Mvco1 U2 A1 Lign

Nombre: Galindo Nava Librado
Docente: José Eduardo García Mendiola

Asignatura: Variable Compleja I
Fecha de entrega: 25 de octubre de 2022
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Límites y continuidad de funciones complejas
Funciones holomorfas Esta es la misma que la definición de la derivada

para funciones reales, excepto que todas las
Son funciones de valor complejo de una o más cantidades son complejas. En particular, el límite se
variables complejas que son completamente toma cuando el número complejo 𝑧 se acerca a 𝑧" , y
diferenciables en un subconjunto de cada punto en debe tener el mismo valor para cualquier secuencia
un dominio en el espacio de coordenadas complejo de valores complejos para 𝑧 que se acerque a 𝑧" en
ℂ! . La existencia de una derivada compleja en un el plano complejo. Si existe el límite, decimos que 𝑓
subconjunto es una condición muy fuerte: implica es complejamente diferenciable en el punto 𝑧" . Este
que una función holomórfica es infinitamente concepto de diferenciabilidad compleja comparte
diferenciable y localmente igual a su propia serie de varias propiedades con la diferenciabilidad real: es
Taylor (analítica). Las funciones holoformas son los lineal y obedece a la regla del producto, la regla del
objetos centrales de estudio en el análisis complejo. cociente y la regla de la cadena.
Aunque el término de función a menudo se usa Si 𝑓 es derivable compleja en cada punto 𝑧" en un
indistintamente con ”función holomoórfica”, la conjunto abierto 𝑈, decimos que 𝑓 es holomórfica
palabra ”analítica” se define en un sentido más en 𝑈. Decimos que 𝑓 es holomórfica en el punto 𝑧"
amplio para denotar cualquier función (real, si 𝑓 es derivable compleja en alguna vecindad de 𝑧" .
compleja o de tipo más general) que pueda Decimos que 𝑓 es holomórfica en algún conjunto 𝐴
escribirse como una serie de potencia convergente, no abierto si es holomórfica en un suconjunto de 𝐴.
en un subconjunto de cada punto en su dominio. Un ejemplo, la función dada por 𝑓(𝑧) = |𝑧|' es
Que todas las funciones holomórficas son funciones compleja diferenciable en exactamente un punto
analíticas complejas, y viceversa, es un teorema (𝑧" = 0), y por esta razón, no es holomórfica en 0
importante en el análisis complejo. porque no hay un conjunto abierto alrededor de 0
en el que 𝑓 sea complejo diferenciable.
Las funciones holomórficas también se denominan
a veces funciones regulares. Una función La relación entre diferenciabilidad real y
holomórfica cuyo dominio es todo el plano complejo diferenciabilidad compleja es la siguiente: si una
se denomina función completa. La frase función compleja 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) es
”holomórfico en un punto 𝑧" ” significa no solo holomórfica, entonces 𝑢 ∧ 𝑣 tienen primeras
diferenciable en 𝑧" , sino diferenciable en todas derivadas parciales con respecto a 𝑢 ∧ 𝑣, y
partes dentro de algún subconjunto de 𝑧" en el satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
plano complejo.
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣
Definición = ∧ =−
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥
Dada una función de valor complejo 𝑓 de una sola O, de manera equivalente, la derivada de Wirtinger
variable compleja, la derivada de 𝑓 en un punto 𝑧" de 𝑓 con respecto a 𝑧, el conjugado complejo de 𝑧,
en su dominio está definida por el límite: es cero: 𝜕𝑓/𝜕𝑧 = 0, lo que quiere decir que, a
𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧" ) grandes rasgos, 𝑓 es funcionalmente independiente
𝑓 # (𝑧" ) = lim de 𝑧 el complejo conjugado de 𝑧.
$ →$! 𝑧 − 𝑧"
Si no se da continuidad, lo contrario no es
necesariamente cierto. Una inversa simple es que si
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𝑢 ∧ 𝑣 tienen primeras derivadas parciales continuas 𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑎)
𝑓 # (𝑎) = lim 𝑓( (𝑧) = lim
y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, $→( $ → ( 𝑧−𝑎
entonces 𝑓 es holomórfica. Un recíproco más
satisfactorio, que es mucho más difícil de Para un conjunto no vacío 𝐵 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐴′, decimos que
demostrar, es el teorema de Looman-Menchoff: si 𝑓 𝑓 es derivable en 𝐵 cuando es derivable en todo
es continua, 𝑢 ∧ 𝑣 tienen primeras derivadas punto 𝑧 ∈ 𝐵. Sea ahora 𝐴0 el conjunto de puntos de
parciales (pero no necesariamente continuas) y 𝐴 ∩ 𝐴′ en los que 𝑓 es derivable. Si 𝐴0 no es vacío,
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, tenemos la función 𝑧 ⟼ 𝑓′(𝑧) que a cada punto de
entonces f es holomórfico. 𝐴0 hace corresponder la derivada de 𝑓 en dicho
punto, es decir, la función derivada de 𝑓, que se
Continuidad denota por 𝑓′, entonces:
Fijamos un conjunto no vacío 𝐴 ⊂ ℂ, una función 𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)

𝑓 ! : 𝐴" → ℂ, 𝑓 ! (𝑧) = lim ∀ 𝑧 ∈ 𝐴"
𝑓 ∈ ℑ(𝐴) y un punto 𝑎 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴′. Consideremos la # → & 𝑤−𝑧
)
función 𝑓( : {(} → ℂ, definida por 𝑓( (𝑧) = De la derivabilidad de una función en un punto se
,($)/,(()
∀ 𝑧 ∈ 𝐴/{𝑎}. deduce su continuidad en dicho punto:
$/(
Si 𝑓 es derivable en 𝑎, entonces 𝑓 es continua en 𝑎.
Puesto que 𝑎 ∈ (𝐴\{𝑎})′, tiene sentido preguntarse
si 𝑓 tiene o no límite en 𝑎. Pues bien, se dice que 𝑓 Como 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑎) + 𝑓𝑎(𝑧)(𝑧 − 𝑎) para todo 𝑧 ∈
es derivable en el punto 𝑎 cuando la función 𝑓( tiene 𝐴\{𝑎}, cuando 𝑓( tiene límite en el punto 𝑎 tenemos
límite en 𝑎. Dicho límite, que es un número 𝑙𝑖𝑚$→( 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑎).
complejo, recibe el nombre de derivada de la
función 𝑓 en el punto 𝑎, y se denota por 𝑓′(𝑎), así:
____________________________________________________
Trabajos citados
Conway, J. (1978). Functions of one complex variable I. Springer.
http://ander.zonalibre.org/UNIDAD_2%20FUNCIONES%20COMPLEJA%20Y%20CONTINUIDAD.pdf
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Límites y continuidad de funciones complejas

Funciones holomorfas Esta es la misma que la definición de la derivada

Fijamos un conjunto no vacío 𝐴 ⊂ ℂ, una función 𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)

Conway, J. (1978). Functions of one complex variable I. Springer.

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