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CHAPITRE XI

OSCILLATIONS ELECTRIQUES AMORTIES DANS UN CIRCUIT RLC EN SERIE

Nous avions étudié un circuit constitué d’un condensateur et d’une bobine d’induction, branchés
ensemble avec des fils de résistance négligeable. Que se passe-t-il si la résistance du circuit n’est
pas négligeable ? D’abord, l’énergie mécanique du système devrait diminuer graduellement, car
la résistance parcourue par un courant va transformer l’énergie électrique en énergie thermique.
La charge maximale Qm du condensateur diminue graduellement à chaque cycle. Le circuit RLC
se comporte exactement comme le système bloc-ressort amorti. On dit que le circuit RLC est un
équivalent électrique du système bloc-ressort amorti. Noter que pour une faible résistance, la
charge en fonction du temps doit ressembler aux résultats obtenus avec le circuit LC .

La figure ci-dessous montre un circuit RLC en série, constitué d’une résistance R La résistance R
(jouant le même rôle que le coefficient de résistance b ), d’un condensateur ayant une capacité C
et d’une bobine d’induction ayant une inductance L, branchés en série. On suppose que la charge
initiale est Q0 m et que l’interrupteur est fermé à t=0 . A ce temps initial, l’amplitude de la charge
est égale à la charge initiale : Qm =Q0 m.

Figure : circuit RLC en série. La charge initiale sur le condensateur est Qm.

La figure ci-dessous montre une situation intermédiaire, lorsque le courant dans le circuit est i et
que la charge sur le condensateur est Q .

Figure : circuit RLC dans un état intermédiaire

 2

Pour analyser ce circuit, on applique la loi des mailles, en commençant au point a, en sens horaire
:

Q di
Puisque ∆ V C = ; ∆ V L =−L et ∆ V R=−Ri alors on commence l’analyse au point a de la
C dt
Q di
figure ci-haut en décrivant la maille en sens horaire : ∆ V C + ∆ V L +∆ V R=0 ⟹ −L −Ri=0.
C dt

On remplace le courant par l’opposé du taux de variation de la charge, car la charge diminue pour
−dQ
produire le courant : i= . D’où l’équation différentielle précédente devient :
dt

( ) ( )
2 2
Q di Q d dQ dQ Q d Q dQ d Q R dQ 1
−L −Ri=0 ⟹ + L +R =0 ⟹ + L 2 + R =0 ⟹ 2 + + Q=0 ( 1 )
C dt C dt dt dt C dt dt dt L d t LC

L’équation ( 1 ) a la forme de l’équation différentielle linéaire du second ordre homogène :

a ẍ +b ẋ +cx=0, où a , b et c sont des constantes.

Posons alors Q ( t ) =e r t alors ẋ=r e r t et Q̈=r 2 e r t

L’équation différentielle ( 1 ) devient donc :

( ) ( )
2
d Q R dQ 1 2 rt R rt 1 rt 2 R 1 rt
2
+ + Q=0⟹ r e + r e + e =0 ⟹ r + r + e =0
dt L dt LC L LC L LC

2 R 1
Puisque e r t ≠ 0 alors pour que l’équation précédente soit vraie, il faut que : r + r+ =0 ( 2 )
L LC

( ) ( ) ( ( ))
2 2 2
2 R 1 R 4 1 R
∆=b −4 ac= −4 × 1× = − =−4 − < 0 pour un amortissement faible.
L LC L LC LC 2 L

1
− ( )
R 2
=ω2 ⟹ ω=
1
−
R 2
√
= ω 20− = ( )
R 2 2π
⟹T =
√ ( ) 2π

√
Posons LC 2 L LC 2 L 2L T R . où
( )
2
ω20−
2L

ω 0=
√1 est la fréquence angulaire des oscillations non amorties et ω est la fréquence angulaire
LC
de l’oscillation amortie.

D’où ∆=−4 ω 2< 0

−R −R
+√ i 4 ω
2 2
+2 iω
−b+ √ ∆ L L −R
r 1= = = = +iω
2a 2 ×1 2 2L
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−R −R
−√ i 4 ω
2 2
−2 iω
−b−√ ∆ L L −R
r 2= = = = −iω
2a 2 ×1 2 2L

Rappelons que si ∆ <0 alors l’équation ( 2 ) ci-haut admet deux racines complexes conjuguées
r 1=r 0+ iω et r 2=r 0−iω. Les solutions de l’équation différentielle ( 1 ) peuvent alors se mettre sous
la forme : x (t )= λ e r t cos ( ω t +φ ), ( λ , μ ) ∈ R2
0

−R
Dans le cas échéant, r 0 = . D’où la solution de l’équation différentielle ( 1 ) devient :
2L
−R
t
Q ( t ) =Q0 m er t cos ( ω t +φ )=Q0 m e 2 L cos ( ω t+ φ )=Q m cos ( ω t+ φ ) où l’amplitude maximale de
0

l’oscillation Q m n’est pas une constante, mais elle décroît graduellement de façon exponentielle :
−R
t
Qm =Q0 m e 2 L ; Q0 m est l’amplitude initiale de l’oscillation. φ est la constante de phase initiale.

Dans le graphique de la figure ci-dessous, la ligne en pointillé indique l’amplitude. La constante

Q0 m représente l’amplitude initiale, c’est-à-dire la charge maximale présente uniquement au
temps initial. On peut dire qu’à chaque cycle, la charge du condensateur est plus faible que la
charge du cycle précédent. Après un certain nombre de cycles, le condensateur ne se charge plus
de façon suffisante.

Figure : charge en fonction du temps dans le circuit RLC , ce qui produit des oscillations amorties

Si la résistance est plus grande, de telle sorte que ω=0 , il n’y a plus réellement d’oscillation, car
le condensateur ne se charge pas de nouveau. On parle alors de régime critique. Dans ces
conditions, le circuit revient à un état d’équilibre (Q=0 et i=0) le plus rapidement. La valeur
critique de la résistance est :

( ) ( ) ( ) √ √
2 2 2
1 Rc 2 1 Rc 2 1 Rc Rc 1 4L
− =ω ⟹ − =0 ⟹ = ⟹ = ⟹ R c=
LC 2 L LC 2 L LC 2 L 2L LC C
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C’est dans le régime critique que l’énergie électromagnétique se dissipe le plus rapidement en
énergie thermique.

Si R> R c, le circuit est en régime surcritique. Le circuit revient plus lentement à l’état l’équilibre,
car la résistance est très élevée, ce qui produit un faible courant pour décharger le condensateur.
Le graphique de la figure ci-dessous montre la charge en fonction du temps dans le régime
critique et dans le régime surcritique.

Figure : charge en fonction du temps dans un régime critique et dans un régime surcritique

RAPPEL DES FORMULES

−R
t
i). Q =Q e 2 L où Qm est l’amplitude de l’oscillation au temps t ≠ 0 et Q0 m est la charge initiale
m 0m

lorsque t=0 .

ii). Q (t) est la charge que possède l’armature supérieure du condensateur

−R
t
2L
Q ( t ) =Q0 m e cos ( ω t+ φ )=Q m cos ( ω t+ φ )

2π
T=

√ ( ) où ω 0 est la pulsation propre de l’oscillation ou fréquence angulaire du

2
iii). R
ω20−
2L

système non amorti : ω 0=

√ 1
LC
.

iv). ω=
√ 1
−
R 2
LC 2 L ( )
= ω 20−
2L
=
√
R 2 2π
T ( )
est la fréquence angulaire de l’oscillation amortie

t
v). nombre d’oscillations qui se sont produites pendant un temps t : n=
T

EXERCICES
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1). Un circuit RLC contient une bobine, ayant une inductance L=0,400 H , un condensateur, dont
la capacité est C=4 , 60 μF , et une résistance R=40 , 0 Ω . On ferme l’interrupteur à t=0 , lorsque
Qm =Q0 m.

a). Après combien de temps l’amplitude de la charge a-t-elle diminué de moitié, par rapport à la
valeur initiale ?

b). Combien d’oscillations se sont produites pendant ce temps ?

Solution

L=0,400 H ; C=4 , 60 μF=4 , 60 ×10−6 F ; R=40 , 0 Ω

1 Qm 1
a). Qm = Q 0 m ⟹ =
2 Q0m 2

( )
−R −R

()
t t Qm R Qm 40 1
Qm =Q0 m e 2 L ⟹ e 2 L = ⟹− t=ln ⟹− t=ln ⟹−50 t=−0 , 69 ⟹ t=0,014 s
Q0 m 2L Q0 m 2×0,4 2

b). ω 0=
√ √
1
LC
=
1
0 , 4 × 4 , 60× 10−6
=737 , 21 rad . s−1

2π 6 , 28
T= = =0,0085 s

√ ( 2RL ) √ ( 2 ×040, 4 )
2 2
ω20− ( 737 ,21 )2 −

t 0,014
n= = =1 ,65 oscillations
T 0,0085

2). Dans un circuit RLC , un condensateur de 56 , 0 μF , une bobine d’induction de 38 , 0 mH et une

résistance de 2 , 30 Ω sont reliés en série avec un interrupteur comme à la figure ci-dessous. À
t=0 , on ferme l’interrupteur. Le condensateur a une charge initiale de 42 , 5 μC .

a). Quelle est la fréquence angulaire de l’oscillation amortie ?

b). Quelle est l’amplitude de l’oscillation à t=6 , 00 ms ?

c). Quelle charge possède l’armature supérieure du condensateur à t=6 , 00 ms ?

 6

Solution
−6 −3
C=56 , 0 μF=56 , 0× 10 F ; L=38 , 0 mH =38 , 0 ×10 mH ; R=2 ,30 Ω ;
−6
Q0 m=42 ,5 μC=42, 5 ×10 C

a).

√ R 2
( ) √ ( )
2
1 1 2 ,30
ω= − = − = √ 469924 , 81−915 ,86=684 ,84 rad . s−1
LC 2 L −3
38 ,0 ×10 × 56 , 0 ×10−6
2× 38 ,0 × 10−3

−R
b). Q =Q e 2 L t =42 , 5× 10−6 e
−
(2 × 38,2, 30×6×10 )
−3

m 0m

−R
c). Q ( t ) =Q e 2 L t cos ( ω t+ φ )=Q cos ( ω t+ φ )=42 ,5 ×10−6 e
−
( 2 ×382 ,3,0××610 )
−3

0m m
 7

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