FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS

Materia: CÁLCULO DE UNA VARIABLE–Paralelo:121. Técnico docente: Pablo Larreta

TALLER FORMATIVO No. 9 – Fecha: 25 de agosto de 2022. Horario: 09:30 – 11:30

SOLUCIÓN

TEMA 1
Bosqueje la siguiente región R en el plano polar y calcule su área:

R:
{r ≤ 3+3r ≤ cos
3
(θ )

Solución:

Se identifica la región como aquella interior a la cardioide y exterior a la circunferencia. Es

necesario definir posibles intersecciones entre ellas.

3+3 cos ( θ )=3

3 cos ( θ ) =0
cos ( θ )=0
π 3π
θ= ∨ θ= →r =3
2 2

Con este resultado, se procede al gráfico de las curvas y el sombreado de la región, especificando
las diferenciales consideradas.
Se plantean dos diferenciales de área:

1
2
1
2
2
d A 1= ( r 2 )2 dθ= [ 3+3 cos ( θ ) ] dθ , θ∈ π ,
3π
2 ( )
d A 2=
1
2
[ (
2 1 2
r 1 ) ] dθ= [ ( 3 ) ] dθ , θ ∈
2
3π
2
,2 π ( )
Por lo tanto, considerando la simetría de la región, el área de la región se calcula como:

( )
3π
2 2π

A=2 ( A 1+ A 2 )=2 ∫ d A1 + ∫ d A 2
π 3π
2

[ ]
3π
2 2π
1 1
∫ ( 3+ 3 cos ( θ ) ) dθ+ 2 ∫ [ ( 3 )2 ] dθ
2
A=2
2 π 3π
2

3π
2 2π

A=∫ ( 3+3 cos ( θ ) ) dθ+ ∫ [ ( 3 ) ] dθ

2 2

π 3π
2

3π
2 2π

A=∫ ( 9+18 cos ( θ )+9 cos2 ( θ ) ) dθ+ ∫ [ ( 3 ) ] dθ

2

π 3π
2

3π 3π 3π
2 2 2 2π

A=9 ∫ dθ+18 ∫ cos ( θ ) dθ+ 9 ∫ cos ( θ ) dθ+9 ∫ dθ

2

π π π 3π
2

Se obtiene la antiderivada de cos 2 ( θ ) para la evaluación:

∫ cos 2 (θ ) dθ=∫ ( 1+ cos2 ( 2θ ) ) dθ= 12 [∫ d θ+ 12 ∫ cos ( 2 θ ) ( 2 d θ )]= 12 θ+ 14 sen ( 2θ )

Se evalúa usando el Teorema Fundamental:

[ ]
3π 3π 3π
1 1 2π
A=9 [ θ ] +18 [ sen (θ ) ]
π
2
π
2
+ 9 θ + sen ( 2 θ ) 2
+9 [ θ ] 3 π
2 4 π 2
A=9 ( 32π −π )+18 (−1−0 )+ 9 ( 12 ( 32π )+0− 12 ( π )−0 )+9( 2 π− 32π )
A=9 ( π2 )+18 (−1) +9( π4 )+9( π2 )
9
A=9 π −18+ π
4

45
A= π−18
4

45 π −72
A=
4

Finalmente, el área de la región total es ( 45 π−72

4 )u 2
TEMA 2
Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región limitada por
y=x 2−2 x +1 y la recta x− y +1=0, alrededor de la recta x=3 , utilizando:
a) El método de cascarones.
b) El método de discos.

Solución:

a) Método de cascarones
Para aplicar el método de cascarones, se deberán considerar rectángulos representativos paralelos
al eje de rotación, requiriéndose en primer lugar, graficar los elementos del plano que limitan la
región, así como sus correspondientes puntos de intersección.

Para obtener los puntos de intersección igualamos las funciones involucradas.

x 2−2 x+1=x+1
2
x −3 x=0
x ( x−3 )=0 → x=0 ∨ x=3

Por lo tanto, los puntos de intersección a considerar son los siguientes P5 ( 0,1 ) y P1 ( 3,4 ). Luego al
graficar la región involucrada, se tiene:
Tal como se puede observar, en este caso, se debe considerar un rectángulo representativo
dispuesto verticalmente, mismo que, al rotar, genera el cascarón correspondiente, a partir del cual
se establece su volumen:

Luego se plantea el diferencial de volumen:

dV =2 π r h dx
dV =2 π ( 3−x ) ( x +1−x 2+ 2 x−1 ) dx , x ∈ ( 0 ,3 )
Entonces:
3
V =2 π ∫ ( 3−x ) (−x +3 x ) dx
2

3
V =2 π ∫ ( x −6 x + 9 x ) dx
3 2

[ ]
3 3 3
V =2 π ∫ x 3 dx −6∫ x2 dx +9∫ xdx
0 0 0

{[ ]| [ ]| [ ]| } {[ ] [ ] [ ]}
3 3 3
x4 x4 x4 81 27 9
V =2 π −6 +9 =2 π −6 +9
4 0 4 0 4 0 4 3 2

27
V= π
2
Por lo tanto, el volumen del sólido es ( 272 π )u .
3

b) Método de discos
Para aplicar el método de discos, se deberán considerar rectángulos representativos
perpendiculares al eje de rotación, requiriéndose en primer lugar, graficar los elementos del plano
que limitan la región. Del literal anterior, los puntos de intersección son conocidos; se despeja x
en ambas ecuaciones:

y=x +1 → x= y−1

y=x 2−2 x +1→ x e =1+ √ y ;

→ xi =1−√ y

Tal como se puede observar, en este caso, se deberán considerar dos rectángulos
representativos, mismos que, al rotar, generan los discos huecos correspondientes
(arandelas), a partir de los cuales se establecen sus volúmenes.
Luego:
R1=3−( y−1 ) ⟶ R 1=4− y

r 1=3−( 1+ √ y ) ⟶r 1 =2−√ y

R2=3−( 1− √ y ) ⟶ R 2=2+ √ y

r 2=3−( 1+ √ y ) ⟶r 2=2−√ y

Posteriormente, plantean los diferenciales de volumen.

d V 1=π ( R1 ) dx−π ( r 1 ) dx=π [ ( 4− y ) −( 2− √ y ) ] dy

2 2 2 2

d V 2=π ( R2 ) dx−π ( r 2 ) dx =π [ ( 2+ √ y ) − ( 2−√ y ) ] dy

2 2 2 2

Luego, el volumen total será:

V =V 1+V 2

Así:
 4 1
V =π ∫ [ ( 4− y ) −( 2− √ y ) ] dy + π ∫ [ ( 2+ √ y ) −( 2− √ y ) ] dy
2 2 2 2

1 0

Se calcula V 1 :
4
V 1=π ∫ [ ( 4− y ) −( 2−√ y ) ] dy
2 2

4
V 1=π ∫ [ y −8 y +16−( y−4 √ y +4 ) ] dy
2

4
V 1=π ∫ [ y −9 y + 4 √ y+12 ] dy
2

[∫ ]
4 4 4 4
V 1=π y dy−9 ∫ ydy + 4∫ √ y dy +12∫ dy
2

1 1 1 1

{[ [ ] }
3 4
1 34 9 24 8 2
y ]1 − [ y ] 1 + y 1 +12 [ y ] 1
4
V 1=π
3 2 3

V 1=π [ 1
3
9 8
( 64−1 )− ( 16−1 ) + ( 8−1 ) +12 ( 4−1 )
2 3 ]
49
V 1= π
6

Por lo tanto, V 1= ( 496 π )u 3

Se calcula V 1 :
1
V 2=π ∫ [ ( 2+ √ y ) −( 2−√ y ) ] dy
2 2

1
V 2=π ∫ {[ ( 2+ √ y ) −( 2−√ y ) ] [ ( 2+ √ y ) + ( 2− √ y ) ] } dy
0

1
V 2=π ∫ {[ 2+ √ y−2+ √ y ] [ 2+ √ y +2−√ y ] } dy
0

1
V 2=π ∫ [ ( 2 √ y ) ( 4 ) ] dy
0
 1 1
V 2=8 π ∫ y 2 dy
0

[ ]
3 1
16
V 2= π y 2 0
3
16
V 2= π
3

Por lo tanto, V 2= ( 163 π )u 3

Siendo así, el volumen total es:

V =V 1+V 2

49 16
V= π+ π
6 3
49+32 81 27
V= π= π= π
6 6 2

Tal como era de esperarse el volumen del sólido, coincide con el obtenido en el método
anterior:

V= ( 272 π )u 3
TEMA 3
Calcule la longitud de arco de la siguiente curva dada en forma paramétrica:

{ x ( t )=4 sen ( t ) ; t ∈ [ 0 , π ]
y ( t )=4 cos ( t )−5
Solución:

Para calcular la longitud de arco de una curva dada en forma paramétrica se hace uso de la
siguiente expresión:

√(
β

) ( )
2 2
dx dy
L=∫ + dt
α dt dt

Se obtienen las derivadas correspondientes:

dx
x ( t )=4 sen ( t ) → =4 cos ( t )
dt
dy
y ( t ) =4 cos ( t ) −5→ =−4 sen ( t )
dt
Con lo cual:
π

0
√
L=∫ ( 4 cos ( t ) ) + (−4 sen ( t ) ) dx
2 2

0
√
L=∫ ( 16 ) ( cos ( t ) ) + ( 16 ) ( sen (t ) ) dx
2 2

0
√[
L=∫ 16 ( ( cos ( t ) ) + ( sen ( t ) )
2 2
) ] dx
π
L=∫ √ 16 dx
0

π
L=4 ∫ dx
0

π
L=4 [ x ]0 =4 π

Por lo tanto, la longitud de arco requerida es 4 π u .