Trigonometría Anual UNI

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Trigonometría
15 pag.
Descargado por Benjamin Giovanni Salazar Altamirano Salazar

Altam... (salazaraltamiranobenjaming@gmail.com)
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1

Trigonometría
Sistemas de medición angular
5. Calcule el valor de la siguiente expresión.
NIVEL BÁSICO
 7 rad+ 14 rad+ 21rad+ ... + 630 rad  33π
 11g + 22 g + 33 g + ... + 990 g  140
1. Del gráfico, calcule
19 x − 818 A) 10 B) 20 C) 30
D) 40 E) 50
6. Se crea un nuevo sistema de medición angu-

lar, cuya unidad (1u) es la séptima parte del án-
gulo de media vuelta. Simplifique la siguiente
expresión.
(x – 1)g (x+1)º
7u
+ 30º
3
A) 4 B) 5 C) 7 u
7 π
D) 8 E) 9 + 25 g + rad
8 4
2. Calcule la medida de un ángulo en radianes si

A) 1/2 B) 3/2 C) 2
se sabe que la suma del número de minutos
D) 0 E) 1
sexagesimales y segundos centesimales que
contiene dicho ángulo es 402 160.
NIVEL INTERMEDIO
2p 2p
A) p rad B) rad C) rad
3 5 7. De la siguiente igualdad
p p g
D) rad E) rad  ( n − 3) º  º  (4 n − 18) º 
5 10 =
 5 g   15 g 
50 m calcule el valor de n.
3. Si a=180'' y b = ,
9
A) 10 B) 12 C) 20
a 3 + b3 D) 40 E) 42
calcule
(2a − b)2 ( a + b)
8. Se sabe que S y C son lo convencional para un
mismo ángulo trigonométrico. Halle mS ABC
A) 1/2 B) 9/2 C) 2
si L 1 // L 2.
D) 1/8 E) 1
C L1
4. Si S y C son los números de grados sexagesi-
3Sº B
males y centesimales de la medida de un án-
gulo, para los cuales se cumple que A
S − 13 C − 2 117º
= = x 2x
2 3
4cg
L2
calcule el valor de x.
A) 3 B) 2 C) 1 A) 9º B) 18º C) 27º
D) 4 E) –1 D) 30º E) 37º
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra.
Descargado por Benjamin GiovanniDerechos reservadosSalazar
Salazar Altamirano D. LEG N.º 822
2
Trigonometría
9. Si 22 222''=aº 1b' cc'', calcule el valor de la ex-
NIVEL AVANZADO
presión.
c
 a + b
 c  13. Calcule la sumatoria límite de los ángulos
π
A) 16 B) 12 C) 9 90º +50 g + rad+ 11º 15 ' + ...
8
D) 4 E) 25
p p 2p
a+c A) rad B) rad C) rad
10. Si 91º 91' 91''=a2º b2' c1'', calcule . 2 4 5
b p
D) rad E) p rad
7
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 12 14. Los números S y C que expresan las medidas
de un ángulo en los sistemas sexagesimal
11. Un ángulo trigonométrico se puede expresar y centesimal, respectivamente, verifican la
como xºy' en el sistema sexagesimal o como igualdad
ygxm en el sistema centesimal. Calcule x/y. x4 − x2 + 1
C− S =
x2
2431 2650 27 Calcule en radianes la mínima medida de di-
A) B) C)
3241 2973 13 cho ángulo.
81 153
D) E)
50 37 p p 3p
A) rad B) rad C) rad
20 10 10
12. El número de grados sexagesimales de un án- 3p 3p
gulo y el número de grados centesimales de D) rad E) rad
20 40
otro ángulo son proporcionales a 3 y 5. Calcu-
le el menor ángulo en radianes si se sabe que Cº 2 g R
son suplementarios. 15. Si θ = + + rad, calcule aproximada-
12 S 36
mente el menor valor positivo de la medida del
p 2p 2p ángulo q.
A) rad B) rad C) rad
5 5 7
3p p A) 0,5º B) 3,3º C) 0,93º
D) rad E) rad
5 6 D) 2,22º E) 1,75º

DerechosDescargado
reservadosporD. LEG N.º 822
Benjamin Giovanni Salazar Altamirano Salazar
3
Trigonometría
Longitud de arco de circunferencia
3. En el gráfico se observan tres sectores circula-
NIVEL BÁSICO
2x + L
res. Calcule .
2L − x
1. Si CAE es un sector circular y AB=BC, 3


.
calcule EM
x
 MC 2
 L 10 16
E A) 2 B) 4 C) 1/2
B 20º D) 3 E) 1/3
M 4. Si AOB es un sector circular, calcule el área de

la región sombreada aproximada.
C
A
2
M 6
A) 2
2
B) 3
O
C) 4 N 2 B
D) 5
E) 6
A) 3,14 B) 6,28 C) 2,28
2. Un péndulo se mueve como indica el gráfico. D) 2,14 E) 4,28
Calcule la longitud del péndulo si su extremo
recorre 3p m. 5. De acuerdo con el gráfico, se observan cuatro
sectores circulares. Si S1+S2=15p, calcule q.
15º
4m
50g
θ rad S1 S2
3
3
3
A) 5 3
B) 6
p p p
C) 7 A) B) C)
15 12 6
D) 8 p p
D) E)
E) 9 3 4
4
Trigonometría
6. Calcule el área del sector circular AOB si se 9. Se tienen tres circunferencias tangentes dos a
cumple que dos cuyos radios miden ( 2 − 1) m, 1 m y 1 m.
Rq(Rq – L)+L(2Rq+L)=24q Calcule el área de la región encerrada por di-
chas circunferencias.
A
R
π
A) 1 − (2 − 2 )
O θ rad L 2
π
R B) 1 − (2 2 − 1)
8
B π
C) 1 − (2 2 − 1)
4
A) 8 B) 6 C) 4 π
D) 2 − (2 2 − 1)
D) 2 E) 1 8
π
E) 2 − (2 2 − 1)
NIVEL INTERMEDIO 4
10. En el gráfico mostrado, la longitud de la cuerda

7. Calcule la longitud de la correa si los discos tie- AB es igual a 8 m, y la región sombreada es un
nen radio igual a 2 cm. cuadrado cuyo lado mide 2 m. Si se gira en el
sentido indicado hasta envolver toda la cuerda
en el cuadrado, calcule la longitud que recorre
el extremo A.
A B
A) 8(3+p) B) 8(6+p) C) 4(6+p) A) 4p m B) 6p m C) 8p m

D) 4(3+p) E) 12(3+p) D) 10p m E) 20p m
8. Calcule el perímetro de la región sombreada

11. El triángulo equilátero ABC de lado 3 m rueda
si A y B son centros de los sectores circulares
sin resbalar hasta que el punto A toca por pri-
OAM y OBC, respectivamente.
mera vez la superficie. Calcule la longitud de la
A trayectoria descrita por el punto A.
C
B
M
6
A C
O 6 B
A) p B) 2p C) 3p A) 2p m B) 3p m C) 4p m
D) 4p E) 5p D) 5p m E) 6p m
DerechosDescargado
5
Trigonometría
12. Calcule aproximadamente el perímetro de la 14. Según el gráfico, se observan tres sectores cir-
región sombreada si M y O son centros, ade- culares. Calcule (q2 – 2)(q –1).
más, MA=MC=4.
b
B C
a
O θ rad c b a
A M A) 1/2 B) 1 C) 3/10
D) 2 E) 1/4
97π 113π 113π
A) +4 B) +4 C) +4
60 30 60
15. Se tiene un sector circular de radio r y un ángu-
113π
D) +4 E) p+4 lo central q rad. Calcule r y q si el área es fija e
160
igual a M, y el perímetro es mínimo.
NIVEL AVANZADO
A) M ; 2 rad
3
B) 2 M ; rad
13. Si el perímetro de un sector circular es 40 cm, 2
calcule su área máxima. C) 2 M; 2 rad
D) M ; 1 rad
A) 50 B) 80 C) 100
D) 120 E) 140 E) M; 2 rad

6
Trigonometría
Aplicaciones del cálculo de una longitud de arco
4. Si ABC es un triángulo equilátero de lado 20 3,

NIVEL BÁSICO
calcule el número de vueltas que da la rueda
en el interior del triángulo por primera vez.
1. En el sistema mostrado, si la polea A gira un
3p B
ángulo rad, calcule el número de vueltas
2
que da la polea C.
B
6
2
8 3
A
C A C
10 9 7
A) 9/4 A) 3 B) 3 C) 3
p p p
B) 5 13 12
C) 9/2 D) 3 E) 3
p p
D) 2
E) 3/4 5. Si la rueda A da 10 vueltas y la rueda B da 4
vueltas, calcule la distancia de separación en-
2. ¿Cuánto deberá girar la polea A para que el tre dichas ruedas.
bloque M ascienda 1,8p m? B
A
A 4
3
2 1
2
A) 4+52p B) 6+52p C) 4+26p

M D) 8+52p E) 2+26p
A) 108º B) 144º C) 243º 6. En el sistema adjunto, ¿cuánto medirá el ángu-

D) 216º E) 288º lo en radianes que se debe girar para que los
centros de las esferas A y B se encuentren a la
misma altura si inicialmente dicha diferencia
3. Dos ruedas de radio 15 y 3 recorren espacios
de alturas es de 14 m?
iguales. ¿Cuánto debe medir el radio de una
tercera rueda para que recorriendo el doble de
A) 0,5 rad 5µ
las anteriores dé como número de vueltas cin-
co veces la diferencia de las otras dos? B) 2 rad
C) 1 rad 2µ
A) 1 D) 1,5 rad
B) 1,5 E) 2,5 rad
C) 2 A
D) 2,5
E) 3 B
DerechosDescargado
7
Trigonometría
10. Si AB=16p, ¿cuántas vueltas da la rueda desde
NIVEL INTERMEDIO A hasta C?
7. Calcule la altura del punto P luego de que la 2

rueda dé 2/3 de una vuelta.
O
A B 120º
4
8
P C
A) 5 B) 3 C) 6
A) 8 B) 7 C) 6
D) 4 E) 2
D) 5 E) 4
11. La rueda de 1 m de radio se desplaza desde A
8. En el gráfico se muestran dos engranajes en hacia B dando 12 vueltas. Calcule OB.
contacto de radio 1 y 5. Si el engranaje menor
gira un ángulo de 450º, calcule la nueva distan-
cia que separa a los puntos A y B. A
R R
O R B
A B
1 5
A) 46 B) 47 C) 48
A) 4 B) 6 C) 2 11 D) 49 E) 50
D) 2 13 E) 2 15
12. Calcule el número de vueltas que gira la rue-
da sin resbalar, al recorrer desde A hacia M, si
9. En el gráfico se observa un hexágono regular AB=BC=CM=14 y su radio es igual a 3 3.
de lado 9p m. Calcule el número de vueltas
que da la rueda de radio 3 m desde A hacia B.
B
A
60º
A C M
11 3 + π 12 3 + 5π 12 3 + 7π
A) B) C)
5π 4π 6π
A) 6 B) 7 C) 8 10 3 + π 12 3 + π
D) E)
D) 5 E) 6,5 6π 6π
8
Trigonometría
14. ¿Cuánto avanzará la rueda del gráfico mostra-
NIVEL AVANZADO
do si el punto A vuelve a tener contacto con
el piso otras 7 veces y, al detenerse, B está en
13. En el gráfico, calcule el número de vueltas que contacto con el piso?
da la rueda de 1 m de radio al recorrer el perí-

B 12
metro de la figura sombreada. Además se sabe
que PA = PB = 4 3 y mS APB=60º. 120º
O A) 180p B) 182p C) 184p

D) 186p E) 176p
A B
15. Calcule el número de vueltas que da la rueda
al ir de A hasta tocar la pared.
P
2
2 2
13 2 3 13 3 3 13 4 3
A) + B) + C) +
8 π 7 π 8 π A
7 4 3 13 4 3 A) 1/4 B) 2/3 C) 1
D) + E) +
3 π 6 π D) 3/2 E) 2

DerechosDescargado
9
Trigonometría
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
4. Determine el perímetro del ABC si CM=9 y
NIVEL BÁSICO 3
sen α = .
5
1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se D
cumple que
tan(A)=2sec(B) α B
Calcule csc2(B) – 2sec(A).
A) 2 α
B) 0 C M A
C) 3
D) 4 192 392
A) B) C) 45
E) 1 5 5
15
sen (α − β ) cos α D) 50,5 E)
2. Si AM=MB, calcule 19
sen β
5. De las siguientes condiciones
B sec (sec (30º +2 y )) cos (csc (2 x + 10º )) = 1 (I)
cos3x=seny (II)
calcule cos(2x – 5º).
M α
2 3 3
A) B) C)
β 2 2 5
A C 1 4
D) E)
2 5
A) 2 B) 1 C) 3
D) 1/2 E) 1/4 6. De la siguiente condición
sen(2x+5º)csc(3x – 5º)=tan1ºtan2ºtan3º...tan89º
sen α sen β
3. Si AB=BC, calcule calcule tan3x tan4x tan5x tan6x.
sen θ
M A) 2 B) 1/2 C) 3/4
D) 4 E) 1
θ α
NIVEL INTERMEDIO
β
A B C 7. Si AM=MB, calcule 5tanq.
N
1
A) A
2
θ
2
B)
2 M
C) 1 30º
C B
D) 2
A) 3 B) 3 3 C) 4 3
E) 2 D) 2 3 E) 5 3
10
Trigonometría
π 1 12. Si BEFG es un cuadrado y 2(AB)=3(BC), cal-
8. Si 0 < x < y sen 2 x = ,
4 8 cule cota.
calcule sen (45º + x ) + 7 cot (45º − x ).
G
A) 9/17 B) 7/3 C) 7/4 A B
D) 15/4 E) 9/4 α
F
9. Si q y a son ángulos agudos que cumplen
6cosq tana=2cosq+3tana –1 53º
D C E
θ 
Calcule tan  + 2α + 8º 
2 
A) 8 B) 10 C) 11
D) 13 E) 15
A) 2
B) 2 + 3
NIVEL AVANZADO
C) 1 + 2
D) 2 − 3
13. Si tan(3a+b)tan(3b – a)=1, calcule
E) 2 −1
sen (4α + 2β ) − cos (2β − 2α ) + 2 sen (α + 2β )
10. Según el gráfico, calcule cotq. 1 + sec (α + 3β ) − csc (α + β )
A) 1 B) – 2 C) 2
5 D) – 1 E) 1/2
14. En un triángulo ABC, recto en A, se cumple que

2θ θ
1 1 8
11 − = . Calcule tan2B+4.
b2 c2 a2
A) 3 B) 1/2 C) 2
A) 15 B) 21 C) 17
D) 1/3 E) 3
D) 7 E) 13
11. Si BH=HC, calcule tanq.
15. Del gráfico, calcule tan(a+q)tan(q+b).
N
θ
β
α θ
B
H 45º
37º
A C 1 2 3
A) 1/5 B) 2/5 C) 3/5 A) 5 B) 1/4 C) 4

D) 4/5 E) 6/5 D) 1/5 E) 3

DerechosDescargado
11
Trigonometría
Resolución de triángulos rectángulos
tan θ
NIVEL BÁSICO A)
1+ tan θ + cot θ
tan θ + cot θ
B)
1. Si AM=2, calcule BC en términos de q. 1 + tan θ + cot θ
sen θ
C)
A tan θ + cot θ
cot θ
θ D)
1+ tan θ + cot θ
M cos θ
E)
tan θ + 2
θ 4. De acuerdo con el gráfico, calcule cotq tana.

B C
θ a
A) 2cosθ cotθ cot2θ
B) 2cosθ sec2θ 2
C) 2senθ tanθ csc2θ
D) 2tanθ sen2θ
E) 2cosθ cotθ csc2θ 2 3
2. Según el gráfico, calcule tanq en términos de a. A) 2/7 B) 3/7 C) 7

D) 3 E) 2
5. Del gráfico, calcule el valor de x.

θ
a x
8A A
θ
A) sen3a B) cos3a C) tan3a 24
D) cot3a E) sec3a
A) 4 B) 6 C) 8
3. Si MN=1, calcule el lado del cuadrado ABCD
D) 10 E) 12
en términos de q.
6. Un niño observa los pies de un señor de H me-

M
tros de estatura con un ángulo de depresión a
B C y su cabeza con un ángulo de elevación igual al
θ complemento de a. Calcule la estatura del niño.
H
A) cos 2 a B) Hsena C) Hcosa
2
A N D D) Hsen2a E) Hsena cosa
12
Trigonometría
9. Si ABCD es un cuadrado, calcule tanq+tana.
NIVEL INTERMEDIO
M
A) 1
α
B) 2 θ
7. Del gráfico, calcule BM en términos de a, b y q.
C) 2/3 B C
B D) 3
α C
β E) 3/2
2 1
A D
θ
10. Si las regiones sombreadas son equivalentes,
A M calcule tan2q.
2 sen θ + 1 A) 2 θ
A)
sen (α + β )
B) 2
sen θ + 1
B) C) 4
sen (α + β )
D) 2 2
sen (α + β ) 2
C) E)
2 sen θ 2 θ
cos (α + β )
D) 11. Cuando Pedro se ubica en el punto P, observa
2 sen θ
los puntos A y C con ángulos de depresión q y
cos (α + β ) f, respectivamente, y el punto B con un ángulo
E)
2 sen θ + 1 de elevación b. Calcule tanx.
8. Si MN=a, calcule el área del rectángulo ABCD B

en términos de a y a.
C B
P A x C
cot φ + tan β
A)
α cot φ − cot θ
M D A cot φ ⋅ tan β + 1
B)
cot φ − cot θ
A) a2sen2a tan φ + tan β
C)
B) a2sen6a cot φ − cot θ
C) a2sena cosa tan β tan φ
D)
tan θ
D) a2sen2a cos2a
cot β cot φ
E) a2sen3a cos3a E)
cot θ
DerechosDescargado
13
Trigonometría
12. Una persona camina sobre un plano inclinado, 14. Si AM=MB, calcule el mínimo valor de cotq.
que forma un ángulo q, con respecto a la ho-
rizontal y observa con un ángulo de elevación
C
1,5 q un faro que se encuentra en la parte más
alta del plano inclinado. Si avanza d metros ha-
cia el faro, el nuevo ángulo de elevación sería
2q. Calcule la altura del faro. θ
A M B
θ
A) dtanq B) dcotq C) d tan
2
θ A) 3 2
D) d cot E) dcot2q
2 B) 2 2
C) 4
NIVEL AVANZADO
D) 4 2
13. Si PON es un cuadrante y OA=AB, calcule E) 2
csc2q – 2cosq.
B N 5
15. Si tan 3θ = ; 0º < q < 30º,
2
calcule 5 cot θ − 6 cos θ.
A
A) 3
θ B) 4
P O
C) 1
A) 4 B) 1/3 C) 3 D) 2
D) 2 E) 1/2 E) 5

14
Anual UNI
SiStemaS de medición angular

01 - e 04 - B 07 - B 10 - B 13 - e
02 - d 05 - c 08 - c 11 - B 14 - a
03 - e 06 - e 09 - c 12 - B 15 - c
longitud de arco de circunferencia

01 - b 04 - D 07 - c 10 - D 13 - c
02 - b 05 - D 08 - e 11 - c 14 - b
03 - a 06 - c 09 - a 12 - c 15 - a
aplicacioneS del cálculo de una longitud de arco

01 - a 04 - c 07 - c 10 - a 13 - D
02 - c 05 - a 08 - D 11 - b 14 - c
03 - b 06 - b 09 - e 12 - e 15 - b
razoneS trigonométricaS de un ángulo agudo

01 - e 04 - a 07 - a 10 - c 13 - a
02 - b 05 - d 08 - d 11 - b 14 - c
03 - c 06 - e 09 - b 12 - d 15 - a
reSolución de triánguloS rectánguloS

01 - e 04 - b 07 - a 10 - a 13 - c
02 - d 05 - c 08 - e 11 - b 14 - b
03 - b 06 - d 09 - a 12 - a 15 - d


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6. Se crea un nuevo sistema de medición angu-

2. Calcule la medida de un ángulo en radianes si

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra.

1. Si CAE es un sector circular y AB=BC, 3

M 4. Si AOB es un sector circular, calcule el área de

10. En el gráfico mostrado, la longitud de la cuerda

A) 8(3+p) B) 8(6+p) C) 4(6+p) A) 4p m B) 6p m C) 8p m

8. Calcule el perímetro de la región sombreada

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra.

4. Si ABC es un triángulo equilátero de lado 20 3,

A) 4+52p B) 6+52p C) 4+26p

A) 108º B) 144º C) 243º 6. En el sistema adjunto, ¿cuánto medirá el ángu-

7. Calcule la altura del punto P luego de que la 2

da la rueda de 1 m de radio al recorrer el perí-

O A) 180p B) 182p C) 184p

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra.

14. En un triángulo ABC, recto en A, se cumple que

A) 1/5 B) 2/5 C) 3/5 A) 5 B) 1/4 C) 4

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra.

θ 4. De acuerdo con el gráfico, calcule cotq tana.

2. Según el gráfico, calcule tanq en términos de a. A) 2/7 B) 3/7 C) 7

5. Del gráfico, calcule el valor de x.

6. Un niño observa los pies de un señor de H me-

8. Si MN=a, calcule el área del rectángulo ABCD B

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SiStemaS de medición angular

longitud de arco de circunferencia

aplicacioneS del cálculo de una longitud de arco

razoneS trigonométricaS de un ángulo agudo

reSolución de triánguloS rectánguloS

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