.
2.2 Deduisez-en les regles de similitude a respecter pour obtenir le meme regime decoulement
dans letude realisee au sol dans une soufflerie et en conditions de vol reelles.
On utilisera les donnees correspondants a latmosphere standard 21 :
3.1 La grandeur dependante la plus interessante pour lavionneur est la puissance P developpee par
lhelice. Grace au theoreme de Vaschy-Buckingham, etablissez la forme de lexpression donnant
cette puissance en fonction des parametres de controle du systeme.
3.2 Dans le cas dune experience sur maquette realisee dans les conditions de similitude determinees
en 2.2, on mesure une puissance P0 developpee par lhelice. Estimez alors la puissance P1 developpee
par lhelice en conditions nominales de vol.
20. Lexpression (8.36) resulte de lusage dun modele de fluide parfait, cf. par exemple le chapitre 3 de Plaut
(2017b). Elle reste cependant pertinente en fluide visqueux, les effets de viscosite produisant essentiellement une
attenuation du son, mais pas (ou peu) de decalage de la vitesse du son.
21. Cf. sur ce sujet lenonce et la figure de lexercice 7.2.
190 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle appliquee a la mecanique des fluides
V
Photo 1 : -
V0
Photo 2 : -
2 Pour preciser quantitativement ce qui precede, rappelez la formule du cours danalyse dimen-
sionnelle donnant le seul parametre de controle adimensionnel de ce probleme de mecanique des
fluides, et comment on le designe. Quelle est la valeur de ce parametre pour le cas 2, sachant que
le vent soufflait a une vitesse V 0 = 50 km/h, et que la temperature T ' 20 o C ? Que peut-on en
deduire sur la nature de lecoulement dans le cas 2 ?
3 Quelle serait la vitesse decoulement V quil faudrait utiliser dans lexperience de lONERA pour
realiser, a T ' 20 o C, une similitude maximale entre cette experience de laboratoire et le cas
2 ? Commentez.
5 Un resultat dobservations experimentales est que 0 est pratiquement constant quelque soit le
regime decoulement, oscillant ou oscillant turbulent, et de lordre de 5. Estimez a partir de ces
informations (extrapolees...) la periode temporelle du lacher de vortex Tv0 dans le cas de la photo 2.
Comparez de facon commentee cette duree a une duree meteorologique typique et au temps de
survol dune aire geographique par le satellite Terra, soit quelques minutes environ.
22. Pour la deuxieme on recommande une visite au site Visible Earth de la NASA, http://visibleearth.nasa.gov.
23. Largeur dans la direction perpendiculaire au vent incident V0 .
8.4. Exercices 191
Fig. 8.7 Images publiees en 1947, et reprises dans Taylor (1950b), montrant lexpansion de londe de
choc lumineuse creee par la bombe A de New Mexico, essayee tres tot un matin de juillet 1945.
Dans deux articles historiques 24 , le physicien britannique Taylor publia une etude de londe de
choc lumineuse creee par une bombe atomique, suite notamment au premier essai effectue par les
americains en 1945. Des 1947 ceux-ci avaient publie des photographies, comportant des indications
de temps et despace, dont certaines sont reproduites figure 8.7. De ces donnees, Taylor a extrait
la table 8.1 de valeurs du rayon de la boule lumineuse en fonction du temps. Dans son premier
article, il developpa un modele de gaz parfait compressible du phenomene dexpansion brutale de
lair du a la bombe, en prenant en compte londe de choc. Dans le second article, il appliqua ce
modele a lexplosion de juillet 1945, en en deduisant une estimation de lenergie de la bombe 25 .
On developpe ici un modele tres simplifie de ce phenomene, dans lesprit de letude de Taylor.
1.a On admet que les parametres de controle de ce probleme de thermomecanique de lair sont
lenergie E liberee par lexplosion, sous forme denergie interne de lair, la masse volumique de
lair au repos (avant ou autour de lexplosion), et le temps t ecoule depuis lexplosion. Verifiez que
ces parametres sont bien des grandeurs dimensionnellement independantes.
1.b Formez le groupement 0 associe a la grandeur R(t), rayon de londe de choc lumineuse.
Montrez que R augmente avec E et t, diminue avec , suivant une loi dechelle de la forme
R(t) = 0 a E b tc , (8.37)
2 En exploitant les donnees de la table 8.1 (representation en echelle log-log et ajustement par
methode des moindres carres des donnees les plus sures), montrez la pertinence de cette loi dechelle.
En supposant de plus que 0 ' 1, obtenez une estimation de lenergie E de cette bombe.
Tab. 8.1 Table extraite de larticle Taylor (1950b), montrant suivant les termes de lauteur the radius
R of blast wave at time t after the explosion.
Indication de resultat
En considerant que la fission dun atome de Plutonium 239 (le materiau utilise pour cet essai)
produit environ 182 MeV (Mega electron Volt) denergie interne , vous devriez arriver a partir
du modele tres simplifie developpe ici a une masse denviron 1,1 kg de Plutonium 239.
Complements
L onde de choc lumineuse correspond dans le modele de Taylor a une discontinuite de
pression, de masse volumique, de vitesse et denergie interne. Cette energie interne est tellement
elevee, juste apres londe de choc, que lair rayonne, dou laspect lumineux. Bien entendu le but
du modele developpe par Taylor etait notamment dobtenir une estimation precise du coefficient
0 introduit dans la loi dechelle ou de similitude (8.37)...
Ce modele repose sur de la thermomecanique des milieux continus 26 . Quelques elements de
thermomecanique seront donnes dans le cours du deuxieme semestre de premiere annee de Barrat
(2012), ou encore dans le cours de deuxieme annee Plaut (2017b). La theorie des ondes de choc,
cependant, nest pas abordee, a ma connaissance, a Mines Nancy...
26. Il y a un milieu continu, lair, presentant des champs qui sont maintenant C par morceaux seulement, puisquil
existe une surface de discontinuite, celle de londe de choc.
8.5. Notes personnelles 193
194 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle appliquee a la mecanique des fluides
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Annexe A
Fondements de la cinematique
dAM dAM0
= v(OM,t) v(OA,t) et = v(OM0 ,t) v(OA,t) .
dt dt
dAM
= v(OM) v(OA) = v(OA + dx) v(OA) = K dx + o(dx) , (A.4a)
dt
dAM0
= v(OM0 ) v(OA) = v(OA + dx0 ) v(OA) = K dx0 + o(dx0 ) . (A.4b)
dt
En utilisant un repere orthonorme (direct) R =Ox1 x2 x3 et sa base orthonormee (directe) associee
{e1 ,e2 ,e3 }, lequation (A.4a) secrit en composantes
3
X vi
dvi = vi (OA + dx) vi (OA) = (OA) dxj + o(dx) . (A.5)
xj
j=1
En consequence lequation (A.2) secrit, a des termes en o(dx), o(dx0 ) pres, que nous negligeons a
lordre le plus bas,
dAM0 dAM
AM + AM0 = dx K dx0 + K dx dx0 = 0 . (A.7)
dt dt
3. Sur les notations utilisees dans ce document, x au lieu de x, voyez le tout debut du chapitre 1 du document
de cours de calcul tensoriel Plaut (2017a).
A.1. Mouvements de solide indeformable : approche par etude des deformations 199
La forme bilineaire
D : R3 R3 R h
1
i (A.9)
(dx, dx0 ) 7 D(dx,dx0 ) = 2 dx K + KT dx0
est donc nulle... Cest en fait le tenseur des taux de deformation au point A et a linstant
t, que nous rencontrerons a nouveau dans le chapitre 2 de ce cours. Cette forme bilineaire est nulle
si et seulement si lendomorphisme associe
1
K + KT
2
est nul, soit en composantes, dapres (A.6),
vi vj
i {1,2,3}, j {1,2,3} , + = 0. (A.10)
xj xi
Il importe de noter que cette equation aux derivees partielles est verifiee dans tout le domaine
connexe occupe par le solide, le point A choisi au tout debut etant en fait quelconque. La resolution
de cette equation se fait en travaillant dabord sur ses composantes diagonales,
vi
i {1,2,3}, = 0.
xi
En integrant par rapport a xi on obtient
A x3 fixe le premier membre ne depend que de x2 alors que le second membre ne depend que de
x1 ; comme ces variables sont independantes on en deduit
v1 v2
(x2 ,x3 ) = (x3 ,x1 ) = f (x3 ) ,
x2 x1
dou, en integrant par rapport a x2 , puis x1 ,
A x2 fixe le premier membre ne depend que de x3 alors que le second membre ne depend que de
x1 ; comme ces variables sont independantes on en deduit
v3
x2 f 0 (x3 ) + g 0 (x3 ) = (x1 ,x2 ) = i(x2 ) , (A.13)
x1
200 Annexe A. Fondements de la cinematique
dou le fait que f 0 (x3 ) et g 0 (x3 ) sont constantes, cest-a-dire que f (x3 ) et g(x3 ) sont affines 4 . Alors
i(x2 ) aussi est affine, et en reprenant (A.12) et (A.13) on obtient
On en deduit que h(x3 ) et j(x2 ) sont affines, puis que A = 0, puis que h0 (x3 ) = j 0 (x2 ). Au bilan
On peut montrer que ce champ de vitesse est celui dun solide concidant en rotation autour
de laxe passant par A et de direction , dont la vitesse angulaire de rotation est ||||.
Dans ce but, considerons le cas plus simple ou le mouvement du solide est une rotation autour
dun axe fixe Az. En notant (t) langle de la rotation effectuee entre les instants 0 et t, les positions
instantanees sont donnees par laction de loperateur de rotation correspondant RAz,(t) selon
Par derivation de AM(t) par rapport au temps on obtient pour le champ de vitesse instantane
Par identification avec (A.18) on voit que le vecteur rotation instantanee vaut dans ce cas
ou le point designe la derivee par rapport au temps. Ainsi, la direction de est la direction de
laxe de rotation. De plus, si la rotation se fait a vitesse angulaire constante, (t) = t, on
obtient
(t) = ez . (A.21)
Dans ce cas, est la frequence angulaire de rotation du solide. Plus generalement, |||| peut
etre vue comme la vitesse angulaire de rotation du solide, et doit donc se mesurer en SI en
rad/s.
A.2.1 Referentiels
Un referentiel est un observateur repute immobile qui mesure des mouvements. Se donner un
referentiel cest donc se donner un mouvement solide indeformable de reference, a savoir le
mouvement du fauteuil sur lequel lobservateur imaginaire est assis.
Le mouvement dun referentiel relatif R dans un referentiel absolu R0 dorigine O est en
consequence un mouvement de solide indeformable, caracterise par une translation, mouvement
en bloc avec la vitesse
dOA
vR0 (A R, t) = (A.22)
dt R0
dun point particulier A de R, et une rotation, caracterisee par le vecteur vitesse de rotation
instantanee
(t) = R/R0 (t) . (A.23)
Le champ des vitesses des points M de R dans R0 est ainsi le champ de moments
dw(t)
= x(t)ex (t) + y(t)ey (t) + z(t)ez (t) . (A.26)
dt R
Dans R0 par contre non seulement les composantes de w(t) mais aussi les vecteurs ex (t), ey (t) et
ez (t) evoluent dans le temps, et pour calculer
dw(t)
dt R0
Pour cela on peut noter que chacun de ces vecteurs de base peut etre vu comme un bipoint reliant
lorigine A(t) de R a un point fixe de R, par exemple
ex (t) = AB(t) .
dex (t)
= vR0 (B R,t) vR0 (A R,t) = R/R0 (t) AB(t) = R/R0 (t) ex (t) , (A.27)
dt R0
cette forme de relation etant en fait valable pour nimporte quel vecteur fixe de R, dou en parti-
culier
dey (t)
= R/R0 (t) ey (t) , (A.28)
dt R0
dez (t)
= R/R0 (t) ez (t) . (A.29)
dt R0
dw(t) dw(t)
= + R/R0 (t) w(t) (A.30)
dt R0 dt R
A.2. Composition des mouvements par changement de referentiel 203
On a utilise une notation affine pour la dependance de la vitesse par rapport a lespace, car il
sagit bien de suivre un point materiel M dans differents referentiels donc differents reperes : ici, la
confusion entre lespace affine et lespace vectoriel, que nous nous sommes permise en section A.1,
serait tres dangereuse. Par transitivite puis application de (A.30) on obtient
dOA(t) dAM(t) dAM(t)
va (M,t) = + = vR0 (A R,t) + + R/R0 (t) AM(t) .
dt dt dt
R0 R0 R
Il apparat
vitesse du point du referentiel mobile R concidant a linstant t avec M(t) (cf. lequation A.24) ;
ve (t) est la vitesse dentrainement du point M(t). Au bilan on obtient la loi de composition
des vitesses, dite aussi loi de Galilee 6 :
vr (M S,t) = v0 + S/R AM .
En utilisant la loi de Galilee et la formule (A.33), il vient, pour le champ de vitesse absolu de S,
qui est bien un champ de moments ; de plus on identifie la loi de composition des vecteurs
vitesse de rotation instantanee
et lacceleration relative de ce meme point mobile M(t) vue par lobservateur mobile lie
au referentiel R :
d2 AM(t)
r (M,t) = . (A.37)
dt2 R
Dans ce but partons de lequation (A.34), que lon explicite sous la forme
Par derivation par rapport au temps dans le referentiel R0 et utilisation de la loi de derivation
composee (A.30) on obtient
a (M,t) = r (M,t)
dAM(t) d2 OA(t)
+ R/R0 (t) +
dt dt2
R R0
dAM(t)
+ R/R0 (t) AM(t) + R/R0 (t) .
dt R0
d2 OA(t)
e (M,t) = + R/R0 (t)AM(t) + R/R0 (t)[ R/R0 (t)AM(t)] , (A.38)
dt2 R0
sont, en labsence deffets electromagnetiques, les forces de pesanteur. Ainsi, en anticipant sur le
chapitre 3, et en nommant notre referentiel galileen R0 absolu , le bilan global de quantite de
mouvement pour un milieu contenu dans louvert t secrit
dp
ZZZ ZZZ ZZ
3 3
= d m a (M,t) = d mg + d2 f , (A.41)
dt R0
t t t
avec
g 0 = g e (M,t) c (M,t) . (A.43)
Si g 0 est sensiblement different de g, on dit que le referentiel R est non galileen 8 . Les forces
nouvelles d3 m e (M,t) et d3 m c (M,t) dans (A.42) sont les forces dinertie dentrainement
et de Coriolis ; les forces volumiques associees sont e (M,t) et c (M,t).
2 Le referentiel terrestre, en rotation autour de laxe sud-nord OZ, que lon peut considerer fixe,
a donc un vecteur rotation dans le referentiel geocentrique, repute galileen,
= eZ . (A.46)
Dans ce referentiel terrestre, le mouvement de lair est affecte par des forces dinertie. Simplifiez
par un calcul lexpression de lacceleration dentranement e (M), en utilisant le repere OXYZ de
la figure A.1a. Verifiez que lon peut negliger e (M) devant g en calculant precisement la valeur
maximale du rapport des normes. En quels points du globe cette valeur maximale est-elle atteinte ?
3 En consequence, on retient que la seule force volumique dinertie agissant sur lair, de masse
volumique , en ecoulement a la vitesse v dans le referentiel terrestre, est celle dite de Coriolis
fc = c = 2v . (A.47)
Calculez la force volumique dinertie projetee sur le plan horizontal Mxy et montrez que, dans
lhemisphere nord, pour 0 < < 90 , elle induit une deviation vers la droite lorsque lair
est observe de lespace.
4 Aux echelles qui nous interessent, lair atmospherique peut en premiere approximation etre
considere comme un fluide parfait en ecoulement faiblement accelere. Dans le repere et referentiel
Mxyz, lequation devolution de la quantite de mouvement sous forme locale secrit donc
dv
' 0 = g + fc p (A.49)
dt
avec p la pression. En prenant le produit vectoriel de cette equation avec le vecteur vertical ez ,
montrez que le champ vh est donne (approximativement) par le vent geostrophique
1
vh = ez p , (A.50)
f
ou f est le parametre de Coriolis, que vous calculerez analytiquement, puis, numeriquement, a nos
latitudes.
5 On sinteresse a une carte meteorologique (figure A.1c) representant un champ de pression via
ses isobares, les lignes disovaleurs de la pression. Justifiez quelles sont aussi les lignes de courant
du vent geostrophique.
6 On effectue sur la figure A.1b un zoom sur la depression au sud de lIslande. Esquissez par
quelques fleches de couleurs differentes les champs p et vh associes. Plus precisement, sachant
que le diametre de lIslande, segment AB, est ' 450 km, estimez par des mesures sur carte
et un calcul detaille le gradient de pression puis la vitesse du vent au niveau de A. On prendra
= 1,2 kg/m3 . Expliquez et commentez physiquement.
7 Expliquez letymologie de cyclone pour designer les regions de pression minimale, anti-
cyclone pour designer les regions de pression maximale.
A.2. Composition des mouvements par changement de referentiel 207
Z
z
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(a) x
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
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111111111111111111111
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111111111111111111111
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111111111111111111111
000000000000000000000
(b)
g
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
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111111111111111111111
000000000000000000000
1
0
X
O Y
(c)
Fig. A.1 a : Schema du systeme terrestre etudie dans lexercice A.2. Le point O est le centre de la Terre,
boule de rayon R = 6400 km. Le repere cartesien OXYZ est lie au referentiel terrestre, laxe OZ pointe
du sud vers le nord. On sinteresse a des ecoulements au voisinage dun point M situe a la surface, repere
par sa latitude . Le repere cartesien Mxyz est aussi lie au referentiel terrestre. Laxe Mz est vertical, i.e.,
lacceleration de la pesanteur, au voisinage de M, g = gez , laxe My pointe vers le nord, laxe Mx vers lest.
Le vecteur rotation du referentiel terrestre par rapport au referentiel geocentrique est represente. b : Zoom
sur la carte meteorologique. c : Carte meteorologique : champ de pression au niveau de la mer resultant
dune analyse , synthese entre modeles et mesures, effectuee par le service de meteorologie britannique
le 29 octobre 2015. Les cercles fins sont les meridiens i.e. les iso- separes de 10 . Les courbes fines sont
les isobares separees de 4 hPa. L = Low repere un minimum, H = High pressure repere des maxima de
pression. Les courbes epaisses representent des fronts air chaud - air froid, et seront ignorees ici.
Annexe B
BR = Bien redige !
DR = Defaut de redaction
Quand la reponse a une question est constituee uniquement de symboles mathematiques sans phrase
de redaction, ou quand la redaction est deficiente. Il sagit la dun point crucial car la caracteristique
fondamentale dune demarche scientifique est detre une demarche raisonnee, or le raisonnement
ne peut se traduire que par un discours, qui se doit detre convaincant 2 .
Exemple : Ec = 21 mv 2 donc Ep = mgz ; il ny a aucun lien de cause a effet entre ces deux
equations donc le donc est inadequat.
EC = Erreur de calcul
Exemple : (a + b)2 = a2 + b2 .
EE = Erreur detourderie
Quand on se trompe dans la recopie dun calcul, introduisant une faute. Il faut se relire ligne par
ligne : jecris une ligne, je me relis avec un regard critique.
EL = Erreur logique
Quand par exemple on utilise dans une demonstration le resultat a demontrer pour le demontrer, ou
que lon ne sapercoit pas dune erreur de raisonnement conduisant a une flagrante contradiction !
EP = Erreur physique
Quand on ecrit des formules ou tient un raisonnement mathematiquement plausibles, mais physi-
quement errones.
1. Les ingenieurs sont tres souvent appeles a ecrire des rapports sur leur travail, qui leur permettent de
communiquer avec leurs semblables...
2. Ceci releve de la communication-expression !
210 Annexe B. Pedagogie : de lart de rediger
ES = Erreur de syntaxe
1
ZZZ
Exemple : Ec = vx2 + vy2 d3 m ; manquent des parentheses !..
2
HS = Hors sujet
N = Notations
Quand on ne respecte pas les notations de lenonce ou du cours, ou que lon emploie des notations
inadequates.
Exemple : alors que V (t) est fonction de la seule variable t, on ecrit V /t au lieu de dV /dt.
PE = Propagation derreur
Quand la reponse a la question n est fausse car cetait faux en question n k avec k > 0...
T = Terminologie
Quand on ne respecte pas la terminologie consacree, ou que lon appelle un chat un chien.
Exemple : Le plan Oxz est un axe de symetrie .
Annexe C
Le but de cette annexe est de donner quelques elements theoriques sur la photoelasticite, qui
est utilisee dans lexperience damphi et de TD sur le barreau en flexion pure correspondant
au probleme 4.1.
C.1 Generalites
La photoelasticite est la science qui etudie en physique les effets sur la lumiere des contraintes
et deformations appliquees a des corps solides elastiques. La technique experimentale qui sert
a mesurer les contraintes par photoelasticite est la photoelasticimetrie.
Il existe deux procedes de photoelasticimetrie :
la photoelasticimetrie par transmission, ou lon realise une reproduction de la forme
a etudier, qui doit etre plane, dans un materiau photoelastique. Ce modele est observe par
transparence, cest a dire place entre des filtres polarisants pendant quon lui applique des
efforts.
la photoelasticimetrie par reflexion, ou lon commence par rendre reflechissante la
surface du solide a etudier (non transparent en general !), a laide dune peinture ou dune
colle chargee de poudre metallique. On recouvre alors cette surface dune mince couche de
produit photoelastique. La lumiere traverse le revetement photoelastique, est reflechie et
traverse une seconde fois le revetement. Les filtres polarisants sont places cote a cote.
Les principes de la theorie etant identiques dans les deux cas, nous presentons ici uniquement la
photoelasticimetrie par transmission utilisee par le systeme de visualisation Stress-Opticon
de VISHAY MEASUREMENTS GROUP, lors de lexperience correspondant au probleme 4.1.
Nous nous restreignons de plus au cas dobservations en lumiere polarisee circulairement, comme
dans ce systeme.
Un expose complet sur la photoelasticite, ses principes et ses applications, est donne dans la
partie sur les methodes experimentales de Bellet & Barrau (1990).
212 Annexe C. Elements sur la photoelasticite
E = 0 0 t2 E ,
D = 0 r E
ou r est le tenseur dielectrique relatif du milieu. Ce tenseur devant etre symetrique se diagonalise
sur une base orthonormale ; les directions correspondantes sont les axes optiques du milieu. Dans
tout ce qui suit, on suppose que les ondes arrivent toujours sous la meme incidence normale, i.e.
k k ez fixe, et que le milieu est homogene dans la direction z. Ce sont alors les proprietes du milieu
dans le plan perpendiculaire a ez qui importent, i.e. on est dans un cas bidimensionnel . Pour
des raisons de symetrie, r restreint a ce plan peut sy diagonaliser. Notant ex0 et ey0 les axes
optiques correspondants, on ecrit donc
Restr r = re ex0 ex0 + ro ey0 ey0 .
plan(x,y)
Par exemple, une lame quart donde est une lame constituee dun tel milieu de degre de
birefringence connu, et depaisseur e controlee de facon a ce que le dephasage precedent vale
exactement 2 . Pour le meme champ dentree,
E = a cos(t)ex0 + b cos(t)ey0 ,
E(x,t)2 t .
I(x) = (C.10)
n = C = C (X Y ) . (C.11)
La constante C a la dimension de linverse dune contrainte donc de linverse dune pression. Notons
que = X Y est liee a la valeur maximale du cisaillement dans le plan xy au point considere,
3. Comme seule la phase relative des deux ondes se propageant suivant ex0 et ey0 importe, on redefinit souvent
la phase absolue des ondes de facon a ce que le dephasage napparaisse que sur lune des deux ondes seulement.
4. En toute rigueur cest plutot lanisotropie de deformation qui gouverne lanisotropie optique, cependant
dans un materiau elastique lineaire intrinsequement isotrope considere ici, les anisotropies de contrainte et de
deformation sont directement liees en vertu de la relation (4.37).
C.3. Birefringence accidentelle 215
eP
ey ex observateur
eX
4
A
ex
eP
4 deuxieme lame
eY
corps photoelastique
premiere lame
ey
source
P
Fig. C.1 Principe du montage photoelastique en lumiere polarisee circulairement du Stress-Opticon.
soit /2 = (X Y )/2.
Par application de (C.8), si en entree
on recupere en sortie
E = a cos(t )eX + b cos(t)eY (C.13)
e
= 2C , (C.14)
0
e etant lepaisseur du materiau traverse. On notera bien que eX est associe a ne et X tandis que
eY est associe a no et Y .
E = a sin(t)ex0 a cos(t)ey0
h i h i
= a sin(t) cos eX + sin eY a cos(t) sin eX + cos eY
4 4 4 4
= a sin t + eX a cos t + eY
4 4
E = a sin(0 ) eX a cos(0 ) eY
216 Annexe C. Elements sur la photoelasticite
en notant 0 = t + . Dapres lequation (C.13), apres la traversee du materiau photoelastique, on a
4
E = a sin(0 ) eX a cos(0 ) eY
h i h i
= a sin(0 ) cos + ex00 + sin + ey00 a cos(0 ) sin + ex00 + cos + ey00
4 4 4 4
h i
E = a cos cos t sin cos t 2 ex00
2 2 2 2
h i
+ a cos sin t + sin sin t 2 ey00 .
2 2 2 2
A la sortie de la deuxieme lame quart donde il vient donc
h i h i
E = a cos sin t sin sin t2 ex00 +a cos sin t +sin sin t2 ey00 .
2 2 2 2 2 2 2 2
Lanalyseur etant parallele au polariseur, il selectionne les vibrations paralleles a eP = (ex00 + ey00 )/ 2 selon
E = E eP = a 2 cos sin t .
2 2
De facon remarquable, langle dorientation des directions principales des contraintes nintervient
plus. Lintensite lumineuse correspondante est dapres (C.10)
E2 = a2 cos2 = a2 cos2
I = t
(C.15)
2 0
0 1
0 = . (C.16)
e C
ce qui definit les franges isochromatiques claires. En lumiere blanche donc polychromatique,
la frange dordre n = 0 sera blanche, car la condition correspondante disotropie = 0 ne depend
pas de la longueur donde, par contre les franges dordre n 1 seront colorees, puisque la condition
de frange = n0 /(eC) depend de la longueur donde 0 . Au contraire, lintensite est minimale
si
1
= n + 0 pour n N , (C.18)
2
ce qui definit les franges isochromatiques sombres. En lumiere blanche donc polychromatique,
toutes les franges sombres seront colorees, puisque la condition (C.18) depend toujours de la lon-
gueur donde. Toujours en lumiere polychromatique, toutes les franges en dehors de la frange claire
n = 0 ne seront pas tres nettes a cause de la superposition des images dues a chaque longueur
donde. Des franges nettes pourront par contre etre obtenues en lumiere monochromatique...
comparez sur ce sujet les figures 4.3a et b...
Terminons en remarquant que, dans le cas du barreau etudie dans le probleme 4.1, et avec
les notations de lenonce correspondant, soit 1 = X > 0, 2 = 3 = Y = 0 (cas y > 0), soit
1 = 2 = X = 0, 3 = Y < 0 (cas y < 0), donc dans tous les cas
= X Y = 1 3 . (C.19)
Cette constatation combinee avec lequation (C.17) conduit bien a lequation (4.71).
Annexe D
Ces elements de correction sont plus ou moins precis, selon le niveau de difficulte des
exercices et problemes, le fait quils seront abordes ou non en TD, etc... Lire un enonce puis son
corrige est totalement inutile voire contre-productif. La seule bonne facon de profiter de ces corriges
est de chercher dabord a resoudre lexercice ou probleme par soi-meme, puis ensuite seulement
de consulter les corriges... pour vous debloquer ou mieux verifier que votre solution est correcte...
Pour eviter detre tente, je vous recommande de ne pas imprimer ces corriges, mais de les consulter
seulement sous leur forme electronique.
Des complements sont donnes a la fin de la solution de certains exercices ou problemes.
1.2 c = 2b.
1.3 b = a2 .
" s #
y 2 y 4a2 sin2
1.4 y = a 2 + y puis r = 1+ 1+ 2
.
r 2 sin y
[y 2 (x + U t)2 ] (x + U t)y
2.1 vx = U a2 , vy = 2U a2 .
[(x + U t)2 + y 2 ]2 [(x + U t)2 + y 2 ]2
1.3 A = ma /[8(D)3 ].
218 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
Exercice 2.2 Interpretation des vecteurs propres du tenseur des dilatations de Cauchy
Calculer R2 connaissant notamment dx dx, dX etant ecrit en composantes dans la base propre,
dX = dXi ni .
1.3 F = 1 + ke1 e2 .
1.5 C = 1 + k(e2 e1 + e1 e2 ) + k 2 e2 e2 .
1.6 k = 0 (trivial).
k k2
1.8 e = (e2 e1 + e1 e2 ) + e2 e2 .
2 2
1.9 Cf. 1.7...
1.10 k 1.
k
1.11 u = kX2 e1 = = (e1 e2 + e2 e1 ).
2
1.12 Deux methodes : calcul direct,
k
e3 = 0 , Y = Y avec Y = e2 e1 ;
2
ou alors faire tendre k vers 0 dans les resultats de la question 1.9.
D.3. Corriges du chapitre 3 - Bilans et contraintes 219
u = X + X
avec
k k
X = (X2 e1 + X1 e2 ) et X = (X2 e1 X1 e2 )...
2 2
2.2 v = k 0 e1 e2 = F F1 .
v = Kx = Dx + x
avec
k0 k0
Dx = (x2 e1 + x1 e2 ) et x = (x2 e1 x1 e2 )...
2 2
Exercice 3.2 Retour sur le mouvement de cisaillement pur : calcul des contraintes
1 k 1.
11 12 13
2
+ + = 0
x1 x2 x3
22 23
21
div = 0 + + = 0
x1 x2 x3
31 32 33
+ + = 0
x1 x2 x3
3 En X2 = a,
12 =
T = e1 22 = 0
32 = 0
220 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
4 En X3 = b, interfaces libres T = 0 13 = 23 = 33 = 0.
5 11 = 13 = 23 = 33 = 0 partout, puis
12 = = (e1 e2 + e2 e1 ) .
6 Representez T(e1 ) et T(e2 ), et constatez que, dapres la regle du 2 etablie a lexercice 3.1,
leurs points representatifs sont diametralement opposes sur le cercle de Mohr...
a droite
= OP3 F + OP4 (F) = (a b) F ez .
2.1 Frontieres libres (negliger la pression de lair ambiant ou linclure dans la configuration de
reference) :
3 div = 0.
5.1 B = 0.
3
5.2 A = 0, C= , D = 0.
4 eh3
6 Y > 0 traction pure, Y < 0 compression pure.
8 Avec = Cy,
= ex ex (ey ey + ez ez ) .
E E
9 Oui.
D.4. Corriges du chapitre 4 - Solides elastiques 221
10 Avec C 0 = C/E,
C0
ux = C 0 xy , uy = (z 2 y 2 x2 ) , uz = C 0 yz .
2
F
O
y
La force de compression F cree des contraintes internes de compression, transmises par la partie
externe (en blanc) sur la partie interne (en gris).
A cause du facteur 1/r0 dans T, ces contraintes sont dautant plus intenses que le rayon r0 est
petit, i.e., que la coupe virtuelle se rapproche de la ligne de contact Oz.
Cette figure dessinee dans le plan z = 0 vaut aussi dans tout plan z = constante [Lz /2,Lz /2],
puisque ne depend pas de z, i.e., la situation etudiee est invariante par translations dans la
direction z.
Dou la representation :
F
O
y
-T
Par symetrie
ZZ Z +/2
2
R = Td S = Rx ex avec Rx = ALz cos er ex d .
S /2
Or er ex = cos , donc
+/2
2F 0
Z
Rx = ALz cos2 d = ALz = A = . (D.1)
/2 2
Le fait que A soit proportionnel a F 0 est naturel : si la force lineique F 0 source du mouvement
augmente, le module de la contrainte induite |rr | augmente.
4
ur 1 ur 1 u
r u + 0
2r 2 r
1 T
1 u
[] = Mat , {er ,e ,ez } = ([G] + [G ]) = (D.2)
+ ur 0
2 r
0
La valeur n = 0 est interdite dans linterieur du solide. Lequation des franges dordre n > 0 peut
secrire
A
r2 = 2An r cos avec An = ,
2n0
soit
x2 + y 2 = 2An x (x An )2 + y 2 = A2n ,
soit un cercle de centre (An ,0) et de rayon An . Les franges sont donc une famille de cercles centres
sur des points de laxe des x, passant par O, et dont le rayon tend vers 0 lorsque lordre de la
frange n tend vers linfini. Ceci correspond bien a ce que lon entrevoit sur la photographie de la
figure 2b de lenonce, meme si les cercles sont allonges et mal definis pour ceux de grand rayon,
qui correspondent a de faibles niveaux de contrainte.
7 Equation de lequilibre local du solide, en ne considerant pas la pesanteur incluse dans la confi-
guration de reference :
div = 0 .
Cela est bien car
rr zz cos cos
rr
div = + er + ez = A 2 A 2 er = 0 , CQFD.
r r z r r
En conclusion le tenseur des contraintes satisfait toutes les conditions limites du probleme, y
compris celle dune force concentree en y = 0 dapres letude faite question 2, consideree dans la
limite ou r0 0+ , et aussi la condition dequilibre local, cest donc la solution de ce probleme
delastostatique.
1+ 1 2
rr = rr (1 + )rr = rr ,
E E E
(1 + )
= 0 (1 + )rr = rr ,
E E
r = 0 .
En identifiant avec les coefficients de la matrice [] (D.2) calculee question 3 :
ur 1 2 cos
= rr = A , (D.4a)
r E r
1 u (1 + ) cos
+ ur = = A , (D.4b)
r E r
1 ur u
u + = 2r = 0 . (D.4c)
r r
Ce systeme considere seul ne determine pas uniquement u : par ce systeme u est determine a un
champ de moments pres, decrivant une translation et rotation en bloc dans le plan xy.
Comme ]0,1/2[ le coefficient de ln |y| dans ux est negatif, tandis que le coefficient (12)(1+)
dans uy est positif, dou les representations de la figure D.1.
224 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
Ces champs decrivent de facon raisonnable un mouvement vers le bas i.e. dans la direction de
F, assez localise, sous leffet de cette force de compression localisee au centre.
Ce mouvement est en fait trop localise puisque ux diverge au centre, en y = 0 ; de meme uy
est discontinue en y = 0 : la ligne de contact est une ligne singuliere, ou les deplacements et les
contraintes (puisque r = 0) sont infinis .
Ceci est sans doute lie a lhypothese dun contact sur une ligne sans epaisseur, incompatible avec
lapproche du milieu continu : le contact aurait lieu sur une region de taille inferieure a celle dun
volume elementaire representatif, echelle au-dessous de laquelle on ne peut descendre en mecanique
des milieux continus. La validite de ce modele est surement restreinte a une grande partie du solide
excluant un voisinage de la ligne de contact singuliere.
ux uy a y ` .
ux ex : F uy e y : F
O O
y y
x x
u: F
O
y
Fig. D.1 Dans la situation de la partie I du probleme 4.2, champs de deplacements projetes sur les axes
x ou y, et champ de deplacement total.
ux ex : uy e y : O
O y y
x x
u:
O y
Fig. D.2 Dans la situation de la partie II du probleme 4.2, champs de deplacements projetes sur les
axes x ou y, et champ de deplacement total.
226 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
= a .
I.4 On a bien grace au manchon transmission du couple a de larbre vers la bague, puisque
0
a = = = b .
La bague est couplee a un systeme exterieur sur lequel elle exerce un couple b = a , le
manchon a bien permis la transmission du couple a .
d2 f
T = = e sur la frontiere interieure, T = 0 e sur la frontiere exterieure.
d2 S
Les symetries cylindriques de ces champs se transportent dapres le principe de Curie sur
le champ effet u = u = u(r) e .
u(r = a) = a0 A = 0 a2 /(a2 b2 ) .
II.6
u = A (1 b2 /r2 ) er e + A (1 + b2 /r2 ) e er
II.7
= (2Ab2 /r2 ) (er e + e er )
II.9 Z 2 Z h
= (aer + zez ) (2Ab2 /a2 ) e a ddz = ez
=0 z=0
avec
a2 b2 h 1 b2 a2
= 4Ab2 h = 4 0 0 = .
b2 a2 4 a2 b2 h
1 b2 a2 1 l2 1
2 2
2 5
4 a b h F l l F l
II.10
Z 2 Z h
0
= (ber + zez ) (2Ab2 /b2 ) e b ddz = 2Ab2 ez 2 h = 4Ab2 h ez =
=0 z=0
valeur tres petite compatible avec lhypothese de petits deplacements. On est aussi en petite
transformation, puisque
A = 0,027 1 = u ' |A| 1 .
Avec Mathematica, on obtient le schema suivant (on a pris 0 = 0,1 rad pour voir quelque chose) :
228 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
Effets de courbure tres faibles : u depend presque de facon affine de r = sur un rayon fixe,
champ de deplacement tres similaire a celui du cisaillement pur etudie en TD.
III.1 n1 = (er e )/ 2 est propre pour la valeur propre 1 = 2|A|b2 /r2 ,
n2 = ez est propre pour la valeur propre 2 = 0 ,
n3 = (er + e )/ 2 est propre pour la valeur propre 3 = 2|A|b2 /r2 .
3 2 1
1 3 b2
III.3 max (x,n) = = 2|A| 2 = region la plus sollicitee en cisaillement
n 2 r
= region en contact avec larbre r = a
b2 b2
= max = max (x,n) = 2|A| 2
= 20 2 2
= .
x,n a b a 2a2 h
III.4 Si x = aex ,
n1 = (ex ey )/ 2 pour la valeur propre 1 = max ,
n2 = ez pour la valeur propre 2 = 0 ,
n3 = (ex + ey )/ 2 pour la valeur propre 3 = max .
III.5 max = 2,5 107 Pa = 250 bars soit une contrainte tangentielle tres importante ; cest
que le couple a transmettre, = 1000 N m, est plutot grand pour une aussi petite piece.
D.4. Corriges du chapitre 4 - Solides elastiques 229
max '
d3
avec d taille caracteristique du systeme, en accord avec (3.65). En prenant d = 2 cm on
obtient bien
103
max ' Pa ' 108 Pa
8 106
soit le bon ordre de grandeur.
On pourrait se demander pourquoi lenonce ne proposait pas daller plus loin quune etude de
letat de contrainte, pour proposer un critere de rupture. La reponse est que la rupture dun
materiau caoutchoutique (ou elastomere ) se produit en general pour des tres grandes
deformations, pour lesquelles le modele utilise ici nest plus valable. Dune part on nest
plus en petite transformation, dautre part la reponse du materiau devient non lineaire ;
on doit donc ecrire une loi de comportement plus compliquee, dite hyperelastique . La
modelisation de ces effets d hyperelasticite et la formulation dun critere de rupture
approprie sortent largement du cadre de ce module.
2 A lexterieur, en r = b, T = er = 0 .
A linterieur, en r = a, T = (er ) = (p)(er ) er = p er .
1 d
(ru) = 2A ru = Ar2 + B u = Ar + B/r
r dr
= (tr) 1 + 2
= 2( + )A 2B/r2 er er + 2( + )A + 2B/r2 e e + 2A ez ez
4.2 rr (r = b) = 0 2( + )A 2B/b2 = 0
rr (r = a) = p 2( + )A 2B/a2 = p
1 a2 p 1 a2 b2 p
= A = 2 2
et B = ,
2b a + 2 b2 a2
`2 p `4 p
A 1 et B `2 .
`2 p `2 p
230 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
0
Limite delasticite = 0 = 170 MPa max = lim = = 85 MPa .
2
6.1
Direction radiale propre pour la valeur propre rr = A B/r2 . Dans le domaine solide
+ B B
r2 b2 = r 2 < b2 = A < 0.
A r2
= 1 = = 2A + 2(A+B/r2 ) , 2 = zz = 2A , 3 = rr = 2A + 2(AB/r2 )
2B
= max = .
r2
p
6.3 Max max (r) atteint en r = a, paroi la plus sollicitee = max = .
1 a2 /b2
max grande si a est petit : faible rayon interieur = concentre les contraintes ;
max petite si b grand : grand rayon exterieur = meilleure repartition des contraintes,
dans volume solide plus grand ;
Tuyau tres mince, b a+ = danger !
b proportionnel a a ;
charge p = b ;
materiau plus resistant 0 = b .
D.4. Corriges du chapitre 4 - Solides elastiques 231
(a) (b)
350
300
250
max [MPa]
200
150
100
50
0
35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
b [cm]
Fig. D.3 Probleme 4.4. a : Contrainte tangentielle maximale max dans le tuyau sous pression, en
fonction du rayon exterieur b. La ligne rouge horizontale signale la limite choisie pour le dimensionnement.
b : Champ de deplacement amplifie dun facteur 40. Il y a une faible variation de norme entre r = a, ou
u = 181 m, et r = b, ou u = 171 m.
b = 40,2 cm d = 5,2 cm
8
A = 1,30 104 et B = 0,476 cm2
Les valeurs des rayons interieur et exterieur sont typiques du circuit primaire dun reacteur
a eau pressurise francais de 1300 MW electriques. Plus precisement, dapres des donnees
transmises par Denis Buisine dEdF, que je remercie, on a dans ces circuits, en branche
froide,
a = 35 cm et b = 41 cm .
Le rayon exterieur est superieur a celui calcule ici non pas tant a cause des effets thermiques
evoques ci-dessus, ni parce que la marge de securite vis-a-vis de la resistance a la surpression
serait plus grande, mais plutot parce que lon prend en compte, pour le dimensionnement,
des accidents eventuels, qui modifient notablement le fonctionnement des circuits et le type
de sollicitations mecaniques quils subissent.
2.a u = u0 er er + (u/r)(e e + e e ) .
3.b u = Ar + B/r2 .
4 = (A 2B/r3 ) er er + (A + B/r3 ) (e e + e e ) .
6.a (r = a) (er ) = 0 et (r = b) er = p er .
b3 p a3 b3 p
6.b A = et B = .
b3 a3 3 + 2 b3 a3 4
`3 p `6 p
A 1 et B `3 en coherence avec u = Ar + B/r2 ` .
`3 p `3 p
A < 0 et B < 0 la fonction deplacement radial u < 0 : la coque sous pression exterieure, i.e.,
soumise a des forces surfaciques centripetes, a un mouvement centripete.
3|B| 3 p
= max (r) = fonction decroiss. de r = max. en r = a : max = .
r3 4 1 a3 /b3
7.b
D.4. Corriges du chapitre 4 - Solides elastiques 233
p p a
max = . (D.6)
4 4 e
Proportionnalite /p caracteristique dune reponse lineaire. Il est physique, de plus, que p materiau
plus sollicite max .
Epaisseur relative 0 max +, la sollicitation mecanique du materiau devient extreme,
car il doit supporter le passage de p a 0 sur une tres petite epaisseur.
7.c
a p
e = = 6,3 cm . (D.7)
4 lim
b2 a2 b2
9 = p et 0 = p .
b2 a2 b2 a2
T = ez = F/S ez zz = F/S .
Au bilan zz = .
| 0 |
11 1 = rr = 0 /r2 , 2 = zz = , 3 = = + 0 /r2 = max (r) = 2
r
fonction decroissante de r maximum en r = a :
p p p a
max = 2 2
= (D.8)
1 a /b 2 2 e
a p
ec = = 2es = 12,6 cm . (D.9)
2 lim
avec es lepaisseur de la coque spherique (D.7). La coque cylindrique resiste moins bien a la
pression que la coque spherique, puisquelle doit etre deux fois plus epaisse pour assurer
une protection identique. Choisir pour le sous-marin une coque cylindrique aurait requis beaucoup
plus dacier : le volume dacier serait passe grosso modo, en oubliant les couvercles ce qui est
defavorable, a
Vacier cylindrique ' (b2 a2 ) 2a ' 4a3 c
234 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
0 0
F - 0 -2 0 - 0
Fig. D.4 Probleme 4.5. a : en reponse a la question 10, schema de la coque cylindrique etudiee, avec ses
couvercles, les forces F et F subies par ces couvercles a cause de leau exterieure, les vecteurs contraintes
T sur les couronnes terminant la coque. b : en reponse a la question 12.a, cercles de Mohr du tenseur des
contraintes dans une coque spherique infiniment mince (D.12) ; ils sont degeneres puisque loppose de
0 = p/(2) est valeur propre double. c : en reponse a la question 12.b, cercles de Mohr du tenseur des
contraintes dans une coque cylindrique infiniment mince (D.14).
avec s = es /a = c /2. Il aurait donc fallu doubler le volume dacier, au moins, dou un surcout
et surtout une augmentation sensible de la masse de lhabitacle
m = acier (Vacier cylindrique Vacier spherique ) ' acier 4a3 s ' 1,9 t .
Cela serait considerable, pour un petit sous-marin comme le Deepsea Challenger ; on comprend
donc le choix dune coque spherique.
III Comparaison analytique des deux geometries dans la limite de coques tres minces
12.a Dans la coque spherique,
rr p r (D.10)
p
= . (D.11)
2
p
(e e + e e ) . (D.12)
2
12.b Dans la coque cylindrique, la formule (D.10) est encore valable. De plus
p p
et zz . (D.13)
2
D.4. Corriges du chapitre 4 - Solides elastiques 235
p p
e e ez ez , (D.14)
2
13.a Un petit element de coque cylindrique, situe dans le secteur angulaire [, + ] avec
infinitesimal, et dans le domaine de coordonnee axiale [z/2,z/2], est represente figure D.5. Les
forces auxquelles il est soumis, dans le plan xOy, sont
la force due a la surpression exterieure Fp = p a2 z ex ;
la force due aux contraintes azimutales (D.13) sur la frontiere en +, F+ = 0 e z e (+)
avec 0 = p/ ;
la force due aux contraintes azimutales (D.13) sur la frontiere en , F = 0 e z e () ;
on a note
les vecteurs azimutaux des bases locales en et , qui donnent les directions normales aux
frontieres. Au bilan les composantes dans la direction x des forces F+ et F compensent bien la
force exterieure Fp ,
p
F+ + F ' 2 e z ex = Fp . (D.15)
e/a
On a un effet darche , les contraintes azimutales elevees dans la coque cylindrique equilibrant
la surpression exterieure, de proche en proche .
Dans la direction z perpendiculaire au plan de la figure D.5, on a simplement transmission rec-
tiligne de la contrainte axiale zz = F/S avec les notations de la question 10, de proche en
proche.
13.b Dans une coque spherique, au contraire leffet darche existe dans les deux directions
perpendiculaires et (on pourrait faire 2 figures analogues a la figure D.5, lune dans la
direction , lautre dans la direction ), en consequence les contraintes correspondantes, necessaires
pour equilibrer la meme surpression, sont moitie en valeur absolue,
| | = | | = 0 /2 (D.16)
avec toujours 0 = p/. Ceci explique la double efficacite de la coque spherique, par
rapport a la coque cylindrique.
y
F+
Fp
11
00
00
11
O x
Fig. D.5 En reponse a la question 13.a du probleme 4.5, equilibre dun element de coque cylindrique
dans le plan xOy.
Fig. D.6 Exemples de coquilles initialement spheriques ayant subi un flambement sous leffet
dune compression ; calculs numeriques de Vliegenthart & Gompper (2011).
Lhypothese de petite epaisseur nest pas tres bonne ici, et ne devrait pas etre utilisee
pour le dimensionnement. Elle a ete choisie, cependant, pour obtenir des formules et des
tendances simples. Calculer e sans cette approximation nest pas beaucoup plus complique
(faites-le !)... Je dois dailleurs avouer avoir regle la valeur de lim pour obtenir lepaisseur
reelle de la coque avec un calcul en coque mince, ce qui est discutable...
On peut sinterroger sur les hypotheses de la question 10, concernant les couvercles et
leurs effets sur une coque cylindrique. La geometrie etudiee etant peu elancee (hauteur =
diametre), le principe de Saint Venant ne sapplique surement pas. De plus, les couvercles
peuvent dans leurs plans se dilater sous leffet de la surpression quils subissent... Optimiser
la forme et la conception dune telle coque cylindrique avec couvercles est un probleme
difficile, qui ne peut etre resolu precisement que numeriquement.
Le critere de dimensionnement utilise ici a une certaine pertinence, mais il faut aussi prendre
en compte des phenomenes plus compliques possibles, comme un flambement des
coques, qui peut les conduire a un changement de forme (plus ou moins) brutal, avec
perte de la symetrie spherique. Le calcul de ces phenomenes relevant des instabilites est
beaucoup plus complexe, comme en temoigne lexistence dune publication tres recente sur
ce sujet, a savoir larticle de Vliegenthart & Gompper (2011), dont la figure D.6 est tiree...
On recommande aux lecteurs les plus curieux la consultation de cet article, en acces libre...
D.4. Corriges du chapitre 4 - Solides elastiques 237
2.2 Invariance par symetrie par rapport a nimporte quel plan passant par laxe Oz.
3 zz = 0 et rz = zr = z = z = 0.
4.1 u
r ur
0
r z
ur
0
[G] =
r
0 .
uz uz
0
r z
4.2 ur 1 ur uz
0 +
r 2 z r
ur
[] = 0 0 .
r
1 ur uz uz
+ 0
2 z r z
5 Composante radiale :
rr rr
+ + r = 0 ,
r r
soit une equation aux derivees partielles lineaire non homogene.
6 n = 3, = (3 + ).
d2 f df
r + 3 + (3 + )r = 0
dr2 dr
dordre 2, lineaire, inhomogene.
Solution de lequation homogene associee : avec F = df /dr,
dF
r = 3F F = A1 r3 f = A r2 + B ,
dr
ces solutions constituent bien un espace vectoriel de dimension 2 ; ainsi m = 2.
Solution particuliere de lequation complete : sous la forme dun monome f = r2 ,
3+
= .
8
1 + 3
9 = .
8
3( 1)( + 1) 1
10 rr = r2 + B(z) ,
8E E
( 1)( + 1) 1
= r2 + B(z) ,
8E E
(1 + ) 2
zz = r2 B(z) .
2E E
11
( 1)( + 1) 1
ur = r = r3 + r B(z) . (D.1)
8E E
12
uz (1 + ) 2 (1 + ) 2
= zz = r2 B(z) = uz = r2 z B1 (z) + C(r) . (D.2)
z 2E E 2E E
ur uz 1 (1 + )
13.1 + = r B 0 (z) + r z + C 0 (r) = 0
z r E E
1 (1 + ) (1 + )
= r B 00 (z) + r = 0 B 00 (z) =
E E 1
(1 + )
B(z) = z 2 + b1 z + b0
2( 1)
(1 + ) 1
B1 (z) = z 3 + b1 z 2 + b0 z + b1 .
6( 1) 2
1
13.2 C(r) = b1 r2 + c0 .
2E
!
(1 + ) 2 (1 + ) 2 1 2 1
14 uz = r2 z z3 b1 z + b0 z + b1 + b1 r2 + c0
2E 3( 1)E E 2 2E
2 1
= uz (r, z = 0) = b1 + b1 r2 + c0 ,
E 2E
donc lhypothese de symetrie qui annule cette fonction de r se traduit notamment par b1 = 0. Ainsi
(1 + )
B(z) = z 2 + b0 .
2( 1)
16.2
h
3+ (1 + )
Z
rr (a,z) dz = 0 b0 = a2 h2 .
z=h 8 6( 1)
3+ (1 + )
rr = (a2 r2 ) + (z 2 h2 /3) . (D.3)
8 2( 1)
17
(1 + )
= [(3 + )a2 (1 + 3)r2 ] + (z 2 h2 /3) . (D.4)
8 2( 1)
D.4. Corriges du chapitre 4 - Solides elastiques 239
0.4
0.3
/(a2 )
0.2
0.1
0.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
r/a
Fig. D.7 Dans le disque en rotation rapide du probleme 4.6, profils des contraintes rr /(a2 ) en trait
continu, /(a2 ) en trait pointille, dapres le modele de lequation (4.79).
Comme est un reel dordre 1, a2 h2 , le second terme de cette somme, dordre h2 , est bien
negligeable devant le premier, dordre a2 .
Pour : raisonnement similaire.
rr 13 2 1
19.1 = (a r2 ) et = (13a2 7r2 ) dou les graphes de la figure D.7.
32 32
19.2 rr et > 0 = plus petite valeur propre de est toujours 3 = 0.
> rr = plus grande valeur propre est toujours 1 = .
Donc
1
max = = (13a2 7r2 ) ,
2 64
maximale sur laxe, valant alors
13 2 2
max = a .
64
Critere de Tresca :
8 lim 1
r
max = lim lim = .
13 a
lim car dans un materiau plus dense les forces centrifuges sont plus intenses.
a lim car si le disque est plus grand la valeur maximale des forces centrifuges est
plus elevee.
lim lim car si le materiau est plus resistant il supporte mieux les forces centrifuges.
rad tours
19.3 lim = 2480 ' 23700 tres elevee.
s min
a:
b:
c:
r
Fig. D.8 Probleme 4.6. Representations dun quart de section, dans le domaine x > 0, z > 0, dun
disque au repos (a) puis en rotation rapide (b), avec un maillage permettant un suivi lagrangien. c :
Representation dune demie section, dans le domaine x > 0, du champ max (r,z) avec des niveaux de
couleurs, du bleu correspondant a des valeurs faibles au rouge correspondant a des valeurs elevees.
une comparaison a des solutions numeriques plus precises obtenues par elements finis, pour
tester le principe de Saint Venant. Il presente des figures du champ de deplacements, que
lon peut deduire immediatement des equations (D.1) et (D.2) de ce corrige, compte tenu
aussi des resultats des questions 14 et 16 :
1 (1 + )
ur = r [(3 + )a2 (1 + )r2 ] + r (h2 /3 z 2 ) , (D.5)
8E 2E
2 (1 + )
uz = [(3 + )a2 2(1 + )r2 ] z (h2 z 2 ) z . (D.6)
4E 3E(1 )
Des representations en section meridienne de la configuration de reference du disque et de la
configuration actuelle du disque (deformee, avec des amplitudes exagerees) sont donnees sur
les figures D.8a,b 2 . On observe bien que la matiere du disque est poussee vers lexterieur,
et que les deformations (donc les contraintes) sont maximales pres de laxe, ce que confirme
le trace du champ max (r,z) sur la figure D.8c (ce champ a ete calcule en partant des
expressions les plus generales D.3 et D.4 de rr et ).
Un exemple de machines tournantes tres rapides est donne par les Moteurs Grandes Vitesses
de General Electrics Power Conversion, qui peuvent fonctionner jusqua 20000 tours/min,
et servent a la liquefaction continue de gaz naturel, en etant couples a un compresseur.
2. Jai retrace ces figures pour verifier, elles sont tres similaires a celles de Forest (2009), qui sont sans doute
justes, meme si la formule analytique (14.88) de ce cours est erronee : le facteur dans le deuxieme terme doit etre
remplace par un facteur 2 .
D.4. Corriges du chapitre 4 - Solides elastiques 241
x x
Couple applique induit torsion dans le sens direct autour de Oz : rotation differentielle de
chaque section doit se faire dans le sens direct, i.e. > 0. `1 . Forme de deplacement
pertinente car u = 0 dans le plan dencastrement, mouvement de torsion lie au couple applique...
I.2 a L1 a L1 1 .
I.3 u = z (e er er e ) + r e ez .
I.5 Travail en difference entre configuration de reference et actuelle, poids deja present dans la
configuration de reference ne pas linclure dans la configuration actuelle. Equation de Na-
vier :
0 = ( + 2)divu rot(rot u)
verifiee car
divu = tru = 0
et
rot u = r er + 2z ez = rot(rot u) = 0 .
1
I.6 = r (e ez + ez e ) .
2
I.7 = 2 .
I.10 En z = L1 ,
Z a Z 2 Z a Z 2
ez r dr d = 0 et rer ez r dr d = ez .
0 0 0 0
I.11 = a4 .
2
I.12 = 0,227 m1 ; L1 = 0,045 1 donc petits deplacements et petite transformation ;
correspond a un angle de rotation de la section eloignee, en z = L1 , de 2,6 degres seulement. Tenseur
des contraintes a la peripherie de lordre de = a = 150 MPa , ce qui est plutot eleve.
242 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
y y y y
Fig. D.9 Probleme 4.7. Representation des champs u2D (a), du2D (b), du2Ddef (c), du2Drot (d). Lorigine
de laxe des z, i.e., son intersection avec laxe des y, est decalee : elle se trouve en z = L0 . Entre les figures a
et b le champ du2D a ete amplifie dun facteur 5 ; ensuite les echelles des figures b, c et d sont identiques. En
complement, on a represente en pointilles sur la figure c la direction de coupe virtuelle subissant la traction
maximale, qui va definir la direction de rupture fragile, cf. la partie II du probleme.
dx2D = a ey d + ez dz = ey dy + ez dz
= du2D = a dz ey ,
ce que lon pouvait trouver en utilisant le gradient... Ce champ figure D.9b est analogue a un
champ de cisaillement pur.
1 1
dudef = dx2D = a (ey ez +ez ey )(ey dy + ez dz) = a (ey dz +ez dy) = du2Ddef
2 2
Ce champ figure D.9c correspond a un etirement dans la direction de la 1ere bissectrice, une
contraction dans la direction de la 2eme bissectrice du plan yz.
1 1 1
= a ex + L0 ez = durot = dx2D = L0 ex dy + a ey dz a ez dy
2 2 2
1 1
= du2Drot = a ey dz a ez dy .
2 2
1
Ce champ figure D.9d correspond a une rotation autour de ex , dun angle 2 a, associee au
differentiel de rotation entre les sections z = L0 et z = L0 + dz. On a
i.e. le mouvement local est la somme des etirement, contraction et rotation que nous venons
de decrire.
D.4. Corriges du chapitre 4 - Solides elastiques 243
II.2
3 2 1
II.4 dx nt dx nt = 0 a d + dz = 0 z = z0 a
helice dont le demi-pas serait a, ce qui veut dire que lorsque lon fait un demi tour sur la
peripherie, la courbe de rupture descend , dans la direction axiale, de 1,6 diametre environ. Ce
que lon constate sur la craie la plus a droite et la fonte de la figure du sujet. Ce modele est donc
pertinent.
F F
III.1 = ez ez , de valeurs propres 1 = 0 = , 2 = 3 = 0 .
A A
3 1
n1 = ez .
dx n1 = 0 dz = 0 z = z0 cercle,
= 0 ez ez + 0 (e ez + ez e )
avec
F 2r
0 = traction, 0 = r = torsion.
A a4
244 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
z = z0 a ,
nest valable que sur un domaine angulaire dextension strictement inferieure a 2. En effet,
une fois quune fissure en helice sest creee, sous leffet de la traction associee a la
torsion, puis agrandie sur un domaine angulaire de grande extension 2 avec
de lordre de /4, letat mecanique du systeme seloigne franchement de celui modelise ici.
La fin de la rupture se fait alors sur un segment pratiquement oriente dans la direction
axiale, comme on le voit sur la figure 4.10b, dans le cas de la rupture de leprouvette en
fonte.
D.4. Corriges du chapitre 4 - Solides elastiques 245
d = 0 kdx dt = 0 c = dx/dt = /k .
s
E
3.1 Parametres de controle : (, , E,) ou (k, , E,) = c = F() .
3.2 F() ' 1 = c ' 5100 m/s .
2u
= ( + )divu + u .
t2
5
+ 2 0 0
[L] = k 2 [M ] avec [M ] = 0 0 .
0 0
6
+ 2 0 0
c2 [U ] = 1 [M ] [U ] avec 1 [M ] = 1 0 0
0 0
c2 = valeur propre, [U ] = vecteur propre de 1 [M ].
p
6.1 Ondes caracterisees par u 6= 0, v = w = 0, pour lesquelles c1 = ( + 2)/ ; comme
u = u cos(kx t)ex on a la representation suivante (points representent des positions ou le
vecteur deplacement est nul a linstant considere) :
y
1
0 1
0 1
0
1
0 1
0 1
0
1
0 1
0 1
0
1
0 1
0 1
0
1
0 1
0 1
0
x
1
0 1
0 1
0
1
0 1
0 1
0
11
00 11
00 11
00
11
00 11
00 11
00
11
00
00
11
11
00
00
11
11
00
00
11
x
246 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
(x,t) = 0 [1 divu(x,t)] = 0
ni contraction ni dilatation.
9 c1 = 5700 m/s , c2 = 3200 m/s , beaucoup plus elevees que la vitesse du son dans lair, et de
lordre de grandeur estime par lanalyse dimensionnelle.
10.2 Comme et > 0 (resulte de ce que E et > 0, et de ce que < 1/2), ondes du type 1 se
propagent toujours plus vite quondes du type 2. En cas de seisme, evenement violent qui excite a
priori les deux types dondes, les ondes du type 1 ondes Primaires arrivent donc toujours
avant les ondes du type 2 ondes Secondaires .
Temps mis par les ondes P pour aller de Los-Angeles a Nancy :
L
T = avec L ' ||xNancy xLos-Angeles ||
c1
si on suppose une propagation rectiligne (raisonnable). En coordonnees geographiques,
Nomenclature :
onde P onde S
Manteau P S
Noyau liquide K
Graine solide I J
Fig. D.10 Gauche : structure interne de la Terre mise en evidence par tomographie sismique (figure
tiree de lEncyclopdia Universalis 2005). De lexterieur vers linterieur : manteau, noyau liquide puis graine
solide. Les differents chemins suivis par differentes ondes emises a partir dun foyer sismique F sont
traces. Droite : nomenclature des differents types dondes.
la masse volumique etant estimee par une modelisation globale de lequilibre de la Terre
auto-gravitante.
Cest lobjet de la tomographie sismique que de preciser par ces methodes la structure
interne de la Terre, qui nest pas une boule homogene !.. On doit prendre en compte pour cela
des phenomenes de reflexions & refractions regies par des lois de type Snell-Descartes
aux differentes interfaces entre le manteau, le noyau liquide et la graine interieure solide,
comme le montre la figure D.10.
Les ondes S nont pas dequivalent dans les fluides, ou elles sont amorties a cause de la
diffusion visqueuse3 . Cest comme cela que la nature liquide du noyau a ete mise en evidence.
1.c I (F `)/(F `3 ) `4 .
3. Voir par exemple le chapitre 3 de Plaut (2017b).
248 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
4 3
1.d I = h e.
3
1.e I = a4 .
4
xx
2 = ex ex xx (ey ey + ez ez ) .
E E
C C C C C
3 = , = , = , = , = .
E 2E 2E 2E E
4.a v(X) = X2 .
2EI
3
4.b En changeant en , v = X2 .
8Eh3 e
4.c
d2 v
2
= (D.7)
dX EI
est le couple, chargement mecanique cause de la deformation et des deplacements de la
poutre ; en elasticite lineaire, il est normal que l effet produit v 00 (X) soit lineairement
proportionnel a ; de plus > 0 comme represente sur la figure du sujet induit une fibre
moyenne deformee convexe, on a bien > 0 v 00 (X) > 0.
E mesure la rigidite du materiau constituant la poutre, il est normal que quand E augmente
la derivee seconde des deplacements diminue.
Plus le moment quadratique I est eleve plus la poutre est chargee en matiere et de section
droite large, il est normal que quand I augmente la derivee seconde des deplacements
diminue : on deforme plus facilement une poutre mince quune poutre epaisse, toutes choses
etant egales par ailleurs.
Conformement a lenonce, on etend la formule (D.7) a une etude globale, en ecrivant alors
d2 v
2
= . (D.8)
dx EI
6 v 00 (x) = 2 v(x)
p
avec = F/(EI).
EI
Fc = F1 = 2 . (D.9)
L2
3 E d4
7.b Fc = .
64 L2
8 Si on ne tenait compte que des contraintes dues au moment de flexion, on aurait sur la coupe
un champ de vecteurs contraintes
(a) (b)
Fig. D.11 Probleme 5.1. Champ de vecteurs contraintes sur une section dune poutre en flambement,
(a) sans prendre en compte leffort de compression (b) en prenant en compte leffort de compression.
avec Y lordonnee mesuree par rapport au centre de la coupe, comme represente sur la figure D.11a.
La partie superieure de la poutre est en extension donc tiree par la partie aval, la inferieure de la
poutre est en contraction donc comprimee par la partie aval.
Cependant, il faut aussi tenir compte de la force F appliquee en A, qui induit une contrainte
de compression dans toute la poutre, contrainte que lon peut supposer en 1ere approximation
homogene : en notant S laire dune section droite, le vecteur contrainte correspondant
0
T = F/S = (F/S)ex .
Au total
0
T + T = F (v(L/2)Y /I 1/S)ex
F L3
max |v(x)| = |v(L)| = = 20,8 cm
x 3EI
en utilisant les parametres de lenonce et I = 4h3 e/3.
1.1 z = h0 V t.
1.2 Symetrie cylindrique, coherence avec les conditions limites en deplacement, possibilite de glis-
sement aux parois ne frottant pas...
Vt
A = 0 et B = .
h0
1.3 t h0 /V .
Vt
1.4 u = ez ez independant de X transformation homogene.
h0
On est aussi en petite transformation, ||u|| 1.
Vt
1.5 Hypothese de linearite = = [ (er er + e e ) + ( + 2) ez ez ]...
h0
Vt
1.6 Fpresse = S ( + 2) ez .
h0
1 S
1.7 Ep = ( + 2) (V t)2 , Ec = constante...
2 h0
2 Oscillations ou vibrations ...
D.7. Corriges du chapitre 7 - Fluides newtoniens 251
Formule integrale de la divergence appliquee a T = gz1, et calcul tensoriel, qui donne notamment
div T = gz = g
ZZ
= gz n d2 S = mfluide g = poussee dArchimede.
t
Exercice 7.2 Calcul tres simplifie de laltitude atteinte par un ballon dhelium leste
1 He = MHe p0 /(RT0 ) = 0,17 kg/m3 ; V = 4a3 /3 ; mHe = He V = 45 t .
2 m = FA P = mair g mg = [(air He )V ms ]g .
|{z} |{z}
poussee dArchimede poids
z = air = .
3.b zm ' 16 km .
1.b Le fluide visqueux a besoin detre pousse dans la direction de lecoulement : pression
motrice superieure en amont de lecoulement, b p = pb(0)bp(L) = GL > 0 G > 0.
3.a Cf. le corrige de lexercice 6.1, le calcul est identique meme si la signification physique differe.
Lequation (7.119) signifie que les forces de pression hydrostatique qui sappliquent sur la frontiere
de D compensent exactement le poids de D.
dp
ZZ ZZZ ZZ
2 3
= v(v n) d S = g d x + T d2 S
dt D D D
2. Pour une coupe virtuelle de normale n = er , le fluide a lexterieur est plus proche de la
paroi donc plus lent, par frottement visqueux il soppose a lecoulement plus rapide du fluide
interieur dans la direction z, dou Tv = ez avec > 0.
Tv = Tv paroifluide = er = (a) ez .
Le fluide, pousse dans la direction z par la pression motrice, tire le tuyau dans la direction z.
dp
ZZ ZZ ZZ
2 2
= v(v n) d S = v(v n ) d S + v(v n+ ) d2 S .
dt D Se Ss
dp
ZZ ZZ
2
= (GLez ) d S + (pm er ) d2 S ,
dt pression
Ss Sl
ou la 2de integrale est nulle par symetrie axiale : deux points diametralement opposes sur Sl ont
meme pm mais des vecteurs radiaux opposes =
dp
= GLez r02 .
dt pression
Pour ce qui est des termes visqueux, entre un point de Se et un point de Ss se correspondant par
z 7 z + L, on a le meme r donc le meme tenseur des contraintes visqueuses = 2D, mais, par
contre, des normales n et n+ opposees. Les contraintes visqueuses T et T+ sont donc opposees
et se compensent =
dp
ZZ
= Tv d2 S = (r0 ) ez 2r0 L .
dt visqueux
Sl
dp dp dp Gr0
= 0 = + = GLez r02 (r0 ) ez 2r0 L = (r0 ) = .
dt dt pression dt visqueux 2
(D.10)
Traduit lequilibre dynamique entre les forces de pression motrice en amont et en aval, qui
sont le moteur lecoulement (terme GLr02 dans le bilan de quantite de mouvement), et les forces
de frottement visqueuses laterales, exercees par le fluide lent proche de la paroi, qui sopposent a
cet ecoulement (terme (r0 )2r0 L dans le bilan de quantite de mouvement). Quand r0 , (r0 )
parce que le domaine D de sections dentree-sortie beaucoup plus petites subit des forces de pression
motrice plus faibles, qui compensent donc des forces de frottement visqueuses laterales plus faibles.
5.b Le meme bilan peut-etre fait, la seule difference est que les frottements exterieurs lateraux ne
sont plus exerces par du fluide (lent proche de la paroi) mais directement par la paroi :
dp dp dp
= 0 = + = GLez a2 p ez 2aL = p = Ga/2 . (D.11)
dt dt pression dt visqueux
254 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
La force totale sobtient par integration de ce vecteur sur la surface laterale Sl , bord de , interface
entre le fluide et la paroi, definie par r = a, [0,2], z [0,L]. Pour calculer la contribution de
la pression hydrostatique, on applique (7.119) a D = , dont le bord est compose de Sl , plus
une section dentree Se definie par r [0,a], [0,2], z = 0, de normale sortante n =
ez ;
une section de sortie Ss definie par r [0,a], [0,2], z = L, de normale sortante n+ = ez :
ZZ ZZ ZZ
2 2
mg + (ph er ) d S + (ph n ) d S + (ph n+ ) d2 S = 0 ,
Sl Se Ss
car en deux points diametralement opposes de Sl , pm = Az est la meme, tandis que les vecteurs
radiaux locaux sont opposes ; les deux termes correspondant dans lintegrale se compensent donc.
Contribution visqueuse ZZ
Fv = (p ez ) d2 S = p ez 2aL .
Sl
Au total
Fparoifluide = Fh + Fm + Fv = mg p ez 2aL .
Principe de laction-reaction =
F0 = Ffluideparoi = F = mg + p ez 2aL .
Le 1er terme correspond au poids du fluide, que le tuyau doit supporter. Le 2eme terme correspond
aux frottements visqueux du fluide, qui tire le tuyau dans la direction z de son ecoulement.
Force tres moderee, dun ordre de grandeur inferieure a celle due au poids. Ceci est du a la faible
viscosite du petrole, et a la vitesse moderee de lecoulement.
8.b Comme le nombre de Reynolds Re = V 2a / = 1,02 104 4000 ,
cet ecoulement est turbulent et non laminaire. Dans le cas de lapplication numerique proposee,
ce modele est faux.
5 fois plus grand que dans lhypothese laminaire, a cause de la dissipation due a la turbulence.
En consequence la contrainte parietale
p = Ga/2 = 50,3 Pa ,
elle aussi 5 fois plus grande que dans lhypothese laminaire. La force visqueuse correspondante
serait elle aussi 5 fois plus grande.
Exercice 7.5 Equilibre dun liquide en rotation autour dun axe vertical
1 En coordonnees cylindriques (r,,z) daxe Oz, fe x = 2 rer force centrifuge.
2 Equation de Navier-Stokes 0 = bp + fe .
1 2 2
Or fe x = x U avec U x = r , donc
2
1 2 2
0 = (b
p U) p = p0 gz + U = p0 gz + r .
2
Par contre dans lair leger p ' patm donc, par continuite des pressions a linterface liquide-air,
1 2 2 p0 patm 2 2
p = p0 gz + r = patm z = + r .
2 g 2g
Surface = portion de parabolode, comme visible sur le film de Dan Russell [chercher rotating
water container dans YouTube], donc la photographie suivante est extraite :
256 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
v(y,t) 2 v(y,t)
= = .
t y 2
2 (1)n V h2
3 vn (t) = exp(n2 t/ ) avec =
n 2
+
2V X (1)n y
= v(y,t) = v (y) + sin n exp(n2 t/ ) .
n h
n=1
= pb = F (r) + G(r) .
5 Petit inter-rayon.
7 Ecoulement doit rester laminaire. Des instabilites avec brisures de symetrie se declenchent
lorsque augmente, cf. le chapitre 1 de Plaut (2017b) par exemple.
2 Cinematiquement
dp
= m Vj ex .
dt
Dynamiquement, en negligeant les effets de pesanteur et supposant que la pression est uniforme,
egale a pa , sur Sje Sa Sjs ,
dp
ZZ ZZ
= (pa n d2 S) + Fmur eau = pa n d2 S Feau mur
dt Sje Sa Sjs Sm
dou
Feau mur = pa ex Am + m Vj ex .
Comme le terme de pression serait aussi present en labsence de jet, le terme du au jet est
ou 32,5 kgF ; cest une force elevee, sur une petite surface...
2
3 Ve = 2,6 m/s. Conservation de la charge = pe ' pj + (V Ve2 ) = 6,0 bars .
2 j
Vj2
4 Hpompe = Htuyau h + = 53,6 m deau .
2g
5 Ppompe = 5,25 kW.
8.3 Entre les deux situations precedentes il y a surtout, dans le cas robinet ouvert, leffet de
reaction en m (Vtuyau Vj ), qui cree pour le pompier un recul.
Vs2
pe = ps + + g(zs ze ) = 7,95 bars
2
258 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
ou
Vs2
= 6,97 bars
2
domine largement le terme du au changement daltitude, puisque la variation daltitude est tres
modique,
g(zs ze ) = gl = 0,029 bar .
Pression pe tres elevee necessaire pour faire converger et accelerer leau jusqua sa vitesse de sortie
(135 km/h).
3.1 Dans
dp (v) 3
ZZZ ZZ
= d x + v(v n) d2 S ,
dt t t t
le terme de volume est nul parce que lecoulement est stationnaire. Dans le terme de surface la
contribution de la surface laterale solide est nulle (cf. v n = 0). Ainsi
dp
ZZ ZZ
2
= v(v n) d S + v(v n) d2 S = mVe ex mVs ez .
dt Se Ss
Premier terme freinage de leau dans direction ex : elle a perdu la vitesse Ve quelle avait
dans cette direction du fait du coude. Deuxieme terme acceleration a la vitesse Vs vers le
bas.
3.2 Loi fondamentale de la dynamique de Newton :
dp
= m0 g + F + pe ex Se + ps ez Ss .
dt
3.3 Principe action-reaction :
0
F = Feau tuyau+lance = Ftuyau+lance eau = F = m0 g + pe Se ex + ps Ss ez + mVe ex + mVs ez .
dou
Fair tuyau+lance = patm ex Se patm ez Ss .
Systeme solide a lequilibre donc
0 00 00 0
(m1 +m2 )g + F + F patm (Se ex + Ss ez ) = 0 F = (m1 +m2 )g F + patm (Se ex + Ss ez ) .
Ainsi
00 0
F = (m1 + m2 )g F + patm (Se ex + Ss ez ) .
avec M = m0 + m1 + m2 .
D.7. Corriges du chapitre 7 - Fluides newtoniens 259
6
0
1
0
1
z 0
1
0
1
z
0
1
0 0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0 0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1 O O0
1
0
11
0 x 0
1
11
00
0
11
0
111111111111111111111111
000000000000000000000000
0
1
0
1
x 0
1
11
00
11111111111111111111111
00000000000000000000000
0
1
0
1
0
1
0 0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0 0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0 0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1 0
1
0
1
00
11000
111
0111 0
1
00
11 00
11
1
00
11
0
1000 0 11
1
00
11
0
1 00
00
11
0
1
11000
111 00
11
0
1 00
11
00
1
00
11
111
000
0111
000
11
00 11
00
0 11
1
00
11 00
0
1
00
11
0000
111 0
1
00
11 00
11
1
00
11000
111
0111
1
0
1
00
11 00
11
0 11
1
11
00
0
1000 11
00
0
1 00
00
11
00
1
00
11000
111
100
11
00
11
00
000
111 00
11
0
1
11
00
11
00
00
1111
0000
11
1
0
1
0
00
11
1
00
1
11
00
11
0 0
1
11
00
11
00
11
001
0
1
0
1
111
000
11
00
0
1
0
1
111
000
0
111
00
111
000 111
000
Pour le 2eme systeme le repere O0 x0 y 0 z 0 joue le meme role que le repere Oxyz du 1er , avec
ex0 = ex , ey0 = ey , ez 0 = ez .
Terme de pesanteur limite la levitation ; terme de reaction moteur de cette levitation. Par
rapport a la situation dun tuyau et lance rectilignes horizontaux, vue dans le probleme 7.3, leffet
de pression tres fort, en (pe patm )Se , joue maintenant dans les directions horizontales et pas
dans la direction verticale de la propulsion. Cet effet est donc toujours la, mais ce sont maintenant
les coudes qui resistent et transmettent cet effort au cadre. De plus ces efforts horizontaux de
resistance a la pression sannulent entre 2 systemes symetriques.
Vehicule ' Renault 5, poids a vide ' 750 kg. Les pompiers se sont aides en demontant divers
elements de la voiture (moteur, sieges, etc...) dans le but de lalleger : cette experience na pu etre
menee avec une voiture standard.
8 Tuyau de pompier, en caoutchouc, est lisse, donc le coefficient de perte de charge ne depend
que du nombre de Reynolds
Ve 2a
Re = = 2,3 105 .
Loi de Karman-Nikuradze donne = 0,015 dou
Ve2 L
Htuyau = = 0,84 metre deau.
2g 2a
260 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
10 Notant avec des indices l la surface libre du reservoir, a ladmission de la pompe, supposant
quil ny a pas de pertes de charge entre la surface libre et ladmission, et que cette surface libre
est quasiment au repos, on a
patm pr 0 Ve2
H = Hl Hr = Ha Hr = Hpompe = zl zr + + ,
g 2g
dou
pr patm V2
Hpompe = h0 + + e = 75,9 metre deau.
g 2g
Puissance developpee est donc
Bilan dexperiences
Hsinguliere ' 1 cm deau , ' 0,038 ' Blasius , Hreguliere (0 L) ' 50,6 cm deau...
Modelisation
D 2
1 V = |h| .
d
D4 L D2
2 h = Hreg (0 L) = h2 avec Re = |h| .
2gd5 d
3/7
7 h0 3/7
3.1 Blasius = h = |h| = h4/7 avec = 0,813 D2 L4/7 h0 d19/7 1/7 g 4/7 .
3
Application numerique : = 317 s = 5 min + 17 s.
7 h0
3.2 h(t) = h0 (1 t/ )7/3 = h(t) = (1 t/ )4/3 .
3
4 7 h0 D2 4/7
3.3 = , Re0 = = 2,71 d12/7 h0 L4/7 8/7 g 4/7 .
3 3 d
D.7. Corriges du chapitre 7 - Fluides newtoniens 261
4 Bilan plus precis tenant compte de la perte de charge singuliere et des termes denergie cinetique
serait
V2 V2 V2 L
h = Hsing + Hreg (0 L) = K +
2g 2g 2g d
V2 L D7/2 L 1/4 V2 2 D
4
= 0,158 |h|7/4 = h (K + 1) = h (K + 1)|h| ,
2g d g d19/4 2g 2gd4
1.b q1 = 100 m3 /s .
1.d V1 = 7,07 m/s , v1 = 14,1 m/s , Re1 = Rep1 = Res1 = 3,24 107 .
2.a Q2 = 133 m3 /s .
2.b V2 = 4,72 m/s , v2 = 9,43 m/s , Re2 = Rep2 = Res2 = V2 D/ = 2,16 107 .
5.a En labsence dinformations sur les pertes de charge singulieres, nous les negligeons, dou
HA HB = 0 ,
V12 L
HB HC = p perte de charge reguliere dans le tuyau BC,
2g D
v12 l1
HC HD = s1 perte de charge reguliere dans le tuyau CD,
2g d
HD HE = Hn perte de charge dans la turbine,
v12 l2
HE HF = s1 perte de charge reguliere dans le tuyau EF,
2g d
HF HG = 0
V12 L v2 l
= HA HG = H1 + Hn avec H1 = p + 1 s1 .
2g D 2g d
Bassins de grande surface = termes cinetiques en entree et sortie ' 0 ;
air atmospherique quasiment a lequilibre, et de faible masse volumique = pA ' pG
= HA HG = zA zG = z
= Hn = z H1 ,
5.b H1 = 7,91 m .
5.c Hn = 232 m , grace aux conduites de grands diametres et de bon etat de surface construites,
on ne perd que 3,3% de la hauteur de chute a cause de la dissipation.
6.b P1 = 455 MW .
7.a HG HF = 0 ,
v 2 l2
HF HE = 2 s2 ,
2g d
HE HD = Hp gain de charge dans la pompe,
v22 l1
HD HC = s2 ,
2g d
V2 L
HC HB = 2 p ,
2g D
HB HA = 0
V22 L v2 l
= HG HA = z = H2 Hp avec H2 = p + 2 s2 .
2g D 2g d
Ainsi
Hp = z + H2 ,
le gain de charge dans la pompe doit permettre lascension du fluide (terme z) et de plus compenser
les pertes de charge (terme H2 ).
D.7. Corriges du chapitre 7 - Fluides newtoniens 263
7.b H2 = 3,53 m , plus faible que H1 car les debits donc la turbulence donc la dissipation
ont diminue. Ne correspond plus qua 1,5% de z, cest quasi negligeable. Ainsi Hp = 244 m tres
proche de z.
8.a P2 = 319 MW .
9 Rendement energetique global = 75% , ce qui est eleve pour un systeme de stockage de
grandes quantites denergie electrique.
V
10 Pe1 = r Q1 g Hn ' r g z = E1 = Pe1 Tprod ' r V g z .
Tprod
1 1 V 1
Pe2 = r0 Q 2 g Hp ' 0
g z = E2 = Pe2 Tpomp ' V g z .
r Tpomp r0
Dou
rendement max = r r0 (D.12)
produit des rendements des machines. Numeriquement, ce rendement maximum vaut 78% : on
perd seulement 4% de rendement a cause des pertes de charge, grace aux efforts faits sur le genie
civil , la largeur des conduites, etc...
patm pD v2 V2 L v 2 l1
HA HD = zA zD + 1 = 1 p + 1 s1
g 2g 2g D 2g d
V12 L v12 l1
= pD = patm + g(zA zD ) p 1+ s1 = 25,9 bars .
2 D 2 d
Pression essentiellement controlee par lhydrostatique dans le circuit ABCD,
Tres forte chute de pression dans la turbine, qui extrait une grande partie de lenergie de leau.
Cette pression est essentiellement controlee par lhydrostatique dans le circuit EFG,
pE ' patm + g(zA zD ) + g(zD zE ) g(zA zG ) = patm + g(zG zE ) = 4,4 bars . (D.14)
1000
800
P [MW]
600
400
200
0
0 200 400 600 800
Q [m3 /s]
Fig. D.12 Probleme 7.6. Graphe de P (Q) en fonction de Q ; droite pointillee : terme moteur seul dans
(D.15), courbe continue : somme des 2 termes de (D.15).
" #
8 r 3 L l
P = r Q g z 2 4 Q p (Q) + 8 s (Q) . (D.15)
D D D
12.b Premier terme positif = terme moteur de la puissance, correspond a une transformation
continue de lenergie potentielle de pesanteur de leau en energie electrique.
Augmente lineairement avec le debit.
Sil existait seul, on pourrait atteindre des puissances arbitrairement grandes a debits arbitraire-
ment grands.
Second terme negatif du aux pertes de charge i.e. a la dissipation visqueuse et aux taux
de deformation de lecoulement, qui ne peut etre uniforme.
Comme p et s sont, pour Q Q1 , fonctions tres lentement decroissantes de Q, dependance de
ce terme en debit essentiellement gouvernee par le facteur Q3 .
Terme decrot donc rapidement quand Q augmente, la turbulence donc la dissipation sintensifient
alors.
optimum, a debit Q suffisamment grand pour avoir une puissance motrice elevee, mais pas
trop pour que la dissipation ne soit pas trop intense, cf. la figure D.12.
Le fait de faire bifurquer leau dans deux groupes turbines-pompes permet, dune part de
moins solliciter ceux-ci, dautre part une certaine flexibilite : si les besoins de puissance sont
moderes, on peut faire fonctionner un seul groupe.
Le fait de placer les groupes turbines-pompes nettement sous la surface du bassin inferieur
(dans le probleme, environ 35 m dessous) permet de garantir une pression en sortie de
turbine (D.13), (D.14) pas trop faible. Sinon on risquerait des phenomenes de cavitation,
creation de bulles dans leau en depression, dangereux pour les machines. Sur la cavitation,
voir le probleme correspondant dans le chapitre 3 de Plaut (2017b).
D.8. Corriges du chapitre 8 - Analyse dimensionnelle appliquee aux fluides 265
Une video dEDF presentant le principe dune STEP est disponible sur YouTube ( STEP
EDF ). Les STEP jouent en France un grand role dans la gestion du reseau electrique, car
elles sont plus souples et reactives que les centrales nucleaires par exemple. Demarrer une
centrale nucleaire prend de plusieurs heures a plusieurs jours selon que l arret etait
partiel ou total, alors que demarrer une STEP prend seulement quelques minutes.
Pour concevoir ce sujet, je me suis inspire dune visite de la STEP de Revin, dans les
Ardennes 6 , dont une vue densemble est donnee sur la figure 7.9a. Cette STEP est plus
compliquee que celle etudiee dans le probleme, puisquelle comprend 4 groupes turbines-
pompes et non 2. Cependant la STEP du probleme correspond, grosso-modo, a la moitie de
la STEP de Revin. De fait la puissance calculee en production, de lordre de 400 MW, est
bien la moitie de celle de Revin, de lordre de 800 MW. Grace notamment a un circuit hy-
draulique optimise, comprenant par exemple une premiere conduite de tres grand diametre,
egal a 9 metres, et a des machines a fluides et electriques performantes, le rendement de la
STEP de Revin avoisine bien, au mieux, 77%.
6. Cette visite a eu lieu dans le cadre de la semaine departementale 2A dEnergie : Production, Transformation
en avril 2012. Elle fut organisee avec laide de Mme Witzmann dEDF, que je remercie encore ici.
266 Annexe D. Elements de correction des exercices et problemes - Complements
Exercice 8.3 Similitude pour letude des performances dune helice davion
2.1 Choisissant d, V et comme grandeurs fondamentales,
ladimensionnement de la viscosite conduit a introduire le nombre de Reynolds Re = V d/ ;
ladimensionnement de la vitesse du son conduit a introduire le nombre de Mach Ma = V /c ;
ladimensionnement de la frequence angulaire conduit a introduire le nombre de Strouhal
St = d/V .
2.2 Legalite des nombres de Reynolds, Mach et Strouhal impose, si on note avec un 0 les pa-
rametres de lessai au sol, 1 ceux de lessai en vol, un rapport des vitesses
V0 /V1 = 1,05 ;
3.2 P1 = 1,21 P0 .
Vd V 0 d0
Re = ou Re0 = ' 1,4 1010 ,
0
tres eleve = regime oscillant turbulent . Des oscillations spatiales irregulieres sont visibles
sur la photo 2.
3 Re = Re0 = V = Re0 = 140 km/s , impossible !
d
Tv V Tv
4 0 = 1 1
= .
V d d
0 d0
5 Tv0 = ' 1,5 h .
V0
Duree courte par rapport a celle de la journee = homogeneite des conditions meteorologiques.
Duree longue par rapport au temps de survol dune aire geographique par le satellite Terra =
pas de film sur le site de la NASA (dommage !)...
On peut mesurer a la regle sur la photo 2 une periode spatiale qui semble plus petite en
tout cas en unites de la largeur L0 de lile dans la direction y perpendiculaire au vent,
0photo ' 3 L0 .
Ces deux estimations sont conciliables a condition de prendre en compte des effets negliges
jusquici :
le diametre aeraulique de lile, d0 , est en fait inferieur a L0 ;
la vitesse du vent en aval de lile est diminuee par rapport a la vitesse en amont V 0 .
2 Enlever les 2 premieres donnees a t faible, qui sont les moins sures.
Prendre pour la masse volumique de lair a 20 o C, car la nuit dans le desert il ne fait pas chaud.
Cela donne
E ' 8,2 1013 J .