Mathematics">
Nothing Special   »   [go: up one dir, main page]
Scribd Logo
Cargar

¡Te damos la bienvenida a Scribd!

  • 56 vistas

    Ejercicios Áreas Polares

    Cargado por

    MELANY ESTHER MARCHAN SANDOVAL
    El documento presenta dos ejercicios que involucran calcular áreas entre curvas dadas en coordenadas polares. En el primer ejercicio, se calcula el área de la región interior a la curva r=1+2cosθ, obteniendo un área de π−3√3/2. En el segundo ejercicio, se calcula el área de la región exterior a la curva r=1 e interior a r=2sin2θ, obteniendo un área de 2π/3+√3. Ambos cálculos involucran convertir las ecuaciones a coordenadas

    Copyright:

    © All Rights Reserved
    Descargue como DOCX, PDF, TXT o lea en línea desde Scribd

    Ejercicios Áreas Polares

    Cargado por

    MELANY ESTHER MARCHAN SANDOVAL
    56 vistas5 páginas
    El documento presenta dos ejercicios que involucran calcular áreas entre curvas dadas en coordenadas polares. En el primer ejercicio, se calcula el área de la región interior a la curva r=1+2cosθ, obteniendo un área de π−3√3/2. En el segundo ejercicio, se calcula el área de la región exterior a la curva r=1 e interior a r=2sin2θ, obteniendo un área de 2π/3+√3. Ambos cálculos involucran convertir las ecuaciones a coordenadas

    Descripción original:

    Título original

    Ejercicios áreas polares

    Derechos de autor

    © © All Rights Reserved

    Formatos disponibles

    DOCX, PDF, TXT o lea en línea desde Scribd

    ¿Le pareció útil este documento?

    ¿Este contenido es inapropiado?

    El documento presenta dos ejercicios que involucran calcular áreas entre curvas dadas en coordenadas polares. En el primer ejercicio, se calcula el área de la región interior a la curva r=1+2cosθ, obteniendo un área de π−3√3/2. En el segundo ejercicio, se calcula el área de la región exterior a la curva r=1 e interior a r=2sin2θ, obteniendo un área de 2π/3+√3. Ambos cálculos involucran convertir las ecuaciones a coordenadas

    Copyright:

    © All Rights Reserved
    Descargue como DOCX, PDF, TXT o lea en línea desde Scribd
    Descargar como docx, pdf o txt
    56 vistas5 páginas

    Ejercicios Áreas Polares

    Cargado por

    MELANY ESTHER MARCHAN SANDOVAL
    El documento presenta dos ejercicios que involucran calcular áreas entre curvas dadas en coordenadas polares. En el primer ejercicio, se calcula el área de la región interior a la curva r=1+2cosθ, obteniendo un área de π−3√3/2. En el segundo ejercicio, se calcula el área de la región exterior a la curva r=1 e interior a r=2sin2θ, obteniendo un área de 2π/3+√3. Ambos cálculos involucran convertir las ecuaciones a coordenadas

    Copyright:

    © All Rights Reserved
    Descargue como DOCX, PDF, TXT o lea en línea desde Scribd
    Descargar como docx, pdf o txt
    de 5

    EJERCICIOS ÁREAS ENTRE COORDENADAS POLARES

    3. Obtener el área del rizo interior de la curva r =1+ 2cos θ .

    a) Hallar ángulo y punto de intersección igualando r =1+ 2cos θ a 0.

    Ángulo: Punto de intersección:


    1+2 cos θ=0 r 1=1+2 cos ( 23π )
    cos θ=
    −1
    r =1+2
    2 1
    −1
    2 ( )
    θ=cos−1
    1
    ()
    r =0
    2 1
    2π
    θ1=
    3
    4π
    θ2=
    3

    Puntos de intersección con ejes:

    π 3π
    θ= ,
    2 2
    →r 2=1+ 2cos
    π
    2
    =1 ()
    θ=0 , 2 π →r 3 =1+2 cos ( 2 π )=3

    b) Graficar el área de la región encerrada (R)

    Gráfica Desmos: https://www.desmos.com/calculator/o8nc3eoqct?lang=es

    r 1=0 R

    4π
    θ2 =
    3
    c) Hallar el área R usando:
    β
    1
    A= ∫ [ f (θ ) ] dθ
    2

    2α

    4π
    3
    1
    ∫
    2
    R= [ 1+ 2cos θ ] dθ
    2 2π
    3
    4π
    3
    1
    R= ∫
    2 2π
    ( 1+4 cos θ2 +4 cos θ ) dθ
    3
    4π

    ( ( )
    3

    R=
    1
    ∫
    2 2π
    1+ 4
    1+cos 2 θ
    2 )
    + 4 cos θ dθ
    3
    4π
    3
    1
    R= ∫ ( 3+2 cos 2θ +4 cos θ ) dθ
    2 2π
    3

    ( )[ ]
    4π
    1 2sin 2 θ 3
    R= 3 θ+ + 4 sin θ
    2 2 2π
    3
    4π
    R=( ) [ 3 θ+ sin 2θ+ 4 sin θ ]
    1 3
    2π
    2 3

    [2 43π )+ sin 2( 43π )+ 4 sin ( 43π )−( 3( 23π )+ sin2( 23π )+4 sin ( 23π ))]
    R=( ) 3 (
    1

    2 [ 2 ]
    R=( ) 4 π + √ + ( 4 ) ( √ )−( 2 π − √ + ( 4 ) ( √ ))
    1 3 − 3 3 3
    2 2 2

    R=( ) [ 2 π−3 √ 3 ]
    1
    2
    3 √3
    R=π −
    2

    Comprobación Symbolab:
    https://es.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D
    %5Cint_%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%7D%5E%7B%5Cfrac
    %7B4%5Cpi%20%7D%7B3%7D%7D%5Cleft(1%2B2%5Ccos
    %5Cleft(%5Ctheta%5Cright)%5Cright)%20%5E%7B2%7Dd%5Ctheta?
    or=input

    3 √3 2
    Respuesta: El área de la región R es π− ≈ 0.543 u .
    2
    4. Obtener el área de la región que es exterior a la curva r =1 e interior a la curva
    r =2sin 2 θ.

    a) Hallar ángulo y punto de intersección igualando r =1 y r =2sin 2 θ .

    Ángulo: Punto de intersección:


    1=2 sin 2 θ r=2 sin 2 ( 12π )
    1
    sin 2 θ= r =( 2 )
    2
    1
    2 ()
    2 θ=sin
    −1
    ( 12 ) r=12 θ= π6 , 56π
    π 5π
    θ1= θ 2=
    12 12

    b) Graficar el área de la región encerrada (R)

    Gráfica Desmos: https://www.desmos.com/calculator/eil3fhyuuk?lang=es

    R/4

    R/4

    r =1

    R/4 R/4
    r =2sin 2 θ

    A1 r =1

    A2

    c) Hallar el área R=4 (A 1− A 2) usando:


    β
    1
    A= [
    ∫ ( f ) 2−( g(θ ) )2 dθ
    2 α (θ) ]
    R=4 (A ¿ ¿ 1− A 2) ¿

    [ ]
    5π
    12
    1
    R=4 ∫
    2 π
    [ ( 2 sin 2θ )2−( 1 )2 ] dθ
    12

    [ ]
    5π
    12
    R=2 ∫ [ 4 ( sin 2 θ )2−1 ] dθ
    π
    12

    [ [( ]
    5π

    ]
    12
    R=2 ∫
    π
    4
    1−cos 4 θ
    2 )
    −1 dθ
    12

    [ ]
    5π
    12
    R=2 ∫ [ 1−2cos 4 θ ] dθ
    π
    12

    [ ]
    5π
    2 sin 4 θ 12
    R=2 θ−
    4 π
    12

    R=2 [( 5π
    12
    − )
    sin 4

    2
    ( 512π ) −
    (( π
    12
    − )
    sin 4

    2
    ( 12π )
    )]
    R=2 [
    5 π √ 3 π √3
    + − +
    12 4 12 4 ]
    2π
    R= + √3
    3
    Comprobación Symbolab:
    https://es.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cleft(4%5Cright)%5Cfrac
    %7B1%7D%7B2%7D%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%20%7D
    %7B12%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B12%7D%7D
    %5Cleft(%5Cleft(2sin%5Cleft(2%5Ctheta%5Cright)%5Cright)%5E
    %7B2%7D-1%5Cright)d%5Ctheta?or=input

    2π
    + √3 ≈ 3.82 u .
    2
    Respuesta: El área de la región R es
    3

    53-56. Trace una gráfica de la ecuación rectangular. [Sugerencia: primero convierta la


    ecuación a coordenadas polares]
    2
    55. ( x 2 + y 2 ) =x 2− y 2

    a) Convertir a coordenadas polares con:

    2 2 2
    x=r cos θ y =r sin θ r =x + y

    2
    ( x 2 + y 2 ) =x 2− y 2
    2
    ( r 2 ) =(r cos θ)2−( r sin θ )2
    4 2 2 2 2
    r =r (cos θ) −r ( sin θ )
    r =r [(cos θ) −( sin θ ) ]
    4 2 2 2

    r =( 1−( sin θ ) ) −( sin θ )


    2 2 2

    2 2
    r =1−2 ( sinθ )
    r =√1−2 ( sin θ )
    2

    Gráfica Desmos: https://www.desmos.com/calculator/lhqrb0guvl?lang=es

    También podría gustarte