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La Transformada de Laplace Exposición (Real)
La Transformada de Laplace Exposición (Real)
La Transformada de Laplace Exposición (Real)
La Transformada de Laplace
Integrantes: Docente:
• Erick Cedeño Quiroz Ing. Jouber Azua
• Bryan Rodríguez Mendoza
• Bryan Saltos Sornoza
Curso:
• 9no “B”
La Transformada de Laplace
Es una de las
herramientas matemáticas
más usadas para resolver
ecuaciones diferenciales
𝑓 𝑠 = න𝑓 ( 𝑡 ) 𝑒 − 𝑠 𝑡 𝑑𝑡
0
Dónde:
𝑓 = 𝑒 𝑠 𝑢 𝑛 𝑎 𝑣 𝑎 𝑟 𝑖 𝑎 𝑏 𝑙 𝑒
𝑡 𝑑 𝑒 𝑡 𝑖 𝑒 𝑚 𝑝 𝑜
𝑓 = 𝑒 𝑠 𝑙𝑎
𝑠𝑠 = 𝑡𝑣 𝑟𝑎 𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑏 𝑠𝑙 𝑓𝑒 𝑜𝑑 𝑟𝑒 𝑚 𝑎 𝑑 𝑎 𝑑 𝑒
𝑡 𝑟 𝑎𝐿 𝑛𝑎 𝑝𝑠 𝑓𝑙 𝑎𝑜 𝑐𝑟 𝑒𝑚 𝑎 𝑑 𝑎 𝑑 𝑒
𝐿 𝑎 𝑝 𝑙 𝑎 𝑐 𝑒
Propiedades y Teoremas de la
transformada de Laplace
𝑓 𝑠 = න
𝑓 (𝑡 )𝑒 − 𝑠 𝑡 𝑑𝑡
0
∞
ℒ[𝑎 𝑓 (𝑡 )]= න
𝑎 𝑓 (𝑡 )𝑒 − 𝑠 𝑡 𝑑 𝑡
0
∞
ℒ [ 𝑎 𝑓 (𝑡 ) ]= 𝑎 න
𝑓 (𝑡 )𝑒 − 𝑠 𝑡 𝑑 𝑡
0
Traslación
ℒ[𝑒 𝑎 𝑡 𝑓 (𝑡 )]=ℒ[𝑓 𝑡 ]
ℒ[𝑓´(𝑡)]=sℒ − 𝑓 (0)
𝑓 𝑡
𝓛 න 𝒇 (𝒕 ) 𝒅 𝒕 =
𝓛 𝒇 𝒕
𝟎
t
ℒ න
𝑒 𝑡 𝑐 𝑜 𝑠 (𝑡 )
ℒ[𝑒 𝑎 𝑡 𝑓 𝑡 ] = ℒ[𝑓 (𝑡 )]
𝑑 𝑡
=0 ℒ
� 𝑠
cos 𝑡
1�1 𝑠 ℒ [cos 𝑎 𝑡 ] =
= ( 2 ) 𝑠 2 + 𝑎 2
𝑠 𝑠
+1
1 𝑠
= ( − 12 )
𝑠 (𝑠 −1)
+1
Teorema
Valor final.- Si 𝑓 ( 𝑡 ) y su derivada son transformables y si el límite de
𝑓 (𝑡 )
cunado t tiende al infinito existe entonces:
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑓 (𝑡 )
Ejemplo:
Determinar la transformada inversa de Laplace ℒ−1 𝐹 𝑠
6 6 3!
1. → 𝑠 ℒ−1 = 𝑠 4 = 𝑡3
,𝐹donde: 𝑠 4
4 6
2.
𝑠 = ℒ−1
→ = 𝑒 2𝑡
(𝑠 −2)2+36
𝐹 sen(6𝑡 )
( 𝑠 − 26) 2 + 3 6
𝑠 =
Método de fracciones parciales
= 5𝑠 + 3
𝐹
𝑠 3 + 7𝑠 2 + 14𝑠 +
𝑠 8
la cual podemos expresar de la siguiente manera:
5𝑠 + 3 𝐴
𝐹 𝐵 𝐶
𝑠 = = + +
𝑠 3 + 7𝑠 2 + 14𝑠 + 8 𝑠 + 1 𝑠 + 2 𝑠
+ 4 ambos lados de la ecuación por 𝑠 − 𝑠 𝑛 siendo 𝑠 𝑛
Se calculan multiplicando
la raíz de 𝑠 que le corresponde a cada constante y se le asigna el valor de 𝑠 𝑛
a 𝑠 , es decir,
𝑠 + 1 𝐹 𝑠 |𝑠 5𝑠 se+ muestra
=𝐴 𝐴 , como 3 −2
a continuación:
=1 ቤ −→ 𝐴
𝑠 + 2 (𝑠 + 𝑠 3
= =
4) =−1
5𝑠 + −7 7
𝐵 ቤ −→ 𝐵 =
𝑠 +3 1 ( 𝑠 + 𝑠 −2 2
= =
4) =−2
5𝑠 + − 17
𝐶 ቤ −→ 𝐶
𝑠 +3 1 ( 𝑠 + 𝑠 6
= =
2) =−4
Por lo tanto,
5𝑠 + 3
�
=
� 𝑠 3 + 7 𝑠 2 + 14 𝑠 +
2 8 1 7 1 17 1
�
= −𝑠 ∗ + ∗ −
� 3 𝑠 + 1 2 𝑠 + 2
∗
Por último, 6la transformada inversa de Laplace ℒ −1 𝐹
1 𝑠
𝑠 + 4
es: 𝑠 2 7𝑒 17
− + −2 − 𝑒− 4 ,
𝑓 𝑒𝑡 = − 2 6
𝑡
3 𝑝 𝑎 𝑟 𝑎 𝑡 > 0𝑡
𝑡
2. Raíces reales repetidas
�
𝑄� corresponde al término 𝑠 − 1𝑟 𝑚 ,
𝑠(𝑠 es:
) 𝐴 1 𝐴
+ + ⋯+ ,
𝑠 𝐴− 2𝑟 1 𝑠 𝑠 𝑛−
− 𝑟1 𝑟 1𝑛
donde los 𝐴 𝑖 son números
reales.
3. Raíces de factores cuadráticos
f(t) TL F(s)
La transformada de Laplace es
una técnica, empleada tanto en
ingeniería como en ciencias,
para resolver ecuaciones
diferenciales lineales con
coeficientes constantes y
condiciones iniciales.
Aplicaciones de la transformada de Laplace en el
ámbito domestico
En la transportación,
para controlar que autos
o aviones se muevan de
un lugar a otro de forma
segura y exacta.
Aplicaciones de la transformada de Laplace en la industria
electrónica
En la ingeniería electrónica la
transformada de la place sirve para
resolver fácilmente una ecuación
diferencial, en electrónica es
fundamental ya que todos los
elementos que se utilizan en la
electricidad responden conforme
este tipo de ecuaciones.
Aplicaciones de la transformada de Laplace en la ingeniería
química
t=5s
Ejercicio de aplicación
• Variables:
Y= numero de moles sin reaccionar
T= tiempo de reacción
K= constante
Dato: 4 moles(0.3)=1.2 moles
reaccionados
4-1.2 = 2.8 moles sin reaccionar
Nuestra ecuación quedaría de la
siguiente forma:
𝑑 𝑦 = 𝐾 𝑌
𝑑 𝑡
→ S𝑌 𝑆 − 𝑌0 -
(SK𝑌𝑌𝑆𝑆 )−=40 − 𝐾 𝑌 𝑆 = 0.𝑙 𝑢 𝑒 𝑔 𝑜
𝑓 𝑎 𝑐 𝑡 𝑜 𝑟 𝑖 𝑧 𝑎 𝑚 𝑜 𝑠 𝑌𝑆
→
𝑌�
𝑌4 𝑆 𝑆 − 1𝐾
→= 4 Propiedad de logaritmo
𝑆 → 𝑆
� = − − m=n
Y= � �
𝐿 (𝑒 𝑎 𝑡 ) ln m = ln n
𝑒𝑘 𝑡�
4Hallamos la constante K,
� como dato sabemos:
2.8 → 𝑙 𝑛 0.7 = ln ( 𝑒 𝑘 5 ) →
4 = 𝐿−1
K = -00.71
Resolvemos el resto para llegar al 50% ¿cuál es el tiempo?
4
2=𝑒 4𝑘 𝑒5− 0 . 0 7 1 𝑡
ln(2 = − 0.071 Propiedad de logaritmo
ln(𝑒)
𝑡
)
4 ln 𝑒 𝑥 = x
t = 9,76 s
Ejercicio de aplicación
4. Conclusión del ejercicio:
• El tiempo que demoro dicha solución en llegar al 50% fue de 9,76 s
5. Conclusión general:
• La transformada de Laplace es un operador lineal muy útil para la
resolución de ecuaciones diferenciales. Laplace demostró cómo
transformar las ecuaciones lineales no homogéneas en ecuaciones
algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos. Así, logramos
dar solución a problemas sencillos como el que hemos resuelto.
Bibliografía
• Zill, D. G. (2000). Ecuaciones diferenciales, con aplicaciones de modelado (6.a
ed.). Séneca 53, Col. Polanco, México, D. F., C. P. 11560: Thomson.
• G. James, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Pearson Educación, 2002, pp.
130-135.
• G. Calandrini, Guía de Definiciones y Teoremas estudiados en el curso de
Funciones de Variable Compleja. 1er. cuatrimestre 2011, pp. 56-63