Clase 2 - Laplace Traslaciones y Transformacion de Derivadas

Cálculo Avanzado
3° año
Ing. Mecánica
{ Mg. Ing. Carlos

{, }
}
VERA
Teoremas y
transformación
de derivadas
2° Teorema de traslación: traslación en “t”
 Función de Heaviside (HeavisideTheta[t-a] en Mathematica)
0, 𝑠𝑖 𝑡 < 𝑎
𝑈 𝑡−𝑎 =ቊ
1, 𝑡≥𝑎
Ejemplo para t=2
Esta función es de mucha utilidad en sistemas de control, ya que permite modelar situaciones en las que
hay que “activar” ó “desactivar” excitaciones a los sistemas a partir de algún instante t = a.
 Ejemplos de uso
𝑓 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
 ACTIVAR f(t) en t=2
𝑓 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 2 𝑈(𝑡 − 2)
 DESACTIVAR f(t) en t=2𝜋
𝑓 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 2𝜋 𝑈(𝑡 − 2𝜋)
𝑔 𝑡 , 𝑠𝑖 0 < 𝑡 < 𝑎
 De manera general, para definir funciones por partes 𝑓 𝑡 = ቊ
ℎ(𝑡), 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 𝑎
𝑓 𝑡 = 𝑔 𝑡 − 𝑔 𝑡 𝑈 𝑡 − 𝑎 + ℎ 𝑡 𝑈(𝑡 − 𝑎)
𝑡 , 𝑠𝑖 0 < 𝑡 < 2
Ejemplo 𝑓 𝑡 = ቊ 𝑓 𝑡 = 𝑡 − 𝑡 𝑈 𝑡 − 2 + 2 𝑈(𝑡 − 2)
2, 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 2
𝐿 𝑓 𝑡 −𝑎 .𝑈 𝑡 −𝑎 = 𝑒 −𝑎𝑠 𝐹 𝑠
𝑎 ∞
Demostración: 𝐿 𝑓 𝑡 − 𝑎 . 𝑈 𝑡 − 𝑎 = ‫׬‬0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑈 𝑡 − 𝑎 𝑑𝑡 + ‫ 𝑒 𝑎׬‬−𝑠𝑡 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑈 𝑡 − 𝑎 𝑑𝑡 =
0!!! 1!!!!
∞
න 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑑𝑡 … 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑣 = 𝑡 − 𝑎 ; 𝑑𝑣 = 𝑑𝑡; 𝑡 → 𝑎 ∴ 𝑣 → 0 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 …

𝑎
∞ ∞ ∞
න 𝑒 −𝑠 𝑣+𝑎 𝑓 𝑣 𝑑𝑣 = න 𝑒 −𝑎𝑠 𝑒 −𝑠𝑣 𝑓 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑎𝑠 න 𝑒 −𝑠𝑣 𝑓 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑎𝑠 𝐹(𝑠)

0 0 0
𝐿−1 𝑒 −𝑎𝑠 𝐹 𝑠 = 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑈(𝑡 − 𝑎)

1 −2𝑠
𝐿 (𝑡 − 2)𝑈(𝑡 − 2) = 𝑒
𝑠
𝑠 −2𝑠
𝐿 cos 𝑡 − 2 𝑈 𝑡 − 2 = 𝑒
𝑠 2 +1
𝑠 −3𝑠
𝐿 cosh 𝑡 − 3 𝑈 𝑡 − 3 = 𝑒
𝑠 2 −1
La aparición de una exponencial en “s” genera una traslación en “t” de “a” unidades
Transformadas inversas…
−1 −2𝑠
1
𝐿 𝑒 = 𝑈(𝑡 − 2)(𝑡 − 2)
𝑠2
Transformadas inversas…
−1 −2𝑠
1
𝐿 𝑒 = 𝑈 𝑡 − 2 𝑆𝑖𝑛(𝑡 − 2)
𝑠2 + 1
La aparición de una exponencial en “s” genera una traslación en “t” de “a” unidades
Teorema de la derivada de F(s)
∞ ∞
𝑑𝐹(𝑠) 𝑑
= න 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = − න 𝑡𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = −𝐿 𝑡𝑓(𝑡) … …
𝑑𝑠 𝑑𝑠
0 0
𝑑 𝑛𝐹(𝑠)
= (−1)𝑛 𝐿{𝑡 𝑛 𝑓 𝑡 }
𝑑𝑠
La derivada primera de F(s) respecto de “s” equivale a multiplicar a f(t) por (-t), y sucesivamente
considerando el signo y el orden de derivación.
Función Delta de Dirac d(t-a)
 La función Delta de Didrac, 𝛿 𝑡 − 𝑎 , es de utilidad cuando hace falta modelizar una situación en la que
un sistema mecánico se ve excitado por una fuerza de gran magnitud pero que actúa de forma
instantánea, como por ejemplo un golpe.
0, 𝑠𝑖 𝑡 ≠ 𝑎
𝑓 𝑡 =𝛿 𝑡−𝑎 =ቊ
∞, 𝑠𝑖 𝑡 = 𝑎
𝑓 𝑡 = 𝛿(𝑡 − 2)
Representa la distribución de densidad de masa

concentrada en un punto “a”. También se la conoce como
FUNCIÓN IMPULSO. Es una abstracción matemática
Funcion Delta de Dirac d(t-a)
∞
 La función 𝛿 𝑡 − 𝑎 presenta la PROPIEDAD DE FILTRADO: ‫׬‬−∞ 𝑓 𝑡 𝛿 𝑡 − 𝑎 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑎)
∞
Por lo tanto …… 𝐿 𝛿 𝑡−𝑎 = ‫׬‬0 𝑒 −𝑠𝑡 𝛿 𝑡 − 𝑎 𝑑𝑡 = 𝑒 −𝑎𝑠
Transformación de Derivadas
 El principal uso y utilidad de la L{f(t)} es la resolución de EDO con coeficientes constantes y condiciones
en t=0.
Transformación de f’(t)
∞ 𝑡
𝐿 𝑓′ 𝑡 = ‫׬‬0 𝑓 ′ 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 … 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 ∴ lim 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 ȁ𝑡0 + 𝑠 ‫׬‬0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑡→∞
𝐿 𝑓′ 𝑡 = −𝑓 0 + 𝑠𝐿{𝑓 𝑡 } = 𝒔𝑭 𝒔 − 𝒇(𝟎)
Transformada de f’’(t)
∞ 𝑡
𝑡
𝐿 𝑓 ′′ 𝑡 =න 𝑓 ′′ 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = lim 𝑓′(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 ቚ + 𝑠 න 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡 =
𝑡→∞ 0
0 0
𝐿 𝑓 ′′ 𝑡 = lim 𝑓′(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 ȁ𝑡0 + 𝑠 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0) = 𝒔𝟐 𝑭 𝒔 − 𝒇 𝟎 𝒔 − 𝒇′(𝟎)

𝑡→∞
Transformación de Derivadas
Transformación de 𝑓 𝑛 (𝑡)
𝐿 𝑓 (𝑛) 𝑡 = 𝒔𝒏 𝑭 𝒔 − 𝒇 𝟎 𝒔𝒏−𝟏 − 𝒇′ 𝟎 𝒔𝒏−𝟐 … . . −𝒇𝒏 (𝟎)
 Se observa que la transformada de la derivada de una f(t) depende solamente de F(s) y del valor de las
derivadas (n-1) en t=0.
 TRANSFORMA de manera directa el ORDEN DE DERIVACIÓN por un POLINOMIO en la variable “s”.
 Es por lo tanto un método apropiado para resolver EDO con COEFICIENTES CONSTANTES y VALORES
INICIALES:
𝑚𝑦 ′′ 𝑡 + 𝑐𝑦 ′ 𝑡 + 𝑘𝑦 𝑡 = 𝑔 𝑡 , 𝑦′ 0 = 𝛼 , 𝑦 0 =𝛽
Este tipo de EDO representa la acción y rección de un sistema dinámico excitado externamente por una
fuerza que depende del tiempo → SISTEMAS DINÁMICOS.
Resolución de EDO
Ejemplo de aplicación: Excitación dinámica de un sistema masa (m), resorte (k) amortiguador (c).
 Considerar el sistema (m, c, k) de la figura, y teniendo en cuenta que el
desplazamiento es y(t).
 Fuerzas del sistema

1. Fuerza elástica: -k y(t)
2. Fuerza viscosa: -c y’(t)
3. Excitación dinámica externa g(t)
 2° Ley de Newton σ 𝐹ത = 𝑚𝑎ത −→ 𝑗) − 𝑘𝑦(𝑡) − 𝑐𝑦′(𝑡) = 𝑚𝑦′′(𝑡)
𝑚𝑦 ′′ 𝑡 + 𝑐𝑦 ′ 𝑡 + 𝑘𝑦 𝑡 = 𝑔 𝑡 , 𝑦 ′ 0 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 , 𝑦 0 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

Resolución de EDO
 Qué representa una EDO del tipo
𝑚𝑦 ′′ 𝑡 + 𝑐𝑦 ′ 𝑡 + 𝑘𝑦 𝑡 = 𝑔 𝑡 , 𝑦 ′ 0 = 𝛼 , 𝑦 0 = 𝛽
Reacción de inercia del sistema Fuerzas elásticas Excitación del sistema=Entrada
Fuerzas viscosas → disipación de energía
Reacción del sistema = Respuesta = Salida
Toda EDO REPRESENTA EL COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA FÍSICO!!!!

Resolución de EDO
Resolución de la EDO mediante la Transformada de Laplace
❑ 1°) Se transforma la EDO m a m….
𝑚𝐿 𝑦 ′′ 𝑡 + 𝑐𝐿 𝑦 ′ 𝑡 + 𝑘𝐿 𝑦 𝑡 =𝐿 𝑔 𝑡
𝑚 𝑠 2 𝑌 𝑠 − 𝑦 0 𝑠 − 𝑦 ′ 0 + 𝑐 𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0 + 𝑘𝑌 𝑠 =
𝑚 𝑠 2 𝑌 𝑠 − 𝛽𝑠 − 𝛼 + 𝑐 𝑠𝑌 𝑠 − 𝛽 + 𝑘𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠
❑ 2°) Se despeja Y(s) 𝑌 𝑠 𝑚𝑠 2 + 𝑐𝑠 + 𝑘 − 𝛼𝑚 − 𝑚𝛽𝑠 − 𝑐𝛽 = 𝐺(𝑠)
P(s) (grado n) Q(s)(de grado (n-1))
𝐺 𝑠 𝑄 𝑠
𝑌 𝑠 .𝑃 𝑠 − 𝑄 𝑠 = 𝐺 𝑠 ∴ 𝑌 𝑠 = + …
𝑃 𝑠 𝑃 𝑠
Resolución de EDO
𝐺 𝑠 𝑄 𝑠
𝑌 𝑠 .𝑃 𝑠 − 𝑄 𝑠 = 𝐺 𝑠 ∴ 𝑌 𝑠 = +
𝑃 𝑠 𝑃 𝑠
−1 −1 𝐺(𝑠) −1 𝑄(𝑠)
 Por lo tanto 𝑦 𝑡 =𝐿 𝑌 𝑠 = 𝐿 +𝐿
𝑃(𝑠) 𝑃(𝑠)
Secuencia para resolver una EDO

EDO →→→ L{𝐸𝐷𝑂} →→→ Y(s) →→→ 𝐿−1 {𝑌 𝑠 } →→→ y(t) que es la solución de la EDO!
Ejemplo: resolver 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑒 −𝑡 , 𝑦 ′ 0 = 5, 𝑦 0 = 7 con Mathematica

Resolución de EDO
Resolución de EDO con Mathematica, rutina “Transformación de derivadas y aplicaciones a EDO”
Q(s) P(s) G(s)

Resolución de EDO
Resolviendo la ecuación subsidiaria para obtener Y(s)……
…. y anti transformando Y(s)…
Solución!!!
Resolución de EDO
Gráfico de la solución y(t)

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{ Mg. Ing. Carlos

Ejemplo para t=2

 ACTIVAR f(t) en t=2

𝑓 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 2𝜋 𝑈(𝑡 − 2𝜋)

න 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑑𝑡 … 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑣 = 𝑡 − 𝑎 ; 𝑑𝑣 = 𝑑𝑡; 𝑡 → 𝑎 ∴ 𝑣 → 0 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 …

න 𝑒 −𝑠 𝑣+𝑎 𝑓 𝑣 𝑑𝑣 = න 𝑒 −𝑎𝑠 𝑒 −𝑠𝑣 𝑓 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑎𝑠 න 𝑒 −𝑠𝑣 𝑓 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑎𝑠 𝐹(𝑠)

𝐿−1 𝑒 −𝑎𝑠 𝐹 𝑠 = 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑈(𝑡 − 𝑎)

Representa la distribución de densidad de masa

𝐿 𝑓 ′′ 𝑡 = lim 𝑓′(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 ȁ𝑡0 + 𝑠 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0) = 𝒔𝟐 𝑭 𝒔 − 𝒇 𝟎 𝒔 − 𝒇′(𝟎)

𝐿 𝑓 (𝑛) 𝑡 = 𝒔𝒏 𝑭 𝒔 − 𝒇 𝟎 𝒔𝒏−𝟏 − 𝒇′ 𝟎 𝒔𝒏−𝟐 … . . −𝒇𝒏 (𝟎)

 Fuerzas del sistema

𝑚𝑦 ′′ 𝑡 + 𝑐𝑦 ′ 𝑡 + 𝑘𝑦 𝑡 = 𝑔 𝑡 , 𝑦 ′ 0 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 , 𝑦 0 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

Reacción de inercia del sistema Fuerzas elásticas Excitación del sistema=Entrada

Fuerzas viscosas → disipación de energía

Reacción del sistema = Respuesta = Salida

Toda EDO REPRESENTA EL COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA FÍSICO!!!!

❑ 2°) Se despeja Y(s) 𝑌 𝑠 𝑚𝑠 2 + 𝑐𝑠 + 𝑘 − 𝛼𝑚 − 𝑚𝛽𝑠 − 𝑐𝛽 = 𝐺(𝑠)

P(s) (grado n) Q(s)(de grado (n-1))

Secuencia para resolver una EDO

Ejemplo: resolver 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑒 −𝑡 , 𝑦 ′ 0 = 5, 𝑦 0 = 7 con Mathematica

Q(s) P(s) G(s)

…. y anti transformando Y(s)…

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