Mpro3 U2 A1 Jotl

ACTIVIDAD 1
ESPERANZA CONDICIONAL
Semestre 5. Probabilidad III Unidad II. Esperanza Condicional
Programa educativo: Matrícula del alumno:
Matemáticas ES202115284
Módulo: Grupo:
Probabilidad III MT-MPRO3-2202-B2-001
Nombre del docente: Nombre del alumno:
Marco Antonio Olivera Villa José Karim Tejera Lugo
SEMESTRE 5. PROBABILIDAD III 16/10/22
Competencia de la unidad:
Aplicar el concepto de la esperanza
condicional para resolver diversos
problemas probabilísticos, utilizando
sus propiedades.
Imagen obtenida de: From conditional probability to conditional distribution to conditional expectation, and back | 0-fold Cross-
Validation (alexejgossmann.com)
Pág. 1
Instrucciones
Contesta las siguientes preguntas:
➢ Define la función de distribución condicional de una variable aleatoria 𝑋 dado un

evento 𝐵.
➢ Define la esperanza condicional de 𝑋 dado 𝐵.
➢ ¿Cómo es la esperanza condicional de 𝑋 dado 𝐵 cuando 𝑋 es una variable

aleatoria discreta?
➢ ¿Cómo es la esperanza condicional de 𝑋 dado 𝐵 cuando 𝑋 es una variable

aleatoria continua?
Pág. 2
Resolución
i. Define la función de distribución condicional de una 𝒗. 𝒂. 𝑿 dado un evento 𝐁.
Retomemos la definición de probabilidad condicional:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃( 𝐴 ∣ 𝐵 ) =
𝑃(𝐵)
La probabilidad condicional es lo equivalente a la intersección entre 𝐴 y 𝐵, pero con la

condición de que sabemos de antemano que algún evento 𝐵 ha ocurrido, por lo que la
intersección se toma de los chances de 𝐵.
Entonces tenemos que la función de distribución condicional es, si tenemos un evento 𝑋

descrito de manera 𝑋 ≤ 𝑥 que nos da la probabilidad de que la variable aleatoria tome algún valor
y 𝐵:
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥, 𝐵)
𝑃( 𝑋 ∣ 𝐵 ) =
𝑃(𝐵)
Es claro que 𝑃(𝐵) > 0.
ii. Define la esperanza condicional de 𝑿 dado 𝑩.
La descripción de la esperanza condicional es muy similar a la esperanza estándar, con

la diferencia de que se evalúa el evento condicionado:
E( 𝑋 ∣ 𝐵 ) = ∑ 𝑥 ⋅ 𝑃( 𝑋 = 𝑥 ∣ 𝐵 )
𝑥
𝑃({𝑋 = 𝑥} ∩ 𝐵)
= ∑𝑥 ⋅
𝑃(𝐵)
𝑥
Notemos que este ejemplo es discreto, pero es el mismo planteamiento para el caso
continuo. Veamos también que esta expresión depende de 𝑏 , entonces la esperanza
condicionada es una función de 𝑏, de modo que podemos hablar de 𝑔(𝑏) y en particular de 𝑔(𝐵)
donde 𝐵 es una 𝑣. 𝑎 por lo que 𝑔(𝐵) es una 𝑣. 𝑎. que toma el valor E[𝑋 ∣ 𝐵 = 𝑏] cuando 𝐵 = 𝑏:
𝑔(𝐵 = 𝑏) = 𝑔(𝑏) = E[𝑋 ∣ 𝐵 = 𝑏]
Pág. 3
iii. ¿Cómo es la esperanza condicional de 𝑿 dado 𝑩 cuando 𝑿 es una variable aleatoria

discreta?
En el subinciso anterior describimos particularmente la forma que obtiene la expresión

cuando 𝑋 es discreta, más específicamente tenemos la siguiente notación:
E[𝑋 ∣ 𝐵 = 𝑏] = ∑ 𝑥 ⋅ 𝑝𝑋∣𝐵 ( 𝑥 ∣ 𝑏 )
𝑥
= ∑ 𝑥 ⋅ 𝑃( 𝑋 = 𝑥 ∣ 𝐵 = 𝑏 )
𝑥
𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝐵 = 𝑏)
= ∑𝑥 ⋅
𝑃(𝐵 = 𝑏)
𝑥
1
= ∑ 𝑥 ⋅ 𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝐵 = 𝑏)
𝑃(𝐵 = 𝑏)
𝑥
Aquí tenemos la función de distribución conjunta 𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝐵 = 𝑏), y la suma sea hace
sobre todos los posibles resultados de 𝑋.
iv. ¿Cómo es la esperanza condicional de 𝑿 dado 𝑩 cuando 𝑿 es una variable aleatoria

continua?
La diferencia es que al ser continua, tenemos la integral:

∞
E[𝑋 ∣ 𝐵 = 𝑏] = ∫ 𝑥𝑓𝑋∣𝐵 ( 𝑥 ∣ 𝑏 ) 𝑑𝑥
−∞
∞
𝑓𝑋,𝐵 (𝑥, 𝑏)
=∫ 𝑥⋅ 𝑑𝑥
−∞ 𝑓𝐵 (𝑏)
∞
1
= ∫ 𝑥 ⋅ 𝑓𝑋,𝐵 (𝑥, 𝑏) 𝑑𝑥
𝑓𝐵 (𝑏) −∞
En este caso tratamos la función de densidad conjunta 𝑓𝑋,𝐵 (𝑥, 𝑏) y la función de densidad
marginal 𝑓𝐵 (𝑏).
Nuevamente obtenemos una función de 𝑏, por ello:
𝑔(𝐵 = 𝑏) = 𝑔(𝑏) = E[𝑋 ∣ 𝐵 = 𝑏]
Pág. 4
Bibliografía
Jochumzen. (01 de 11 de 2017). Conditional expectations, continuous random variables.

Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=nEEm-dxzOfU
Jochumzen. (01 de 11 de 2017). Conditional probability density function. Obtenido de Youtube:

https://www.youtube.com/watch?v=tqrtBbNzlz8
Kelly, M. (23 de 03 de 2016). Conditional Expectation. Obtenido de Youtube:

https://www.youtube.com/watch?v=s6IAjOhcPQU
Pishro-Nik, H. (24 de 08 de 2014). 5 Joint Distributions. Obtenido de Probability Course:

https://www.probabilitycourse.com/chapter5/5_2_3_conditioning_independence.php
Tsitsiklis, J. (24 de 04 de 2018). L13.2 Conditional Expectation as a Random Variable. Obtenido

de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=strrrdJivco
UnADM. (s/f). Unidad 2. Esperanza Condicional. Ciudad de México: UnADM.
Pág. 5

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ACTIVIDAD 1

Programa educativo: Matrícula del alumno:

Probabilidad III MT-MPRO3-2202-B2-001

Nombre del docente: Nombre del alumno:

Marco Antonio Olivera Villa José Karim Tejera Lugo

SEMESTRE 5. PROBABILIDAD III 16/10/22

Contesta las siguientes preguntas:

➢ Define la función de distribución condicional de una variable aleatoria 𝑋 dado un

➢ Define la esperanza condicional de 𝑋 dado 𝐵.

➢ ¿Cómo es la esperanza condicional de 𝑋 dado 𝐵 cuando 𝑋 es una variable

➢ ¿Cómo es la esperanza condicional de 𝑋 dado 𝐵 cuando 𝑋 es una variable

i. Define la función de distribución condicional de una 𝒗. 𝒂. 𝑿 dado un evento 𝐁.

Retomemos la definición de probabilidad condicional:

La probabilidad condicional es lo equivalente a la intersección entre 𝐴 y 𝐵, pero con la

Entonces tenemos que la función de distribución condicional es, si tenemos un evento 𝑋

Es claro que 𝑃(𝐵) > 0.

ii. Define la esperanza condicional de 𝑿 dado 𝑩.

La descripción de la esperanza condicional es muy similar a la esperanza estándar, con

𝑔(𝐵 = 𝑏) = 𝑔(𝑏) = E[𝑋 ∣ 𝐵 = 𝑏]

iii. ¿Cómo es la esperanza condicional de 𝑿 dado 𝑩 cuando 𝑿 es una variable aleatoria

En el subinciso anterior describimos particularmente la forma que obtiene la expresión

iv. ¿Cómo es la esperanza condicional de 𝑿 dado 𝑩 cuando 𝑿 es una variable aleatoria

La diferencia es que al ser continua, tenemos la integral:

Nuevamente obtenemos una función de 𝑏, por ello:

𝑔(𝐵 = 𝑏) = 𝑔(𝑏) = E[𝑋 ∣ 𝐵 = 𝑏]

Jochumzen. (01 de 11 de 2017). Conditional expectations, continuous random variables.

Jochumzen. (01 de 11 de 2017). Conditional probability density function. Obtenido de Youtube:

Kelly, M. (23 de 03 de 2016). Conditional Expectation. Obtenido de Youtube:

Pishro-Nik, H. (24 de 08 de 2014). 5 Joint Distributions. Obtenido de Probability Course:

Tsitsiklis, J. (24 de 04 de 2018). L13.2 Conditional Expectation as a Random Variable. Obtenido

UnADM. (s/f). Unidad 2. Esperanza Condicional. Ciudad de México: UnADM.

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