Mathematics">
Laboratorio N°1 Tele Ii
Laboratorio N°1 Tele Ii
Laboratorio N°1 Tele Ii
TELECOMUNICACIONES II
PROFESOR(A):
ALUMNOS:
TURNO:
- 90G
2021-B
1. TEMA
Análisis de señales con el uso de MATLAB u OCTAVE.
2. OBJETIVOS
Utilizar Matlab u OCTAVE, para analizar señales en el dominio de la frecuencia y en el
dominio del tiempo.
3. MARCO TEORICO
3.1.Introducción al análisis espectral.
Conceptos en el Dominio Temporal:
La señal electromagnética, considerada como función del tiempo, puede ser continua o
discreta.
Una señal continua es aquella en la que la intensidad de la señal varía suavemente en el
tiempo; es decir, no presenta saltos ni discontinuidades.
Una señal discreta es aquella en la que la intensidad de señal se mantiene constante durante
un determinado intervalo de tiempo, luego del cual cambia a otro valor constante.
El tipo de señales más sencillas que se pueden considerar son las periódicas, que se
caracterizan por contener un patrón que se repite a lo largo del tiempo. Una señal se dice
periódica si y solo si:
(𝑡 + 𝑇) = 𝑠(𝑡) − ∞ < 𝑡 < +∞
Donde T es la constante de tiempo(periodo).
Conceptos en el Dominio de la Frecuencia:
Una señal electromagnética, puede tener muchas componentes de frecuencia. A través del
análisis de Fourier se puede demostrar que cualquier señal está constituida por
componentes sinusoidales de distintas frecuencias.
Por tanto, se puede decir que para cada señal hay una función en el dominio del tiempo que
determina la amplitud de la señal en cada instante de tiempo. De igual forma hay una
función en el dominio de la frecuencia que especifica las componentes de frecuencia que
conforman una señal.
Se define el espectro de una señal como el conjunto de frecuencias que la constituyen.
Se define como ancho de banda absoluto de una señal a todo el rango que ocupa ese
espectro. No obstante, la mayor parte de la energía de la señal puede estar concentrada en
una banda relativamente estrecha. Esta banda se denomina ancho de banda efectivo o
simplemente ancho de banda.
Desarrollo en Series de Fourier para Señales Periódicas:
Toda señal periódica se puede expresar como una suma de funciones sinusoidales,
denominadas series de Fourier.
4. TRABAJO PREPARATORIO
4.1 Leer y entender el marco teórico expuesto en las hojas guía.
4.2 Consultar la siguiente propiedad de la transformada de Fourier: Traslación en la
frecuencia.
-Primero definimos la transformada de Fourier:
Demostración:
∞
ℱ[𝑓𝑎 ](𝜔) = ∫ 𝑒 𝑖∗𝑎∗𝑡 ∗ 𝑓(𝑡) ∗ 𝑒 −𝑖∗𝜔∗𝑡 ∗ 𝑑𝑡
−∞
∞
ℱ[𝑓𝑎 ](𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡) ∗ 𝑒 −𝑖∗𝑡∗(𝜔−𝑎) ∗ 𝑑𝑡 … … … … … … … … … … (𝐼𝐼)
−∞
Donde 𝑌(𝑡)= un tren de pulsos periódicos con amplitud A, periodo T y cambio de pulso.
Donde:
A=5.
T=20 seg.
∞
𝑎0
𝑓(𝑡) = + ∑ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 (𝑛 𝜔0 𝑡) + 𝑏𝑛 𝑠𝑖𝑛 (𝑛 𝜔0 𝑡)
2
𝑛=1
1 𝑇 1 20/3 20
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = (∫ 5𝑑𝑡 − ∫ 5𝑑𝑡) =
𝑇 0 20 0 50/3
5 20 50 5
𝑎0 = [ − (20 − )] =
20 3 3 6
2 𝑇
𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) cos(𝑛𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡 =
𝑇 0
20/3 20
2 𝜋𝑛 𝜋𝑛
(∫ 5𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡)𝑑𝑡 − ∫ 5𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡)𝑑𝑡)
20 0 10 50/3 10
5 2𝜋𝑛 5𝜋𝑛
(sen ( ) − 𝑠𝑒𝑛(0) − sen(2𝜋𝑛) + sen( ))
𝜋𝑛 3 3
𝟓 𝟐𝝅𝒏 𝟓𝝅𝒏
𝒂𝒏 = (𝒔𝒆𝒏 + 𝒔𝒆𝒏 )
𝝅𝒏 𝟑 𝟑
2 𝑇
𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡 =
𝑇 0
20/3 20
2 𝜋𝑛 𝜋𝑛
(∫ 5𝑠𝑒𝑛( 𝑡)𝑑𝑡 − ∫ 5𝑠𝑒𝑛 ( 𝑡)𝑑𝑡)
20 0 10 50/3 10
5 2𝜋𝑛 5𝜋𝑛
(−cos ( ) + 𝑐𝑜𝑠(0) + cos − cos( ))
𝜋𝑛 3 3
𝟓 𝟐𝝅𝒏 𝟓𝝅𝒏
𝒃𝒏 = (𝟐 − 𝒄𝒐𝒔 − 𝒄𝒐𝒔 )
𝝅𝒏 𝟑 𝟑
Donde:
Espectro en Magnitud
𝑏𝑛
𝜃𝑛 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( )
𝑎𝑛
𝑎0 5
𝑐0 = =
2 12
𝑐𝑛 = √𝑎𝑛 2 + 𝑏𝑛 2
Para n: 0 1 2 3 4 5
𝒏𝒘 0 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅
𝟐 𝟑 𝟒 𝟓
𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝑪𝒏 0.8 0.2035 0.2029 0.2025 0.2018 0.2011
• Y = fft
• Y = ifft
• Y = Linespace
• Y = stem
• Descripción:
-FFT. _ Fast Fourier Transform. Transformada Rápida de Fourier. Este comando permite
obtener directamente la transformada de Fourier discreta de una señal, la cual debe ser
periódica.
Sintaxis:
-IFFT. _ Inverse fast Fourier transform. Transformada Inversa Rápida de Fourier. Este
comando permite obtener la señal original en el dominio del tiempo de una señal en el
dominio de la frecuencia, mediante la inversa de la transformada discreta de Fourier.
Sintaxis:
Sintaxis:
Sintaxis:
6. PROCEDIMIENTO
6.1. Generar un archivo .m (su equivalente en Matlab) que permita graficar en el
punto 4.3. (figura n°1)
- En Matlab
function[]=funcion1t()
t=0:0.001:20;
f=(t<(20/3)).*(5)+((t>(20/3))&(t<(50/3))).*(0)+((t>(50/3))&(t<20)).*(-5)+(t>20).*(0);
plot(t,f,'b');
grid on
xlabel('\bf TIEMPO','Color', 'b');
ylabel('\bf AMPLITUD','Color', 'b');
title('\bf FUNCION Y(t)','Color', 'b');
hold on
end
f( 1 : size( x , 2 ) ) = 0;
for k = 1 : size( x , 2 )
for n = 1 : EXPANSION
f( k ) = f ( k ) + c( n ) .* exp( 1i * n * Wo * x( k ) ) + con( n ) .* exp( -1i * n * Wo * x( k ) ) ;
end
end
for i = 1 : size( x , 2 )
f( i ) = f( i ) + Co;
end
plot( x , f , 'r' );
xlabel( 'Tiempo','Color', 'b' );
ylabel( 'Amplitud','Color', 'b' );
title( 'Función a trozos','Color', 'b' );
grid on
w( 1 : size( x , 2 ) ) = 0;
for k = 1 : size( x, 2 )
for n = 1 : EXPANSION
w( k ) = w ( k ) + A( n ) .* cos( n * Wo * x( k ) - theta( n ) );
end
end
for i = 1 : size( x, 2 )
w( i ) = w( i ) + Ao;
end
Po = Ao ^ 2;
for n = 1 : EXPANSION
P( n ) = ( A( n ) .^ 2 ) / 2;
end
for n = 1 : EXPANSION
W( n ) = n * Wo;
end
W = [0 W];
P = [Po P];
subplot( 1 , 2 , 2 );
stem( W , P );
xlabel( 'n-esima frecuencia','Color', 'b' );
ylabel( 'Potencia','Color', 'b' );
title( 'Espectro de potencia','Color', 'b' );
Simulación del programa
Introducir el número de armónicos: 10
Introducir el número de armónicos: 20
Introducir el número de armónicos: 30
1 +∞
𝐷𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) ∗ 𝑒 −𝑛𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡
𝑇 −∞
Entonces:
20
20
1 3 𝜋 𝜋
𝐷𝑛 = (∫ 𝑒 −𝑛𝑗10𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑒 −𝑛𝑗10𝑡 𝑑𝑡)
4 0 50
3
20
20
1 3 𝜋 𝜋
𝐷𝑛 = (∫ 𝑒 −𝑛𝑗10𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑒 −𝑛𝑗10𝑡 𝑑𝑡)
4 0 50
3
𝜋 𝜋
10 𝑒 −𝑛𝑗10𝑡 20 𝑒 −𝑛𝑗10𝑡 20
𝐷𝑛 = ( |03 − | )
4 −𝑛𝑗𝜋 −𝑛𝑗𝜋 50 3
5 𝜋 20 𝜋 𝜋 50
𝐷𝑛 = − (𝑒 −𝑛𝑗10( 3 ) − 1 − (𝑒 −𝑛𝑗10(20) − 𝑒 −𝑛𝑗10( 3 ) ))
2𝑛𝑗𝜋
5 2𝜋 5𝜋
𝐷𝑛 = − (𝑒 −𝑛𝑗 3 − 1 − 𝑒 −𝑛𝑗2𝜋 + 𝑒 −𝑛𝑗 3 )
2𝑛𝑗𝜋
20
1 3
20
1 20 5
𝐷0 = (∫ 5𝑑𝑡 − ∫ 5𝑑𝑡 ) → (𝑡|03 − 𝑡|20
50 ) =
20 0 50 4 3 6
3
En Matlab
clc
clear
close all
syms n t
a0=5/3;
an=(5/(n.*pi)).*(sin((2.*n.*pi)/3)+sin((5.*n.*pi)/3));
bn=(5/(n.*pi)).*(-cos((2.*n.*pi)/3)+2-cos((5.*n.*pi)/3));
T=20;
w0=(2*pi)/T;
Arm=30;
for n=1:Arm
syms t
f(n,:)=(5/6)+sum(((5/(n.*pi)).*(sin((2.*n.*pi)/3)+sin((5.*n.*pi)/3))).*cos(n.*w0.*t)+((5/(n.*pi)).*(-
cos((2.*n.*pi)/3)+2-cos((5.*n.*pi)/3)).*sin(n.*w0*t)));
t=linspace(0,5*T,1000);
subplot(2,1,1);
Cn(n)=sqrt(((5/(n.*pi)).*(sin((2.*n.*pi)/3)+sin((5.*n.*pi)/3)))^2+((5/(n.*pi)).*(-cos((2.*n.*pi)/3)+2-
cos((5.*n.*pi)/3)))^2);
stem(Cn,'fill');
grid on
xlim([1,Arm]);
xlabel('\bf ARMÓNICO','Color', 'b');
ylabel('\bf AMPLITUD','Color', 'b');
title('\bf ESPECTRO DE FRECUENCIA','Color', 'b');
pause(0.2)
end
7. INFORME
7.1.Realizar una comparación entre el método de obtención de la serie de Fourier
mediante el uso exclusivo de integrales y el método de uso de propiedades.
Tomando en cuenta los conocimientos previos, notamos que para la calcular los coeficientes
de la serie de Fourier ha sido más accesible el uso de las propiedades, debido a que gracias a
ello nos ayuda a simplificar el cálculo. Siendo estas propiedades demostradas y su aplicación
es directa.
𝐴
𝑓(𝑡) = { 𝑡 ; 0 < 𝜏 < 𝑡1
2𝑡1
𝐴
𝑡; 𝑡1 < 𝜏 < 2𝑡1
2
𝐴
− 𝑡 + 𝐴 ; 2 𝑡1 < 𝜏 < 3𝑡1
2𝑡1
𝐴
− 𝑡 + 𝐴 ; 3𝑡1 < 𝜏 < 4𝑡1
2𝑡1
𝐴
− ; 4𝑡1 < 𝜏 < 5𝑡1
2
𝐴
𝑡 ; 5𝑡1 < 𝜏 < 6𝑡1 }
2𝑡1
𝜋
𝑇 = 6𝑡1 𝜔0 =
3𝑡1
𝐴 𝑡1 𝑡1 5𝑡1 𝑡1 𝑡1 5𝑡1
𝑎0 = ( + − + 2𝑡1 − − + − 2𝑡1 ) = 0
3𝑡1 4 2 4 4 2 4
𝑎0 = 0
2 𝑇
𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡
6𝑡1 0
𝑡1 2𝑡1
𝐴 𝑡 𝜋𝑛 1 𝜋𝑛
𝑎𝑛 = (∫ 𝑐𝑜𝑠( 𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠( 𝑡)𝑑𝑡
3𝑡1 0 2𝑡1 3𝑡1 𝑡1 2 3𝑡1
3𝑡1 4𝑡1
𝑡 𝜋𝑛 𝑡 𝜋𝑛
−∫ ( − 2) 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡) 𝑑𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡) 𝑑𝑡
2𝑡1 2𝑡1 3𝑡1 3𝑡1 2𝑡1 3𝑡1
5𝑡1 6𝑡1
1 𝜋𝑛 𝑡 𝜋𝑛
−∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡) 𝑑𝑡 − ∫ ( − 2) 𝑐𝑜𝑠( 𝑡)𝑑𝑡)
4𝑡1 2 3𝑡1 5𝑡1 2𝑡1 3𝑡1
𝐴 𝑛
𝜋𝑛 2𝜋𝑛 2𝜋𝑛 5𝜋𝑛
𝑎𝑛 = (−6(1 + (−1) ) + 3𝑐𝑜𝑠 − 𝜋𝑛𝑠𝑖𝑛 + 3𝑐𝑜𝑠 + 3𝑐𝑜𝑠
2𝜋 2 𝑛2 3 3 3 3
4𝜋𝑛 4𝜋𝑛
+ 5𝜋𝑛𝑠𝑖𝑛 + 3𝑐𝑜𝑠 )
3 3
𝐴 𝜋𝑛 𝜋𝑛 4𝜋𝑛
𝑎𝑛 = (−3(1 + (−1)𝑛 ) + 6𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (−1)𝑛 + 2𝜋𝑛𝑠𝑖𝑛 )
𝜋 2 𝑛2 6 2 3
𝑡1 2𝑡1 3𝑡1
𝐴 𝑡 𝜋𝑛 1 𝜋𝑛 𝑡 𝜋𝑛
𝑏𝑛 = (∫ 𝑠𝑒𝑛( 𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑠𝑒𝑛( 𝑡)𝑑𝑡 − ∫ ( − 2) ( 𝑡) 𝑑𝑡
3𝑡1 0 2𝑡1 3𝑡1 𝑡1 2 3𝑡1 2𝑡1 2𝑡1 3𝑡1
4𝑡1 5𝑡1 6𝑡1
𝑡 𝜋𝑛 1 𝜋𝑛 𝑡 𝜋𝑛
+∫ ( 𝑡) 𝑑𝑡 − ∫ ( 𝑡) 𝑑𝑡 − ∫ ( − 2) 𝑠𝑒𝑛( 𝑡)𝑑𝑡)
3𝑡1 2𝑡1 3𝑡1 4𝑡1 2 3𝑡1 5𝑡1 2𝑡1 3𝑡1
𝐴 𝑛
𝜋𝑛 2𝜋𝑛 2𝜋𝑛 5𝜋𝑛
𝑏𝑛 = (2𝜋𝑛(−1) + 2𝜋𝑛 + 3𝑠𝑒𝑛 + 𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠 + 3𝑠𝑒𝑛 + 3𝑠𝑒𝑛
2𝜋 2 𝑛2 3 3 3 3
4𝜋𝑛 4𝜋𝑛
− 5𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠 + 3𝑠𝑒𝑛 )
3 3
𝐴 𝜋𝑛 𝜋𝑛 2𝜋𝑛 3𝜋𝑛 𝜋𝑛
𝑏𝑛 = 2 2
(2𝜋𝑛((−1)𝑛 + 1) + 6𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠 + 𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠 + 6𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠
2𝜋 𝑛 2 6 3 2 6
4𝜋𝑛
− 5𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠 )
3
𝐴 𝑛
4𝜋𝑛
𝑏𝑛 = (2𝜋𝑛((−1) + 1) − 𝜋𝑛 (4𝑐𝑜𝑠 ))
2𝜋 2 𝑛2 3
Espectro de magnitud
∞
Donde:
Para n: 0 1 2 3 4 5
𝒏𝒘 0 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅
𝟐 𝟑 𝟒 𝟓
𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝑪𝒏 0.3 0.2035 0.2033 0.2029 0.2025 0.2018
7.3. Implementar un archivo .m, de la figura n°02 y graficar su serie de Fourier,
su espectro de potencia en magnitud y frecuencia
A. GRÁFICA PARA LA SERIE DE FOURIER
Código de Matlab:
clc
clear
close all
syms n t
%de la pregunta 7.2 hallamos A0,An,Bn,luego hacemos A=5 , b=1;
Ao=5/12;
An=(5/3)*((3/(2*pi*n))*(sin(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(pi*n/3)-
1)+(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(pi*n/2))+(12/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(5*pi
*n/6))+(3/(2*pi*n))*((3/(pi*n))*(cos(2*pi*n/3))-
(3/(pi*n))*(cos(pi*n))+(2)*(sin(2*pi*n/3))-
(3)*(sin(pi*n)))+(6/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(7*pi*n/6))+(3/(pi*n))*((3/(2
*pi*n))*(cos(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(cos(4*pi*n/3))+(3/2)*(sin(pi*n))-
(2)*(sin(4*pi*n/3)))-
(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(3*pi*n/2))+(9/(pi*n))*(sin(2*pi*n))+(9/(2*(pi
*n)^2))*(cos(2*pi*n))-(15/(2*pi*n))*(sin(5*pi*n/3))-
(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(11*pi*n/6)));
Bn=(5/3)*((-
1)*(3/(2*pi*n))*(cos(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(pi*n/3))+(3/(pi*n))*(
sin(pi*n/2)*sin(pi*n/6))+(12/(pi*n))*(sin(5*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(2*pi
*n))*((3/(pi*n))*(sin(2*pi*n/3))-(3/(pi*n))*(sin(pi*n))+(3)*(cos(pi*n))-
(2)*(cos(2*pi*n/3)))+(6/(pi*n))*(sin(7*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(pi*n))*((
3/(2*pi*n))*(sin(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(sin(4*pi*n/3))+(2)*(cos(4*pi*n/3))-
(3/2)*(cos(pi*n)))-(3/(pi*n))*(sin(3*pi*n/2)*sin(pi*n/6))-
(9/(pi*n))*(cos(2*pi*n))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(2*pi*n))+(15/(2*pi*n))*(co
s(5*pi*n/3))-(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(11*pi*n/6)*sin(pi*n/6)));
T=20;
wo=2*pi/T;
Arm=input('Introducir el numero de armonicos: ');
% sum(A)->Si A es un vector, sum(A) devuelve la suma de los elementos.
for n=1:Arm
f(n,:)=sum(((5/3)*((3/(2*pi*n))*(sin(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(pi*n/
3)-
1)+(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(pi*n/2))+(12/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(5*pi
*n/6))+(3/(2*pi*n))*((3/(pi*n))*(cos(2*pi*n/3))-
(3/(pi*n))*(cos(pi*n))+(2)*(sin(2*pi*n/3))-
(3)*(sin(pi*n)))+(6/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(7*pi*n/6))+(3/(pi*n))*((3/(2
*pi*n))*(cos(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(cos(4*pi*n/3))+(3/2)*(sin(pi*n))-
(2)*(sin(4*pi*n/3)))-
(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(3*pi*n/2))+(9/(pi*n))*(sin(2*pi*n))+(9/(2*(pi
*n)^2))*(cos(2*pi*n))-(15/(2*pi*n))*(sin(5*pi*n/3))-
(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(11*pi*n/6))))*cos(n*wo*t)+(((5/3)*((-
1)*(3/(2*pi*n))*(cos(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(pi*n/3))+(3/(pi*n))*(
sin(pi*n/2)*sin(pi*n/6))+(12/(pi*n))*(sin(5*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(2*pi
*n))*((3/(pi*n))*(sin(2*pi*n/3))-(3/(pi*n))*(sin(pi*n))+(3)*(cos(pi*n))-
(2)*(cos(2*pi*n/3)))+(6/(pi*n))*(sin(7*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(pi*n))*((
3/(2*pi*n))*(sin(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(sin(4*pi*n/3))+(2)*(cos(4*pi*n/3))-
(3/2)*(cos(pi*n)))-(3/(pi*n))*(sin(3*pi*n/2)*sin(pi*n/6))-
(9/(pi*n))*(cos(2*pi*n))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(2*pi*n))+(15/(2*pi*n))*(co
s(5*pi*n/3))-(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(11*pi*n/6)*sin(pi*n/6))))*sin(n*wo*t)));
end
t=linspace(0,5*T,1000);
f=subs(f,'t',t);
%subs( s , old , new ) devuelve una copia de s , reemplazando todas las
ocurrencias de old por new , y luego evalúa s
plot(t,Ao+sum(f),'Linewidth',2); grid on
xlabel('\bf TIEMPO'); ylabel('\bf AMPLITUD');
title('\bf SERIES DE FOURIER');
En Matlab:
%% SERIES DE FOURIER
clc
clear
close all
syms n t
Ao=5/12;
An=(5/3)*((3/(2*pi*n))*(sin(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(pi*n/3)-
1)+(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(pi*n/2))+(12/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(5*pi
*n/6))+(3/(2*pi*n))*((3/(pi*n))*(cos(2*pi*n/3))-
(3/(pi*n))*(cos(pi*n))+(2)*(sin(2*pi*n/3))-
(3)*(sin(pi*n)))+(6/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(7*pi*n/6))+(3/(pi*n))*((3/(2
*pi*n))*(cos(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(cos(4*pi*n/3))+(3/2)*(sin(pi*n))-
(2)*(sin(4*pi*n/3)))-
(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(3*pi*n/2))+(9/(pi*n))*(sin(2*pi*n))+(9/(2*(pi
*n)^2))*(cos(2*pi*n))-(15/(2*pi*n))*(sin(5*pi*n/3))-
(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(11*pi*n/6)));
Bn=(5/3)*((-
1)*(3/(2*pi*n))*(cos(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(pi*n/3))+(3/(pi*n))*(
sin(pi*n/2)*sin(pi*n/6))+(12/(pi*n))*(sin(5*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(2*pi
*n))*((3/(pi*n))*(sin(2*pi*n/3))-(3/(pi*n))*(sin(pi*n))+(3)*(cos(pi*n))-
(2)*(cos(2*pi*n/3)))+(6/(pi*n))*(sin(7*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(pi*n))*((
3/(2*pi*n))*(sin(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(sin(4*pi*n/3))+(2)*(cos(4*pi*n/3))-
(3/2)*(cos(pi*n)))-(3/(pi*n))*(sin(3*pi*n/2)*sin(pi*n/6))-
(9/(pi*n))*(cos(2*pi*n))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(2*pi*n))+(15/(2*pi*n))*(co
s(5*pi*n/3))-(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(11*pi*n/6)*sin(pi*n/6)));
T=20;
wo=2*pi/T;
Arm=input('Introducir el numero de armonicos: ');
for n=1:Arm
syms t
f(n,:)=sum(((5/3)*((3/(2*pi*n))*(sin(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(pi*n/
3)-
1)+(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(pi*n/2))+(12/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(5*pi
*n/6))+(3/(2*pi*n))*((3/(pi*n))*(cos(2*pi*n/3))-
(3/(pi*n))*(cos(pi*n))+(2)*(sin(2*pi*n/3))-
(3)*(sin(pi*n)))+(6/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(7*pi*n/6))+(3/(pi*n))*((3/(2
*pi*n))*(cos(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(cos(4*pi*n/3))+(3/2)*(sin(pi*n))-
(2)*(sin(4*pi*n/3)))-
(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(3*pi*n/2))+(9/(pi*n))*(sin(2*pi*n))+(9/(2*(pi
*n)^2))*(cos(2*pi*n))-(15/(2*pi*n))*(sin(5*pi*n/3))-
(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(11*pi*n/6))))*cos(n*wo*t)+(((5/3)*((-
1)*(3/(2*pi*n))*(cos(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(pi*n/3))+(3/(pi*n))*(
sin(pi*n/2)*sin(pi*n/6))+(12/(pi*n))*(sin(5*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(2*pi
*n))*((3/(pi*n))*(sin(2*pi*n/3))-(3/(pi*n))*(sin(pi*n))+(3)*(cos(pi*n))-
(2)*(cos(2*pi*n/3)))+(6/(pi*n))*(sin(7*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(pi*n))*((
3/(2*pi*n))*(sin(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(sin(4*pi*n/3))+(2)*(cos(4*pi*n/3))-
(3/2)*(cos(pi*n)))-(3/(pi*n))*(sin(3*pi*n/2)*sin(pi*n/6))-
(9/(pi*n))*(cos(2*pi*n))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(2*pi*n))+(15/(2*pi*n))*(co
s(5*pi*n/3))-(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(11*pi*n/6)*sin(pi*n/6))))*sin(n*wo*t)));
t=linspace(0,5*T,1000);
subplot(2,1,1);
plot(t, Ao+subs(sum(f),'t',t), 'b', 'Linewidth',1.5); grid on
xlabel('\bf TIEMPO'); ylabel('\bf AMPLITUD');
title('\bf SERIE DE FOURIER')
subplot(2,1,2);
Cn(n)=sqrt(((5/3)*((3/(2*pi*n))*(sin(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(pi*n/
3)-
1)+(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(pi*n/2))+(12/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(5*pi
*n/6))+(3/(2*pi*n))*((3/(pi*n))*(cos(2*pi*n/3))-
(3/(pi*n))*(cos(pi*n))+(2)*(sin(2*pi*n/3))-
(3)*(sin(pi*n)))+(6/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(7*pi*n/6))+(3/(pi*n))*((3/(2
*pi*n))*(cos(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(cos(4*pi*n/3))+(3/2)*(sin(pi*n))-
(2)*(sin(4*pi*n/3)))-
(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(3*pi*n/2))+(9/(pi*n))*(sin(2*pi*n))+(9/(2*(pi
*n)^2))*(cos(2*pi*n))-(15/(2*pi*n))*(sin(5*pi*n/3))-
(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(11*pi*n/6))))^2+(((5/3)*((-
1)*(3/(2*pi*n))*(cos(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(pi*n/3))+(3/(pi*n))*(
sin(pi*n/2)*sin(pi*n/6))+(12/(pi*n))*(sin(5*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(2*pi
*n))*((3/(pi*n))*(sin(2*pi*n/3))-(3/(pi*n))*(sin(pi*n))+(3)*(cos(pi*n))-
(2)*(cos(2*pi*n/3)))+(6/(pi*n))*(sin(7*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(pi*n))*((
3/(2*pi*n))*(sin(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(sin(4*pi*n/3))+(2)*(cos(4*pi*n/3))-
(3/2)*(cos(pi*n)))-(3/(pi*n))*(sin(3*pi*n/2)*sin(pi*n/6))-
(9/(pi*n))*(cos(2*pi*n))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(2*pi*n))+(15/(2*pi*n))*(co
s(5*pi*n/3))-(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(11*pi*n/6)*sin(pi*n/6))))^2));
stem(Cn,'fill'); grid on
xlim([1,Arm]);
xlabel('\bf ARMÓNICO'); ylabel('\bf AMPLITUD');
title('\bf ESPECTRO DE MAGNITUD'); pause(0.001)
end
En Matlab:
%% ESPECTRO DE FASE
clc
clear
close all
syms n t
Ao=5/12;
An=(5/3)*((3/(2*pi*n))*(sin(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(pi*n/3)-
1)+(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(pi*n/2))+(12/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(5*pi*n/6))+(
3/(2*pi*n))*((3/(pi*n))*(cos(2*pi*n/3))-
(3/(pi*n))*(cos(pi*n))+(2)*(sin(2*pi*n/3))-
(3)*(sin(pi*n)))+(6/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(7*pi*n/6))+(3/(pi*n))*((3/(2*pi*n))*
(cos(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(cos(4*pi*n/3))+(3/2)*(sin(pi*n))-(2)*(sin(4*pi*n/3)))-
(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(3*pi*n/2))+(9/(pi*n))*(sin(2*pi*n))+(9/(2*(pi*n)^2))*
(cos(2*pi*n))-(15/(2*pi*n))*(sin(5*pi*n/3))-(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(11*pi*n/6)));
Bn=(5/3)*((-
1)*(3/(2*pi*n))*(cos(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(pi*n/3))+(3/(pi*n))*(sin(pi*n
/2)*sin(pi*n/6))+(12/(pi*n))*(sin(5*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(2*pi*n))*((3/(pi*n))
*(sin(2*pi*n/3))-(3/(pi*n))*(sin(pi*n))+(3)*(cos(pi*n))-
(2)*(cos(2*pi*n/3)))+(6/(pi*n))*(sin(7*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(pi*n))*((3/(2*pi*
n))*(sin(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(sin(4*pi*n/3))+(2)*(cos(4*pi*n/3))-
(3/2)*(cos(pi*n)))-(3/(pi*n))*(sin(3*pi*n/2)*sin(pi*n/6))-
(9/(pi*n))*(cos(2*pi*n))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(2*pi*n))+(15/(2*pi*n))*(cos(5*pi*n
/3))-(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(5*pi*n/3))-(18/(pi*n))*(sin(11*pi*n/6)*sin(pi*n/6)));
T=20;
wo=2*pi/T;
Arm=input('Introducir el numero de armonicos: ');
for n=1:Arm
syms t
f(n,:)=sum(((5/3)*((3/(2*pi*n))*(sin(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(pi*n/3)-
1)+(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(pi*n/2))+(12/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(5*pi*n/6))+(
3/(2*pi*n))*((3/(pi*n))*(cos(2*pi*n/3))-
(3/(pi*n))*(cos(pi*n))+(2)*(sin(2*pi*n/3))-
(3)*(sin(pi*n)))+(6/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(7*pi*n/6))+(3/(pi*n))*((3/(2*pi*n))*
(cos(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(cos(4*pi*n/3))+(3/2)*(sin(pi*n))-(2)*(sin(4*pi*n/3)))-
(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(3*pi*n/2))+(9/(pi*n))*(sin(2*pi*n))+(9/(2*(pi*n)^2))*
(cos(2*pi*n))-(15/(2*pi*n))*(sin(5*pi*n/3))-(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(11*pi*n/6))))*cos(n*wo*t)+(((5/3)*((-
1)*(3/(2*pi*n))*(cos(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(pi*n/3))+(3/(pi*n))*(sin(pi*n
/2)*sin(pi*n/6))+(12/(pi*n))*(sin(5*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(2*pi*n))*((3/(pi*n))
*(sin(2*pi*n/3))-(3/(pi*n))*(sin(pi*n))+(3)*(cos(pi*n))-
(2)*(cos(2*pi*n/3)))+(6/(pi*n))*(sin(7*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(pi*n))*((3/(2*pi*
n))*(sin(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(sin(4*pi*n/3))+(2)*(cos(4*pi*n/3))-
(3/2)*(cos(pi*n)))-(3/(pi*n))*(sin(3*pi*n/2)*sin(pi*n/6))-
(9/(pi*n))*(cos(2*pi*n))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(2*pi*n))+(15/(2*pi*n))*(cos(5*pi*n
/3))-(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(11*pi*n/6)*sin(pi*n/6))))*sin(n*wo*t)));
t=linspace(0,5*T,1000);
subplot(2,1,1);
plot(t, Ao+subs(sum(f),'t',t), 'b', 'Linewidth',1.5); grid on
xlabel('\bf TIEMPO'); ylabel('\bf AMPLITUD');
title('\bf SERIE DE FOURIER')
subplot(2,1,2);
Fase(n)=(-1)*atan((5/3)*((-
1)*(3/(2*pi*n))*(cos(pi*n/3))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(pi*n/3))+(3/(pi*n))*(sin(pi*n
/2)*sin(pi*n/6))+(12/(pi*n))*(sin(5*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(2*pi*n))*((3/(pi*n))
*(sin(2*pi*n/3))-(3/(pi*n))*(sin(pi*n))+(3)*(cos(pi*n))-
(2)*(cos(2*pi*n/3)))+(6/(pi*n))*(sin(7*pi*n/6)*sin(pi*n/6))+(3/(pi*n))*((3/(2*pi*
n))*(sin(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(sin(4*pi*n/3))+(2)*(cos(4*pi*n/3))-
(3/2)*(cos(pi*n)))-(3/(pi*n))*(sin(3*pi*n/2)*sin(pi*n/6))-
(9/(pi*n))*(cos(2*pi*n))+(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(2*pi*n))+(15/(2*pi*n))*(cos(5*pi*n
/3))-(9/(2*(pi*n)^2))*(sin(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(11*pi*n/6)*sin(pi*n/6)))/(5/3)*((3/(2*pi*n))*(sin(pi*n/3))+(9/(2
*(pi*n)^2))*(cos(pi*n/3)-
1)+(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(pi*n/2))+(12/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(5*pi*n/6))+(
3/(2*pi*n))*((3/(pi*n))*(cos(2*pi*n/3))-
(3/(pi*n))*(cos(pi*n))+(2)*(sin(2*pi*n/3))-
(3)*(sin(pi*n)))+(6/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(7*pi*n/6))+(3/(pi*n))*((3/(2*pi*n))*
(cos(pi*n))-(3/(2*pi*n))*(cos(4*pi*n/3))+(3/2)*(sin(pi*n))-(2)*(sin(4*pi*n/3)))-
(3/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(3*pi*n/2))+(9/(pi*n))*(sin(2*pi*n))+(9/(2*(pi*n)^2))*
(cos(2*pi*n))-(15/(2*pi*n))*(sin(5*pi*n/3))-(9/(2*(pi*n)^2))*(cos(5*pi*n/3))-
(18/(pi*n))*(sin(pi*n/6)*cos(11*pi*n/6))));
stem(Fase,'fill'); grid on
xlim([1,Arm]);
xlabel('\bf ARMÓNICO'); ylabel('\bf FASE');
title('\bf ESPECTRO DE FRECUENCIA'); pause(0.001)
end
La utilidad en la vida real es amplia ya que estas nos brindan la información de los distintos
armónicos por los que está compuesta una señal. Como nos indica cada armónico es más
sencillo ver el ancho de banda ya que es un aspecto muy importante para saber qué tipo de
frecuencias se van a trabajar en la señal. Un caso en el que es muy usado el espectro de
frecuencias es en los estudios de audio o sonido, en el que trabajan sonidos y al utilizar un
analizador de espectros pueden saber el comportamiento del sonido y si se quiere modificar
(realzar o atenuar) ciertas zonas del espectro se utilizan un ecualizador. Otro ejemplo, pero
más general sería el de las antenas ya que estos aparatos nos pueden servir como receptores
o transmisores y nos permiten puede modular y/o demodular señales en base a su espectro de
frecuencias ya que el espectro radioeléctrico es muy amplio y se pueden transmitir imágenes,
audio, voz y datos.
7.5.Conclusiones y recomendaciones
• Podemos notar la utilidad de Matlab para realizar las gráficas en el dominio del
tiempo de la serie de Fourier.
• Se recomienda utilizar el método de propiedad de paridad para reducir el cálculo al
momento de realizar las operaciones para determinar la serie de Fourier.
7.6.Bibliografia
- Basso, Gustavo. Análisis Espectral, La trasformada de Fourier en la Música, Ed.Al Margen,
2001.
- [2] https://es.scribd.com/document/351240447/introduccion-al-analisis-espectral-pdf
- [3]https://es.quora.com/Qu%C3%A9-son-y-para-qu%C3%A9-sirven-las-transformadas-de-
Fourier
- [4]https://es.mathworks.com/
- [5] A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, S. Hamid, “Signals and systems”, 2da ed., Ed.: Prentice
Hall, 1997.
- [6] S.S. Solimán, M.D. Srinath, “Señales y Sistemas Continuos y Discretos”, 2da ed., Ed.
Madrid: Prentice Hall, 1999.
- [7] MATLAB - GNU Octave Tutorial, Disponible:
https://www.tutorialspoint.com/matlab/matlab_gnu_octave.htm