Universidad Nacional Agraria La Molina Ciclo: 2023-I

Facultad de Ciencias
Departamento Académico de Matemática Grupo: C y Z/F2

Primer seminario de cálculo para ciencias

1. Gra…que cada punto dado en coordenadas polares y exprese en coordenadas rectangulares:
a) (3; 7 =6) b) ( 6; =6) c) ( 4; 3 =4) d) ( 8; 4 =3) e) (4; 5 =3)
p p
f ) ( 6; =2) g) 3; 3 =4 h) 8; 11 =2 i) (3; 11 =6) j) ( 6; =3)

2. Halle las coordenadas cartesianas del punto P

a) Si P r; 6 , r > 0 pertenece a la curva 25x2 64 80y = 0

2
b) Si P r; , r < 0 pertenece a la curva 4y 2 = 5x2 + 60x + 100
3
p
3. Determine las coordenadas polares del punto P 3; 1 en coordenadas cartesianas considerando:

a) r > 0 y 0 2
b) r < 0 y 2 0
c) r > 0 y 2 7 =6

4. Dado los puntos P1 ( 5; 3 =4) y P2 ( 4; 5 =4) determine:

a) Un punto simétrico de P1 respecto al eje polar.

b) Dos puntos equivalentes de P1 , considerando r > 0 y 0 3
c) Un punto simétrico de P2 respecto al eje =2:
d ) Dos puntos equivalentes de P2 , considerando r > 0 y 4 0

5. Exprese en coordenadas polares las siguientes ecuaciones cartesianas.

a) 2x2 + yx2 y2 = 0 e) 2x4 + 2x2 y 2 + y 4 = y x2 y2 + x y2 x2
2
b) 3x4 + 3y 4 10x2 y 2 = 0 f ) (1 x) (1 + x) + (2 y) (2 + y) = (x + y)
2 2
c) x2 + y 2 + 5x = 16 x2 + y 2 g) x2 + y 2 = a2 x2 y2 ; a > 0

d) y 4 = x2 a2 y2 h) x2 + y 2 9x + 8y = 0
6. Exprese en coordenadas cartesianas las siguientes ecuaciones polares.
a) r = tan ( ) sec ( ) + sen ( ) e) r = 5sen (3 )

b) r2 = 64sen (2 ) f ) rsen (2 ) = 4 cos

1 2 3=2
c) cos(3 ) = 3 sen (2 )+r sen g) r2 = sec2 1 + tan
sen (2 )
d) r2 cos2 (2 ) = +1 h) r2 2 3sen2 = 1
2
7. Gra…que en un mismo plano las curvas polares determinados por las siguientes ecuaciones:
4
p
a) r = 1 sen( ); 0 2 e) = 7 =4; 2 r 6 2
b) r = 2; 0 2 f ) rcos( ) = 6; 3 =4 5 =4
c) r = 4; =4 3 =4 g) rcos( ) = 6; =4 =4
p
d) = =4; 6 2 r 2 h) rsen( ) = 6; 3 =4 =4

8. Gra…que en un mismo plano las curvas polares determinados por las siguientes ecuaciones:
4
a) r = ; =6 7 =6 e) r cos = 5; 0 =4
1 + sen ( )
b) r = 2sen ( ) ; 0 2 f ) rsen = 3; =6 5 =6
p 8p
p
c) r = 34; =3 2 =3 g) = =3; 2+ 3 34
p
d) r cos = 5 ; 3 =4 h) = 2 =3; 2+8p3 34
 9
9. Una recta directriz de una cónica pasa por uno de los focos de la elipse de ecuación r = 2 cos : Si uno de
los focos de la cónica se encuentra en el polo, su eje mayor (o eje transverso) es el eje polar y la longitud del
lado recto es de 4 u. Determine: la ecuación polar de la cónica, las coordenadas del otro foco, la ecuación de
las rectas directrices y la longitud del eje menor (o eje conjugado).

10. Dada la parábola P, r = 1 10

cos . Si una cónica pasa por el vértice P y una directriz (correspondiente al polo)
8
es la recta r = cos : Determine, la ecuación polar de la cónica, los véretices, y las ecuaciones de las rectas
directrices.

11. En los siguientes ejercicios; determine la naturaleza de la cónica, vértice(s); centro si tiene, las longitudes de
los semiejes y la ecuación de la(s) directriz(ces) de la cónica.
3 4 12
a) r = b) r = c) r =
2 + 4 cos 2 + cos 1 cos

6 16 18
d) r = e) r = f) r =
3 3sen 4 + 3sen 3 5 cos

12. Discuta y gra…que las siguientes ecuaciones polares:

a) r2 = 3 + 6 cos b) r = 4 + 3 cos c) r = 6 cos (3 )

d) r = 3 4sen e) r = 5 + 4sen f) r = 2sen

g) 3r = 8 (1 sen ) h) r = 3 3 cos i) r = 9 cos (2 )

j) r2 = 2sen (2 ) k) r = 3sen (3 ) l) r = 3 ; 2 0; 32

13. Determine los puntos de intersección de los siguientes pares de curvas y gra…carlas:
8 8 8
> 2 > >
< r = 2 4 cos ( ) < r = 2 + 2sen < r = 3 + 3 cos
a) b) c)
>
: 2 >
: >
: p
r + 2 cos (2 ) = 0 r (1 sen ) = 1 r= 3 3sen

8
> r2 = 2sen (2 ) 8 8
>
> > >
< < r = 8;5 cos < r= 2 cos (2 )
d) e) f)
>
> r = 2sen (2 ) >
: >
:
>
: r 4
=0 r2 = 2 cos (2 )
1 cos
para, r 0 y 0

8 8 8 p
2
>
< r = 3 + 6 cos >
< r=2 4 cos2 >
< r = 2sen
g) h) i)
>
: >
: 2
>
:
r=3 r + 2 cos (2 ) = 0 r = 1 + cos

8 8 8
>
< r= 6sen (3 ) >
< r = 4 (1 cos ) >
< r = 1 + sen
j) k) l)
>
: 2 : p 2
> >
: 2
r + 2 cos (2 ) = 0 x + y2 + x 3=0 x2 + y 2 x2 + y 2 = 0

La Molina, marzo del 2023.