Facultad de Ciencias de la Educación y Humanidades

Departamento de Matemática y Estadística

Programa de estudios: Ingeniería en Industrias

Alimentarias (P24)
T25: TEOREMA DE CONVOLUCION
Información General:
1. Nombre de la asignatura : Cálculo III
2. Capacidad 3 de asignatura : Análisis del cálculo operacional en ecuaciones diferenciales
3. Nombre de la actividad : Transformada de Laplace y operadores diferenciales.
4. Fecha, hora, lugar y cantidad de estudiantes : F: 02/03/2024. H: 15-18 A10 E: 33
5. Nombre del Docente : Elmer Samuel Saavedra Viteri.

Descripción del contexto:

Se tratará el tema Teorema de convolución, con la finalidad de resolver problemas contextualizados de matemática en el
momento de la construcción del marco teórico conceptual de modelo matemático, en estudiantes de la especialidad de
Industrias alimentarias.

Descripción de la actividad:
Consiste en plantear un problema contextualizado o matemático con la finalidad de construir un marco teórico
conceptual que le permita resolverlo
Acciones del docente: Orienta y guía el aprendizaje
• Fase introductoria: Atención y percepción selectiva. Saberes previos
• Fase de la adquisición de la Información: Definición del problema. Definición de la meta. Generalización de ideas.
Solución- iluminación. Codificación. almacenamiento
• Fase de la aplicación: Evocación. transferencia
• Fase de la retroalimentación. Evaluación. Gratificación.
Acciones de los estudiantes: Resuelven un ejercicio en forma individual.

Resultados de aprendizaje específicos:

Competencias (E-A) Aplica, comprende y analiza el Cálculo III, a la solución de problemas de funciones especiales,
ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales orientados a su formación general, asumiendo
una actitud de responsabilidad y perseverancia en su desarrollo personal y profesional.
IF: Reconoce y aplica creativamente estrategias para comprender y discernir sobre temas científicos o empíricos en
mejorar el proceso de su aprendizaje, mostrando responsabilidad y perseverancia en su desarrollo personal y formación
profesional.
A: Muestra responsabilidad, tolerancia y perseverancia, en su desarrollo personal y formación profesional.
Capacidades. EA 3. Resuelve y evalúa problemas de análisis de la Transformada de Fourier, de Laplace y series de
potencias en la solución de ecuaciones diferenciales, utilizando métodos específicos y numéricos en problemas de
contorno, que coadyuve en su formación específica de Ingeniería en Industrias Alimentarias.
IF.1. Utiliza estrategias de aprendizaje por descubrimiento y construcción en una actividad para reflexionar y analizar
sobre un tema científico o empírico de trascendencia en el campo de la matemática e ingeniería en industrias alimentarias.
Actitudes. A.1. Muestra responsabilidad, tolerancia y perseverancia en sus actividades académicas.
Indicadores: EA.1.1. Comprende y analiza los métodos operacionales para resolver ecuaciones diferenciales en forma
aproximada; y resuelve y evalúa problemas de contorno mediante modelos matemáticos de ecuaciones diferenciales
según series de potencia, o la transformada de Laplace y los métodos numéricos.
IF.1. Reconoce las estrategias para indagar y las utiliza en situaciones de aprendizaje en una tarea
académica encomendada o acordada en clase.

Aprendizajes esperados de la actividad: El estudiante de Cálculo III del programa de estudios

de Ingeniería en Industrias Alimentarias (P24):
EA.1.1. Comprende una transformación de Laplace; resuelve problemas de ecuaciones
diferenciales lineales y el teorema de convolucion.
IF. 1.1. Reconoce las estrategias para indagar y las utiliza en situaciones de aprendizaje en una
tarea académica encomendada o acordada en clase.

Evaluación:
Criterios. Resuelve un problema o ejercicio del contexto real y matemático que implican la construcción del
significado y uso de números complejos, mediante el método inquisitivo según el nivel de logro cognitivo:
conoce (4p), comprende (3p), aplica (4p), analiza (4p), sintetiza (2p) y evalúa (3p).

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD: Aprendizaje por descubrimiento

1. Fase introductoria
1.1. Atención y percepción selectiva
Técnica: Resumiendo y aclarando: Se elige al azar a un estudiante para que exponga los contenidos de la clase inmediata
y aclare sus dudas y las de sus compañeros. De forma que se garantice el estudio permanente.
1.1.1.1. Transformada de Laplace.

Introducción a la transformada de Laplace

D1. Sea f(t) una función de variable real definida en el intervalo, 0, ), y consideremos,
∞

ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

0

Donde, s, es una variable real.

Siempre que, f, se comporte en forma adecuada esta integral será convergente para ciertos valores de, s.

Ejemplo 1.
Calcúlese la transformada de Laplace de función trigonométrica f(t)=cos at,

En efecto,
∞ 𝑡
−𝑠𝑡
𝑒 −𝑠𝑡 0

ℒ[𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡](𝑠) = ∫ 𝑒 cos 𝑎𝑡𝑑𝑡 = lim { 2 (𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 − 𝑠 cos 𝑎𝑡)| }

𝑡0 →∞ 𝑠 + 𝑎2
0 0

𝑒 −𝑠𝑡0 𝑠 𝑠
ℒ[𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡](𝑠) = lim [ 2 (𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡0 − 𝑠 cos 𝑎𝑡0 ) + ] = ,𝑠 > 0
𝑡0 →∞ 𝑠 + 𝑎2 𝑠 2 + 𝑎2 𝑠 2 + 𝑎2
D2. Se dice que una f(t) es de orden exponencial en el intervalo, 0, ), si existen constantes, C y
, tales que,
|𝑓(𝑡)| ≤ 𝐶𝑒 ∝𝑡
Para, t>0

T1. Si f es una función continua por tramos de orden exponencial, entonces existe un número real,
, talque,
∞

ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

0
Converge para todos los valores de s>.

Nótese que, |𝑓(𝑡)| ≤ 𝐶𝑒 ∝𝑡 , para, t>0, entonces

∞ ∞ ∞
𝐶 𝐶
∫𝑒 −𝑠𝑡
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 (𝐶𝑒 ∝ )𝑑𝑡
= 𝐶 ∫ 𝑒 −(𝑠−∝)𝑡 𝑑𝑡 = 𝐶 lim (1 − 𝑒 −𝑡𝑠−𝑠𝑡0 ) = , 𝑠 >∝
𝑡0 →∞ 𝑠−∝ 𝑠−∝
0 0 0

Corolario 1. Sea f es de orden exponencial, existe R, para t>0, tal que, si C>0, entonces

𝐶
ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) ,𝑠 > 𝛼
𝑠−𝛼

Transformada de Laplace como transformación lineal

T2. (teorema de Lerch) Sean f(t) y g(t) funciones continuas por tramos de orden exponencial, y
supongamos que existe un número real, s0, tal que,

ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = ℒ[𝑔(𝑡)](𝑠)

Para s>s0. Entonces con la posible excepción de los puntos de discontinuidad, f(t)=g(t) para todo,
t>0.

C1. Si son idénticas las funciones en cierto entorno, E, que coinciden en todos los puntos salvo en
sus puntos de discontinuidad de
ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = 𝜑(𝑠)

Entonces, la transformada inversa de Laplace de la función, (s), es ℒ −1 [𝜑(𝑠)].

Corolario 2. La transformada inversa de Laplace de la función, (s), está caracterizada por,

𝑓(𝑡) = ℒ −1 [𝜑(𝑠)]
Si y solo si
ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = 𝜑(𝑠)
T3. Si f(t) es una función de orden exponencial, entonces, lim ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = 0
𝑠→∞

𝐶
Nótese que, |𝑓(𝑡)| ≤ 𝐶𝑒 ∝𝑡 , para, t>0, entonces |ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠)| ≤ ,  𝑠 >∝
𝑠−∝
Luego, aplicando limites se cumple T3.

Ejemplo 2.
𝑠
ℒ[𝑐𝑜𝑠 5𝑡](𝑠) = ,𝑠 > 0
𝑠2 + 25
1
ℒ[𝑡](𝑠) = ,𝑠 > 0
𝑠2

T4. Sea, f(t), una continua en (0, ), y supongamos que f’ es continua por tramos y de orden
exponencial en 0, ), Entonces,

ℒ[𝑓′(𝑡)](𝑠) = 𝑠ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) − 𝑓(0+ )

En donde, 𝑓(0+ ) = lim+ 𝑓(𝑡)

𝑡→0

Corolario 3. En general, si, f’, f’’, …, f(n-1), son continuas para todo t>0, y si f(n) es continua por
tramos y de orden exponencial en 0, ), entonces,

ℒ[𝑓′′(𝑡)](𝑠) = 𝑠 2 ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) − 𝑠𝑓(0+ ) − 𝑓′(0+ )

(𝑛)
ℒ[𝑓 (𝑡)](𝑠) = 𝑠 𝑛 ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) − 𝑠 𝑛−1 𝑓(0+ ) − 𝑠 𝑛−2 𝑓 ′ (0+ ) − ⋯ − 𝑓 (𝑛−1) (0+ )

T5. Si, f(t), es una función de orden exponencial en 0, ), y a, es un número real no negativo,
entonces,
𝑡
1 1 𝑎
ℒ [∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ] (𝑠) = ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎 𝑠 𝑠 0
Corolario 4. En general, si, f’, f’’, …, f , son continuas para todo t>0, y si f(n) es continua por
(n-1)

tramos y de orden exponencial en 0, ), entonces,

n veces
𝑡 𝑡
1 1 𝑎 1 𝑎 𝑎
1 𝑡 𝑡
ℒ [∫ … ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 … 𝑑𝑥 ] (𝑠) = 𝑛
ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) − 𝑛 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑛−1 ∫ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥 − ⋯ − ∫ … ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 … 𝑑𝑥
𝑎 𝑎 𝑠 𝑠 0 𝑠 0 0 𝑠 𝑎 𝑎
(n-1) veces
1.2. Motivación
1.2.1. Desequilibrio cognitivo: Presentación de un problema

Problema: Hállese la solución del problema de valores iniciales mediante la transformada de

Laplace
(D2+D-6)y=h(t)
y(0)=y’(0)=0

1.2.2. Lluvia de ideas: Observación la realidad y del contexto:

OBSERVACION Ecuación diferencial lineal no homogénea de valores iniciales

Esta ecuación diferencial lineal de segundo orden, planteado, tiene solución de la forma
yg=yh+yp
La solución general homogénea. Si h(t), tR, es una función continúa diferenciable, primero tenemos la
solución homogénea de la ecuación lineal homogénea,
y’’+y’-6y=0

entonces, su ecuación característica, 2+-6=0, tiene raíces =2, =-3, cuya solución general homogénea es

𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 2𝑡 + 𝐶2 𝑒 −3𝑡

La solución particular, será de la forma, 𝑦𝑝 = 𝐶1 (𝑡)𝑒 2𝑡 + 𝐶2 (𝑡)𝑒 −3𝑡 , se asume que las constantes son
funciones, en el método de Lagrange de variación de la constante, que satisface las condiciones siguientes,

𝑑𝐶1 (𝑡) 2𝑡 𝑑𝐶2 (𝑡) −3𝑡

𝑒 + 𝑒 =0
{ 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝐶1 (𝑡) 2𝑡 ′ 𝑑𝐶2 (𝑡) −3𝑡 ′
(𝑒 )𝑡 + (𝑒 )𝑡 = ℎ(𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑡
entonces
𝑑𝐶1 (𝑡) 2𝑡 𝑑𝐶2 (𝑡) −3𝑡
𝑒 + 𝑒 =0
{ 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝐶1 (𝑡) 𝑑𝐶2 (𝑡)
(2𝑒 2𝑡 ) + (−3𝑒 −3𝑡 ) = ℎ(𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑡
entonces
1
𝐶1 (𝑡) =∫ 𝑒 −2𝑡 ℎ(𝑡)𝑑𝑡
−5
1
𝐶 (𝑡) = ∫ 𝑒 3𝑡 ℎ(𝑡)𝑑𝑡
{ 1 −5

1.2.3. Saberes previos

1.2.3.1. Otras propiedades de la transformada de Laplace

T6. Primer teorema de traslación. Sea, f, una función continua por tramos en t0, ).

Si, ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = 𝜑(𝑠), entonces, ℒ[𝑒 𝑎𝑡 𝑓(𝑡)](𝑠) = 𝜑(𝑠 − 𝑎)

Corolario 5.
Sea, f, una función continua por tramos en t0, ).
Si, ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = 𝜑(𝑠), entonces, ℒ −1 [𝜑(𝑠 − 𝑎)] = 𝑒 𝑎𝑡 ℒ −1 [(𝑠)],

Escolio 1.
Sea, f, una función continua por tramos en t0, ).
Si, ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = 𝜑(𝑠), entonces, ℒ −1 [𝜑(𝑠)] = 𝑒 𝑎𝑡 ℒ −1 [(𝑠 + 𝑎)]

D3. La función de escalón unitario, ua(t), se establece por la formula

0, 𝑡 ≤ 𝑎
𝑢𝑎 (𝑡) = {
1, 𝑡 > 𝑎

1 ua(t)

a t
D4. La función traslación, f(t), de la función real de variable real, g(t), a un nuevo sistema de
coordenadas con centro en C(a, 0) a la derecha de, a, unidades, y aniquilar luego la porción a la
izquierda de, a, establecido por la formula

0, 𝑡≤𝑎
𝑓(𝑡) = 𝑢𝑎 (𝑡)𝑔(𝑡 − 𝑎) = {
𝑔(𝑡 − 𝑎), 𝑡 > 𝑎
Ejemplo 3.
Si, g(x)=senx es la función, xR, |𝑦| ≤ 1, es decir, |𝑠𝑒𝑛𝑥| ≤ 1

Entonces, la traslación del sistema 0xy al sistema 0’x’y’ con 0’(0, 0) es X’=x-a, Y’=y-0

0, 𝑥≤𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑢𝑎 (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑎) = {
𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑎), 𝑥 > 𝑎

y Y’ 𝑓(𝑥) = 𝑢𝑎 (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑎) = 𝑢0 (𝑥 − 𝑎)𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑎)

X’
x
0 a a+/2 a+3/2 a+5/2

T7. Segundo teorema de traslación

Sea, 𝑓(𝑡) = 𝑢𝑎 (𝑡)𝑔(𝑡 − 𝑎), 𝑎 ≥ 0, una función continua por tramos de orden exponencial. Entonces,

ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = 𝑒 −𝑎𝑠 ℒ[𝑔(𝑡)](𝑠)

(por razones físicas el factor, e-st, de esta fórmula se conoce como el factor de retraso)

Corolario 6.
Sea, 𝑓(𝑡) = 𝑢𝑎 (𝑡)𝑔(𝑡 − 𝑎), 𝑎 ≥ 0, una función continua por tramos de orden exponencial. Entonces,
ℒ −1 [𝑒 −𝑎𝑠 ℒ[𝑔(𝑡)](𝑠))] = 𝑢𝑎 (𝑡)𝑔(𝑡 − 𝑎)
Escolio 2.
Sea, 𝑓(𝑡) = 𝑢𝑎 (𝑡)𝑔(𝑡 − 𝑎), 𝑎 ≥ 0, una función continua por tramos de orden exponencial. Entonces,

ℒ −1 [𝑒 −𝑎𝑠 (𝑠)] = 𝑢𝑎 (𝑡)𝑔(𝑡 − 𝑎)

Donde, ℒ[𝑔(𝑡)](𝑠)) = (𝑠).

T8. Si, ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = (𝑠), entonces

𝑑𝑛
ℒ[𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)](𝑠) = (−1)𝑛 𝜑(𝑠)
𝑑𝑠 𝑛
Corolario 7.
Si, ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = (𝑠), entonces

𝑑𝑛
ℒ −1 [ 𝜑(𝑠)] = (−1)𝑛 𝑡 𝑛 ℒ −1 [𝜑(𝑠)]
𝑑𝑠 𝑛

T9. Si, f(t), es de orden exponencial y es periódica con periodo, p, entonces

𝑝
∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = 0
1 − 𝑒 −𝑝𝑠

1.2.3.2. La transformada de Laplace y las ecuaciones diferenciales

D5. Las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes de la forma

𝑎𝑛 𝑓 (𝑛) (𝑡) + 𝑎𝑛−1 𝑓 (𝑛−1) (𝑡) + ⋯ + 𝑎0 𝑓(𝑡) = ℎ(𝑡), 𝑎𝑛 0, 𝑎𝑖 ∈ 𝑅

Se expresa mediante el operador diferencial en la forma normal

𝐿𝑓(𝑡) = ℎ(𝑡)

Donde

𝐿𝑓(𝑡) = (𝑎𝑛 𝐷(𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝐷(𝑛−1) (𝑡) + ⋯ + 𝑎0 )𝑓(𝑡)

C2. Sea el operador de la forma, Lf(t)=h(t), de una ecuación diferencial lineal con coeficientes
constantes,

𝑓 (𝑛) (𝑡) + 𝑎𝑛−1 𝑓 (𝑛−1) (𝑡) + ⋯ + 𝑎0 𝑓(𝑡) = ℎ(𝑡), 𝑎𝑖 ∈ 𝑅

donde,

𝐿𝑓(𝑡) = (𝐷 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝐷(𝑛−1) (𝑡) + ⋯ + 𝑎0 )𝑓(𝑡)

P1. Si el operador lineal, Lf(t)=h(t), en C1, donde f(t) es de orden exponencial, tal que,

ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = (𝑠)

Entonces, siempre que h(t) sea de orden exponencial se tiene que

𝑓(𝑡) = ℒ −1 [(𝑠)]

Esto es, la primera identidad, ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = (𝑠), se obtiene por la definición, D2, de función de orden
exponencial, f; y la segunda identidad, 𝑓(𝑡) = ℒ −1 [(𝑠)], se obtiene aplicando el teorema de Lerch,
T2 siempre que, h, sea de orden exponencial.

Ejemplo 4. Resolver el problema de valores iniciales, y’’-y=1, si y(0)=0, y’(0)=1

En efecto
Utilizando las transformadas de Laplace para resolver el problema de valores iniciales, según los
operadores tenemos,

ℒ[𝑦 ′′ − 𝑦](𝑠) = ℒ[1](𝑠)

Entonces por propiedad lineal del operador de la transformada tenemos

ℒ[𝑦 ′′ ](𝑠) − ℒ[𝑦](𝑠) = ℒ[1](𝑠)

Entonces, aplicando el teorema de Laplace de una derivada, T4, se tiene,

1
(𝑠 2 ℒ[𝑦] − 1) − ℒ[𝑦] = , 𝑠 > 0
𝑠

Entonces, transponiendo términos, despejamos la transformada

1
ℒ[𝑦] =
𝑠(𝑠 − 1)

Entonces, descomponiendo, (s)=1/s(s-1), en fracciones parciales simples tenemos,

1 1
ℒ[𝑦] = −
𝑠−1 𝑠

Entonces aplicando transformada de Laplace inversa, se tiene

1 1
ℒ −1 [ℒ[𝑦]] = ℒ −1 [ − ]
𝑠−1 𝑠

Entonces aplicando la linealidad del operador tenemos

1 1
ℒ −1 [ℒ[𝑦]] = ℒ −1 [ ] − ℒ −1 [ ]
𝑠−1 𝑠
Entonces aplicando el teorema de Lerch tenemos

𝑦 = 𝑒𝑥 − 1

2. Fase de la adquisición de la información: Descripción teórica

2.1. Codificación: Estructuración de la información o esquema
Técnica: Uso de medios complementarios periféricos

EL TEOREMA DE CONVOLUCION

La fórmula de convolución, para calcular transformadas de Laplace, desempeña un importante

papel en ciertas investigaciones teóricas del análisis avanzado y adecuado para la tarea de
construcción de inversos para operadores diferenciales lineales con coeficientes constantes.

2.1.1. Definición del problema

T10. Sea, f(t) y g(t), funciones continuas por tramos de orden exponencial y supongamos que

ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = (𝑠), ℒ[𝑔(𝑡)](𝑠) = 𝜓(𝑠)

Entonces,
𝑡
ℒ [∫ 𝑓(𝑡 − 𝜉)𝑔(𝜉)𝑑𝜉 ] (𝑠) = (𝑠)𝜓(𝑠)
0

Corolario 8. si
𝑡
ℒ [∫ 𝑓(𝑡 − 𝜉)𝑔(𝜉)𝑑𝜉 ] (𝑠) = (𝑠)𝜓(𝑠)
0
Entonces,
𝑡
ℒ −1 [(𝑠)𝜓(𝑠)](𝑠) = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝜉)𝑔(𝜉)𝑑𝜉
0

C3. Sea, f(t) y g(t), funciones continuas por tramos de orden exponencial. La integral como
producto de f y g se llama convolución de f y g, se denota por

𝑓 ⋆ 𝑔 = ℒ −1 [(𝑠)𝜓(𝑠)](𝑠)

D6. Sea, f(t) y g(t), funciones continuas por tramos de orden exponencial. La convolución de f y
g se establece por,
𝑡
(𝑓 ⋆ 𝑔)(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝜉)𝑔(𝜉)𝑑𝜉
0
 2.2. Almacenamiento. Transferir la información a la memoria de largo plazo.
Técnica. Fichas de resumen o esquematización de los contenidos tratados de los números complejos

EL TEOREMA DE CONVOLUCION
Teorema de convolución. Sea, f(t) y g(t), funciones continuas por tramos de orden exponencial y
supongamos que

ℒ[𝑓(𝑡)](𝑠) = (𝑠), ℒ[𝑔(𝑡)](𝑠) = 𝜓(𝑠)

Entonces,
𝑡
ℒ [∫ 𝑓(𝑡 − 𝜉)𝑔(𝜉)𝑑𝜉 ] (𝑠) = (𝑠)𝜓(𝑠)
0

Corolario de convolución. si
𝑡
ℒ [∫ 𝑓(𝑡 − 𝜉)𝑔(𝜉)𝑑𝜉 ] (𝑠) = (𝑠)𝜓(𝑠)
0
Entonces,
𝑡
ℒ −1 [(𝑠)𝜓(𝑠)](𝑠) = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝜉)𝑔(𝜉)𝑑𝜉
0

Concepto de convolución. Sea, f(t) y g(t), funciones continuas por tramos de orden exponencial.
La integral como producto de f y g se llama convolución de f y g, se denota por

𝑓 ⋆ 𝑔 = ℒ −1 [(𝑠)𝜓(𝑠)](𝑠)

Definición de convolución. Sea, f(t) y g(t), funciones continuas por tramos de orden exponencial.
La convolución de f y g se establece por,
𝑡
(𝑓 ⋆ 𝑔)(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝜉)𝑔(𝜉)𝑑𝜉
0

3. Fase de la aplicación- implementación

3.1. Evocación: relación del aprendizaje nuevo y adquirido
Técnica: Memoria: A través de la evocación o reconocimiento de hechos específicos, terminología, principios,
seleccionar el material correcto, utilizando la memoria.
3.1.1. Problema de estudio
Problema: Hállese la solución del problema de valores iniciales mediante la transformada de
Laplace
(D2+D-6)y=h(t)
y(0)=y’(0)=0

Modelo de resolución de problemas

3.1.1.1. Datos Rendimiento académico: Logro de aprendizaje (11ptos)

RUBLICA: Conoce Rendimiento académico: Desempeño académico (4)

Identifica.
Contexto: EDOLNH con valores iniciales (D2+D-6)y=h(t), y(0)=y’(0)=0
Realidad: Transformada de Laplace inversa
Estudio: Propiedades de las transformadas de Laplace
 Propósito: Determinar la inversa de la transformada de Laplace de Laplace de la ED
Planteamiento: Hallar y=(t; c1, c2) de, la EDOLNH
si 𝑦 = ℒ −1 [ℒ[𝜑(𝑡)]] tal que, ℒ[𝜑(𝑡)] = ℒ[(D2 + D − 6)y = h(t); y(0) = y’(0) = 0 ]
Finalidad: Verificar que la solución satisface, EDOLNH
Supuesto: Existe la solución de la EDOLNH
Limitaciones: Cuando la función es discontinua.

Importancia: Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales

RUBLICA: Comprende Rendimiento académico: Desempeño académico (3)

Antecedentes: Ecuaciones diferenciales lineales
Marco teórico: Ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior
Marco conceptual:
C1. EDOLNH (D2+D-6) =h(t), y(0)=y’(0)=0
Hipótesis de trabajo: HT
Sea, (D2+D-6) =h(t), y(0)=y’(0)=0, una EDOLNH, implica que, existe una función (t), talque,
ℒ[𝜑(𝑡)] = ℒ[(D2 + D − 6) = h(t), y(0) = y’(0) = 0] entonces, 𝑦 = ℒ −1 [ℒ[𝜑(𝑡)]]

RUBLICA: Aplica Rendimiento académico: Desempeño académico (4)

Método: Deductivo
Técnica: Deducción lógica Matemática

Plan: Modelo (propósito): Teorema directo HT

H: Sea, (D2+D-6) =h(t), y(0)=y’(0)=0, una EDOLNH,
T: Existe una función (t), talque, ℒ[𝜑(𝑡)] = ℒ[(D2 + D − 6) = h(t), y(0) = y’(0) = 0]
entonces, 𝑦 = ℒ −1 [ℒ[𝜑(𝑡)]]

Argumento lógico: H ⟼T
Implicación lógica: HT sii H→T es verdad (tautología)
Definición de la prueba (finalidad): H ⟼T es verdad si es implicación lógica
Modelo matemático del teorema: HT sujeto a T:=(H0→(H1→T0))
H: Sea, (D2+D-6) =h(t), y(0)=y’(0)=0, una EDOLNH
H0: Existe una función (t),
H1: ℒ[𝜑(𝑡)] = ℒ[(D2 + D − 6) = h(t), y(0) = y’(0) = 0]
T0: 𝑦 = ℒ −1 [ℒ[𝜑(𝑡)]]
Estrategias: Demostrar si es cierto el argumento lógico de modelo del teorema.
Dq, T0 es verdad si H1, H0, H1, H son verdad
Procedimientos:
1° Resolver la transformada de Laplace
2º Hallar H0 mediante T0
3.1.1.2. Operación Rendimiento académico: logro de aprendizaje (4pto)
RUBLICA: Analiza Rendimiento académico: Desempeño académico (4)
Razonamiento deductivo:
Resolver por transformada de Laplace
De la ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes y valores iniciales
 (D2+D-6)y=h(t)
y(0)=y’(0)=0
En efecto
(D) Sea, (D2+D-6) =h(t), y(0)=y’(0)=0, una EDOLNH,
Entonces, dado que h(t) es una función de orden exponencial

(O) Entonces, aplicaremos el operador transformado a la ecuación dada y obtenemos,

(𝑠 2 + 𝑠 − 6)ℒ[𝑦] = ℒ[ℎ]
Entonces trasponiendo términos algebraicos de la multiplicación

ℒ[ℎ(𝑡)](𝑠)
ℒ[𝑦(𝑡)](𝑠) =
𝑠2 + 𝑠 − 6

Entonces por el teorema de convolución tenemos

1
𝑦(𝑡) = ℒ −1 [ ] ⋆ ℎ(𝑡)
𝑠2 +𝑠−6

Entonces, por descomposición en fracciones parciales simples de, (s), se tiene

1 1
𝑦(𝑡) = ℒ −1 [ − ] ⋆ ℎ(𝑡)
5(𝑠 − 2) 5(𝑠 + 3)

Entonces, por la linealidad de operador transformada e inversa, obtenemos

1 1
𝑦(𝑡) = [ 𝑒 2𝑡 − 𝑒 −3𝑡 ] ⋆ ℎ(𝑡)
5 5

(R) Entonces por la definición de convolución obtenemos

𝑡
1 1
𝑦(𝑡) = ∫ [ 𝑒 2(𝑡−𝜉) − 𝑒 −3(𝑡−𝜉) ] ℎ(𝜉)𝑑𝜉
0 5 5

Demostración del teorema: Deductivo

Teorema directo HT:
Por, H, se asume como verdad, (D2+D-6) =h(t), y(0)=y’(0)=0, una EDOLNH,

Entonces, dado que h(t) es una función de orden exponencial

Entones por H0 existe y=(t, c1, c2) que, aplicaremos el operador transformado a la ecuación dada
y obtenemos,
(𝑠 2 + 𝑠 − 6)ℒ[𝑦] = ℒ[ℎ]

Entonces por, H1, se trasponiendo términos algebraicos de la multiplicación

ℒ[ℎ(𝑡)](𝑠)
ℒ[𝑦(𝑡)](𝑠) =
𝑠2 + 𝑠 − 6
Entonces por t0, mediante el teorema de convolución tenemos

1
𝑦(𝑡) = ℒ −1 [ ] ⋆ ℎ(𝑡)
𝑠2 +𝑠−6

Entonces, por descomposición en fracciones parciales simples de, (s), se tiene

1 1
𝑦(𝑡) = ℒ −1 [ − ] ⋆ ℎ(𝑡)
5(𝑠 − 2) 5(𝑠 + 3)

Entonces, por la linealidad de operador transformada e inversa, obtenemos

1 1
𝑦(𝑡) = [ 𝑒 2𝑡 − 𝑒 −3𝑡 ] ⋆ ℎ(𝑡)
5 5

Entonces por la definición de convolución obtenemos el resultado de T0,

𝑡
1 1
𝑦(𝑡) = ∫ [ 𝑒 2(𝑡−𝜉) − 𝑒 −3(𝑡−𝜉) ] ℎ(𝜉)𝑑𝜉
0 5 5

Argumento lógico del modelo matemático del teorema: (H0→(H1→T0))

En efecto: Argumento lógico H→T

Por certeza y evidencias del cálculo H→ (H0→(H1→T0) se tiene V→ (V→(V→V))

Entonces por condicional, es V
Luego, H→T es verdad

Por lo tanto, el Teorema directo HT es válido

3.1.1.3. Respuesta Rendimiento académico: logro de aprendizaje (2ptos)

RUBLICA: Sintetiza Rendimiento académico: Desempeño académico (2)
Resultados: La EDOLNH con VI, (D2+D-6)y=h(t), y(0)=y’(0)=0, tiene solución de la forma:

𝑡
1 1
𝑦(𝑡) = ∫ [ 𝑒 2(𝑡−𝜉) − 𝑒 −3(𝑡−𝜉) ] ℎ(𝜉)𝑑𝜉
0 5 5

Donde la función h(t) es continua o continua por tramos de orden exponencial

Conclusiones:
El supuesto es cierto:
El argumento lógico es verdad: H ⟼T es cierto
La hipótesis de trabajo es válida: HT
Prueba Rendimiento académico: logro de aprendizaje (3ptos)

RUBLICA: Evalúa Rendimiento académico: Desempeño académico (3)

Justificación de resultados y constatación

Contrastación:
1º. Por transformada de Laplace, como la solución del problema es

𝑡
1 1
𝑦(𝑡) = ∫ [ 𝑒 2(𝑡−𝜉) − 𝑒 −3(𝑡−𝜉) ] ℎ(𝜉)𝑑𝜉
0 5 5

Entonces para h(t)=1, tenemos

𝑡
1 1
𝑦(𝑡) = ∫ [ 𝑒 2(𝑡−𝜉) − 𝑒 −3(𝑡−𝜉) ] 𝑑𝜉
0 5 5

Entonces, separando la variable de estudio de la integral

1 2𝑡 𝑡 1 −2𝜉 1 −3𝑡 𝑡 −3𝜉

𝑦(𝑡) = 𝑒 ∫ [ 𝑒 ] 𝑑𝜉 − 𝑒 ∫ [𝑒 ]𝑑𝜉
5 0 5 5 0

Entonces integrando,
1 2𝑡 1 1
𝑦(𝑡) = 𝑒 + 𝑒 −3𝑡 +
10 15 6

2º Por el método de Lagrange de Variable separable, para h(t)=1

La solución general homogénea es

𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 2𝑡 + 𝐶2 𝑒 −3𝑡

La solución particular es

𝑦𝑝 = 𝐶1 (𝑡)𝑒 2𝑡 + 𝐶2 (𝑡)𝑒 −3𝑡

Donde,

1
𝐶1 (𝑡) = ∫ 𝑒 −2𝑡 ℎ(𝑡)𝑑𝑡
−5
1
𝐶 (𝑡) = ∫ 𝑒 3𝑡 ℎ(𝑡)𝑑𝑡
{ 2 −5

Entonces si h(t)=1, tenemos

1
𝐶1 (𝑡) = ∫ 𝑒 −2𝑡 𝑑𝑡
−5
1
𝐶 (𝑡) = ∫ 𝑒 3𝑡 𝑑𝑡
{ 1 −5
 Entonces integrando tenemos
1 −2𝑡
𝐶1 (𝑡) = 𝑒
{ 10
1 3𝑡
𝐶2 (𝑡) = 𝑒
−15
Entonces,
1 1 1
𝑦𝑝 = − =
10 15 6
3º La solución general es
1
𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑡 + 𝐶2 𝑒 −3𝑡 +
6

4º El problema de valores iniciales, y(0)=0, y’(0)=0

1 −2𝑡
𝐶1 (𝑡) = 𝑒
10
1 3𝑡
𝐶2 (𝑡) = 𝑒
15
Tenemos, C1(0)=1/10, C2(0)=-1/15
1 2𝑡 1 1
𝑦(𝑡) = 𝑒 + 𝑒 −3𝑡 −
10 15 6
:

Discusión: De los resultados del problema

En algunos casos de debe realizar transformaciones o adecuaciones, en el cual, para
que exista transformada de Laplace la función aplicada debe sede de orden exponencial
tan cómo, descomposición en fracciones parciales u otros

Recomendaciones:
Resolver el problema utilizando otras formas, por ejemplo, por método numéricos.
Sugerencias:
Para las demostraciones de teoremas se debe aplicar el método deductivo o inductivo,
fundamentando los procesos resolutivos.

3.2. Transferencia: relacionar el conocimiento con nuestra experiencia, espacio personal y social.
Técnica: Ejercicios
E1. Hallar
1
ℒ −1 [ ]
𝑠(𝑠 2+ 1)
En efecto

Por el teorema de convolución tenemos

1 1 1
ℒ −1 [ ] = ℒ −1 [ ] ⋆ ℒ −1 [ 2 ]
𝑠(𝑠 2+ 1) 𝑠 𝑠 +1

Entonces, por operador inverso,

1
ℒ −1 [ ] = 1 ⋆ 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑠(𝑠 2+ 1)
Entonces, definición de convolución,
𝑡
1
ℒ −1 [ ] = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜉𝑑𝜉
𝑠(𝑠 2 + 1) 0

Entonces calculando la integral tenemos

1
ℒ −1 [ ] = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑠(𝑠 2 + 1)

2. Fase de la Retroalimentación:
4.1. Evaluación: Se Re informa y se analiza el cambio
4.1.1. Autoevaluación
Técnica: Lo más importante; todos tratan de evaluar lo más importante o significativo para ellos.
Determinan que han aprendido en la clase.
Los estudiantes reflexionan sobre sus aprendizajes, respondiendo a las siguientes
interrogantes:
¿Qué aprendí?
¿Cómo fue mi aprendizaje?
¿Para qué me va a servir lo que he aprendido?
¿Que necesito ahora?
¿Cómo mejoró mis aprendizajes?
¿Qué nivel alcance en mis aprendizajes cognitivos?

4.1.2. Gratificación.
Técnica; Los estudiantes analizan sobre sus aprendizajes, en qué medida está
cumpliendo con sus metas trazadas durante el curso.
Los estudiantes analizan sus aprendizajes, respondiendo a las interrogantes:
¿Cuánto mejoro?
¿De qué manera me moviliza internamente lo aprendido?
¿Cómo me valoro?
¿Qué nota debo recibir?
¿Qué gano externamente?

4.2. Tarea académica guiada

E1. Utilizar la fórmula de convolución para encontrar la transformada de Laplace inversa de:
ℒ[𝑓]
𝑠2 + 1

E2. Evaluar cada una de las expresiones:

𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 ⋆ cos 𝑏𝑡

E3 Hállese la transformada de Laplace de:

𝑓(𝑡) = 𝑢𝑎 (𝑡)𝑠𝑒𝑛𝑡
E4. Hallar
𝑒 −3𝑠
ℒ −1 [ 2 ]
𝑠 + 6𝑠 + 10
5. TAREA DE INVESTIGACION FORMATIVA

P1. Hállese la solución por transformada de Laplace de la ecuación diferencial no homogénea

y’’+4y’+13y=2t+3e-2tcos3t, si y(0)=0, y’(0)=-1

P2. Resolver el operador derivado, (D-)y=0, donde, , es un número real arbitrario, con
transformadas de Laplace.

P3. Resolver
ℒ[𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡]
P4. Resolver
1
ℒ −1 [ ]
(𝑠 2 + 1)2
P5. Resolver
2𝑠 + 3
ℒ −1 [ ]
𝑠2 − 4𝑠 + 20

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

BOLGOV, V. (et al). (Bestseller-1983). Problemas de las matemáticas superiores I. MIR Moscú.

HELFGOTT, M. y VERA, E. (1989). Introducción a las ecuaciones diferenciales. Segunda edición. AMARU
Editores.

Iquitos, febrero del 2023.