Secciones Cónicas & Sistemas de Referencia
Secciones Cónicas & Sistemas de Referencia
Secciones Cónicas & Sistemas de Referencia
a) x 2=6 y
Forma: x 2=± 4 py
Vértice (h,k)= (0,0)
3
Foco: 4 p=6 ; p=
2
−3
Directriz :
2
b) 2 x=− y 2
Forma: y 2=± 4 px
Vértice (h,k)= (0,0)
−2 −1
Foco: p= =
4 2
1
Directriz :
2
c) ( x +2)2 =8( y −3)
d) y 2 +2 y+ 12 x +25=0
Forma: ( y−k )2=± 4 p( x−h)
Vértice (h,k)= (-2,-1)
Foco: (h.k+p)= (-5,-1)
Directriz : x=1
a) Parábola
Foco (-4, 0) Vértice (-1, 0)
Directriz X = 2 p=3
b) Parábola
Vértice (2, 3)
Eje Vertical que pasa por (1, 5)
y2 x2
− =1
a2 b 2
2∗b2
Lr=
a
a
y= x
b
a 2+b 2=c 2
c = 5.83 Asíntotas
Lr = 3.6 y = ±(a/b)x
b)4 x2 − y 2−24 x−4 y +28=0
4 ( x−3)2−¿
2( y +2 )2
( x−3) − =1
4
Centro(h,k) = C(3.,-2) V(h- α, k) = V(3-1, -2) = V(2, -2)
c´= (5)1/
2
Lrecto = 2(b 2)/ α2 = 8 e = c´/a = √ 5
a2 1
Directríz x=h± =3 ±
c´ √5
b
Asíntotas ( y−k )=± (x−h)
a
( y +2 )=± 2( x−3)
y−2 x +8=0 y+ 2 x−4=0
4. Grafique el
punto cuyas
coordenadas
polares están
dadas. Luego,
determine las coordenadas cartesianas del punto.
a. (1 , π )
π
(1 , π ) 0
Escriba aquí laecuación .
(1 , π )
x=−1 y=0
(−1,0)
−2 π
b. (2 , )
3
0
Escriba aquí la ecuación .
−2 π
3
−2 π
(2 , )
3
(2 , −23 π )
x=r cos θ y=r sen θ
x=−1 y=−1,73
(−1 ,−1,73)
3π
c. (−2 , )
4
3π
4
0
3π
(−2 , )
4
(−2 , 34π )
x=r cos θ y=r sen θ
x=1,4 y=−1,4
(1,4 ,−1,4)
a. (2 ,−2)
y
r 2=x 2− y 2 θ=tan −1
x
−2
r =√ x 2 + y 2 θ=tan −1
2
r =√(2)2+(−2)2 θ=−45 °
−π
r =0 θ=
4
−π
( 0 , θ )=(0 , )
4
b. (−2 , √ 3)
y
r 2=x 2− y 2 θ=tan −1
x
3
r =√ x 2 + y 2 θ=tan −1 √
−1
2
r = (−1)2+( √ 3)
√ θ=tan −1−1,73
r =√ 4 θ=−60 °
π
r =2 θ=
3
π
( 0 , θ )=(2 , )
3
π 2π
3
1 4
θ
2
4 √ ¿¿
=2.706 Unidades cuadradas.
4 √ ¿¿ = 3.968
4π 3
∫ √ θdθ=¿ 23 θ 2 ¿
0
a) x=3−4 t ; y=2−3t
x +4 t=3
4 t=3−x
3−x
t=
4
y=2−3 ( 3−4 x )
9−3 x
y=2−(
4 )
9 3x
y=2−( + )
4 4
8 9 3x
y= − +
4 4 4
−1 3 x
y= +
4 4
b) x=1−t 2 ; y=t−2
t 2=1−x
t=√ 1−x
y=t−2
y= √ 1− x−2
8. Grafique el punto cuyas coordenadas polares están dadas, luego, determine las
coordenadas cartesianas del punto.
a ¿ (1 , π )
Coordenadas cartesianas
X =r . cos θ
X =( 1 ) . cos ( π )=−1
y=r . sen θ
y=r . sen ( π )=0
(−1,0)
b ¿ ( 2 ,−2 π /3 )
X =r . cos θ
X =( 2 ) .cos (−2 π /3 )=1
y=r . sen θ
y= (2 ) . sen (−2 π /3 )=−√3
(−1−√ 3)
c ¿ (−2,3 π /4 )
X =r . cos θ
X =( 2 ) .cos ( 3 π /4 )=¿ √2 ¿
y=r . sen θ
y= (2 ) . sen ( 3 π /4 )=− √2
( √ 2 ,−√ 2)
10. Identifique la curva encontrando la ecuación cartesiana para la curva
R.
r 2 cos ∅=1
r =2cos ∅
r . r=rc 2 cos ∅
r 2=2r cos ∅
x 2+ y 2=2 x
x=rcos ∅
y=rsen ∅
( x 2−2 x+ 1 )+ y 2=0+1 x 2+ 42 =r 2
¿
¿
r =2cos ∅
( x−12 ) + y 2=1
11. Encuentre la ecuación polar para la curva representa por a ecuación cartesiana dada.
y=1+3 x
1
r=
sen ∅ 1 cos 2 t . cost
x=r cos ∅
y=rsen ∅ 3 sen 2 t . sent
rsen ∅=1+3(rcos ∅)
rsen ∅−3 rcos ∅=1
r ( sen )−cos ∅ ¿=1
1
r=
sen ∅=3 tt
13. Antes del desplome del Puente del Chirajara el pasado 15 de enero de 2018, las dos torres que
estaban ubicados sobre el rio tenía una altura de 30,5m, y estaban distanciadas a 115m. Un cable
que las unía, tenía una forma de parábola y su punto más bajo estaba a 12m por encima del nivel
del agua. ¿A qué altura se encontrará un punto en el cable cuya distancia horizontal a una de las
torres es de 18m?
y=a(x−h)2 +k
30.5=a(57.5−0)2+12
30.5=a(57.5−0)2+12
18.5=a(57.5)2
18.5
=a=0.00559
3306.25
y=0.00559(39.5)2+12
y=8.721+12
y=20.7 m