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    Tarea N°09 Variables Complejas y Transformadas 2024 - I

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    Tarea Semana N°09 del Curso de Variables Complejas y Transformadas 2024 I

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    Tarea Semana N°09 del Curso de Variables Complejas y Transformadas 2024 I

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    FACULTAD DE INGENIERÍA

    INGENIERÍA MECATRONICA

    CURSO:

    Variables Complejas y Transformadas

    NRC:

    17537

    APELLIDOS Y NOMBRES:

    CAMAN CRUZ, Pedro Fernando

    DOCENTE:

    SANCHÉZ MARQUÉZ, Carlos Augusto

    LOS OLIVOS – LIMA - PERÚ

    2024 - I
    VARIABLE COMPLEJA Y
    TRANSFORMADAS TAREA SEMANA 9

    Estimados estudiantes, de manera grupal resolver los siguientes ejercicios de


    la Serie de Fourier generalizada (trigonométrica) y reenviar la tarea al enlace
    correspondiente.
    PREGUNTA 1

    Solución

    4 𝜋⁄2 2 𝜋⁄2
    𝑏𝑘 = ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑠𝑖𝑛 2𝑘𝑡 𝑑𝑡 = ∫ (𝑐𝑜𝑠((2𝑘 − 1)𝑡) − 𝑐𝑜𝑠((2𝑘 + 1)𝑡))𝑑𝑡,
    ( )
    𝜋 0 𝜋 0

    2 −(−1)𝑘 (−1)𝑘 8(−1)𝑘+1 𝑘


    𝑏𝑘 = ( − )=
    𝜋 2𝑘 − 1 2𝑘 − 1 𝜋(4𝑘 2 − 1)

    Siendo entonces su desarrollo en serie de Fourier trigonométrica:


    ∞
    8 (−1)𝑘+1 𝑘
    ℱ {𝑥 (𝑡)} = ∑ 𝑠𝑖𝑛 (2𝑘𝑡)
    𝜋 4𝑘 2 − 1
    𝑘=1

    Como aplicación del Teorema de Dirichlet se tiene que:


    lim 𝑥(𝑡) + lim 𝑥(𝑡)
    𝑡→𝜋⁄2− 𝑡→𝜋⁄2+
    ℱ {𝑥 (𝑡)} = =0
    2
    Se deja como ejercicio de calculo de series numéricas el comprobar que:
    ∞
    (−𝟏)𝒌+𝟏 𝒌 𝒌𝝅 𝝅
    ∑ 𝐬𝐢𝐧 ( ) =
    𝟒𝒌𝟐 − 𝟏 𝟐 𝟖√𝟐
    𝒌=𝟏
    PREGUNTA 2

    Solución
    𝜋
    sin(𝑡 + 𝜋⁄2) = cos 𝑡, − < 𝑡 < 0,
    𝑥 (𝑡 ) = { 4
    𝜋
    sin 𝑡, 0<𝑡<
    4
    Por tanto
    𝜋
    4 0 4 4 4
    𝑎0 = ∫ 𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑑𝑡 =
    𝜋 − 𝜋 0 𝜋
    4
    𝜋
    4 0 4 4 4
    𝑎𝑘 = ∫ 𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠 (4𝑘𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠 (4𝑘𝑡)𝑑𝑡 =
    𝜋 − 𝜋 0 𝜋(1 − 16𝑘 2 )
    4

    Y
    𝜋
    4 0 4 4 16𝑘
    𝑏𝑘 = ∫ 𝜋 cos 𝑡 sin(4𝑘𝑡)𝑑𝑡 + ∫ sin 𝑡 cos 𝑡 sin(4𝑘𝑡)𝑑𝑡 =
    𝜋 − 𝜋 0 𝜋(1 − 16𝑘 2 )
    4

    Siendo entonces su desarrollo en serie de Fourier trigonométrica:


    ∞ ∞
    𝟐 𝟒 𝟏 𝟏𝟔 𝒌
    𝓕{𝒙(𝒕)} = + ∑ 𝐜𝐨𝐬 (𝟒𝒌𝒕) + ∑ 𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒌𝒕)
    𝝅 𝝅 𝟏 − 𝟏𝟔𝒌𝟐 𝝅 𝟏 − 𝟏𝟔𝒌𝟐
    𝒌=𝟏 𝒌=𝟏

    PREGUNTA 3
    Solución
    En este caso, 𝑥(𝑡)es continua en ℝ, su periodo es 𝑇 = 𝜋. Luego 𝜔0 = 2, y es par. Su
    𝑇 𝑇
    expresión en (− 2 , 2 ) es

    𝜋
    −𝑠𝑖𝑛 𝑡, − <𝑡<0
    𝑥 (𝑡 ) = { 2
    𝜋
    𝑠𝑖𝑛 𝑡 , 0 < 𝑡 <
    2

    ∴ El cálculo de dicha serie, dentro de este valor, se aplico el Teorema de Dirichlet,


    obteniendo la convergencia, dentro del valor exacto

    PREGUNTA 4: Hallar la serie de Fourier de la siguiente función o señal (deducir la


    función matemática a partir del gráfico, delimitar los intervalos):

    Solución

    La función 𝑓(𝑡) es periódica. Su serie de Fourier a dichas función será:


    ∞
    𝑎0
    𝑓 (𝑡 ) = + ∑ 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑡 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑡
    2
    𝑛=1

    Utilizando fórmulas de Euler


    𝜋 𝜋
    2 1
    𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)𝑑𝑡 = ∙ ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝑡)𝑑𝑡
    𝑇 𝜋
    −𝜋 0

    La función su integral se debe expresar de otra forma, utilizando una relación trigonométrica, para
    poderla integrar de forma inmediata

    𝑠𝑒𝑛 (𝑎 + 𝑏) + 𝑠𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏) 𝑠𝑒𝑛 𝑡(1 + 𝑛) + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 (1 − 𝑛)


    𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏 = → 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡) =
    2 2

    Sustituyendo
    −1 cos 𝜋(1 + 𝑛) cos 𝜋 (1 − 𝑛) 1 1 −1 − cos 𝑛𝜋 cos 𝑛𝜋 1 1
    𝑎𝑛 = { + − − }= { − − − }
    2𝜋 1+𝑛 1−𝑛 1+𝑛 1−𝑛 2𝜋 1 + 𝑛 1−𝑛 1−𝑛 1+𝑛

    1 2 cos 𝑛𝜋 2 1 + cos 𝑛𝜋
    𝑎𝑛 = { + } = , 𝑛 ≠ 1;
    2𝜋 1 − 𝑛2 1 − 𝑛2 𝜋(1 − 𝑛2 )

    Ahora calculamos de forma particular el coeficiente 𝑎1 , ya que la expresión general 𝑎0 , no nos sirve para 𝑛 =
    1 𝜋
    1, porque el denominador quedaría en 0. Por otra parte, 𝑏𝑛 = ∫0 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑡 𝑑𝑡, teniendo en cuenta su
    𝜋

    relación

    cos(𝑎 − 𝑏) − cos(𝑎 + 𝑏) cos 𝑡 (1 − 𝑛) − cos 𝑡 (1 + 𝑛)


    sin 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏 = → sin 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑛𝑡 =
    2 2

    1 sin 𝜋 (1 + 𝑛) sin 𝜋 (1 + 𝑛) 1 sin 𝜋𝑛 sin 𝑛𝜋


    𝑏𝑛 = { − }= { + } = 0, 𝑛≠1
    2𝜋 1−𝑛 1+𝑛 2𝜋 1 − 𝑛 1 + 𝑛

    Por otra parte, también calculamos de forma particular el coeficiente 𝑏1 para evitar la división por 0

    𝜋 𝜋
    1 1 1
    𝑏1 = ∫ sin 𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡 = ∫(1 − cos 2𝑡)𝑑𝑡 =
    𝜋 2𝜋 2
    0 0

    La serie de Fourier quedaría así:

    ∞
    𝟏 𝟏 + (−𝟏)𝒏 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒕 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝒕
    𝒇(𝒕) = + 𝒃𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒕 + ∑ 𝐜𝐨𝐬 ( 𝒏𝒕 ) = + − { + + +⋯}
    𝝅 𝝅(𝟏 − 𝒏𝟐 ) 𝝅 𝟐 𝝅 𝟑 𝟏𝟓 𝟑𝟓
    𝒏=𝟐

    PREGUNTA 5: Hallar la serie de Fourier de la siguiente función o señal (deducir la


    función matemática a partir del gráfico, delimitar los intervalos):

    Solución

    Aplicando Serie de senos, la función 𝑓(𝑡) en el intervalo [0,1], se requiere prolongar analíticamente
    𝑓(𝑡), construyendo una funcion periodica e impar, de periodo 𝑇 = 2. La frecuencia fundamental de
    2𝜋
    esta función será 𝜔 = =𝜋
    𝑇

    Los coeficientes de la serie de Fourier de esta función impar serán


    𝑎0 = 𝑎𝑛 = 0, ∀𝑛 ∈ ℕ

    1 1
    2
    𝑏𝑛 = ∫ 𝑓 (𝑡) sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡 = 2 ∫(𝑡 − 𝑡 2 ) sin(𝑛𝜋𝑡)𝑑𝑡,
    𝑇
    −1 0

    La integral se resuelve aplicando el método de integración por partes dos veces

    𝑢 = 𝑡 − 𝑡2 → 𝑑𝑢 = (1 − 2𝑡)𝑑𝑡
    { cos(𝑛𝜋𝑡)
    𝑑𝑣 = sin(𝑛𝜋𝑡)𝑑𝑡 → 𝑣=−
    𝑛𝜋
    Sustituyendo queda
    1
    cos(𝑛𝜋𝑡) 𝑢 = 1 − 2𝑡 → 𝑑𝑢 = −2𝑑𝑡
    2 ∫(1 − 2𝑡) 𝑑𝑡 = { cos(𝑛𝜋𝑡) sin(𝑛𝜋𝑡)
    𝑛𝜋 𝑑𝑣 = 𝑑𝑡 → 𝑣 =
    0 𝑛𝜋 𝑛2 𝜋 2

    Sustituyendo de nuevo queda


    1
    2)
    cos(𝑛𝜋𝑡) sin(𝑛𝜋𝑡) sin(𝑛𝜋𝑡)
    𝑏𝑛 = 2 [−(𝑡 − 𝑡 + (1 − 2𝑡) ] + 2 ∫ 2𝑑𝑡
    𝑛𝜋 𝑛2 𝜋 2 𝑛2 𝜋 2
    0

    cos(𝑛𝜋𝑡) sin(𝑛𝜋𝑡) 2 cos(𝑛𝜋𝑡)


    𝑏𝑛 = 2 [−(𝑡 − 𝑡 2 ) + (1 − 2𝑡) − ]
    𝑛𝜋 𝑛2 𝜋 2 𝑛3 𝜋 3
    sin 𝑛𝜋 2 cos(𝑛𝜋) 2
    = 2 (− 2 2 − 3 3
    + 3 3)
    𝑛 𝜋 𝑛 𝜋 𝑛 𝜋

    4 1
    𝑏𝑛 = (1 − (−1)𝑛 ), 𝑛 ≠ 0. Para 𝑛 = 0 tendremos 𝑏0 = 2 ∫0 (𝑡 − 𝑡 2 ) sin(0)𝑑𝑡 = 0
    𝑛 3 𝜋3

    Luego el desarrollo en Serie de Fourier de senos 𝑓(𝑡), en el intervalo [0,1] quedará


    ∞ ∞
    𝟒 𝟏 − (−𝟏)𝒏
    𝒇(𝒕) = ∑ 𝒃𝒏 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒕 = 𝟑 ∑ 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒕
    𝝅 𝒏𝟑
    𝒏=𝟏 𝒏=𝟏
    PREGUNTA 6: Hallar la serie de Fourier de la siguiente función o señal (deducir la
    función matemática a partir del gráfico, delimitar los intervalos):

    Solución

    Aplicando serie de cosenos, la función 𝑓(𝑡) en el intervalo [0,1], se requiere prolongar analíticamente
    𝑓(𝑡), construyendo una funcion periodica y par, de periodo 𝑇 = 2. La frecuencia fundamental de esta
    2𝜋
    función ser también 𝜔 = =𝜋
    𝑇

    Los coeficientes nulos de la serie de Fourier de esta función serán

    𝑏𝑛 = 0, ∀𝑛 ∈ ℕ,

    1 1
    2
    𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑡)𝑑𝑡 = 2 ∫(𝑡 − 𝑡 2 )𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑡)𝑑𝑡,
    2
    −1 0

    Aplicando dos veces el método de integración por partes y sustituyendo queda

    si n(𝑛𝜋𝑡) co s(𝑛𝜋𝑡) 2 sin (nπt) 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋 2 sin (nπt) 1


    𝑎𝑛 = 2 [(𝑡 − 𝑡 2 ) + (1 − 2𝑡) 2 2
    + 3 3
    ] = 2 (− 2 2 + 3 3
    − 2 2)
    𝑛𝜋 𝑛 𝜋 𝑛 𝜋 𝑛 𝜋 𝑛 𝜋 𝑛 𝜋
    −2 1 1
    𝑎𝑛 = 𝑛2 𝜋2 (1 + (−1)𝑛 ), 𝑛 ≠ 0. Para 𝑛 = 0 tendremos 𝑎0 = ∫0 (𝑡 − 𝑡 2 )𝑑𝑡 = 3 ;

    Luego el desarrollo en serie de Fourier de cosenos de 𝑓(𝑡), en el intervalo [0,1] quedará

    ∞ ∞
    𝒂𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 + (−𝟏)𝒏
    𝒇(𝒕) = + ∑ 𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝅𝒕 = − 𝟐 ∑ 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝅𝒕
    𝟐 𝟔 𝝅 𝒏𝟐
    𝒏=𝟏 𝒏=𝟏

    PREGUNTA 7: Hallar la serie de Fourier de la siguiente función o señal (deducir la


    función matemática a partir del gráfico, delimitar los intervalos):
    Solución

    El desarrollo en Serie de Fourier, se utilizará notación compleja

    ∞ 𝑇/2
    1
    𝑓 (𝑡) = ∑ 𝐶𝑛 𝑒 𝑖 𝑛 𝜔𝑡 ; 𝐶𝑛 = ∫ 𝑓 (𝑡)𝑒 −𝑖 𝑛 𝜔𝑡 𝑑𝑡,
    𝑇
    𝑛=−∞ −𝑇/2

    2𝜋 2𝜋 𝜋
    Siendo 𝜔 = la frecuencia fundamental de la serie. En este caso, 𝜔 = = 4. Calculamos
    𝑇 8

    los coeficientes complejos de la serie

    4 4
    1 𝜋 1 𝜋 −3 𝜋 𝜋
    𝐶𝑛 = ∫ 𝑓 (𝑡)𝑒 −𝑖 𝑛 4 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 3𝑒 −𝑖 𝑛 4 𝑡 𝑑𝑡 = (𝑒 −𝑖𝑛 2 − 𝑒 𝑖𝑛 2 )
    8 8 2𝑖𝑛𝜋
    −4 −4

    −3 𝑛𝜋 3 𝑛𝜋
    𝐶𝑛 = (−2𝑖 sin ( )) = sin ( ) , 𝑛 = ±1, ±2, ±3, …
    2𝑖𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 2

    Como esta expresión no permite sustituir 𝑛 = 0, calculamos aparte el coefciente 𝐶0

    1 4 1 2 3
    𝐶0 = 8 ∫−4 𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 = 8 ∫−2 3 𝑑𝑡 = 2, sustituyendo en la serie queda

    ∞
    𝟑 𝟑 𝒏𝝅 𝝅
    𝒇(𝒕) = + ∑ 𝐬𝐢𝐧 ( ) 𝒆𝒊 𝒏 𝟒 𝒕
    𝟐 𝒏𝝅 𝟐
    𝒏=−∞

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