ANTOLOGÍA DE LA UNIDAD

UNO DE FUNCIONES
MATEMÁTICAS

Técnico Superior Universitario en Mecánica Industrial.

Grupos:
2 ”A” y 2”B”

Elaboró:
M.A. Ángel Guerrero Guerrero

Periodo: Enero-Abril 2020

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Contents
¿Qué es Geometría? ............................................................................................................................................. 5
Polígono ................................................................................................................................................................ 6
Tipos de polígonos ............................................................................................................................................ 6
Polígonos según sus lados ............................................................................................................................. 6
Polígonos según su regularidad..................................................................................................................... 6
Polígonos según sus ángulos ......................................................................................................................... 7
Triángulo ............................................................................................................................................................... 8
Elementos de un triángulo ................................................................................................................................ 8
Tipos de triángulos ............................................................................................................................................ 8
Tipos de triángulos según sus lados .............................................................................................................. 8
Tipos de triángulos según sus ángulos .......................................................................................................... 9
Área del triángulo ........................................................................................................................................... 10
Perímetro del triángulo ................................................................................................................................... 13
Centros de un triángulo .................................................................................................................................. 16
Recta de Euler ............................................................................................................................................. 19
Teorema de Pitágoras ..................................................................................................................................... 19
Teoremas trigonometricos .............................................................................................................................. 20
Teorema del seno ....................................................................................................................................... 20
Teorema del coseno .................................................................................................................................... 21
Cuadrilátero ........................................................................................................................................................ 22
Elementos del cuadrilátero ............................................................................................................................. 22
Tipos de cuadrilátero ...................................................................................................................................... 22
Área de un paralelogramo .............................................................................................................................. 23
Perímetro de un paralelogramo .................................................................................................................. 24
Método del paralelogramo ......................................................................................................................... 24
Cuadrado......................................................................................................................................................... 25
Elementos y propiedades del cuadrado ...................................................................................................... 25
Diagonal del cuadrado ................................................................................................................................ 25
Área del cuadrado ....................................................................................................................................... 26
Perímetro del cuadrado .............................................................................................................................. 26
Rectángulo ...................................................................................................................................................... 27
Diagonal del rectángulo .............................................................................................................................. 27
Área del rectángulo ..................................................................................................................................... 28

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 Perímetro del rectángulo ............................................................................................................................ 28
Rombo............................................................................................................................................................. 28
Elementos y propiedades del rombo .......................................................................................................... 28
Diagonales del rombo ................................................................................................................................. 29
Área del rombo ........................................................................................................................................... 30
Perímetro del rombo ................................................................................................................................... 30
Romboide........................................................................................................................................................ 32
Elementos y propiedades del romboide ..................................................................................................... 32
Área del romboide ...................................................................................................................................... 32
Perímetro del romboide .............................................................................................................................. 33
Trapecio .......................................................................................................................................................... 33
Elementos y propiedades del trapecio ........................................................................................................ 33
Tipos de trapecio ......................................................................................................................................... 34
Área de un trapecio..................................................................................................................................... 34
Perímetro del trapecio ................................................................................................................................ 36
Trapezoide ...................................................................................................................................................... 36
Elementos y propiedades del trapezoide .................................................................................................... 36
Área del trapezoide ..................................................................................................................................... 37
Área del trapezoide simétrico (o deltoide) .................................................................................................. 39
Perímetro del trapezoide ............................................................................................................................ 40
Perímetro del trapezoide simétrico (o deltoide) ......................................................................................... 40
Trapezoide no simétrico. ............................................................................................................................. 41
Pentágono. .......................................................................................................................................................... 42
Tipos de pentágono ........................................................................................................................................ 42
Perímetro del pentágono regular .................................................................................................................... 42
Perímetro del pentágono irregular ................................................................................................................. 42
Área del pentágono regular ............................................................................................................................ 43
Área del pentágono irregular ...................................................................................................................... 43
Determinante de Gauss .............................................................................................................................. 43
Círculo ............................................................................................................................................................. 44
Semicírculo...................................................................................................................................................... 44
Corona circular ................................................................................................................................................ 44
Elipse ............................................................................................................................................................... 45
Elementos de un círculo .................................................................................................................................. 45

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Cuerpos geométricos .......................................................................................................................................... 46
Volumen ...................................................................................................................................................... 47
Prisma ......................................................................................................................................................... 47
Volumen prisma triangular regular ............................................................................................................. 47
Volumen prisma cuadrangular regular ........................................................................................................ 48
Volumen prisma pentagonal regular ........................................................................................................... 48
Volumen prisma hexagonal regular ............................................................................................................ 48
Pirámide .......................................................................................................................................................... 49
Volumen de la pirámide .............................................................................................................................. 49
Volumen de la pirámide regular .................................................................................................................. 49
Volumen de la pirámide triangular regular ................................................................................................. 49
Volumen de la pirámide triangular irregular ............................................................................................... 50
Volumen de la pirámide cuadrangular regular ............................................................................................ 50
Volumen de la pirámide cuadrangular irregular ......................................................................................... 51
Volumen de la pirámide pentagonal regular ............................................................................................... 51
Volumen de la pirámide pentagonal irregular ............................................................................................ 52
Poliedro regular .............................................................................................................................................. 52
Volumen del tetraedro ................................................................................................................................ 52
Volumen del cubo (hexaedro regular)......................................................................................................... 53
Volumen del octaedro ................................................................................................................................. 53
Volumen del dodecaedro ............................................................................................................................ 53
Volumen de la esfera .................................................................................................................................. 54
Volumen del cilindro ................................................................................................................................... 54
Volumen del cono ....................................................................................................................................... 54
Volumen del tronco del cono ...................................................................................................................... 55
Volumen del toro ........................................................................................................................................ 55
Trigonometría ..................................................................................................................................................... 56
Ángulos. .......................................................................................................................................................... 56
Clasificación de ángulos por su sentido ....................................................................................................... 56
Clasificación de ángulos por su medida....................................................................................................... 57
Clasificación de ángulos por su relación con otros ángulos ........................................................................ 58
Clasificación de ángulos por su relación con otros ángulos ........................................................................ 58
Trigonometría ................................................................................................................................................. 60
Razones trigonométricas................................................................................................................................. 60

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 Razones trigonométricas de ángulos característicos ................................................................................... 61
Razones trigonométricas recíprocas ............................................................................................................... 61
Relación entre razones trigonométricas ..................................................................................................... 62
Funciones trigonométricas inversas ............................................................................................................ 63
Teoremas trigonométricos .............................................................................................................................. 66
Teorema del seno (Ley de senos) ................................................................................................................ 66
Teorema del coseno .................................................................................................................................... 67
Propiedades de las razones trigonométricas .................................................................................................. 67
Razones trigonométricas del ángulo suma .................................................................................................. 67
Razones trigonométricas del ángulo resta .................................................................................................. 68
Razones trigonométricas del ángulo doble ................................................................................................. 68
Razones trigonométricas del ángulo mitad ................................................................................................. 68
Razones trigonométricas del ángulo triple .................................................................................................. 69
EJERCICIOS .......................................................................................................................................................... 70

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 ¿Qué es Geometría?

La geometría es un área de las matemáticas que estudia las medidas, propiedades y relaciones
que se encuentran en el espacio, tales como de los puntos, líneas, ángulos, superficies y sólidos.
El término geometría viene de los términos griegos geos (tierra) y metría (medir). Es decir, era la
ciencia que intentaba medir todas las cosas de la Tierra.
La geometría tiene múltiples aplicaciones en la vida cuotidiana:

Un constructor va a diseñar un edificio y necesita calcular su volumen para obtener la licencia

municipal. Para ello puede recurrir a la fórmula del volumen del prisma rectangular, ya que la finca
tiene esa forma.

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 Polígono

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por un número finito de líneas rectas
conectadas que forman una figura cerrada. Los puntos donde dos líneas rectas del polígono se
unen son los vértices.

Tipos de polígonos

Los polígonos se pueden clasificar mediante cuatro criterios diferentes

Polígonos según sus lados

Los polígonos se pueden clasificar según su número de lados:

Triángulo: polígono con tres lados
Cuadrilátero: polígono con cuatro lados
Pentágono: polígono con cinco lados
Hexágono: polígono con seis lados
Heptágono: polígono con siete lados
Octógono: polígono con ocho lados
Eneágono: polígono con nueve lados
Decágono: polígono con diez lados
Undecágono: polígono con once lados
Dodecágono: polígono con doce lados
Y así sucesivamente…

Polígonos según su regularidad

Equilátero: si tienen todos sus lados iguales

Equiángulo: si tiene todos sus ángulos iguales
Polígono regular: si todos los lados son iguales y es equiángulo (todos los ángulos iguales)
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Polígono irregular: tiene tanto sus lados como sus ángulos desiguales.

Polígonos según sus ángulos

Podemos clasificar los polígonos según si sus ángulos son mayores o menores de 180º en convexos
o cóncavos.
Convexo: todos sus ángulos interiores tienen menos de 180º. Por otro método, será convexo si
para cualquier par de puntos del polígono, el segmento que los une está dentro del polígono.
Cóncavo: algún ángulo interior tiene más de 180º. Al contrario del convexo, en los cóncavos existe
un par de puntos del polígono que el segmento que los une queda fuera del polígono.

Polígonos según su complejidad

Simple: ningún lado del polígono intersecta con otro
Complejo: al menos un par de lados se corta

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 Triángulo

Un triángulo es un polígono de tres lados (a, b y c). Los lados confluyen dos a dos en tres puntos,
llamados vértices (A, B y C).
Los tres ángulos interiores del triángulo suman 180º (π radianes).

Elementos de un triángulo

En un triángulo se pueden diferenciar los siguientes elementos:

Vértices: puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 3 vértices (A, B y C).
Lados: segmentos que unen dos vértices consecutivos del triángulo y que delimitan su perímetro.
Tiene 3 lados (a, b y c).
Ángulos interiores: ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen.
Hay 3 ángulos interiores (α, β y γ). Los ángulos interiores del triángulo suman 180º

Ángulos exteriores: ángulo de un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 3
ángulos exteriores (θ). Los ángulos exteriores siempre suman 360º.
Altura de un triángulo: La altura de un triángulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que
va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la
distancia de un lado al vértice opuesto.

Tipos de triángulos

Tipos de triángulos según sus lados

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Triángulo equilátero: tiene todos sus lados iguales. Por tanto, sus ángulos también son los tres
iguales. Es decir:

Como todos los ángulos son iguales y suman 180º, todos son de 60º (α=β=γ=60º).

Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales. Por lo tanto, dos de sus ángulos también son iguales.

El ángulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c).

Triángulo escaleno: los tres lados son desiguales, por lo que los tres ángulos también son
diferentes. Es decir:

Tipos de triángulos según sus ángulos

Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es de 90º. Los otros dos son agudos (menores de 90º).
Triángulo oblicuángulo: no tiene ningún ángulo recto (90°). Són triángulos oblicuángulos los
triángulos acutángulos y los triángulos obtusángulos.
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Triángulo acutángulo: los tres ángulos son agudos (menores de 90º).
Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es mayor a 90º. Los otros dos son agudos (menores
de 90º).

A continuación os mostramos una tabla de los triángulos según sus ángulos y lados.

Área del triángulo

El área de un triángulo se calcula por diferentes procedimientos según el tipo de triángulos de

que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triángulo.

La fórmula general para calcular el área de un triángulo es:

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Veamos cual es la fórmula según el tipo de triángulo:

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Área de un triángulo equilátero
El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales. Su área, como en todo triángulo, será un medio
de la base (a) por su altura. En el triángulo equilátero viene definida por la siguiente fórmula:

Área de un triángulo isósceles

El área de un triángulo isósceles, como en todo triángulo, será un medio de la base (b) por su altura.
En el triángulo isósceles se calcula mediante la siguiente fórmula:

Área de un triángulo escaleno

El área del triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón si se conocen todos
sus lados (a, b y c).

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También se podría calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado.

Perímetro del triángulo

En cualquier triángulo, su perímetro es la suma de sus tres lados.

La fórmula del perímetro de un triángulo es diferente según el tipo de triángulos. La fórmula
general para calcular el perímetro de un triángulo es:

Perímetro de un triángulo equilátero

El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales, por lo que su perímetro será tres veces la
longitud de uno de sus lados (a).

Perímetro de un triángulo isósceles

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El perímetro de un triángulo isósceles se obtiene como suma de los tres lados del triángulo. Al
tener dos lados iguales, el perímetro es dos veces el lado repetido (a) más el lado desigual (b).

Perímetro de un triángulo escaleno

El triángulo escaleno tiene sus tres lados desiguales. Su perímetro es la suma de éstos tres.

Ángulos interiores del triángulo

En todo triángulo, la suma de sus tres ángulos interiores es siempre 180º (en grados
sexagesimales) o, en radianes, π. Es decir:

En efecto, si trazamos una recta OP paralela al lado AC, sobre el vértice B, se formará un ángulo
llano de 180º, suma de los tres ángulos interiores del triángulo.
En el caso particular del triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es de 90º o, en
radianes, π/2.

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Centros de un triángulo

Baricentro (o centroide) de un triángulo

El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triángulo.
Las medianas (ma, mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus vértices con el centro del lado
opuesto.
Se cumple la siguiente propiedad: la distancia del centroide a cada vértice es de 2/3 la longitud de
cada mediana.
En física, el baricentro (G) sería el centro de gravedad del triángulo.
El centroide está siempre en el interior del triángulo.

Ortocentro de un triángulo

El ortocentro H es el punto intersección de las tres alturas de un triángulo.

Las alturas (ha, hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el vértice
opuesto a este lado (o a su prolongación). También pueden entenderse como la distancia de un
lado al vértice opuesto.

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El ortocentro podría estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo
obtusángulo. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será
un punto interior. En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triángulo
obtusángulo.

Circuncentro de un triángulo

El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triángulo.
Las mediatrices de un triángulo (Ma, Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados,
es decir, las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de éste.

El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo, ya que equidista

de sus tres vértices.
El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el
semiperímetro del triángulo:

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El circuncentro puede estar en el exteriordel triángulo, en el caso de que sea un triángulo
obtusángulo. En los rectángulos el circuncentro se encontrará en el punto central de
la hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90º). En los acutángulos, será un punto interior.

Incentro de un triángulo

El incentro (I) es la intersección de las tres bisectrices del triángulo.

Las bisectrices de un triángulo (Ba, Bb y Bc) son los tres segmentos que, dividiendo cada uno de
sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:

El incentro se encuentra siempre en el interior del triángulo.

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Recta de Euler

En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro

(G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de
Euler.

Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G)
al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.

En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro

coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras relaciona los catetos de un triángulo rectángulo y su hipotenusa.

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º) y dos ángulos menores (<90º).
Los dos lados que forman el ángulo recto son catetos. El lado mayor opuesto al ángulo recto es
la hipotenusa.
El Teorema de Pitágoras enuncia que:
Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los
lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:

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 Teoremas trigonometricos

Teorema del seno

El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo. Éste
enuncia que:

Cada lado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo

opuesto (A, B y C).

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La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de
la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.
Es decir, todas las razones entre cada lado(a, b y c) y el seno del ángulo opuesto (A, B y C)
son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.

Teorema del coseno

El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman
éstos. El teorema enuncia que:

El cuadrado de un lado (a, b, c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de

los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C)
que forman.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para

cualquier triángulo.
De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a2 = b2+c2. Si el
ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

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 Cuadrilátero

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados (a, b, c y d). Los lados confluyen dos a dos en
cuatro puntos, llamados vértices (A, B, C y D).

Elementos del cuadrilátero

En un cuadrilátero se pueden diferenciar los siguientes elementos:

Vértices (V): puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 4 vértices.
Lados (L): segmentos que unen dos vértices consecutivos del cuadrilátero y que delimitan su
perímetro. Tiene 4 lados.
Diagonal (D): segmento que une dos vértices no consecutivos. En un cuadrilátero convexo hay 2
diagonales (¿por qué hay dos diagonales?).
Ángulos interiores (α): ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que
confluyen. Hay 4 ángulos interiores. Los ángulos interiores del cuadrilátero suman 360º (¿por qué
suman 360º?).
Ángulos exteriores (β): ángulo formado por un lado con la prolongación exterior del lado
consecutivo. Hay 4 ángulos exteriores.

Tipos de cuadrilátero

Convexos: todos sus ángulos interiores son menores de π radianes (180º). La suma de sus ángulos
interiores es de 360º (2π radianes) y sus dos diagonales son interiores.
Cóncavos: uno de sus ángulos interiores mide más de π radianes (180º). Al menos una de sus dos
diagonales es exterior.

Los cuadriláteros convexos se pueden dividir en varias categorías según sus lados y ángulos:

Paralelogramos: es un cuadrilátero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos y los
ángulos opuestos iguales.

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Cuadrado: cuadrilátero cuyos lados y ángulos son iguales.
Rectángulo: tiene los cuatro ángulos iguales (de 90º) y los lados iguales dos a dos, siendo
diferentes los lados adyacentes.
Rombo: todos los lados son iguales pero los ángulos son diferentes dos a dos, de manera que los
ángulos adyacentes son diferentes y cada ángulo es igual al ángulo no adyacente.
Romboide: tiene sus lados y ángulos iguales dos a dos. El romboide también es denominado
paralelogramo no regular.

Trapecios: cuadrilátero convexo con dos de sus lados paralelos que no son iguales.
Trapecio rectángulo: se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos ángulos consecutivos
rectos (de 90º).
Trapecio isósceles: los ángulos son iguales dos a dos. Tiene dos lados paralelos y dos oblicuos y
de igual longitud.
Trapecio escaleno: los cuatro ángulos interiores son desiguales.

Trapezoides: es un cuadrilátero en el que no hay ningún lado paralelo a otro.

Área de un paralelogramo

Para calcular el área de un paralelogramo, hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno
de sus lados.
Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base. El área del paralelogramo es el producto de
la base y la altura.

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Otro procedimiento para hallar el área del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no
opuestos entre sí (a y b) y el ángulo que forman estos (sea α o β):

sen α = sen β porque son ángulos suplementarios.

O, también, a partir de las dos diagonales y el ángulo que forman:

Perímetro de un paralelogramo

El perímetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados. Como el paralelogramo tiene

los lados iguales dos a dos, su perímetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes.

Método del paralelogramo

El método del paralelogramo es un procedimiento gráfico sencillo que permite hallar la suma
de dos vectores.

Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala, con el punto de aplicación común.

Seguidamente, se completa un paralelogramo, dibujando dos segmentos paralelos a ellos.
El vector suma resultante (a+b) será la diagonal del paralelogramo con origen común a los dos
vectores originales.
La fórmula del módulo del vector resultante es:

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Donde α es el ángulo que forman los vectores a y b.

Cuadrado

El cuadrado es un polígono con cuatro lados (cuadrilátero) iguales. Sus cuatro ángulos
interiores también son iguales y rectos (de 90º cada uno).

Elementos y propiedades del cuadrado

Lados: el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos.
Ángulos: tiene cuatro ángulos (α) iguales y rectos de 90º (π/2 radianes). Los ángulos interiores,
como en todo cuadrilátero, suman 360º (2π radianes).
Diagonales: las diagonales son segmentos que unen los vértices opuestos. Tiene
dos diagonales (D1 y D2) iguales y perpendiculares. Se cortan en el centro del cuadrado.
Las diagonales son las bisectrices de los ángulos. También son ejes de simetría.
Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simétricas
respecto a dicho eje. Tiene cuatro ejes de simetría (E1, E2, E3 y E4).
El cuadrado es un caso particular del rectángulo, siendo los pares de lados iguales. También es
un caso particular del rombo, con los pares de ángulos iguales y rectos (de 90º).

Diagonal del cuadrado

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La diagonal del cuadrado (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados.
La fórmula para calcular la diagonal es:

Ésta fórmula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo.

También podría obtenerse también a partir del teorema de Pitágoras, ya que dos lados (a)
consecutivos del cuadrado y la diagonal forman un triángulo rectángulo.

Área del cuadrado

El área del cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a). Es el producto de la base por la
altura del cuadrado, ya que al ser ambas iguales, el área será un lado al cuadrado.

La fórmula del área del cuadrado también podría obtenerse directamente de la fórmula del área
del paralelogramo. En particular, si la base del cuadrado es uno de sus lados, la altura relativa a
la base será un lado del cuadrado, derivando en la fórmula del área anterior.

Perímetro del cuadrado

El cuadrado tiene los cuatro lados iguales, por lo que su perímetro es cuatro veces uno de sus
lados.

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Rectángulo

Un rectángulo es un polígono con cuatro lados (cuadrilátero) siendo éstos iguales dos a dos.
Además, sus cuatro ángulos interiores son rectos (de 90º).
Elementos y propiedades del rectángulo

Lados: tiene cuatro lados, siendo cada lado igual a su opuesto (a y b), es decir, dos a dos.
Ángulos: sus cuatro ángulos (α) son iguales y rectos de 90º (π/2 radianes). Los ángulos interiores,
como en todo cuadrilátero, suman 360º (2π radianes).
Diagonales: las diagonales son segmentos que unen los vértices opuestos. Tiene
dos diagonales (D1 y D2) iguales y que se cortan en el centro del rectángulo.
Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividen el rectángulo en dos partes simétricas
respecto a dicho eje. Tiene dos ejes de simetría (E1, E2) paralelos a los lados a y b y pasan por el
centro del rectángulo.
Un caso particular de rectángulo es el cuadrado, cuando todos los lados son iguales (a=b).

Diagonal del rectángulo

La diagonal del rectángulo (D) se puede calcular a partir de la longitud de los lados diferentes
(a y b). La fórmula para calcular la diagonal es:

Ésta fórmula se obtiene directamente de la ley del paralelogramo.

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También podría obtenerse también a partir del teorema de Pitágoras, ya que dos lados (a y b)
consecutivos del rectángulo y la diagonal forman un triángulo rectángulo.

Área del rectángulo

El área del rectángulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b). Es el producto de los
dos lados contiguos del rectángulo.

Esta fórmula también podría obtenerse de la fórmula del área del paralelogramo. Si la basedel
rectángulo es uno de sus lados (en este caso b) , la altura relativa a la base será el lado a, y
aplicando la fórmula anterior obtendríamos la del área del rectángulo.

Perímetro del rectángulo

El perímetro del rectángulo es la suma de sus cuatro lados. Como el rectángulo tiene los lados
iguales dos a dos, su perímetro será el doble de la suma de dos lados contiguos (es decir, a y b).

Rombo

Un rombo es un polígono con cuatro lados (cuadrilátero) siendo los cuatro iguales.
Tiene cuatro ángulos interiores iguales dos a dos.

Elementos y propiedades del rombo

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Lados: el rombo tiene cuatro lados (a) iguales.
Ángulos: tiene cuatro ángulos (dos α y dos β) iguales dos a dos. Los ángulos interiores, como en
todo cuadrilátero, suman 360º (2π radianes).
Diagonales: las diagonales son segmentos que unen los vértices no consecutivos. Tiene
dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares. Se cortan en el centro del rombo.
Las diagonales son las bisectrices de los ángulos. También son ejes de simetría.
Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simétricas respecto
a dicho eje. Tiene dos ejes de simetría (E1, E2) que coinciden con las diagonales.
Un caso particular de rombo es el cuadrado, donde todos los ángulos son iguales (es decir, (α=β).
Los ángulos serán todos rectos (de 90º) y las diagonales iguales.

Diagonales del rombo

El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del

rombo. D es la diagonal mayor y d la diagonal menor.
Existe una fórmula que relaciona las diagonales del rombo y uno de sus lados (a). La relación es la
siguiente:

Ésta fórmula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo.

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También podría obtenerse también a partir del teorema de Pitágoras, ya que la mitad de cada
una de las diagonales (D/2 y d/2) y un lado del rombo forman un triángulo rectángulo.

Área del rombo

Existen varias fórmulas para calcular el área del rombo. La más común es mediante las
dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares). El área es la mitad
del producto de las diagonales (D y d).

Otra forma de calcular el área del rombo es mediante la fórmula del área del paralelogramo. En
este caso, un lado (a) se considera la base del rombo. Se mide la altura (h) relativa a dicha base,
de manera que el área será el producto de la base por la altura.

Perímetro del rombo

El perímetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales.
El perímetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a), ya que tiene sus cuatro lados
iguales.
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Page | 31
Romboide

Un romboide es un polígono con cuatro lados (cuadrilátero) y cuatro ángulos, siendo iguales
dos a dos. Los lados son paralelos a sus opuestos.
Los romboides son los paralelogramos que no son ni cuadrados, ni rectángulos ni rombos.

Elementos y propiedades del romboide

Lados: el romboide tiene cuatro lados, siendo iguales dos a dos (ay b).
Ángulos: tiene cuatro ángulos (dos α y dos β) iguales dos a dos. Los ángulos interiores, como en
todo cuadrilátero, suman 360º (2π radianes). α y β son suplementarios, es decir α+β=180º.
Diagonales: las diagonales son segmentos que unen los vértices no consecutivos. Tiene dos
diagonales (D1 y D2) desiguales y no perpendiculares.
Ejes de simetría: un romboide no tiene ejes de simetría.
(La relación entre los lados a y b del romboide y sus diagonales D1 y D2 sigue la ley del
paralelogramo).

Área del romboide

El área del romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y
la altura (h) relativa a este lado. Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la
distancia de b a su lado paralelo.

Otro procedimiento para hallar el área del romboide sabiendo la longitud de dos lados no
opuestos entre sí (a y b) y el ángulo que forman estos (sea α o β):

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sen α = sen β porque son ángulos suplementarios.
O, también, a partir de las dos diagonales y el ángulo que forman:

Perímetro del romboide

El perímetro del romboide es la suma de sus cuatro lados. Como el romboide tiene los lados
iguales dos a dos, su perímetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b).

Trapecio

Un trapecio es un polígono con cuatro lados (cuadrilátero) siendo solo dos de sus lados
paralelos y desiguales (las bases a y b).

Elementos y propiedades del trapecio

Lados: un trapecio tiene cuatro lados (a, b, c y d), siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos
(c y d).
Bases: las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b).
Ángulos: tiene cuatro ángulos (α1, α2, α3 y α4). Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero,
suman 360º (¿por qué suman 360º?), es decir, α1+α2+α3+α4=360º. Estos ángulos definen el tipo de
trapecio que es.
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Altura (h): es la distancia entre las dos bases (a y b).
Diagonales: las diagonales son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Tiene dos
diagonales desiguales (D1 y D2), salvo en el caso del trapecio isósceles que son iguales.
Las fórmulas de las diagonales de un trapecio, conociendo sus cuatro lados son:

Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simétricas respecto
a dicho eje. Solamente tiene un eje de simetría el trapecio isósceles.
Mediana (M): es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a éstas. Su longitud se
calcula como media de la longitud de las bases.
Centroide (G): se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresión:

Tipos de trapecio

Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos según sus ángulos interiores.
Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos consecutivos rectos (de 90º). Por tanto, un lado es
perpendicular a las bases.
Trapecio isósceles: los ángulos son iguales dos a dos. Tiene dos lados oblicuos de igual longitud.
Trapecio escaleno: los cuatro ángulos interiores son desiguales.

Área de un trapecio

El área del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del
trapecio. Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio, que se obtiene como
la media de las dos bases a y b: M=(a+b)/2.

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También se puede hallar el área de un trapecio conociendo sus cuatro lados.
O bien aplicando la fórmula:

O también mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el área del trapecio.

El área del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el ángulo que forman.

Así, la formula es:

Donde los senos de los ángulos ε y θ son iguales por ser ángulos suplementarios.

Un caso particular es cuando el ángulo que forman las diagonales del trapecio es un ángulo recto
de seno igual a 1:
Y la fórmula del área queda simplificada a la de todo cuadrilátero cuyas diagonales sean
perpendiculares:
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Perímetro del trapecio

El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales, por lo que su perímetro es la suma de los
cuatro lados.

En el caso particular del trapecio isósceles, los lados oblicuos (c) son iguales. Por lo tanto,
su perímetro será la suma de las bases más el doble del lado oblicuo (c).

Trapezoide

El trapezoide es un polígono con cuatro lados (cuadrilátero) no teniendo ningún lado paralelo
a otro.

Elementos y propiedades del trapezoide

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Lados: el trapezoide tiene cuatro lados (a, b, c y d), no siendo paralelos entre ellos.
Ángulos: tiene cuatro ángulos (α1, α2, α3 y α4). Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero,
suman 360º (2π radianes).
Diagonales: las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Tiene
dos diagonales.
Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividirían el trapezoide en dos partes simétricas
respecto a dicho eje. El trapezoide no tiene ningún eje de simetría, excepto el trapezoide
simétrico (o deltoide) que tiene uno.
Trapezoide simétrico (o deltoide)

El trapezoide simétrico (o deltoide, o también conocido como cometa o papalote) es un caso

particular de trapezoide. Tiene los lados iguales dos a dos, de forma que son iguales los lados
consecutivos y diferentes los opuestos. Es decir, DA=CD y AB=BC.
Las diagonales son perpendiculares. El trapezoide es simétrico respecto a la diagonal
mayor (BD), que es el eje de simetría.

Área del trapezoide

Para calcular el área de un trapezoide es necesario dividirlo en triángulos.

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Sea un trapezoide con vértices A, B, C y D. Se divide el éste en dos triángulos, el ABD y el BCD.

El área del trapezoide será la suma de las áreas de los dos triángulos. El área de los triángulos es
el producto de su base por altura dividido por dos. El segmento BD es la base de ambos triángulos.
Sus alturas serán el segmento perpendicular a BD que van desde el mismo segmento hasta los
vértices A y C.
Como resultado, se obtiene que la fórmula del área del trapezoide es:

El área del trapezoide también se puede hallar conociendo las longitudes de sus cuatro lados (AB,
BC, CD y DA) y uno de sus ángulos (α).

Como en el caso anterior, dividimos el trapezoide en dos triángulos, ABD y BCD:

El área del triángulo ABD la hallamos con la fórmula de resolución de triángulos, cuando se
conocen dos lados y el ángulo que forman:

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Del mismo triángulo, hallaremos el lado que falta, DB, diagonal D 1, con la fórmula del mismo caso
de triángulo de resolución de triángulos.

Y el área del triángulo BCD la hallamos mediante la fórmula de Herón, porque conocemos sus tres
lados: BC, CD y D1:

Sumando las áreas halladas de los triángulos ABD y BCD, habremos calculado el área del
trapezoide ABCDA.

Área del trapezoide simétrico (o deltoide)

El área del deltoide (trapezoide simétrico) se puede calcular a partir de

sus diagonales(D1 y D2).

Ésta es el producto de las dos diagonales dividido por dos.

Hay otro procedimiento para hallar el área del deltoide. Cuando conocemos sus cuatro lados
(a, a, b y b) y el ángulo que forman dos lados desiguales.
En este caso empleamos razones trigonométricas.

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Perímetro del trapezoide

El perímetro del trapezoide es la suma de los cuatro lados. La fórmula es muy sencilla, puesto
que los cuatro lados pueden ser diferentes.

Perímetro del trapezoide simétrico (o deltoide)

El trapezoide simétrico tiene los lados (a y b) iguales dos a dos. Por lo tanto, su perímetro será
el doble de la suma de los dos lados desiguales.

¿Sabías qué?

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Hay tres tipos de cuadriláteros cuyas diagonales son perpendiculares: el cuadrado, el rombo,y
el deltoide (trapezoide simétrico o cometa). En los tres casos, su àrea es la mitad del producto de
sus diagonales.

Trapezoide no simétrico.

Pero un trapezoide no simétrico también podría tener sus diagonales perpendiculares. Como el
de la figura.

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 Pentágono.

Un pentágono es un polígono de cinco lados (L1, L2, L3, L4 y L5). Los lados confluyen dos a dos en
cinco puntos, llamados vértices.

Tipos de pentágono

Según las características de los lados y ángulos del pentágono, se clasifica en dos tipos:

 Pentágono regular: figura geométrica con cinco lados y ángulos iguales (todos sus
ángulos interiores son de 108º, resultado de dividir 540º entre 5 ángulos).
 Pentágono irregular: figura geométrica cuyos cinco lados y ángulos no son iguales entre
sí.

Perímetro del pentágono regular

El pentágono regular tiene sus cinco lados iguales, por lo que su perímetro es cinco veces uno
de sus lados:

Perímetro del pentágono irregular

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El pentágono irregular no tiene una fórmula que generalice su perímetro, ya que todos sus
lados pueden ser diferentes.

Área del pentágono regular

El área del pentágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap), utilizando la
fórmula del área del polígono regular.
Al ser su perímetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Área del pentágono irregular

El cálculo del área de un pentágono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de

áreas. El más común es dividir el pentágono en cinco triángulos y calcular el área sumando las
cinco áreas de los triángulos.

Determinante de Gauss

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Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través
del determinante de Gauss.
Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los
vértices del polígono.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer
el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par
de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario
todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.
Sean los vértices del pentágono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x5,y5).

FIGURAS CURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que están encerradas en líneas curvas. Las más
representativas son:

Círculo

Un círculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia.

Semicírculo

Un semicírculo es la superficie que existe dentro de la mitad de

una circunferencia. Es decir, un semicírculo es medio círculo.

Corona circular

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La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana
comprendida entre dos circunferencias concéntricas.

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de

las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2)
es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las
distancias d1 y d2 es constante.

Elementos de un círculo

Los principales elementos de un círculo son:

Centro: el centro C es un punto fijo interior, equidistante de su perímetro

(o circunferencia) a una distancia igual al radio.
Radio: es el segmento r que une el centro (C) del círculo con cualquier
punto del perímetro de éste.
Diámetro: segmento D que une dos puntos del perímetro
del círculo pasando por el centro (C). Su longitud es el doble que la del
radio.
Cuerda: es un segmento K que une dos puntos del perímetro
del círculo sin pasar por el centro.

Arco: es la parte del perímetro del círculo (a) que queda entre los dos
extremos de una cuerda.
Punto interior: punto que pertenece al círculo (I), encontrándose a
una distancia del centro menor o igual que r.
Punto exterior: puntos que están fuera del círculo (E), es decir, a una
distancia del centro mayor que r.
Ángulo central: es el ángulo comprendido entre dos segmentos (o
radios) que van del centro a dos puntos del perímetro del círculo (α).
Un ángulo central determina un arco.

Tangente: es una recta (a) con un único punto común con el

perímetro del círculo. El radio es perpendicular a la tangente en
el punto de tangencia.
Secante: es una recta (a) que corta el perímetro del círculo en
dos puntos.
Ángulo inscrito: ángulo (β) que forman dos cuerdas que
coinciden en un mismo punto de la circunferencia. Es decir, es el
ángulo que generan tres puntos de ésta.
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 Cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos son figuras tridimensionales con anchura, altura y profundidad tales
como los poliedros, prismas, icosaedros, esferas,…
Los cuerpos geométricos son las figuras geométricas de tres dimensiones.
Existen dos tipos de cuerpos geométricos, los poliedros y las superficies de revolución (o
cuerpos redondos).

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Volumen

El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geométrico (de tres
dimensiones). También se puede entender como el espacio comprendido dentro del área de
un cuerpo geométrico. La capacidad es un concepto equivalente al volumen, pero se refiere al
volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vacío.
Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej: cm3, m3,…).

Prisma

Volumen del prisma

Volumen prisma triangular regular

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Volumen prisma cuadrangular regular

Volumen prisma pentagonal regular

Volumen prisma hexagonal regular

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Pirámide

Volumen de la pirámide

Volumen de la pirámide regular

Volumen de la pirámide triangular regular

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Volumen de la pirámide triangular irregular

Volumen de la pirámide cuadrangular regular

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Volumen de la pirámide cuadrangular irregular

Volumen de la pirámide pentagonal regular

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Volumen de la pirámide pentagonal irregular

Poliedro regular

Volumen del tetraedro

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Volumen del cubo (hexaedro regular)

Volumen del octaedro

Volumen del dodecaedro

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Volumen de la esfera

Volumen del cilindro

Volumen del cono

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Volumen del tronco del cono

Volumen del toro

El volumen del toro se calcula mediante la fórmula:

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 Trigonometría

Ángulos.

Clasificación de ángulos por su sentido

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Clasificación de ángulos por su medida

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Clasificación de ángulos por su relación con otros ángulos

Clasificación de ángulos por su relación con otros ángulos

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Page | 59
Trigonometría

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia la relación entre los lados y ángulos
de los triángulos. Se ocupa, por tanto, de las funciones asociadas a los ángulos,
denominadas funciones trigonométricas (también pueden denominarse funciones
circulares): seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente.
Etimológicamente, trigonometría significa medida de los triángulos, ya que proviene de las
palabras griegas trigono (triángulo) y metría (medida).
La trigonometría tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia: de una u
otra manera en todos los campos de las matemáticas; en la física, por ejemplo en fenómenos
ondulatorios; en la astronomía, por ejemplo para medir distancias entre planetas; en la geodesia,
etc.

Razones trigonométricas

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Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de
un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.
Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.
El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y
la hipotenusa (c).

La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

Razones trigonométricas de ángulos característicos

El seno, coseno y tangente de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y
270º) son:

Razones trigonométricas recíprocas

Las razones trigonométricas recíprocas son los inversos multiplicativos de las razones
trigonométricas. Éstas son:
Cosecante (csc): es la razón recíproca del seno. Es decir, csc α · sen α=1.
Secante (sec): la razón recíproca del coseno. Es decir, sec α · cos α=1
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Cotangente (cot): es la razón recíproca de la tangente. También en este caso, cot α · tan α=1
Definición de las razones trigonométricas recíprocas

Las razones trigonométricas recíprocas de un ángulo α se obtienen como razones entre los tres
lados de un triángulo rectángulo, siendo α uno de sus ángulos agudos.
Cosecante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a):

Secante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto
adyacente (b):

Cotangente de α. Se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y
el cateto opuesto (a):

Razones trigonométricas recíprocas de ángulos característicos

Las razones trigonométricas recíprocas de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º,
90º, 180º y 270º) son:

Relación entre razones trigonométricas

Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente

tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.

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Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las razones
trigonométricas (seno, coseno y tangente).
Las razones trigonométricas no son funciones biyectivas (1-a-1), por lo que no son invertibles.
Para que lo sean, es necesario restringir su dominio y así poder hallar la función inversa.
Las funciones trigonométricas inversas son:
 Arcoseno
 Arcocoseno
 Arcotangente
Arcoseno
El arcoseno es la función inversa del seno. Es decir:

Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:

Su abreviatura es arcsen o sen-1.

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Arcocoseno
El arcocoseno es la función inversa del coseno. Es decir:

Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:

Su abreviatura es arccos o cos-1.

Arcotangente
La arcotangente es la función inversa de la tangente. Es decir:

Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:

Su abreviatura es arctan o tan-1.

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Identidades trigonométricas

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Teoremas trigonométricos

A continuación vamos a enumerar los teoremas trigonométricos más importantes.

Teorema del seno (Ley de senos)

El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo. Éste
enuncia que:

Cada lado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo

opuesto (A, B y C).

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de
la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.
Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto (A, B y C)
son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.

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Teorema del coseno

El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman
éstos. El teorema enuncia que:

El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de

los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C)
que forman.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para

cualquier triángulo.
De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a2 = b2+c2. Si el
ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

Propiedades de las razones trigonométricas

Las razones trigonométricas del ángulo suma (α+β), resta (α-β), doble (2α), mitad (α/2)
y triple (3α) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas de ambos ángulos.

Razones trigonométricas del ángulo suma

Seno del ángulo suma:

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Coseno del ángulo suma:

Tangente del ángulo suma:

Razones trigonométricas del ángulo resta

Seno del ángulo resta:

Coseno del ángulo resta:

Tangente del ángulo resta:

Razones trigonométricas del ángulo doble

Seno del ángulo doble:

Coseno del ángulo doble:

Tangente del ángulo doble:

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Seno del ángulo mitad:

Coseno del ángulo mitad:

Tangente del ángulo mitad:

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Razones trigonométricas del ángulo triple

Seno del ángulo triple:

Coseno del ángulo triple:

Tangente del ángulo triple:

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 EJERCICIOS

Con el apoyo de su calculadora encontrar redondeado a una decima el valor indicado:

csc(π/3) = cos(11π/4) = tan(0) =
cos(-3π/4) = sin(0) = csc(π =
/6)
sin(5π/2) = cos(23π/6) = tan(7 =
π/4)
cos(-4π/3) = tan(-π/4) = cos(π =
/2)
cos(-π/3) = sin(π/4) = tan(9 =
π/4)
tan(-5π/3) = sin(15π/4) = sin(-7 =
π/3)
csc(10π/3) = tan(-5π/6) = sin(- =
π/3)
sin(3π) = csc(13π/4) = sin(- =
π/4)
tan(5π/3) = csc(23π/6) = sin(19 =
π/6)
tan(-3π) = cos(-2π/3) = csc(-7 =
π/6)

tan(-420°) = sin(-240°) = cos(570°) =

tan(-45°) = cos(-510°) = cos(-585°) =

sin(120°) = tan(390°) = cos(-660°) =

cos(45°) = sin(660°) = tan(-390°) =

tan(-240°) = cos(-630°) = sin(210°) =

cos(0) = tan(585°) = tan(-495°) =

cos(-570°) = cos(-450°) = sin(-540°) =

cos(390°) = sin(-180°) = tan(-300°) =

sin(-690°) = tan(-330°) = cos(-495°) =

sin(0) = tan(150°) = cos(-180°) =

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Hallar por teorema de Pitágoras los que se solicita:

Encuentre el valor del ángulo indicado y colocar el nombre del tipo de ángulo:

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Page | 72
Page | 73
 Seleccione la respuesta correcta:

1. Pareja de ángulos complementarios.

A) 65º y 26º
B) 63º y 27º
C) 116º y 244º
D) 45º y 135º
2. Pareja de ángulos suplementarios.
A) 108º y 72º
B) 300º y 60º
C) 65º y 25º
D) 270º y 45º
3. ¿Qué ángulos corresponden a un triángulo rectángulo?
A) 85º, 25º y 70º
B) 60º,40º y 80º
C) 55º, 35º y 90º
D) 65º, 45º y 70º
4. Ejemplo de ángulo entrante.
A) 78º
B) 220º
C) 180º
D) 100º
5. Ejemplo de ángulo agudo.
A) 90º
B) 180º
C) 122º
D) 82º
6. Ejemplo de ángulo obtuso.
A) 82º
B) 180º
C) 154º
D) 270º
7. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es de:
A) 360º
B) 540º
C) 180º
D) 270º
8. A y B son ángulos opuestos por el vértice. Si A=(3x+1)º y B=(2x+6)º ¿Cuánto mide cada
ángulo?
A) 90º
B) 16º
C) 45º
D) 60º

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9. A y B son ángulos complementarios. Si A=(x+1)º y B=(2x-16)º ¿Cuánto mide cada ángulo?
A) 45º y 45º
B) 46º y 44º
C) 60º y30º
D) 36º y 54º
10. Un pastel circular tiene 16 rebanadas ¿Cuánto mide el ángulo que forman 5 rebanadas?
A) 112.5º
B) 45.5º
C) 90º
D) 150.º5
11. Los ángulos de un triángulo son A = 28º, B = 22º ¿Qué valor tiene el ángulo C?
A) 135º
B) 125º
C) 130º
D) 95º
12. Los ángulos de un cuadrilátero son A = 35º, B = 72º, C = 125º ¿Qué valor tiene el ángulo
D?
A) 130º
B) 125º
C) 128º
D) 135º
13. La medida de un radian es de:
A) 75.27º
B) 57.29º
C) 55.25º
D) 45.67º
14. Convierte pi / 2 rad a grados.
A) 180º
B) 90º
C) 360º
D) 270º
15. ¿Cuántos grados tiene una revolución en el sistema sexagesimal?
A) 270º
B) 180º
C) 360º g.c.
D) 400º
16. Convierte 26.4537º a grados, minutos y segundos.
A) 26º27'13"
B) 26º47'31"
C) 26º17'23"
D) 26º42'28"
17. Convierte 3.165 rad al sistema sexagesimal
A) 81º12'28''
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B) 151º20'28''
C) 181º20'28''
D) -181º20'28''
18. Convierte -62º38º47" a decimales
A) -62.5689º
B) -62.0542º
C) -62.5478º
D) -62.6463º
19. Sistema de medición que divide a la circunferencia en 360º
A) sexagesimal
B) cíclico
C) centesimal
20. Sistema de medición cuya unidad es el radian
A) sexagesimal
B) cíclico
C) centesimal
21. ¿Cuántos minutos tiene un grado sexagesimal?
A) 100 '
B) 10,000 '
C) 3,600 '
D) 60 '
22. Un radian es igual a
A) 180 / pi
B) 270 / pi
C) 90 / pi
D) 360 / pi
23. Convierte 7pi / 3 a grados
A) 350º
B) 420º
C) 250º
D) 320º
24. Convierte 2 / 7 rad. a grados
A) 16.2352º
B) 26.3702º
C) 16.7372º
D) 16.3702º
25. Convierte 1425.78º a radianes
A) 24.88 rad
B) 14.25 rad.
C) -24.88 rad.
D) 30.88 rad.
26. Convierte 34.7651º a decimales
A) 34º45'54"
B) 34º46'37"
C) 34º17'32·
Page | 76
 D) 34º15'35"
27. Convierte -23º47'52" a decimales
A) -23.7977º
B) 23.7977º
C) -23.0707º
D) 23.0707º
28. Convierte 500º a radianes
A) -9 rad.
B) 10 rad.
C) 5 rad.
D) 8.72 rad.
29. El lado terminal de un ángulo de 500o se ubica en el cuadrante
A) III
B) IV
C) !
D) II
30. Con 165' ¿cuántos grados puedo formar?
A) 3o
B) 2o
C) 5o
D) 4o

1.B 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B 9.D 10.A 11.C 12.C 13.B 14.B 15.C 16.A 17.C 18.D 19.A 20.B 21.D 22.A 23.B 24.D 25.A 26.A 27.A 28.D 29.D 30.B

 1. Convierta 50º6'21" en un decimal en grados

A) 50.105833º
B) 50.35166666º
C) 50.0075º
D) 50.45º

 2. Convierta 21.256º en Grados, Minutos y Segundos. Aproxime los segundos al entero

más cercano.

A) 21º154' 0"
B) 21º922"
C) 21º 15'22"
D) 21º9'13"

 3. Encuentre la longitud de arco de un círculo de radio 2 metros que subtiende un ángulo

central de 0.25 radianes

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 A) 28.65 metros
B) 0.5 metros
C) 1 metro
D) π/2 de metro

 4. Convierta 107º a radianes

A) 1.968 radianes
B) 107/π radianes
C) 107π/180 radianes
D) 6130.648 radianes

 5. Convierta 3 radianes a grados. ................................................................................

(Ayuda: π aprox a 3.141592653)

A) π/60 º
B) 171º 53' 14,42"
C) 343º 46' 28,84"
D) 171,997º

 6. El minutero de un reloj tiene 15.9 cm de largo. ¿Qué distancia recorre la punta del
minutero en 15 minutos? (ayuda: la distancia que recorre es curva. Aproxime las
divisiones de los números enteros)

A) 7,95π cm
B) 24,56 cm
C) 3180/π cm
D) 2,53 cm

 7. El sistema de riego alcanza una distancia de 9,135m y gira con un ángulo de 135º.
¿Qué área del terreno recibe agua?

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 

A) 231,64 m2
B) 2.57π m2
C) 31.29π m2
D) 98,98 m2

 8. El radio de las llantas de un automóvil es de 38.4 cm. Si gira a razón de 4 vueltas por
cada segundo. ¿Cuál es la velocidad lineal del auto en km/h? ... (Ayuda: π aprox a
3.141592653.

A) 3474,35 km/h
B) 0,58 km/h
C) 34,74 km/h
D) 965,1 km/h

 9. Con los datos de la figura, encuentre el valor de seno, coseno, tangente, cotangente,
secante y cosecante, para el ángulo mostrado.

A) senA= 2√5/5, cosA=√5/5, tanA=2, cotA= 1/2, secA= √5, cscA=√5/2

B) senA=√5/5, cosA= 2√5/5, tanA= 1/2, cotA=2, secA=√5/2, cscA= √5
C) senA=√5/5, cosA= 2√5/5, tanA= 2, cotA=1/2, secA=√5/2, cscA= √5
D) senA= 5√5/2, cosA=√5/5, tanA=2, cotA= 1/2, secA= √5, cscA=√5/5

 10. Halle el valor de la expresión, sin utilizar calculadora


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Page | 80
1.A 2.C 3.B 4.C 5.B 6.A 7.C 8.C 9.B 10.D
D) 1
C) -1/2
B) 1/2
A) -1
Calcular las otras funciones trigonométricas conociendo una de ellas:

1 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 𝑇𝑔 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
2
𝐶𝑠𝑐 𝑥 = 𝑆𝑒𝑐 𝑥 = 𝐶𝑡𝑔 𝑥 =

𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 1 𝑇𝑔 𝑥 =
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
5
𝐶𝑠𝑐 𝑥 = 𝑆𝑒𝑐 𝑥 = 𝐶𝑡𝑔 𝑥 =

𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 3
𝑇𝑔 𝑥 =
4
𝐶𝑠𝑐 𝑥 = 𝑆𝑒𝑐 𝑥 = 𝐶𝑡𝑔 𝑥 =

𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 𝑇𝑔 𝑥 =
𝐶𝑠𝑐 𝑥 = 𝑆𝑒𝑐 𝑥 = 3
𝐶𝑡𝑔 𝑥 =
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 𝑇𝑔 𝑥 =
𝐶𝑠𝑐 𝑥 = √34 𝐶𝑡𝑔 𝑥 =
𝑆𝑒𝑐 𝑥 =
5
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 𝑇𝑔 𝑥 =

√13 𝑆𝑒𝑐 𝑥 = 𝐶𝑡𝑔 𝑥 =

𝐶𝑠𝑐 𝑥 =
2

Page | 81
Verificar la comprobación de las siguientes identidades trigonométricas:
𝐶𝑜𝑠𝑥
= 𝑆𝑒𝑛𝑥
𝐶𝑜𝑡𝑥
𝑇𝑎𝑛𝑥
= 𝑆𝑒𝑐𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥
𝑆𝑒𝑐𝑥
= 𝑆𝑒𝑛𝑥
𝑇𝑎𝑛𝑥 + 𝐶𝑜𝑡𝑥
𝐶𝑠𝑐𝑥
= 𝑆𝑒𝑐𝑥
𝐶𝑜𝑡𝑥
1 − 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥
𝑆𝑒𝑛4 𝑥 =
𝐶𝑠𝑐 2 𝑥
𝑇𝑔𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑠𝑐𝑥 = 1
𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑆𝑒𝑐𝑥 = 𝑇𝑔𝑥
(1 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 )(1 + 𝑇𝑎𝑛2 𝑥 ) = 1
𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 = (1 + 𝑆𝑒𝑛𝑥)(1 − 𝑆𝑒𝑛𝑥)

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Page | 83
Resuelva lo que se pide aplicando las razones trigonométricas.

Page | 84
Resuelva lo que se pide aplicando ley de senos o cosenos

Page | 85
Page | 86
 Líneas rectas

Distancia entre dos puntos

En un sistema coordenadas bidimensional, la distancia entre dos puntos PQ es fácil de obtener
con tan sólo hacer uso del teorema de Pitágoras.

Si observamos la siguiente figura

tenemos que:

Punto Medio de un Segmento

Punto Medio:
El punto medio de un segmento AB es el resultado de una razón r = 1, por lo tanto, las coordenadas
vistas en la entrada anterior se convierten en:

Ángulo de inclinación y pendiente de una recta

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Se llama pendiente m o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación
α.

Entonces, en la figura es evidente que

Luego, si consideramos dos puntos cualesquiera de la recta, por ejemplo A y B:

Es importante destacar que y2-y1 es cambio de distancia vertical y que x2-x1 es un cambio de
distancia horizontal, por lo cual, la pendiente m es una razón de cambio

Otro aspecto importante de trigonometría que se debe recordar nos lo sugiere la siguiente tabla:

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División de un segmento entre una razón dada

En matemática, cuando hablamos de razón queremos denotar que estamos comparando dos
cantidades. Así, por ejemplo, la razón 3/4=0,75 nos dice cuántas veces contiene el numeror al
denominador
En geometría, describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes, tal que su razón

es

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Ahora veamos cómo calcular las coordenadas de un punto P(x,y) que divide a un segmento AB en
un sistema cartesiano.
Observemos la siguiente figura:

Al trasponer términos, obtenemos la razón:

De esta última expresión, despejamos x:

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De manera análoga, podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y, esto es

Las coordenadas de un punto P(x,y) que divide al segmento A(x1,y1) y B(x2,y2) en la razón son:

con r ≠-1

Ecuación punto-pendiente de la recta

Nota: Para calcular la ecuación punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un

punto y la pendiente

Ecuación de la recta conociendo dos puntos

¿Cómo encontramos la ecuación de la recta conociendo dos puntos?

Sean los puntos y que determinan una recta .

Un vector director de la recta es:

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Cuyas componentes son:

Sustituyendo estos valores en la forma continua:

Con esto podemos encontrar la ecuación de la recta.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por

Sustituimos los valores en la forma continua:

Entonces, la ecuación de la recta es:

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 Cónicas

Las cónicas son las figuras geométricas que aparecen cuando hacemos la intersección de un cono
con un plano. Como podemos ver en la siguiente imagen, según el ángulo de inclinación del plano,
que denotamos por ß, podemos encontrarnos con las siguientes figuras: una circunferencia, una
elipse, una parábola o una hipérbola, de mayor a menor inclinación.

Circunferencia
Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono, es un caso
particular de la elipse. La circunferencia es el resultado de la intersección de un plano de forma
perpendicular al eje. Por tanto el ángulo de inclinación ß= 90º.
Definición formal: Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo, llamado centro.

Elipse
La elipse surge al realizar la intersección de una superficie cónica con un plano oblicuo al eje, es
decir, un plano que no sea paralelo a la generatriz del cono. Por tanto, el ángulo de inclinación
oscilará entre: 0<ß<90º.

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Definición formal: Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si sumamos las
distancias a dos puntos fijos, denominados focos F1 y F2, ésta es constante. Otros elementos
representativos de una elipse que utilizamos para su descripción son el centro O, el eje mayor AB,
el eje menor CD, y la distancia focal, OF.

La ecuación de la elipse que tiene por centro el punto (0,0) es:

Parábola

La parábola se obtiene a partir de la intersección de una superficie cónica y un plano oblicuo al eje
que sea paralelo a la generatriz. Por tanto, el ángulo de inclinación coincide con el ángulo de
conocidad. Tanto la parábola como la hipérbola son curvas abiertas cuyo trazo continuo hasta el
infinito.

Page | 94
Definición formal: Una parábola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto
fijo, conocido como foco, y de una recta, llamada directriz. Los elementos característicos de una
parábola son: su eje o eje de simetría, el vértice (que corresponde con el máximo o mínimo de la
parábola según sea su curvatura). La ecuación de una parábola cuyo vértice es el (0,0) y su eje el
eje de ordenadas es:

Hipérbola

Por último, la hipérbola se obtiene al realizar la intersección de una superficie cónica y un plano
oblicuo al eje, pero en este caso, el ángulo de inclinación tiene que ser más pequeño que el que
forman el eje y la generatriz. Como ya hemos dicho en el caso anterior, también es una curva
abierta. La hipérbola consta de dos ramas separadas, de tal forma que tiene dos asíntotas.

Definición formal: Denominamos hipérbola al conjunto de los puntos del plano tales que, si
realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo, denominados focos, esta es constante
y además, menor que la distancia entre los focos. Los elementos representativos de una hipérbola
son: el centro, O; los vértices, así como la distancia entre los vértices y la distancia entre los focos.
a ecuación de una hipérbola que tiene por centro el (0,0) es:

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Ecuación de la circunferencia con centro en (0,0)

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación de una circunferencia se simplifica a:

A esta ecuación se le conoce como ecuación CANÓNICA y se da cuando el centro de la

circunferencia es el punto C(0,0), por lo que la expresión ordinaria queda reducida a:

Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 6,3 y cuyo
centro se encuentra en C(0,0)

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Nota:
La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad, es llamada circunferencia
goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

Ecuación de la circunferencia con centro (h,k)

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k)

distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación.

(x-h)² + (y-k)² =r², donde (h,k) es el centro y r es el radio.

Para determinar la ecuación ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del
centro y la medida del radio

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Ej. Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en C(3,-4) y que pasa por el punto
A(6,12)

Ejemplo:

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

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Ecuación general de la circunferencia

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria,

y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:

Demostración:

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Page | 100
Ejemplo:
Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4
(x - 2)² + (y - 6)² = 4²
X² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²
X² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16
X² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
X² + y² - 4x - 12y + 24 = 0

La parabola.

Una parábola: es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada,
llamada directriz, y a un punto fijo que se denomina foco.
El lado recto. El lado recto mide 4 veces la distancia focal, Al segmento de recta comprendido por
la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto y mide 4
veces la longitud de p.
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
La Directriz: es la recta sobre la cual, si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la
parábola, esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco.
El eje focal: es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice: Es el punto en el cual la parábola corta el eje focal.
Lado Recto: Es un segmento paralelo a la directriz, que pasa por el foco y es perpendicular al eje
focal y sus extremos son puntos de la parábola (A,B). La distancia entre el vértice y la directriz que
es la misma entre el vértice y el foco de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola
(suele denotarse por p).

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Los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco F y de la recta directriz.

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EJERCICIOS GEOMETRÍA ANALÍTICA
1.- Grafique en el plano cartesiano y encuentre para cada ejercicio:
a) La distancia entre los puntos
b) El punto medio
c) La razón de cambio (pendiente m de la recta) por los métodos analítico; elevación
y avance y por la tangente
d) Determine el ángulo de inclinación
e) Indique si es positiva, negativa, infinita o cero
f) Encuentre la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Los puntos son:

 P1(-2,-3) P2(2,6)
 P1(2,-2) P2(-3,5)
 P1(2,2) P2(-2,2)
 P1(-2,-2) P2(2,2)
 P1(4-3) P2(4,3)
 P1(3,-3) P2(4,6)

2.- Tabule, grafique y encuentre el ángulo de inclinación de las ecuaciones:

 𝑦 = −3𝑥 + 4
1
 𝑦 = 2𝑥 + 1
1
 𝑦 = −3
4
5
 𝑦 = 2𝑥 + 5
1
 𝑦 = −2𝑥 − 1
 𝑦 = 7𝑥

3.- Trace 3 ecuaciones que sean paralelas y 3 que sean perpendiculares, grafíquelas y escriba las
ecuaciones matemáticas correspondientes.

4.- Grafique y encuentre en el plano cartesiano y analíticamente las razones de los segmentos
dados:

 Sea A(5, 3) y B(-3, -3) los extremos del segmento, encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razón r = 1/3

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  Sea A(3, -4) y B(1, 6) los extremos del segmento, encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razón r = -1 / 2

 Sea A(3, 3) y B(-1, -6) los extremos del segmento, encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razón r = ¼
 Sea A(3, 2) y B(5, 4) los extremos del segmento, encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razón r = 3/2
 Sea A(3, 2) y B(5, 4) los extremos del segmento, encuentre las coordenadas del punto P que
lo divide a una razón r = 3/2
 Sea A(-4, 1) y B(8, 5) los extremos del segmento, encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razón r = 3/5
5.- Hallar las ecuaciones de las rectas con la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 que pasan por dos puntos:
 A (-3,-1) y B (5, 2)
 A (-2,-1) y B (-10, -5)
 A (-8,-2) y B (20, 10)
 A (8,-2) y B (-20, 10)
 A (-3,-3) y B (-3,3)
6.- Encuentre las ecuaciones de las rectas mediante la forma punto-pendiente expresadas en la
forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 y a continuación grafíquela.

 La recta pasa por el punto P(3,2) con pendiente m = 2

 La recta pasa por el punto P(2,5) con pendiente m = -2
5
 La recta pasa por el punto P(-5,4) con pendiente m = − 2
5
 La recta pasa por el punto P(5,1) con pendiente m = 2
 La recta pasa por el punto P(1,7) con pendiente m = 7

Page | 104
Ejercicios circunferencia

Page | 105
Ejercicios parábola.

Page | 106
Page | 107
Bibliography
Fórmulas, U. (2019, 01 01). Universo Fórmulas. Retrieved from
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/

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