SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES A) 150 B) 160 C) 180

D) 210 E) 190
1. Reduzca la expresión
1° + 2° + 3° + ⋯ + 2014° 7. Los ángulos α y θ miden 150 y 50g ,
1g + 2g + 3g + ⋯ + 2014g respectivamente. Halle la medida de θ − α en
un nuevo sistema cuya unidad de medida (1k )
A) 10/9 B) 9/10 C) 1/2 corresponde a las dos terceras partes del
D) 1 E) 2 ángulo de una vuelta.

2. Obtenga el valor de la expresión 1 k 5 k 1 k

π A) (4) B) (8) C) (2)
900 + 60g + rad
5 1 k 2 k
π g D) (8) E) (3)
4 rad + 50

A) 5 B) 4 C) 3 8. Se tienen dos ángulos suplementarios, los

D) 2 E) 1 cuales están en relación de 2 a 3. Halle el menor
de los ángulos en radianes.
3. En la figura; hallar x.
π π 2π
A) 3 rad B) 4 rad C) 5
rad
2π 3π
D) 3
rad E) 5
rad

9. A partir de la igualdad, halle 2x.

0 g
(2x + 5)0 (2x + 8)0
( ) =( )
3g 3g
A) 4 B) 6 C) 8
D) 12 E) 10
A) 10 B) 11 C) 32
D) 12 E) 22
4. Se tienen dos ángulos complementarios y uno
excede al otro en 500 . Halle el menor ángulo 0
en grados sexagesimales.  60b+c 
10. Si a g =b0c, calcule   en el sistema
 a 
A) 200 B) 180 C) 300 radial.
D) 270 E) 400
3π 2π π
A) 10 rad B) rad C) 2 rad
5
5. Halle el valor de la expresión π π
D) rad E) rad
3 2 4 5
0 g m 10 5
+ m
2 5

A) 172 B) 176 C) 168

D) 142 E) 152

6. Del gráfico mostrado, calcule la medida del

menor ángulo interno.
LONGITUD DE ARCO DE UNA CIRCUNFERENCIA

1. Si AOB y MON son sectores circulares y OM =

1 u, calcule AM.
 4. En la figura, el área del sector circular AOT es
igual al área del sector circular MOB. Si OA =
OB/2, halle la medida del ángulo BOT.

A) 2 u B) 3 u C) 3/2 u
D) 1 u E) 2/3 u A) 300 B) 360 C) 240
D) 380 E) 400 UNMSM 2012 II
2. Calcule el perímetro de la región sombreada si
AOB es un sector circular de radio r = 2 u.
5. En la figura, AOB y COD son sectores circulares.
Halle el área del trapecio circular ABCD si AD=3
u.

π π
A) ( 2 + 2√2 − 2) u B) ( 4 + 2√2 − 2) u
π π
C) (2 + √2 − 1) u D) (4 + √2 − 1) u
5π 15π 5π
π A) u2 B) u2 C) u2
E) (2 + 2√2 − 1) u 2 4 4
3π 15π
D) u2 E) u2
2 2
3. La bolita se deja caer a partir del punto A y
l1 y l2 hasta llegar 6. Si AOB, MON y ROP son sectores circulares,
recorre las longitudes de arco
calcule n – x.
al punto C. Calcule PA si l1 + l2 = 4 u y PQ =
3
6 u.

A) 2 B) 1 C) – 1
D) 1/2 E) – 2

A) 5,4 u B) 6,8 u C) 6,5 u 5 l2 − l1.

7. En el gráfico, l1 + l2 = r . Halle
D) 7 u E) 6,3 u 6
Considere que:
l1 : longitud del arco AA
 l2 : longitud de arco BB

A) a/b B) b/a C) a/2b

2π π π D) b/2a E) 2a/b
A) r B) 3 r C) 4 r
3
π π
D) 2 r E) 6 r
APLICACIÓN DEL CALCULO DE UNA LONGITUD
DE ARCO
8. Si AOB es un sector circular y lEB = 9 cm,
1. Si la rueda que se muestra en el gráfico barre un
calcule l AE .
ángulo de 7500 al ir de A hasta B, calcule el radio
de la rueda.

90 180 9
A) 25π+6 B) 25π+7 C) 2π+1
A) 18π cm B) 24π cm C) 16π cm 180 90
D) 25π+6 E) 24π+5
D) 20π cm E) 10π cm

9. Del gráfico mostrado se cumple que AOB y COD 2. Determine el número de vueltas que dará la
rueda de radio 8 u al desplazarse desde A hasta
son sectores circulares, l AB − lCD = 6, AC = 3 / 2
tocar la pared vertical (π=22/7).
y lCM − lMN = lND . Calcule θ.

A) 3 B) 4 C) 6
D) 7 E) 8

A) 3/4 B) 1 C) 2 3. Los radios de las ruedas de una bicicleta son

D) 5/3 E) 1/2 entre sí como 3 es a 5. Calcule el número de
vueltas que da la rueda menor cuando la rueda
mayor barre un ángulo de 216π radianes.
10. En los sectores circulares AOB y COD,
l AB = a 3 u y OC = b u. Calcule m∡AOB.
𝕊: área del sector circular COD.
 A) 108 B) 200 C) 180
D) 220 E) 360

4. Calcule el número de vueltas que da la rueda de

radio igual a r = 1 u al ir desde la posición A
hasta la posición B.
2πRr 4πRr 2πRr
A) B) C)
R−r R−r R+r
2πR2 4πr2
D) E)
R−r R−r

8. Las ruedas de radios 1 u y 4 u dan 10 y 3 vueltas,

respectivamente, desde su posición inicial
hasta el instante en que se separan. Calcule la
A) 1 B) 2 C) 2,5 distancia que las separa.
D) 1,5 E) 3

5. En la figura, se muestra una rueda que gira

sobre una superficie circular. Determine el
número de vueltas que ha dado la rueda para ir
desde P hasta Q si su radio es 1/6 del radio de
la superficie circular sobre la cual se desplaza. A) (44π+3) u B) (34π +4) u C) (22π +2) u
D) (44π +4) u E) (24π +4) u

9. En el gráfico, determine el número de vueltas

que da la rueda de radio igual a 1 u al ir desde A
hasta C. Considere que AB=12 u y BC=8 u.

A) 1,8 B) 2,0 C) 2,3

D) 2,5 E) 1,5
UNMSM 2012 - II

6. Dos ruedas de radios R y r, tal que R > r,

π+60 π+60 π+60
recorren la misma longitud L sobre una pista A) B) C)
2π 4π 6π
plana. Si la diferencia del número de vueltas de 2π+15 2π+15
D) E)
la menor y la mayor es L/πR, calcule R/r. 4π 3π

A) 6 B) 2 C) 3 10. Una rueda de radio a metros da 10 vueltas para

D) 4 E) 5 recorrer un tramo de longitud L metros. Otra
rueda de radio (a2 + 62a − 3) metros gira 600
7. Sobre una superficie curva de radio R gira una para recorrer el mismo tramo. Calcule a2 + 2a
rueda cuyo radio es r. Si dicha rueda da 2 en metros.
vueltas al ir de A a B, calcule la longitud del arco
AB. A) 3 m B) 2 m C) 6 m
D) 1 m E) 8 m

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO

AGUDO I
 6. En dos triángulos rectángulos consideremos los
1. El grafico ABCD es un cuadrado. Calcule tanθ − ángulos agudos α y β, respectivamente. Si
tanα. 3
senα = √7 y secβ = cotα, calcule el valor de
12tan2α+9tan2 β
E= 3csc2 α−csc2β

A) 4 B) 3 C) 2
D) 1 E) 5
UNMSM 2013 – II

7. Del gráfico se cumple que AH = 3 y HC = 2.

A) 1 B) 2 C) 1/2 Calcule cos 2 θ.
D) 1/3 E) 1/4

2. Si α es un angulo agudo en un triangulo

rectángulo, tal que 5secα = 13, halle el valor
de:
3senα − 4cosα
5senα + 4cosα

A) 5/12 B) 7/10 C) 3/10

D) 1/5 E) 2/5
UNMSM 2012 – II A) 1/5 B) 2/5 C) 1/2
D) 3/4 E) 4/5
3. Si un triángulo rectángulo ABC, recto en A, tiene
5 cm de hipotenusa y se cumple que senB = 8. Si α y θ son angulos agudos, tal que 3cosθ =
4
2senC, halle el valor de tanB+10tanC. √3 y 2tanα = 8√2. Calcule 53cos 2 α. tan2 θ.

A) 3 B) 4 C) 5 A) 30 B) 45 C) 60
D) 7 E) 9 D) 20 E) 65

4. El perímetro de un triángulo rectángulo es 330 9. En el gráfico, AOB es un sector circular. Si N es

u. Si la tangente de uno de sus ángulos agudos punto medio de ̅̅̅̅OB y OM = 2(AM), calcule
es 12/5, halle la longitud del cateto menor. cotα.

A) 45 u B) 50 u C) 52 u
D) 55 u E) 60 u

5. Del gráfico mostrado, calcule secθ + √5cotθ.

2√3−3 2√3−2 3√3−4

A) B) C)
2 3 3
3√2−2 √3−1
A) 3/2 B) 7/2 C) 9/2 D) 3
E) 2
D) 5/2 E) 5
10. A partir del gráfico mostrado, calcule tanα si A)
√15−2√3
B)
√15−√3
C)
2√15−√3
2 3a 2 2 2
tanθ = 3 y tanθ = 3b+2a; además, BD = DA = 3(√15−√3) √15−√3
D) E)
2b y CH = 2a. 2 3
UNMSM 2011 II

4. Del gráfico, calcule √13cosα + 3tanα.

A) 3 B) 2 C) 5
A) 6 B) 7 C) 5 D) 9/2 E) 11/3
D) 4 E) 3
5. Del gráfico mostrado, AM = 20 y NC = 23.
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN Calcule cotθ.
ANGULO AGUDO II

1. Halle el valor de:

2−√3
sen600 − sen300
[(2 + √3) ( )]
sen600 + sen300

A) 2 − √3 B) 1 C) 2 + √3
D) √3 E) 2√3 A) 2/5 B) 7/6 C) 7/5
UNMSM 2014 I D) 13/15 E) 5/6

2. Un poste se quiebra dejando en pie la tercera 6. De la figura, AH=15 cm. Halle HM.
parte de su altura total. Si, al caer, su extremo
superior describe un arco de 4√3π m de
longitud, halle la distancia entre el pie del poste
y el extremo superior que está en el suelo.

A) 8√3 m B) 18 m C) 9 m
D) 6 m E) 6√3 m
UNMSM 2010 – II
A) 45/2 cm B) 45/4 cm C) 45 cm
3. En la figura, MA = 2 cm y AB = 4 cm. Halle √3
D) 15√3 cm E) 45 2 cm
BC.
UNMSM 2010 I

7. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero y

AM 5
= . Calcule cscα − cotα.
MB 3
 A) 2/13 B) 11/13 C) 11/12
√3 √3 √3
A) 15 B) 12 C) D) 2/5 E) 1/5
9
√3 √3
D) E) 10
8 RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN
ANGULO AGUDO III
8. En la figura se tiene el triángulo rectángulo BAC
que es recto en A. Si CQ = a cm, AB = b cm, 1. Si x es un ángulo agudo que cumple
halle el valor de a/b. sec(3x − 100 ) cos(2x + 100 ) = 1
Calcule el valor de sen(x + 100 ) + √3tan3x.

A) 1/2 B) 4/3 C) 5/2

D) 7/2 E) 10/3

2. Si 2θ − α y 3θ + α son ángulos agudos, tal que

sen(2θ − α) = cos (3θ + α). Calcule el valor
de la expresion tan(3θ − 10 ) + sen(2θ − 60 ).
1 1 1
A) 3 (3 − √3) B) 3 (3 + √3) C) 3 (6 − √3) A) 5/4 B) 11/6 C) 3/4
1 1
D) 3 (6 + √3) E) 3 √3 D) 13/6 E) 5/6
UNMSM 2013 I
3. Si 2x − y, x + 2y y x − y son angulos agudos,
9. En el gráfico, halle tanθ si BD=2(DC). tal que sen(2x − y). csc(x + 2y) = 1, tan(x −
y) . cot300 = 1. Calcule el valor de la expresión
2tanx + cos (x + y).

A) 5/2 B) 3/2 C) 1/2

D) 2 E) 1

4. Si se cumple que tan2x. cot(x + 200 ) = 1, x:

angulo agudo cos5y. secx = 1, y: ángulo agudo.
x+y
Calcule el valor de sen ( ) cos120 .
2

A) 2/13 B) 3/7 C) 4/13

A) 1/2 B) 1/4 C) √3
D) 2/7 E) 5/13 √3
D) E) 1
2
10. Del gráfico, calcule 1 − cosθ si CM = √3, AM=2
y AB=BC. 5. En el gráfico mostrado, calcule el valor de EC a
partir de la siguiente condición.
sec(600 − α) = csc (150 + 2α), α: ángulo
agudo.
 5
Calcule: tanα + cotθ + 12.

A) 7/12 B) 3/4 C) 1/2

D) 1 E) 4/3

RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS

1. En el gráfico, halle AC.

√3
A) B) √3 − 1 C) 1
2
D) 2 E) 2√3 − 1

6. Sea (cos170 + 5sen730 )sec170 = 4tanα,

00 < α < 900 . Halle el valor de M = senα +
5 cosα.

3 2
A) 2 √13 B) 3 √13 C) 2√13
4 A) 𝑚(3𝑐𝑜𝑠𝛼 + 4𝑠𝑒𝑛𝛼)
D) 3 √13 E) √13 B) 𝑚(3𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛼)
UNMSM 2002 C) 𝑚(3𝑠𝑒𝑛𝛼 + 4𝑐𝑜𝑠𝛼)
D) 3𝑚(𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)
7. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se E) 3𝑚(3𝑐𝑜𝑠𝛼 + 4𝑠𝑒𝑛𝛼)

tiene √senA√senA√senA = (cosB)senA . Halle 2. En el gráfico, halle BD en términos de α.

cscA.

A) 8/7 B) 12/11 C) 5/4

D) 3/2 E) 5/3
UNMSM 2005 I

4
8. Si tan(900 − α) cotα = 9 y α: angulo agudo,
A) 2senαcosα B) 2cos 2 α
calcule el valor de √13(senα − cosα).
C) 2sen2 α D) sen2 α
A) – 1 B) 2 C) – 2 E) 2sen2 αcosα
√13
D) E) 1 3. Del gráfico, halle AB en términos de α y β.
2

9. Si α es la medida de un ángulo agudo que

verifica la igualdad:
π π
tan ( senθ) cot = 1
4 8
Calcule el valor de tan 2θ . tan θ.

A) 1 B) 2 C) 1/2
√13
D) E) √13
3

10. Si α y θ son ángulos agudos y complementarios A) 3tanαcotβ B) 3cotαcosβ

4x+4 5x−1 C) 3tanαcosβ D) 3cotαsenβ
donde cosα = 5x y senθ = 6x−5.
E) 3tanαsenβ
4. Si ABCD es un cuadrado, halle EC.

a2 a2
A) (tanα + cotα) B) tanα
2 2
a2 a2
C) cotα D) senαcosα
2 2
A) a(cosθ + senθ) B) a(cosθ − senθ) a2
C) a(senθ − cosθ) D) a(tanθ − cosθ) E) (tanα − cotα)
2
E) a(cscθ − senθ)
8. En el gráfico, el triángulo ABC es rectángulo,
5. Del gráfico, halle
BC+CD
en términos de θ. recto en A, CP=2 cm, PB=3 cm. Halle tanα.
m

A) senθ + cosθ B) 2senθ + 1

√3 5√3 2√3
C) cosθ + secθ D) 2cosθ + senθ A) B) C)
9 9 9
E) senθ + cscθ √3 2√3
D) E)
3 3
6. Si ABCD es un cuadrado, halle MN. UNMSM 2011 I

9. En el gráfico, halle x.

A) 2(senβ + cosβ) B) senβ + cosβ

C) 2(cosβ − senβ) D) √2(cosβ − senβ) A) ksen5 θcosθ B) ktanθcos 6 θ
E) √2(senβ + cosβ) C) ksec6 θtanθ D) ksec5 θcosθ
E) kcotθsec7 θ
7. En el gráfico, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y DL
EM es perpendicular a AD ̅̅̅̅ UNMSM 2003
es altura del paralelogramo ABCD. Si AL=a,
determine el área del triángulo BEC. 10. En el gráfico, el triángulo rectángulo ABC es
1
recto en B. Si α < 450 y AM = MC = 2 cm,
halle el área del triángulo ABC.
 el ángulo de elevación a la punta de dicha torre
mide β. Si el pie del poste y de la torre están en
la misma recta horizontal, calcule la altura de la
torre.

xcotα xcotα x
A) tanα−tanβ B) tanα+tanβ C) 1−cotα.tanβ
2x xtanα
D) 1+cotα.tanβ E) tanα+tanβ

1 1 5. Una torre está al pie de una colina cuya

A) 2 cosαsen3 α cm2 B) 2 cos 4 αsenα cm2
1 1
inclinación con respecto al plano horizontal es
C) 2 cos 2 αsenα cm2 D) 2 cosαsen2 α cm2 de 150. Una persona se encuentra en la colina a
1 12 m de la base de la torre y observa la parte
E) 2 cos 3 αsenα cm2
más alta de esta con un ángulo de elevación de
UNMSM 2010 II
450. ¿Cuál es la altura de la torre?

ANGULOS VERTICALES A) 4√6 m B) 6√6 m C) 15 m

D) 14 m E) 5√6 m

1. Un avión vuela en línea recta y horizontalmente 6. Una persona de 1,65 m de estatura observa la
a una altura de 2420 m; desde un punto en base de un poste de luz con un ángulo de
tierra, es observado con un ángulo de elevación depresión de 370 y la parte superior de este con
de 530. Calcule la distancia entre dicho punto y un ángulo de elevación cuya tangente es 5.
el avión. Calcule la altura del poste.

A) 2400 m B) 3200 m C) 3000 m A) 12 m B) 12,3 m C) 13 m

D) 4200 m E) 3025 m D) 12,65 m E) 11,6 m

2. Desde un globo aerostático se observa las bases 7. Se observa la parte alta de un muro con un
de dos árboles, que distan entre sí 100 m, con ángulo de elevación θ, nos acercamos 6 metros
ángulos de depresión de 530 y 450, al muro y el nuevo ángulo de elevación para la
respectivamente. Calcule la altura de vuelo del parte alta del muro es 900 – θ. Si la altura del
globo. muro es 2 metros, determine tanθ + cotθ.

A) 500 m B) 400 m C) 200 m A) 3√2 B) 2√13 C) √17

D) 300 m E) 600 m D) √13 E) 2√5

3. Un asta de bandera de 6 m está parada sobre la 8. Desde lo alto de una cima se observan los
azotea de una casa. Desde un punto del plano puntos A y B, con ángulos de depresión α y β,
de la base de la casa, la punta y la base del asta respectivamente, los cuales satisfacen la
se ven con ángulos de elevación de 600 y 450, condición siguiente: tan α = tan β + 0,3. Si los
respectivamente. Encuentre la altura de la casa. puntos A y B están distantes 20 m y 50 m,
respectivamente, del pie de la cima, halle la
2 3 6
A) m B) m C) m longitud de la altura de dicha cima.
√3−1 √3−1 √3−1
6 3
D) m E) m
√3+1 √3+1 A) 10 m B) 30 m C) 20 m
D) 70 m E) 50 m
4. Desde el pie de un poste, el ángulo de elevación UNMSM 2007 II
a la punta de una torre mide α; desde la parte
superior del poste, que tiene x metros de altura,
9. Cuando el ángulo de elevación del sol es θ y un A) 4√2 B) √10 C) 6√2
poste de teléfono está inclinado un ángulo α D) 5√2 E) 4√3
(respecto a la vertical) en dirección opuesta al
sol, este arroja una sombra de l metros de largo 3. Calcule el perímetro del triángulo de vértices
a nivel del suelo. Calcule la longitud del poste. A(4; 7), B(−1; −8) y C(8; −5).

A) 6√10 B) 8√10 C) 10√10

D) 12√10 E) 14√5

4. Del gráfico, calcule tan θ + cot α.

l l
A) senα+cosαcotθ B) senα+cotθ
lcotθ ltanθ
C) cosα+senαtanθ D) cosα+senαcotθ
E) l(senα + cosθ)
A) 3 B) 1/7 C) 2
D) 2/7 E) 1/2
10. Subiendo por un camino inclinado de ángulo 𝜃 2
respecto a la horizontal, se observa lo alto de 5. En el gráfico, tan α = 3 y M es punto medio de
una torre con un ángulo de elevación 2𝜃, BC. Halle las coordenadas del punto A.
verificándose que la torre mide a metros y la
visual b metros. Calcule el valor de 𝑐𝑜𝑡𝜃.

A) a/b B) 2a/b C) b/a

D) a/2b E) 2b/a

GEOMETRIA ANALITICA

1. Halle las coordenadas del punto que pertenece 1

al eje de ordenadas y equidista de A) (1; 0) B) (2; 0) C) (2 ; 0)
(−1; 2) y (3; 5). 3
D) (4 ; 0) E) (3; 0)
2 2 29
A) (0; 3) B) (0; − 3) C) (0; 6 ) 6. Del gráfico, ABCD es un cuadrado y la ordenada
29 11 del punto D es 6. Calcule las coordenadas del
D) (0; − ) E) (0; )
6 6 punto C.
2. Del gráfico, halle PM si AM=MB.

A) (8; 12) B) (12; 8) C) (6; 14)

D) (4; 8) E) (8; 14)
7. Las coordenadas del punto P(x; y), que se
encuentra en el primer cuadrante del plano
cartesiano, se definen por las formulas x =
2t − 3, y y = 5 − 2t. Halle los valores de t para
que el punto P se encuentre mas alejado del eje
Y que del eje X.

A) t ∈ 〈2; +∞〉 B) t ∈ 〈−∞; 2〉

5
C) t ∈ 〈2; 2〉
3 5
D) t ∈ 〈2 ; 2〉 A) 6 B) 9 C) 8
5
D) 12 E) 10
E) t ∈ 〈2 ; +∞〉
UNMSM 2007 I ANGULOS EN POSICION NORMAL I

8. Los puntos O(0; 0), Q(2; 4), R y P(4; 2) son 1. En el gráfico, PB=2(AB). Calcule el radio vector
vértices de un rombo. Si M es punto medio de del punto P.
̅̅̅̅̅, tal que MS = 2, halle la suma de
̅̅̅̅ y S ∈ MR
QP SR
las coordenadas de S.

A) 9 B) 8 C) 12
D) 13 E) 10
UNMSM 2008 I

9. Del gráfico, AOB es un triángulo equilátero,

EH = 2(BE) y OP = OE. Calcule la suma de las A) 4 B) 6 C) 3
coordenadas del punto P. D) 2 E) 5

2. Del gráfico mostrado, calcule tan 𝛼 + sec 𝛼.

A) 2√3 + 3 B) √3 + 3 C) √3 + 1
D) 2√3 + 1 E) 2√3 + 2
A) 1/2 B) 1/5 C) 2/5
D) 12/13 E) 13/5
10. Del gráfico, halle el perímetro de la región
sombreada. Considere que 0 < x < 2.
3. Del gráfico mostrado, calcule el valor de
√6(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃).
 A) 4 B) 3 C) 5
A) −1 − √5 B) √5 C) 1 + √5 D) 2 E) 6
D) √5 − 1 E) 1 − √5
7. En el gráfico, ABCD es un rombo. Si OA =
4. Del gráfico, calcule 2𝑠𝑒𝑐𝜃. 3 y CP = PD, calcule el radio vector del punto
P.

A) −√13 B) −√5 C) – 3 √183 √185

A) B) C) 13/2
D) −13 E) – 5 2 2
√173 √170
D) E)
2 2
5. Del gráfico mostrado, calcule el valor de
3senθ + √5tanθ. 8. En el gráfico, AB = BC. Calcule cot 𝛽.

2√3 √3
A) − B) – 3/2 C) −
3 2
5 2
A) 4 B) −4 C) 0 D) − 3 E) − 3
D) −2 E) 2
9. En el gráfico, OABC es un cuadrado y 𝐵(3; 5).
6. Del gráfico, AB = √58. Calcule el valor de Calcule √17 cos 𝜃 − tan 𝜃.
tan α + cot θ.
 E) IIIC

4. A partir del gráfico, halle el signo de las

expresiones.

I. senθtanα
cosθ
II. senα
III. cotθ + secα

A) – 5 B) −4 C) – 3
D) 3 E) 5
A) −, +, − B) +, −, + C) +, +, −
10. Del gráfico mostrado, AOB es un cuadrante y D) −, +, + E) +, +, +
PF=FH. Calcule tan 𝛼.
5
5. Si tan  = ,   IIIC , calcule cos .
2

A) – 2/3 B) −√5/3 C) – 3/4

D) – 2/7 E) −√5/4

25
6. Si sec  = y sen <0, calcule tan .
24
A) – 3/4 B) −2/3 C) – 3/2
A) 7/24 B) 24/7 C) – 3/4
D) – 4/3 E) – 1/2
D) – 7/24 E) −24/7
ANGULO DE POSICION NORMAL II
1
7. Si 36cos = ,   IIC
1. Si sen  0 y cot   0, halle el cuadrante al 9
cual pertenece θ. Calcule el valor de √2(cotθ + cscθ)

A) IC B) IIC C) IIIC A) 3/2 B) 2/3 C) 1

D) IVC E) IIIC o IVC D) 2 E) 1/2

2. Calcule el signo de las siguientes expresiones 8. Si se cumple que

2tanθ+1 = sec450 , θ ∈ IIC
U = sen1400 tan1000
Halle el valor de senθcosθ
C = sec3100 + cot1900
H = csc1000 − cos 2000 A) 2/5 B) – 1/3 C) 1/3
D) – 2/3 E) – 2/5
A) −, +, − B) −, +, + C) −, −, +
D) −, −, − E) +, +, + 9. Si se cumple que
cot 2 α + cotα − 6 = 0, α ∈ IVC
3. Si se cumple que Calcule le valor de 3secα + cscα.
sen 2 cos   0
cos  csc   0 A) 2√10 B) 0 C) √10
Indique el cuadrante al cual pertenece θ. D) −2√10 E) −√10

A) IIC  IVC B) IIC a −b

10. Si sen = , 0  a  b y cos   0
C) IIIC  IVC D) IVC a+b
 a+b A) 4 B) 5 C) 7
Calcule el valor de √abtanβ + .
2
D) 6 E) 8
A) a B) b C) 2a
7. Si 𝛼 𝑦 𝜃 son ángulos cuadrantales positivos y
D) 2b E) a/2
menores que una vuelta, tal que
ANGULOS DE POSICION NORMAL III tan  = sen3 −1. Calcule  −  .

1. Calcule el valor de la expresión k. A) 1800 B) 00 C) 900

sen900 + cos 3600 D) – 1800 E) – 900
K=
sen2700 + cos1800
8. Si 𝛼 𝑦 𝛽 son ángulos cuadrantales positivos
A) 1 B) 0 C) 1/2 menores que una vuelta, tal que
D) – 1 E) – 1/2 ( sen − 1)2 + (cos  + 1) 2 = cot 900
  − 
halle el valor de sen( +  ) + tan  .
2. Si f ( x ) = senx + cos x, calcule el valor de 𝑓(900) +  2 
𝑓(1800 )
A) – 2 B) – 1 C) 0
A) 0 B) 1 C) – 1 D) 2 E) 1
D) 2 E) – 2
9. Si 𝛼 𝑦 𝛽 son ángulos cuadrantales positivos y
3. Si 𝜃 es un ángulo cuadrantal positivo y menor menores que una vuelta, tal que
que una vuelta, tal que: sen + 1  +
= −1,    . Calcule .
tan1800 + sen2700   cos  − 1  −
cos  = , halle sen   .
6
0
cos 360
A) 2 B) 3 C) 1/2
A) 1/2 B) √3/2 C) √2/2 D) 1/3 E) 1
D) 3/5 E) 4/5
10. Si 𝛼 𝑦 𝛽 son ángulos cuadrantales positivos
menores que una vuelta, tal que
asen900 + b cos1800
4. Si tan  = y   IIIC , ( sen 2 + 1) cos  = 0
2(a − b)
( sen )cos  + sen90 = sen 2 
0

Calcule sec .
Calcule el mayor valor de 𝛼 + 𝛽.
A) – 4 B) −√5/2 C) – 5/2
D) – 3/2 E) −√5 A) 1800 B) 4500 C) 3600
D) 2700 E) 5400
5. Se sabe que 𝛼 𝑦 𝜃 son ángulos cuadrantales
positivos y menores que una vuelta y cumplen
las condiciones: IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
sen + 3 = sec 600 FUNDAMENTALES I

cos  = sen2700 + cos 3600 ,    1. Simplifique la expresión

calcule  +  . senx + cot x 1
+
tan x + csc x sec x
A) 2700 B) 1800 C) 4500
D) 5400 E) 3600 A) 2secx B) senx C) cosx
D) 2senx E) 2cosx
6. ¿Cuántos ángulos cuadrantales existen entre
00 𝑦 6300 ? 2. Simplifique la siguiente expresión
 cos x(cos x + sec x) − senx(csc x + senx) A) 1 B) 2 C) 3
cos x − senx D) 3/2 E) 5/2

A) cosx – senx B) senx 9. Si x tan  + y cot  = x, halle sec2  − tan  .

C) cosx + senx D) cosx
E) senx – cosx x− y x− y x+ y
A) B) C)
y x x
3. Elimine la variable angular de las siguientes
x+ y x− y
expresiones. D) E)
y x+ y
senθ − 1 = x, cscθ + 1 = y

A) (𝑥 + 2)(𝑦 + 1) = 1 10. Si se cumple que

B) (𝑥 + 2)(𝑦 + 1) = 2 aseny
tan x =
C) (𝑥 + 2)(𝑦 − 1) = 2 1 − a cos y
D) (𝑥 − 2)(𝑦 − 1) = 1 bsenx
E) (𝑥 + 2)(𝑦 − 1) = 1 tan y =
1 − b cos x
senx
4. Reduzca la expresión halle .
seny
senx
+ cot x
1 + cos x
A) b/a B) 2b/a C) a/2b
D) a/b E) 2a/b
A) senx B) cosx C) secx
D) cscx E) tanx
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
FUNDAMENTALES II
5. Simplifique la expresión
tan x 1 + sec x
+
1 + sec x tan x 1. Reduzca la siguiente expresión
sec  csc  − cot 
A) 2tanx B) 2cscx C) 2secx
(csc  + 1)(csc  − 1)
D) 2cotx E) 2cosx

6. Exprese A) 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 B) 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 C) 𝑡𝑎𝑛3 𝜃

D) 𝑐𝑜𝑡 3 𝜃 E) 𝑡𝑎𝑛𝜃
 1 + cos  csc  
2

A=  en funcion de tan  .

 sen + cos   1
2. Si sen cos  = y t  0, calcule el valor de la
t
1
A) 1 + tan 2  B) 1 − C) 1 − tan 2  siguiente expresión
tan  M = tan  (cot  + 1) + cos csc
1
D) (1 + tan  )2 E) 1 +
tan 2  A) 1 + 𝑡 B)
1+𝑡
C)
1+𝑡
UNMSM 2004 I 𝑡 2
𝑡 𝑡−1
D) 2 E) 𝑡
7. Si 3cos x − 2senx = 2, halle el valor de tan x.
3. Elimine la variable angular 𝜃 de las siguientes
A) 5/4 B) 5/3 C) 5/12 condiciones.
D) 3/2 E) 5/6 sec  csc  = x
tan  − cot  = y
8. Si senx + sen 2 x = 1, halle el valor de
cos x + cos x + 1.
2 4 A) 𝑥 2 − 𝑦 2 = 4 B) 𝑥 2 − 𝑦 2 = 2
C) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 D) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2
 E) 𝑥 2 − 𝑦 2 = 1
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE
4. Si 3senx = 7 − 2 cos x, calcule el valor de ANGULOS COMPUESTOS I
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥.
1. Calcule el valor aproximado de la siguiente
expresión
A) √3/7 B) √3/2 C) 2/7
E) 2√3/7 3 3
D) √3/14 sen670 −
10
2
5. Si senx + cos x = , calcule el valor de A) 4/5 B) 3/5 C) 2/5
3
D) 1/5 E) √3/5
𝑠𝑒𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥.
2. Simplifique la siguiente expresión
A) 15/16 B) 3/7 C) 2/3
D) 17/18 E) 8/9 2sen(300 + y ) − 3seny
cos y
6. Simplifique la expresión
1 1 A) 1/2 B) √3/2 C) 1
( sen6 x + cos 6 x) − (cos 2 x − sen 2 x) 2
3 4 D) 2 E) 0

A) 1 B) 1/3 C) 1/4 3. Simplifique la expresión

D) 1/12 E) 7/12 sen( x + y ) − cos xseny
cos( x + y ) + senxseny
1
7. Si sen6 x + cos 6 x = , calcule sec 2 x + csc2 x.
2 A) 𝑐𝑜𝑡𝑦 B) 𝑐𝑜𝑡𝑥 C) 𝑡𝑎𝑛𝑥
D) 𝑡𝑎𝑛𝑦 E) 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦
A) 3 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10 4. Si 5sen(370 + x) = 2cos(600 + x), calcule cot x.

8. A partir de la identidad 4+√3 4+√3 4−√3

(1 + cot x + csc x)(1 + cot x − csc x) + 2tan x = n sec x csc x A) B) − ( ) C)
2 2 2
√3−4 √3
Calcule 𝑛2 . D) E) −
2 2

A) 1 B) 2 C) 9 5. Simplifique la siguiente expresión

D) 4 E) 25 sen( x + y ) − 2 cos xseny
cos( x + y ) + 2senxseny
  2 
9. Si senx = + cos x, calcule tan 1 − 
4  tan x + cot x  A) tan (𝑦 − 𝑥) B) tan (𝑦 + 𝑥)
C) cot (𝑦 + 𝑥) D) tan (𝑥 − 𝑦)
A) √3/3 B) √3 C) 3/4 E) cot (𝑥 − 𝑦)
D) 4/3 E) 1
6. Si x + y = 300 , halle el valor de la expresión
mn (senx + cos y)2 + (cos x + seny)2
10. Si m cos 4 x + nsen 4 x = , calcule 𝑡𝑎𝑛2 𝑥.
m+n
A) 1 B) 2 C) 3
A) n/m B) m/n C) 1/m D) 4 E) 5
𝑚+𝑛
D) 1/n E) 𝑚−𝑛
7. Si asen( x + y) = bsen( x − y), halle tan x cot y.
 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏
A) 𝑎−𝑏 B) 𝑏−𝑎 C) 𝑎+𝑏
𝑏−𝑎 𝑎+1
D) 𝑎+𝑏 E) 𝑏+1

8. Reduzca la siguiente expresión

sen( −  )
+ tan 
cos  cos 

A) 𝑡𝑎𝑛𝛼 B) 1 C) 𝑐𝑜𝑡𝛼
D) 𝑡𝑎𝑛𝛼𝑐𝑜𝑡𝜃 E) 𝑐𝑜𝑡𝛼𝑡𝑎𝑛𝜃 A) 7/13 B) 35/13 C) 7/12
D) 13/7 E) 12/7
2
9. Si cos(450 − x) = , halle el valor de 𝐸 = 2 tan x
3 4. Si tan(450 − x) − = 0, calcule cot x.
𝑠𝑒𝑛3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥. 1 + tan x

A) 23/27 B) 3/4 C) 23/25 A) 1 B) 2 C) 3

D) 13/27 E) 22/27 D) 4 E) 5

5. Del gráfico, calcule tan  .

10. Del gráfico, calcule √7 cos 𝑥.

A) 8/17 B) 2/17 C) 4/19

A) 2/5 B) 5/3 C) 1/2 D) 8/19 E) 2/19
D) 2/3 E) 5/2
6. Si cot y − cot x = 2 y tan x tan y = 3, calcule
tan( x − y).
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE
ANGULOS COMPUESTOS II A) 2/3 B) 3/4 C) 4/3
D) 3/2 E) 2/5
2
1. Si tan x = , halle tan( x + 530 ).
3 cos( x + y ) 1
7. Si se cumple que =− ,
cos x cos y 3
A) 9/2 B) 2 C) 12 además, tan x + tan y = 4 . Calcule tan( x + y).
D) 16 E) 18
A) – 10 B) – 12 C) – 8
2. Si tan( x + y) = −3, tan y = 4, calcule tan x.
D) 8 E) 12

A) – 7/11 B) – 7/10 C) 7/11 8. Simplifique la siguiente expresión

D) 7/10 E) 3/11
 tan 2 6 x − tan 2 2 x 
  cot 8 x
 1 − tan 6 x tan 2 x 
2 2
3. Del gráfico, hallar tan  .

A) tan 4x B) tan 2x C) tan 6x

 D) cot 4x E) cot 2x 3. Simplifique la expresión
cos( x + y )
+ sen 2 y
9. Del gráfico mostrado, calcule tan x. sec( x − y )

A) cos 2 x B) sen2 x C) cot 2 x

D) tan2 x E) sec2 x

4. Simplifique la expresión
(tan 400 + tan100 )cos 400 cos100

A) sen500 B) sen400 C) sen100

D) cos 200 E) cos100

5. Reduzca la expresión
sen20
0 0
+ tan10
A) 1 B) 1/2 C) 1/3 cos 3 cos1
D) 2 E) 3/5
A) tan 20 B) tan10 C) tan 30
10. Del gráfico, calcule tan( −  ) D) 2 tan10 E) tan 40

6. Del gráfico, halle tan 

A) 29/62 B) 19/60 C) 20/63

D) 8/3 E) 19/62

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE
ANGULOS COMPUESTOS III A) 4/19 B) 8/19 C) 19/5
D) 19/4 E) 19/12
1. Simplifique la expresión
sen 2 400 − sen 2100 7. En un triángulo ABC, se cumple que
tan A + tan B = 2 tan C. Halle tan A tan B
cos 400
A) 1 B) 2 C) 3
A) 1 B) 1/2 C) √3/2 D) ½ E) 1/3
D) 3/4 E) 4/5
8. Reduzca la expresión
2. Simplifique la expresión
sen200 + cos 200
sen( x + y ) sen( x − y ) + sen 2 y
sen500 cos150 + cos 500 sen150
(1 − senx)(1 + senx)
A) 2 B) 1 C) tan200
2
A) cotx B) tanx C) tan x D) √2 E) tan650
D) cot 2 x E) sen2 x
 A) 1/2 B) √2/2 C) 3/5
9. Simplifique la expresión D) 4/5 E) 0
( sen100 + 3 cos100 ) csc 700
6. Si sen(2700 + x) + cos(1800 + x) = 3sen(3600 − x)
A) 2 B) 1 C) 1/2
D) √3/2 E) 1/3 A) 13/4 B) 14/3 C) 13/9
D) 6/5 E) 5/3
10. Calcule el valor de la expresión
2 tan 500 + tan 800 7. Si sen100 = a, halle el valor de
tan 500 tan 800 sen1700 − cos 2600
csc3500 + 2 csc100
A) tan800 B) tan500 C) tan400
D) tan100 E) tan200 A) a 2 B) 2a2 C) a
D) 2a E) −2a 2
REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE I
8. Si A + B + C =  , calcule
cos(2 A + B + C ) tan( A + 2 B + 2C )
1. Calcule el valor de la expresión
sen1500 + cos1200 + tan 2250  B+C − A
sen  
 2 
A) 3 B) 2 C) 1
D) 0 E) – 1 A) −tanA B) −cotA C) cotA
D) tanA E) senA
2. Simplifique la expresión
3sen(1800 − x) + sen(1800 + x) 9. Del gráfico, calcule tan  + cot 
cot(900 + x)

A) −2cosx B) −cosx C) cosx

D) 2cosx E) −2senx

3. Reduzca la siguiente expresión

tan(1800 − x) + cot(3600 − x)
sec(2700 + x) A) – 2/5 B) 2/5 C) – 5
D) 4/5 E) – 4/5
A) −cscx B) −secx C) −tanx
D) cscx E) secx  
10. Si cos  +   = m−1 , m  0 , calcule el valor de
5 
4. Si x + y = 1800 , simplifique  6   4 
sen 2  +   + sen 2  − 
senx + seny  5   5 
cos x − cos y
1
A) 2(1 − m2 ) B) 1 − m2
A) −tanx B) 2tany C) tanx
2(m2 − 1) m2 − 1
D) −2tany E) senx C) D)
m2 2m 2
5. Calcule el valor de la expresión m2 + 1
E) 2
cos 200 + cos 400 + cos600 + ... + cos1600 m −1
 REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE II 8. Simplifique la expresión
cos 2 ( + x) − sen 2 (3 + x)
+ sen(− x)
 
1. Calcule el valor de 2 cos  x + 
 4
E = sen3900 + cos7800
A) senx B) cosx C) −senx
A) √3 B) √3/3 C) √3/2 D) −cosx E) 2cosx
D) 1/2 E) 1
9. Simplifique la expresión
2. Simplifique la expresión sen(− x) sen(3600 + x)
cos(10800 + x) + cos(3600 − x) +
cos( x − 2700 ) sen( x − 1800 )
1 − sen 2 x
A) – 2 B) 2 C) – 1
A) −secx B) 2secx C) −2cosx D) 1 E) 0
D) 2cosx E) secx
10. Al simplificar la expresión
3. Si tan(7200 + x) + cot(3600 + x) = 3, calcule
cos(4500 +α)cos(6300 -α)-sen(9000 -α)sen(10800 -α)
senx cos x.
se obtiene.
A) 1/2 B) – 1/2 C) – 1/3
D) 1/3 E) 2/3 A) 2sen2 x B) sen2 x C) cos 2 x
D) −2sen2 x E) −2cos 2 x
4. Reduzca la expresión UNMSM 2007 I
senx csc(− x) + cos x sec(− x) + tan( − x)
tan(7200 + x)
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DEL
ANGULO DOBLE I
A) 1 B) tanx C) −tanx
D) – 1 E) cotx
1. Simplifique la expresión
5. Simplifique la expresión sen 2 + cos 
sen(2 + x) cos(4 + x)
sen + sen300
tan(6 − x)
A) 2cosθ B) cosθ C) 2senθ
A) −cos 2 x B) −cosx C) −sen2 x D) senθ
1
E) 2 cosθ
D) cos 2 x E) sen2 x

6. Si f(x) = senx − cosx 3

2. Si sen = , calcule cos 2 .
Halle f(2π+x) + f(π+x) 2
2

A) 4/9 B) 2/9 C) 5/9

A) cosx B) senx C) 2senx
D) 1/3 E) 2/5
D) 2cosx E) −2senx

senx cos x 3. Si tan x = 2 , calcule tan 2 x.

7. Si x + y = 4 , calcule +
seny cos y
A) −√2 B) 2√2 C) √2
A) – 1 B) 0 C) 1 D) −2√2 E) – 2
D) 2 E) – 2
4. Simplifique la expresión
 4sen50 cos 50 cos100 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DEL
cos 2 100 − sen 2100 ANGULO DOBLE II

A) sen200 B) cot200 C) tan200 1

1. Si tan x = , halle cosx.
D) tan400 E) cot400 2

2 A) 1/2 B) 1/3 C) √2/2

5. Si senx + cos x = , calcule sen2 x. D) 2/3 E) 1/4
3

A) 1/3 B) – 1/3 C) – 2/3 2. Calcule llll

D) 2/3 E) 1/2

1 3. Reduzca la siguiente expresión

6. Si sen2 x = , calcule el valor de la expresión (cot100 + tan100 ) sen50 cos 50
3
( senx + cos x ) − ( senx − cos x )
2 2 csc 200

1
A) 2/5 B) 3/5 C) 1/6 A) 2sen50 B) 2cos50 C) 2 sen100
1
D) 1/3 E) 2/3 D) sen100 E) 2 sen200

7. Reduzca la expresión
4. Si cotx − tanx + cot2x = 2, calcule tan2x.
1 + sen 400 − sen 200
A) 2/3 B) 3/2 C) 1/3
A) cos100 B) sen100 C) cos200 D) 1/2 E) 2/5
D) sen200 E) 2cos200
5. Si 2cot2θ + tanθ = √m; m > 0, determine
8. Si tan x + 7 tan x = 1, calcule tan 2 x.
2
csc2 θ.

A) 1/7 B) 2/7 C) 2/3 A) 1 − m B) m − 1 C) 1 + m

D) 5/7 E) 3/7 D) m2 − 1 E) m2 + 1

9. Determine el equivalente de 6. De la siguiente identidad

(tan x + cot x)(cos4 x − sen4 x) 2tanθ
2( ) cos2θcos4θ = Asen(Bθ)
1 + tan2 θ
A) cot2x B) 2cot2x C) tan2x A
Calcule el valor de .
D) 2tan2x E) cotx B

10. Simplifique la siguiente expresión A) 1/2 B) √2/2 C) 4

1 + cos 4 − 2 cos 2 D) √2/4 E) 1/4
sen 2
1
7. Si sen4 x+cos 4 x = 2 , halle sen2 4x.
A) −4cos2θ B) −2cos2θ C) −cos2θ
D) 2cos2θ E) 4cos2θ
A) 1/2 B) 3/4 C) 1/3
D) 9/25 E) 0

8. Simplifique la siguiente expresión

2tan3 x
sen2x +
sec2 x
 A) 2tanx B) tanx C) 2senx
D) senx E) 2cotx A) – 1/2 B) 1/2 C) −√3/2
D) √3/2 E) 3/5
9. Si sec2 x+tan2 y = 5, calcule el valor de la
2 tan x 1 − tan 2 y 6. Si 4cos 3 x − 3cosx =
1
, calcule tan2 3x.
expresión + . √5
sen2 x cos 2 y
A) 1 B) 2 C) 3
A) 3 B) 4 C) 5 D) 4 E) 5
D) 6 E) 7
7. Simplifique la expresión
10. Reduzca la siguiente expresión (7cos 3 x − cos3x)senx
  
tan + 2 tan + 4 cot . cos 4 x − 1
32 16 8
A) 3cotx B) cotx C) 3tanx
π π π
A) tan B) tan C) cot D)−3tanx E)−3cotx
32 16 32
π π
D) cot 16 E) cot 8
sen2 x
8. Si cos 3x = , cos x  0,
2
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DEL halle csc2 x − cscx.
ANGULO TRIPLE I
A) – 4 B) – 2 C) 2
1 D) 3 E) 4
1. Si senx = , calcule 3sen3x.
3
2
9. Si sen( x − 600 ) = , calcule sen3 x.
A) 5/3 B) 4/3 C) 2/3 3
D) 1/3 E) 1/5
19√2 19√2 8√2
A) B) − C) −
27 27 9
2. Reduzca la expresión 8√2
D) E) 2/9
sen3 + sen 9
2 cos 2 
6sen100 − 1
10. Simplifique la expresión .
A) 2cosθ B) cosθ C) 2senθ 1 − cos 2 100
D) senθ E) senθ
A) 8sen100 B) 4sen100 C) 2sen100
cos 3 x − cos x D) sen100 E) 4sen200
3. Simplifique la expresión .
2 senx

A) sen2x B)
sen2x
C) −2sen2x IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DEL
2 ANGULO TRIPLE II
sen2x
D) − E)−sen2x
2
1. Simplifique la expresión
4. Simplifique la siguiente expresión tan3x(1 − 3tan2 x)
sen3x − 3senx 3 − tan2 x
.
cos 3x + 3cos x
A) tanx B) −tanx C) cotx
3 3 3 D)−cotx E) senx
A) tan x B) −tan x C) 4tan x
D) −cot 3 x E) −4tan3 x
2. Reduzca la expresión
5. Reduzca la expresión 4sen 10 − 3sen10 .
3 0 0
 sen3θ
− 2cos2θ
senθ

A) 0 B) – 1 C) – 1/2
D) 1/2 E) 1

3. Simplifique la siguiente expresión

sen3x
cos2x + 2cos 2 x
A) 2/7 B) 3/5 C) 9/10
A) cosx B) −cscx C) cscx D) 3/10 E) 2/5
D)−senx E) senx
10. Si tan(600 − x) = √5, calcule tan3x.
4. Reduzca la expresión
cos3x √5 √5 √5
− cos2x A) − B) − 14 C) 14
cosx 7
√5
D) E) 5/7
7
A) −2sen2 x B) −2cos 2 x C) 2sen2 x
D) 2cos 2 x E) sen2 x
TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS I
5. Simplifique la expresión
sen3x 1. Simplifique la expresión
cos2x + cos600 sen420 + sen180 − cos120
senx
A) senx B) C) cosx A) 0 B) 2cos120 C) cos60
2
cosx
D)2senx E) D) 2cos60 E) sen120
2

6. Calcule el valor de la siguiente expresión 2. Reduzca la siguiente expresión

√3 sen200 + sen80
8sen100 cos100 sen400 sen800 + 2sen70 cos70
2

√3+1 √3+2 A) cos60 B) 2cos60 C) cos30

A) B) C) √3 D) 2cos30 E) 2sen60
2 2
√3 √3+1
D) 3
E) 4
3. Del gráfico, halle θ.
7. A partir de la condición 3cos3x = 2cosx,
determine un valor para cos 2 x − sen2 x.

A) 3/4 B) 5/6 C) 4/5

D) √2/2 E) 1/2

8. Si 6tan2 x = tan3 x − 3tanx + 2, calcule tan3x.

A) 4 B) 3 C) 2 A) 300 B) 600 C) 150

D) 1/2 E) 1/3 D) 200 E) 750

9. A partir del gráfico, halle cos2θ. 

4. Si x = , calcule el valor de:
12
 cos(2x + y) + cos (4x − y)
sen(2x + y) + sen(4x − y) 1. Calcule el valor de la siguiente expresión
2sen430 cos130 − sen560
A) – 2 B) – 1 C) 2
D) 1 E) 1/2 A) 1/2 B) √3/2 C) √2/2
D) 3/5 E) 4/5
5. Simplifique la expresión
cos800 cos400 2. Simplifique la expresión
− 2sen6xcos4x − sen10x
cos200 sen700
cos 2 x−sen2 x
A) −√3sen200 B) tan200
C) −tan200 D) −√3tan200 A) tan2x B) cot2x C) tanx
D) cotxE) sen2x
E) √3tan200
3. Reduzca la expresión
6. Reduzca la siguiente expresión
2cos5xcos3x − cos2x
sen4x + sen6x + sen8x
sen4xcos4x
2cos2x + 1
A) cot8x B) 2cot8x C) tan8x
A) sen8x B) sen4x C) sen6x
D) 2tan8x E) 2cot4x
D) cos2x E) 2cos2x
4. Reduzca la siguiente expresión
7. Simplifique la expresión
cosx − cos3x + 2015senx 2sen400 cos120 − sen520
sen3x + senx + 2015cosx 2sen110 cos30 − sen80

A) tanx B) cotx C) −tanx A) cos140 B) sen140 C) 2cos140

D) −cotx E) senx D) 2sen140 E) sen280

8. Determine el equivalente de 5. Simplifique la expresión

cos150 cos50 + sen2 100
√3 − 2sen100
sen250 A) 2cos 2 50 B) cos 2 50 C) 2cos 2 100
D) cos 2 100 E) sen2 50
A) 2cos350 B) 4cos350 C) 2sen250
D) 4sen250 E) 4sen200 1
6. Si f(x) = senxcos3x + 2 sen2x, calcule f( π ) .
24
9. Simplifique la expresión
cos 2 x + cos 2 (600 + x) + cos 2 (600 − x) A) 1/2 B) 1 C) 1/4
D) √2/2 E) √2/4
A) 3/4 B) 2 C) 1/4
D) 1/2 E) 3/2 7. Reduzca la siguiente expresión
sen2 2θ + cos 2 3θ + sen5θsenθ
sen7 x m
10. Si = , calcule tan 4 x cot 3x.
senx n A) 2 B) 1/4 C) 1/2
D) 1 E) 3/4
m−n m+1 m+n
A) m+n B) C) m−n
n+1
m+n
D) n−m
n−m
E) m+n 8. Simplifique la expresión
√3cos400 − 2sen200 .

A) cos200 B) sen200 C) 2sen200

TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS II
D) 2sen400 E) sen400
 3. Halle el perímetro del rectángulo ABCD.
9. Halle el valor de la expresión
1
2sen700 −
2sen100

A) 2 B) 1 C) 1/2
D) – 2 E) – 1

10. Reduzca la siguiente expresión

(√2cos250 − cos700 )(cos 4 100 + sen4 100 ) +
sen8 100
A) 2(senα + cosα) B) 2(senα − cosα)
8 0 16 0
A) 2sen 10 B) 2sen 10 C) 2cos 8 100 C) 4(senα + cosα) D) 4(senα − cosα)
D) cos 8 100 E) cos16 100 E) senα + cosα

4. Del gráfico, calcule el área de la región

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA I sombreada.

1. En la circunferencia trigonométrica, calcule PQ.

senθcosθ
A) senθcosθ B) 2
senθcosθ
A) senθ B) 1 − senθ
1
C) senθ C) − D) −senθcosθ
2
2
1−senθ E) sen2 θ
D) E) 1 − cos θ
2
5. Calcule el área de la región sombreada.
2. En la circunferencia trigonométrica, calcule AB.

cosθ 1−senθ cosθ

A) B) C)
2 2 4
1+cosθ 1−cosθ
A) 1 + senα B) 1 − senα C) senα − 1 D) 2
E) 2
1−senα 1+senα
D) 2 E) 2
6. Del gráfico, calcule OP.
 senθ cosθ cosθ
A) B) C) 1+senθ−cosθ 1+senθ+cosθ
3 3 2 A) B)
senθ senθ 2 2
D) E) 1−senθ−cosθ 1−senθ+cosθ
2 4 C) D)
2 2
senθ−cosθ
E)
7. En la circunferencia trigonométrica, calcule 2
tanα.
10. En la circunferencia trigonométrica, halle OP.

senθ cosθ cosθ

A) 1+cosθ B) 1+senθ C) 1−senθ
senα senα cosα
cosθ senθ A) 1+cosα B) 1−cosα C) 1−senα
D) senθ−1 E) 1−cosθ cosα cosα
D) 1+senα E) senα−1
8. Del gráfico, calcule b − a en términos de β.
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA II

1. Halle la variación de la siguiente expresión

2senθ + 1

A) [−2; 2] B) [−1; 3] C) [−2; 3]

D) [−1; 2] E) [−1; 1]

2. ¿Para qué valores de k se verifica la igualdad

k−3
senθ = ?
4
A) senβ − cosβ B) cosβ − senβ
A) [−1; 7] B) [−4; 4] C) [−1; 4]
C) senβ + cosβ D) –(senβ + cosβ)
D) [−2; 7] E) [−3; 7]
E) 1 + senβ + cosβ
3. Determine el número de valores enteros que
9. Calcule el área de la región sombreada en
toma la expresión: 4 − 3senθ.
términos de θ.
A) 3 B) 4 C) 5
 D) 6 E) 7 1
D) ⟨2 ; 1] E) ⟨0; 1]

4. Si θ ∈ IC, halle la variación de la expresión.

senθ + 2
3 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA III

1
A) [3 ; 1] B) 〈0; 3〉
2 2
C) 〈3 ; 1〉 1. Determine la variación de la expresión
2
3cosθ − 2
D) 〈0; 1〉 E) [3 ; 1]
A) [−5; 1] B) [−5; −1] C) [−4; 1]
5. ¿Para qué valores de m se verifica la igualdad D) [−4; 0] E) [−5; 0]
1
senα = − 2; α ∈ IIIC? 2. ¿Para qué valores de k se verifica la igualdad
m
2k + 3
1 1 1 cosθ = ?
A) 〈2 ; 1〉 B) [3 ; 1] C) 〈0; 2〉 4
1 1
D) [0; 2] E) [2 ; 1] 3 1 7 1 1 1
A) [− 2 ; 2] B) [− 2 ; 2] C) [− 2 ; 2]
1 7
6. Halle la variación de la expresión D) [−1; 2] E) [− 2 ; 0]
sen2 θ + 2senθ + 1
cos  + 2
3. Si θ ∈ IIC, halle la variación de
A) [0; 2] B) [0; 1] C) [1; 4] 3
D) [0; 4] E) [0; 3]
1 1 2 2
A) [3 ; 1] B) 〈3 ; 3〉 C) 〈3 ; 1〉
0 0]
7. Si α ∈ [30 ; 90 , determine la variación de 1 2 2
4senα − 3. D) [3 ; 3] E) [3 ; 1]

A) [−7; 1] B) [−3; 1] C) [−1; 1] 4. ¿Para qué valores de k se verifica la igualdad

D) 〈−3; 1〉 E) 〈−1; 1〉 k+1
cosα − tan450 = ; α ∈ IC?
2
8. Si la variación de la expresión √2senθ − 1, θ ∈
〈450 ; 1200 〉, en ⟨a; b], calcule a − b. A) 〈−2; 0〉 B) [−5; −1] C) 〈−3; −1〉
D) 〈−5; −3〉 E) 〈−3; 0〉
A) √2 − 1 B) −√2 C) 1 − √2
2−√6 5. Halle la variación de la expresión
D) −2√2 E) 2(cosθ − sen300 ); 0 ≤ θ ≤ 600
2

9. Halle la variación de la expresión 1 1

A) [−3; 1] B) [0; 2] C) [2 ; 1]
senθcos100 + cosθsen100 ; −100 ≤ θ ≤ 500
D) [0; 1] E) [−1; 0]
√3 1
A) [−1; 1] B) [0; ] C) [0; 2] 6. Halle el máximo valor que tiene la expresión
2
D) [0; 1]
1 √3
E) [2 ; ] cos 4 x−sen4 x + 3
2

π A) 1 B) 5 C) 4
10. Si α ∈ 〈0; 2 〉, halle la variación de D) 3 E) 2
1
senαcosα +
2
7. Si θ ∈ ⟨900 ; 3600 ], determine la variación de
1 1
A) [2 ; 1] B) 〈2 ; 1〉 C) [0; 1] θ
cos ( )
3
 √3 1 1 √3 √3 1
A) 〈− ; − 〉 B) [− 2 ; ⟩ C) ⟨− ; ]
2 2 2 2 2
√3 1 √3
D) ⟨− ; 0] E) ⟨− 2 ; ]
2 2

8. Si θ ∈ IVC, determine la variación de

cosθ(cosθ + 4) + 5

A) [5; 10] B) 〈4; 9〉 C) 〈2; 5〉

D) 〈5; 10〉 E) [2; 10]

cos  + 3
9. Halle la variación de la expresión . A) 1 − tanθ B) tanθ
cos  + 2
C) 1 − senθ D) senθ − tanθ
1 4 1 E) tanθ − 1
A) [3 ; 1] B) [1; 3] C) [3 ; 2]
4
D) [1; 2] E) [3 ; 2] 3. Del gráfico, calcule OP en términos de θ.

10. Si (2cosθ + 1) ∈ [0; 2]; 0 < θ < 2π, halle la

variación de θ.

π 2π 4π 5π 2π 4π
A) [ 3 ; ]∪[ ; ] B) ⟨0; ]∪[ ; 2π⟩
3 3 3 3 3
π 5π 7π 11π 5π 7π
C) [ ; ]∪[ ; ] D) ⟨0; ]∪[ ; 2π⟩
6 6 6 6 6 6
π 2π
E) ⟨0; 3 ] ∪ [ 3 ; π]

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA IV tanθ

A) B) tanθ − senθ
4
1. Calcule el área de la región sombreada en tanθ tanθ−senθ
C) D)
2 2
términos de θ. tanθ−cosθ
E)
2

4. Calcule el perímetro de la región sombreada en

términos de θ si ABCD es un cuadrado.

tanθ
A) tanθ B) C) 2tanθ
2
tanθ tanθ
D) − E)
2 4

2. En la circunferencia trigonométrica, halle PQ. A) 4tanθ B) 2tanθ C) −2tanθ

D) −4tanθ E) −6tanθ

5. Del gráfico, calcule tanα en términos de θ si

AM=MO.
 1 1
E) 〈− 2 ; 2〉

1 π
10. Si 2tanθ = x + x ; x > 0 y θ ∈ 〈0; 2 〉, halle la
variación de θ.

π π π π
A) [ 4 ; 2 ⟩ B) 〈0; 2 〉 C) ⟨0; 4 ]
π π π
D) 〈0; 4 〉 E) 〈 4 ; 2 〉

2 2 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS I
A) − 3 tanθ B) 3 tanθ C) −2tanθ
1
D) 2tanθ E) − 3 tanθ 1. Resuelva la siguiente ecuación
x x
2sen cos − 1 = 0; x ∈ 〈0; 2π〉
6. En la circunferencia trigonométrica, halle PH en 2 2
términos de α.
π π
A) { 2 } B) {π} C) {2 ; π}
3π π 3π
D) { 2 } E) {2 ; }
2

2. Resuelva la siguiente ecuación

2cos 2 x − 1 = 0; x ∈ 〈0; π〉

π 3π π π 3π
A) { 2 ; } B) { 2 } C) {4 ; }
2 4
π π π π
D) {4 ; 2 } E) {4 ; 2 ; π}

3. Calcule la suma de soluciones de la siguiente

A) secα B) cosα + tanα
ecuación.
C) −cosα + tanα D) √1 − tan2 α sen2x
E) √1 + tanα senx − = 0; x ∈ [0; 2π]
2
7. Si θ ∈ 〈0; 450 〉, halle la variación de 1 + tanθ. A) 2π B) 3π C)
3π
2
D) π E) 4π
A) 〈0; 1〉 B) 〈0; 2〉 C) 〈1; 2〉
1
D) 〈1; +∞〉 E) 〈0; 2〉 4. Resuelva la siguiente ecuación
3π
8. Calcule la suma del máximo y mínimo valor que cosx(4cos 2 x − 3) = −1; x ∈ 〈0; 〉
2
toma la expresión
π π π π π
√3tanθ + 2; θ ∈ [ ; ] A) { 2 } B) { 6 } C) {4 }
6 3 π 5π
D) {3 } E) {12 }
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8 5. Resuelva la siguiente ecuación e indique la
menor solución positiva.
9. Halle la variación de la expresión sen7x − senx = 0
tanα π π
2
; α ∈ [− ; ]
1 − tan α 8 8 π
A) 2
π
B) 4 C) 6
π

π π
A) [−1; 1] B) [1 − √2; √2 − 1] D) 3 E) 8
1 1
C) [− 2 ; 2] D) 〈−1; 1〉
 π π π
6. Resuelva la siguiente ecuación e indique el A) 6 B) 4 C) 3
número de soluciones. π 5π
D) 2 E)
2sen2 x − 3senx + 1 = 0; x ∈ 〈0; 2π〉 6

A) 1 B) 2 C) 3 2. Resuelva la siguiente inecuación

D) 4 E) 5 (cosx + 3)cosx < 0; x ∈ 〈0; π〉

π π 2π
7. Resuelva la siguiente ecuación A) 〈0; 〉 B) 〈0; π〉 C) 〈 ; 〉
2 2 3
π π π
cotx − 2cot2x = 1; x ∈ 〈0; 〉 D) 〈 6 ; π〉 E) 〈 2 ; π〉
2
3. Resuelva el siguiente sistema e indique un valor
π π π para y.
A) {12} B) { 6 } C) {4 } 2π
π
D) {3 }
5π
E) {12 } {x + y = 3
cos2x + cos2y = 0
8. Determine la suma de todos los valores de θ ∈ 7π π π
[0; 2π] que satisfacen la ecuación. A) 12 B) 6 C) 8
π π
senθ + cosθ = −1 D) 12 E) 3
7π 9π 3π π
A) B) C) 4. Si tanx = 1, x ∈ 〈0; 〉 y, además,
2 4 2 2
5π 7π
D) 2
E) 4
sen(y − x) = 0; n ∈ ℤ , halle y.
UNMSM 2009 I
π π π
A) {nπ + 4 } B) {2nπ + 4 } C) {nπ + 2 }
9. Calcule la solución general de la ecuación π π
D) {2nπ + 2 } E) {nπ + 6 }
senx − √3cosx = 2; n ∈ ℤ

π π 5π 5. Resuelva la siguiente inecuación

A) {2nπ + 2 } B) {2nπ + 6 } C) {2nπ + } π
6
π 2π sen5xcos2x > cos5xsen2x; x ∈ 〈0; 〉
D) {nπ + 6 } E) {nπ + } 2
3
π π π π
A) 〈0; 6 〉 B) 〈0; 4 〉 C) 〈 6 ; 4 〉
10. Resuelva la siguiente ecuación π π
2 2
42sen x + 42cos x + 8 = 16; n ∈ ℤ D) 〈0; 3 〉 E) 〈0; 2 〉

π 6. Resuelva la siguiente inecuación

A) {(2n + 1) 2 }
1 π
nπ
B) { 2 } 0 < senx ≤ ; x ∈ 〈0; 〉
2 2
nπ
C) { }
4 π π π
π A) 〈0; 6 〉 B) ⟨0; 6 ] C) ⟨0; 3 ]
D) {(2n + 1) 4 }
π π π
E) {(2n + 1) 8 }
π D) [ 6 ; π⟩ E) [ 6 ; 2 ]

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS II 7. Halle el conjunto solución de

sen(π − x) + sen(2π − x)
+ x2 < 1
1. Resuelva el siguiente sistema e indique el x
menor valor positivo que tomas x.
x+y=π A) 〈−1; 1〉 − {0} B) 〈−1; 1〉
{ C) [−1; 1] − {0} D) ℝ − {0}
senx + seny = 1
E) ∅
8. Dado el sistema de ecuaciones
tan(α − 250 ) = cot(β − 300 )
{
2β − α = 350
Donde α y β son agudos, halle:
tan (α + β − 250 )
1 + cosβ

2√3 3√3 2√3

A) − B) − C) −
9 2 3
3√3 2√3
D) E)
2 3
UNMSM 2007 II A) 8/5 B) 6/5 C) 24/5
D) 18/5 E) 3/2
9. Calcule la suma de las dos primeras soluciones
positivas de la siguiente ecuación 3. Si en un triángulo ABC, AB=c, AC=b y BC=a,
1 calcule:
2senx = a + ; a > 0 asenB − bsenA + 3
a
asenC − csenA + 2
A) 3π B) 2π C) 4π
π 5π A) 3/2 B) 1/2 C) 2
D) 2 E) 2
D) 1 E) 1/3

10. Halle el mínimo valor que puede tomar α en la 4. A partir del gráfico, halle cosθ.
siguiente igualdad.
tanx − 5αcotx = 10

A) 1 B) −√5 C) −5
D) 5 E) √5

RESOLUCION DE TRIANGULOS
OBLICUANGULOS I
A) 2/3 B) 1/2 C) 1/3
D) 3/4 E) 3/5
1. A partir del gráfico, halle BC.
5. Del gráfico, halle cos2θ.

A) 1/6 B) 1/3 C) 1/2

√2 √2 2 D) √3/2 E) √2/2
A) senθ B) 2senθ C) senθ
√2 √3
D) 4senθ E) senθ 6. Las longitudes de los lados de un triángulo son
tres números enteros consecutivos, y el ángulo
2. Dado el grafico, halle BC. mayor es el doble del ángulo menor α. Halle la
razón del lado mayor con el lado menor.
senα
A) cos2α B) 2cscα C) 3
D) cosα E) 2cosα
 UNMSM 2010 I D) c E) 2c

7. Dado el grafico, calcule BC/AC.

RESOLUCION DE TRIANGULOS
OBLICUANGULOS II

1. En un triángulo ABC de lados a, b y c

respectivamente se cumple:
√2
b2 + c2 = a2 + bc
2
Calcule 𝑐𝑜𝑠𝐴.
2 3
A) 3 senθcscα B) 2 senαcscθ
2 3
C) 3 senαcscθ D) 2 senαsenθ A) 1/2 B) √3/2 C) √2/2
3 D) √2/3 E) √2/4
E) senθcscα
2

8. A partir del gráfico, calcule el valor del ángulo θ. 2. Del gráfico, calcule AB si 𝑐𝑜𝑠𝛼 = √6/3

A) 70 B) 120 C) 80 A) √6 B) 4 C) 3
D) 60 E) 160
D) 5 E) √7
9. Del gráfico, calcule tan θ − cos x.
3. A partir del triángulo ABC, halle AC.

A) – 1/2 B) 1 C) 2/3
D) 1/2 E) 3/2 √3+1 2√3 √3−1
A) B) C)
2 2 3
10. En un triángulo ABC, de lados a, b y c, √3
D) E) 3√2
2
respectivamente, y circunradio R, simplifique la
siguiente expresión. 4. A partir del gráfico, calcule la medida del ángulo
R(sen2A + sen2B)
𝜃.
ab
cosAcosB + 2
4R

A) a B) b C) b/2
 A) – 1/2 B) 1/3 C) 1/2
D) – 1/3 E) – √3/6

8. Calcule el perímetro del triángulo ABC.

A) 600 B) 370 C) 150

D) 300 E) 450

5. Calcule la medida del ángulo 𝜃.

20√7 25√7 26√7

A) +5 B) +5 C) +5
7 7 7
10√7 15√7
D) +5 E) +5
7 7

9. En un triángulo ABC del gráfico, el ángulo en A

es agudo y se cumple que:
a4 + b4 + c4 = 2a2 (b2 + c2 )
A) 300 B) 1500 C) 600 Halle la medida del ángulo A.
D) 1200 E) 1350

6. A partir del gráfico, calcule 𝑐𝑜𝑠𝜃.

A) 300 B) 450 C) 600

D) 750 E) 500
UNMSM 2005 II

A) 1/3 B) 2/9 C) 2/3 10. En el triángulo del gráfico, se tiene que

D) 1/4 E) 1/9 (𝐵𝐶 )(𝐴𝐶 ) = 12 𝑢2 ; (𝐵𝐶 )(𝐴𝐵) = 8 𝑢2 𝑦
(𝐴𝐶 )(𝐴𝐵) = 6 𝑢2 .
7. El grafico representa un cubo, Q es el centro de Halle el valor de 𝑀 = 3𝑐𝑜𝑠𝛼 + 4𝑐𝑜𝑠𝛽 + 6𝑐𝑜𝑠𝛾.
BCGF. Si P y S son puntos medios de AB y GH,
halle 𝑐𝑜𝑠𝛼.

A) 27/5 B) 29/4 C) 22/7

D) 25/8 E) 28/9
UNMSM 2008 I
 FUNCIONES DIRECTAS I
6. Calcule el dominio de la función f definida por
1. Determine el dominio de la función cos 2 x − sen2x
2 f(x) = ; nϵℤ
f(x) = cos x + sen ( ) cos3x + 1
x
A) ℝ − {(2x + 1)π}
A) ℝ B) ℝ − {0; 1} C) ℝ − {0; 2} B) ℝ − {nπ}
D) ℝ − {0} E) ℝ − {2} C) ℝ − { 3 }
nπ

π
2. ¿Cuál es el dominio de la función f definida por D) ℝ − {(2n + 1) 6 }
f(x) = 2 cos √x − sen3x? π
E) ℝ − {(2n + 1) 3 }

A)  0; +  B) ℝ C) 0; + 7. Determine el dominio de la siguiente función

D) ℝ − {0} E) 0;1 f(x) = √cos2x − 1; nϵℤ

nπ
3. Sea la función real f definida por A) {2nπ} B) { 2 } C) {nπ}
cos x nπ π
f( x) = . Halle el dominio de f. D) { } E) {(2n + 1) }
4 2
senx 2 − 1

π 8. Halle el dominio de la función

A) ℝ − {2nπ + 2 ; nϵℤ} f(x) = 2√senx + cosx; x ∈ 〈0; 2π〉
π
B) ℝ − {nπ + 4 ; nϵℤ}
π A) 〈0; π〉 B) 〈0; 2π〉 C) ⟨0; π]
C) ℝ − {2nπ + 4 ; nϵℤ} π
D) 〈 2 ; 2π〉 E) 〈π; 2π〉
π
D) ℝ − {nπ + 2 ; nϵℤ}
nπ
E) ℝ − { 2 ; nϵℤ} 9. Calcule el dominio de la función f definida por
f(x) = √2senx − 1, x ∈ 〈0; π〉
4. Calcule el dominio de la función f definida por
f(x) = sen2 x + tanx; nϵℤ. π π
A) ⟨ 6 ; 2 ]
π 2π
B) [ 3 ; ]
π 5π
C) [ 6 ; ]
3 6
π π 5π
A) ℝ − {nπ} D) ⟨0; 6 ] E) ⟨0; 6 ] ∪ [ 6 ; π⟩
π
B) ℝ − {(2n + 1) } 4
nπ 10. Halle el dominio de la función f definida por
C) ℝ − { 4 } π
π f(x) = tan ( senx) + cosx
D) ℝ − {(2n + 1) } 2
2
nπ
E) ℝ − { 2 } π
A) ℝ − {(2n + 1) 2 ; nϵℤ}
π
1 B) ℝ − {(2n + 1) 4 ; nϵℤ}
5. Sea la función f(x) = 3sec2x − 3. Calcule su
nπ
dominio. C) ℝ − { 2 ; nϵℤ}
nπ
D) ℝ − { 4 ; nϵℤ}
π
A) ℝ − {(2n + 1) 2 ; nϵℤ} E) ℝ − {2nπ; nϵℤ}
π
B) ℝ − {(2n + 1) 4 ; nϵℤ}
π
C) ℝ − {2nπ + 2 ; nϵℤ} FUNCIONES DIRECTAS II
3π
D) ℝ − {2nπ + ; nϵℤ}
2
nπ 1. Calcule el rango de la función f definida por
E) ℝ − { 2 ; nϵℤ} f(x) = 2 + 3senx
 8. Calcule el rango de la función definida por
A) [−2; 5] B) [−1; 3] C) [−1; 5] (1 + senx)(1 + cosx)
f(x) =
D) [0; 5] E) [1; 3] 1 + senx + cosx

2. Determine el rango de la función f definida por 1−√2 1+√2

A) [ ; ]
5cosx−3 2 2
f(x) = ; x ∈ IV C. B) [−1; 1] − {0}
2
1−√2 1+√2
3 C) [ ; ] − {0}
2 2
A) [−4; 1] B) [−2; 1] C) 〈− 2 ; 1〉 −√2 √2
3 D) [ ; ] − {0}
D) 〈−4; 1〉 E) [− 2 ; 1] 2 2
2−√2 2+√2
E) [ ; 2 ]
2
3. Calcule el rango de la función definida por
3 9. Halle el rango de la función f definida por
f(x) =
2 + sen2x f(x) = |cosx| − cos2x

1 9
A) [1; 3] B) [3 ; 1] C) [2; 3] A) [0; 1] B) [0; ] C) [−1; 2]
8
1 1 9
D) [ ; 3] E) [ ; 2] D) [−1; 0] E) [− 8 ; 1]
3 3

10. Determine el rango de la función f definida por

4. Se define la función f por: π π
f(x) = 2sen2x; x ∈ [ ; ]
f(x) = (cosx + senx)(cosx − senx); x ∈ [0; π] 12 4
Calcule el rango de f.
1 1
A) [2 ; 1] B) [1; 2] C) [2 ; √2]
A) [−1; 1] B) [−1; 0] C) [0; 1] √2
1 1
D) [ 2 ; 1] E) [√2; 2]
D) ⟨0; 2] E) [−1; 2]

5. Determine el rango de la función FUNCIONES DIRECTAS III

cot 2 x. sen2 x
f(x) = 𝜋
tan2 x. cos 2 x + 1 1. El punto 𝑃 ( ; 𝑦1 ) pertenece a la gráfica de la
12
1 1 función f definida por 𝑓(𝑥) = 4𝑠𝑒𝑛2𝑥. Calcule
A) 〈−1; 1〉 B) 〈− 2 ; 2〉 C) 〈0; 1〉
𝑦1.
1 1
D) 〈− 2 ; 0〉 E) 〈0; 2〉
A) 1 B) 2 C) 1/2
6. Calcule el rango de la función definida por D) 3/2 E) 4
π
f(x) = √2senxcosxcos2xcos4x; x ∈ 〈0; 〉
32 2. A partir del gráfico, calcule el área de la región
sombreada.
1 1 1
A) 〈8 ; 1〉 B) 〈0; 8〉 C) 〈0; 4〉
1
D) 〈0; 1〉 E) 〈0; 16〉

7. Halle el rango de la función f definida por

sen2x
f(x) = + cos 2 x + 1
senx

A) [0; 4] B) 〈0; 3〉 C) [0; 3]

D) 〈0; 4〉 E) 〈1; 4〉
𝜋√2 𝜋√2 𝜋√2
A) 𝑢2 B) 𝑢2 C) 𝑢2
4 8 2
 𝜋 𝜋
D) 4 𝑢2 E) 2 𝑢2
𝜋 2𝜋
A) 2 B) C) 𝜋
3
3. En el gráfico, calcule tan𝜃. 5𝜋 3𝜋
D) 6
E) 4

7. En el grafico mostrado, halle el valor de

𝑥2 𝑦2
+
𝑥1 𝑦1

2 2 3𝜋
A) 3𝜋 B) 𝜋 C) 4
4 3𝜋
D) 3𝜋 E) 2

4. A partir del grafico mostrado, halle el área de la A) 1 B) – 1 C) 4

región sombreada. D) 2 E) – 2

8. Indique la gráfica que representa la siguiente

función. 𝑓(𝑥) = |𝑠𝑒𝑛𝑥 | + 𝑠𝑒𝑛𝑥; 𝑥 ∈ [0; 2𝜋]

A) B)

𝜋 𝜋
A) 4 𝑢2 B) 2 𝑢2 C) 𝜋 𝑢2 C) D)
3𝜋 𝜋
D) 𝑢2 E) 3 𝑢2
2

5. Si 𝑇1 𝑦 𝑇2 son los periodos mínimos de las

funciones 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛𝑥,
determine 𝑇1 + 𝑇2.
E)
A) 𝜋 B) 2𝜋 C) 3𝜋
5𝜋 7𝜋
D) 2 E) 2

6. En el grafico mostrado, halle el valor de 𝑥2 − 𝑥1 .

9. Indique en cuantos puntos la gráfica de la
función f definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1; 𝑥 ∈
〈0; 4𝜋〉, corta al eje de las abscisas.

A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

10. Determine la regla de correspondencia de la

siguiente grafica de una función.
 π π π
A) 6 B) 3 C) 4
π
D) 2 E) π

4. En el gráfico, determine la abscisa del punto P.

A) y = 3sen6x B) y = 3sen8x
C) y = 3senx D) y = 3sen24x
E) y = 3sen12x

FUNCIONES DIRECTAS IV π π π
A) 8 B) 6 C) 4
π 5π
π π D) 3 E) 12
1. Los puntos P ( 6 ; y1 ) y Q (8 ; y2 ) pertenecen a
la gráfica de la función f definida por f(x) =
5. Se sabe que el periodo mínimo de la función
cos2x. Calcule y2 + y1 . f(x) = 3cos2x es T1 y el periodo mínimo de la
π
√2+1 √2+1 √2−1
función g (x) = 2 cos(Bx) ; B > 0 es 4 .
A) B) C) T1
2 4 2
1−√2 √3+1 Halle
D) 2 E) B
2
π π π
A) 8 B) 4 C) 6
2. A partir del gráfico, determine el área de la π
región sombreada. D) π E) 2

6. En el gráfico, calcule el área de la región

sombreada.

3π 3π
A) u2 B) u2 C) π u2
2 4
3π
D) 2π u2 E) u2
8
7π 7π 11π
A) u2 B) u2 C) u2
3. En el gráfico, halle el valor de cotα. 6
7π
3
7π
12
D) 24 u2 E) 12 u2
7. Determine la gráfica de la siguiente función
f(x) = 3cos2x

A) B)

π π
A) 2 u2 B) 4 u2 C) π u2
3π
C) D) D) 2π u2 E) u2
2

E)

8. En el gráfico, calcule A + B 2 .

A) 5 B) 7 C) 9
D) 6 E) 8

9. Señale en cuantos puntos la gráfica de la

función f definida por
f(x) = 2senx − cosx; x ∈ 〈0; 4π〉, corta al eje de
las abscisas.

A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6

10. A partir del grafico mostrado, halle el área de la

región sombreada.