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    Círculo de Mohr

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    Marco Alejandro
    El documento describe el Círculo de Mohr, un método gráfico para representar los esfuerzos en un punto de un material. Las ecuaciones de transformación de esfuerzos pueden expresarse como ecuaciones paramétricas de una circunferencia. Esto permite representar los esfuerzos normales y de cizalladura en un punto en función de los ángulos. Se incluyen dos ejemplos numéricos para ilustrar el método.

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    Círculo de Mohr

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    Marco Alejandro
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    El documento describe el Círculo de Mohr, un método gráfico para representar los esfuerzos en un punto de un material. Las ecuaciones de transformación de esfuerzos pueden expresarse como ecuaciones paramétricas de una circunferencia. Esto permite representar los esfuerzos normales y de cizalladura en un punto en función de los ángulos. Se incluyen dos ejemplos numéricos para ilustrar el método.

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    Círculo de Mohr

    (Método Gráfico)

    1
    Existe una interpretación gráfica de las
    ecuaciones anteriores (transformación de
    esfuerzos) hecha por el ingeniero alemán
    Otto Mohr (1882) a partir del uso de un
    círculo, por lo que se ha llamado Círculo de
    Mohr.

    2
    Las ecuaciones descritas anteriormente son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia

    ′ 𝜎𝑥 +𝜎y 𝜎𝑥 −𝜎y
    𝜎𝑥 = ( )+( )cos2θ + 𝜏𝑦𝑥 sen2θ
    2 2

    𝜎𝑥 −𝜎y
    𝜏𝑥𝑦′ = −( )𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝜃
    2
    Fórmula de un Círculo
    y

    c
    x
    R

    2
    𝑥−𝐶 + 𝑦 2 = 𝑅2
    Ecuación 1

    ′ 𝜎𝑥 +𝜎y 𝜎𝑥 −𝜎y
    𝜎𝑥 = ( )+( )cos2θ + 𝜏𝑦𝑥 sen2θ
    2 2

    ′ 𝜎𝑥 +𝜎y 𝜎𝑥 −𝜎y
    1) 𝜎𝑥 − ( )=( )cos2θ + 𝜏𝑦𝑥 sen2θ
    2 2
    Ecuación 2

    𝜎𝑥 −𝜎y
    2) 𝜏𝑥𝑦′ = −( )𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝜃
    2
    Sumatoria
    ′ 𝜎𝑥 +𝜎y 𝜎𝑥 −𝜎y
    1) (𝜎𝑥 − ( )) = ( )cos2θ + 𝜏𝑦𝑥 sen2θ
    2 2

    𝜎𝑥 −𝜎y
    2) 𝜏𝑥𝑦 ′ = −( )𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝜃
    2

    𝜎𝑥 +𝜎y 𝜎𝑥 −𝜎y 𝜎𝑥 −𝜎𝑦


    3) (𝜎𝑥 ′ − ( )) + 𝜏𝑥𝑦′ = ( )cos2θ + 𝜏𝑦𝑥 sen2θ − ( )𝑠𝑒𝑛2𝜃 +𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝜃
    2 2 2
    Elevar al cuadrado todos los términos

    𝜎𝑥 +𝜎y 𝜎𝑥 −𝜎y 𝜎𝑥 −𝜎y


    3) (𝜎𝑥 ′ − ( ))2 + (𝜏𝑥𝑦 ′ )2 = (( )cos2θ +𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝜃)2 + (−( )𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏𝑦𝑥 sen2θ) 2
    2 2 2

    ′ 𝜎𝑥 +𝜎y 2 𝜎𝑥 −𝜎y 2
    3) (𝜎𝑥 − ( )) + (𝜏𝑥𝑦′ )2 = ( )+ (𝜏𝑥𝑦 )2
    2 2
    Equivalencia con la ecuación de un círculo

    ′ 𝜎𝑥 +𝜎y 2 𝜎𝑥 −𝜎y 2
    3) (𝜎𝑥 − ( )) + (𝜏𝑥𝑦 ′ )2 = ( )+ (𝜏𝑥𝑦 )2
    2 2

    2
    𝑥−𝐶 + 𝑦 2 = 𝑅2
    𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2
    𝑅2 =( ) + (𝜏𝑥𝑦 )2
    2

    𝜎𝑥 +𝜎y 𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2
    𝐶 =( ) 𝑅 = ( ) + (𝜏𝑥𝑦 )2
    2 2
    Ejemplo 1
    4 𝐾𝑠𝑖

    5 𝐾𝑠𝑖
    𝝈𝒙 +𝝈𝒚 𝟏𝟎 𝑲𝒔𝒊−𝟒 𝑲𝒊𝒔
    𝑪=( )=( ) = 3 𝑲𝒔𝒊
    10𝐾𝑠𝑖 10𝐾𝑠𝑖 𝟐 𝟐

    5 𝐾𝑠𝑖 𝝈𝒙 −𝝈𝒚 2
    𝑹 = ( )+ (𝝉𝒙𝒚 )2 = 8.602 𝑲𝒔𝒊
    𝟐
    4 𝐾𝑠𝑖
    𝝉 3 , 𝜏𝑚𝑎𝑥

    10 , 5

    C=3 R
    σ2 σ1
    𝝈 (+)

    −4 , −5
    σ1 = C + R = 3 + 8.6 = 11.6 Ksi
    σ2 = C − R = 3 − 8.6 = −5.6 Ksi

    𝜏𝑚𝑎𝑥 = R = 8.6 Ksi


    𝝉 3 , 8.6

    10 , 5

    C=3 R
    σ2 σ1
    𝝈 (+)

    R 8.6 Ksi
    −4 , −5 5 Ksi
    2𝜃𝜎
    5
    2𝜃𝜎 = 𝑆𝑒𝑛−1 = 35.548°
    8.6

    𝜽𝝈 = 𝟑𝟓. 𝟓𝟒𝟖° / 2 = 𝟏𝟕. 𝟕𝟕𝟒°


    𝝉 3 , 8.6

    10 , 5

    C=3 R
    σ2 σ1
    𝝈 (+)

    −4 , −5 𝟐𝜽𝝈 = 35.548°
    𝟐𝜽𝝉 = 90° − 35.548°
    𝟐𝜽𝝉 =54.452 °
    𝜽𝝉 =54.452 °/𝟐 = 27.226°
    Esfuerzos Normales Principales
    4 𝐾𝑠𝑖
    5.6 𝐾𝑠𝑖
    5 𝐾𝑠𝑖 11.6 𝐾𝑠𝑖

    10𝐾𝑠𝑖 10𝐾𝑠𝑖
    𝟏𝟕. 𝟕𝟕𝟒°
    5 𝐾𝑠𝑖 11.6 𝐾𝑠𝑖

    4 𝐾𝑠𝑖 5.6 𝐾𝑠𝑖


    Esfuerzo Cortante Máximo

    3 𝐾𝑠𝑖

    3 𝐾𝑠𝑖
    8.6 𝐾𝑠𝑖
    27.226 °

    8.6 𝐾𝑠𝑖
    3 𝐾𝑠𝑖

    3 𝐾𝑠𝑖
    Ejemplo 2
    10𝐾𝑠𝑖

    4 𝐾𝑠𝑖
    𝝈𝒙 +𝝈𝒚 𝟒 𝑲𝒔𝒊−𝟏𝟎 𝑲𝒊𝒔
    4 𝐾𝑠𝑖 4 𝐾𝑠𝑖
    𝑪=( )=( ) = -3 𝑲𝒔𝒊
    𝟐 𝟐

    4 𝐾𝑠𝑖
    𝝈𝒙 −𝝈𝒚 2
    𝑹 = ( )+ (𝝉𝒙𝒚 )2 = 8.06 𝑲𝒔𝒊
    𝟐
    10𝐾𝑠𝑖
    −3 , 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝝉
    4 ,4

    R
    σ2 σ1
    𝝈 (+)
    C = -3
    R

    −10 , −4
    σ1 = C + R = −3 + 8.06 = 5.06 Ksi
    σ2 = C − R = −3 − 8.6 = −11.6 Ksi

    𝜏𝑚𝑎𝑥 = R = 8.06 Ksi


    −3 , 8.06 𝝉
    4 ,4

    R
    σ2 σ1
    𝝈 (+)
    C = -3
    R 8.06 Ksi
    −10 , −4
    4 Ksi
    2𝜃𝜎
    4
    2𝜃𝜎 = 𝑆𝑒𝑛−1 = 29.754°
    8.06

    𝜽𝝈 = 𝟐𝟗. 𝟕𝟓𝟒° / 2 = 𝟏𝟒. 𝟖𝟕𝟕°


    −3 , 8.06 𝝉
    4 ,4

    R
    σ2 σ1
    𝝈 (+)
    C = -3
    R

    −10 , −4 𝟐𝜽𝝈 = 29.754°


    𝟐𝜽𝝉 = 90° − 29.754°
    𝟐𝜽𝝉 =60.245 °
    𝜽𝝉 =60.245 °/𝟐 = 30.122°
    Esfuerzos Normales Principales
    10𝐾𝑠𝑖
    11.06 𝐾𝑠𝑖
    5.06 𝐾𝑠𝑖
    4 𝐾𝑠𝑖

    4 𝐾𝑠𝑖 4 𝐾𝑠𝑖
    𝟏𝟒. 𝟖𝟕𝟕°
    4 𝐾𝑠𝑖 5.06 𝐾𝑠𝑖

    10𝐾𝑠𝑖 11.06 𝐾𝑠𝑖


    Esfuerzo Cortante Máximo

    3 𝐾𝑠𝑖

    3 𝐾𝑠𝑖
    8.06 𝐾𝑠𝑖
    30.122°

    8.06 𝐾𝑠𝑖
    3 𝐾𝑠𝑖

    3 𝐾𝑠𝑖

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