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Licenciatura en Matemáticas
Probabilidad III
Actividad 1. Unidad 3
Nombre del alumno: Rubén Darío Chévez Cruz
Matrícula: ES202100996
Nombre del docente: Marco Antonio Olivera Villa
Fecha de entrega: 06 de noviembre de 2022

Contesta las siguientes preguntas:
¿Qué es una martingala en términos de apuestas?
Desde la probabilidad más básica podemos entender que un juego con 50%
(exactas) de probabilidades de ganar (en un juego justo) va a tender al equilibrio
después de muchas iteraciones (nadie gana o ganarían/perderían muy poco), pero
esto no sucede ni en la ruleta a dos colores porque no es un volado, es 20/38 de
perder, es decir, es ligeramente más alto perder, por lo que la ruina del jugador
aparecerá en relativamente pocas iteraciones, de hecho está demostrado por el
teorema de parada opcional la imposibilidad de ganar a largo plazo, dado un límite
en el tamaño de las apuestas o un límite en el tamaño del bankroll o de la línea de
crédito, pero vamos a ver cómo funcionan las martingalas. Sea una ronda definida
como una secuencia de perdidas consecutivas seguidas de una victoria o de la
quiebra del jugador.
Después de una victoria, el jugador se” reinicia” y se considera que ha comenzado

una nueva ronda. Por lo tanto, una secuencia continua de apuestas martingala
puede dividirse en una secuencia de rondas independientes. Lo que sigue es un
análisis del valor esperado de una ronda. Sea q la probabilidad de perder (por
ejemplo, para la ruleta americana con doble cero, es 20/38 para una apuesta al
negro o al rojo). Sea B la cantidad de la apuesta inicial. Sea n el número finito de
apuestas que el jugador puede permitirse perder. La probabilidad de que el jugador
pierda todas las n apuestas es qn. Cuando todas las apuestas pierden, la pérdida
total es:
¿Qué es una martingala en términos de procesos estocásticos?

𝑛
∑ 𝐵 ∙ 2𝑖−1 = 𝐵(2𝑛 − 1)
𝑖=1
La probabilidad de que el jugador no pierda todas las n apuestas es 1 − qn. En todos

los demás casos, el jugador gana la apuesta inicial (B). Por lo tanto, la ganancia
esperada por ronda es:
(1 − 𝑞 𝑛 ) · 𝐵 − 𝑞 𝑛 · 𝐵(2𝑛 − 1) = 𝐵(1 − (2𝑞) 𝑛 )
1,049 / 5,000 Translation results Siempre que q > 1/2, la expresión 1 − (2q)n < 0 ∀
n > 0. Por lo tanto, para todos los juegos en los que es más probable que un jugador
pierda que gane una apuesta dada, se espera que ese jugador pierda dinero, en
promedio, cada ronda. Aumentar el tamaño de la apuesta para cada ronda según
el sistema martingala solo sirve para aumentar la pérdida promedio.
Supongamos que un jugador tiene un bankroll de juego de 63 unidades. El jugador

podría apostar 1 unidad en el primer giro. En cada perdida, la apuesta se duplica.
Así, tomando k como el número de pérdidas consecutivas anteriores, el jugador
siempre apostara 2k unidades.
Con una ganancia en cualquier giro dado, el jugador obtendrá 1 unidad sobre el
monto total apostado hasta ese momento. Una vez que se logra esta ganancia, el
jugador reinicia el sistema con una apuesta de 1 unidad.
Con pérdidas en todos los primeros seis giros, el jugador pierde un total de 63
unidades. Esto agota el bankroll y la martingala no puede continuar.
En este ejemplo, la probabilidad de perder todo el bankroll y no poder continuar con

la martingala es igual a la probabilidad de 6 pérdidas consecutivas: (10/19)6 =
2.1256%. La probabilidad de ganar es igual a 1 menos la probabilidad de perder 6
veces: 1 − (10/19)6 = 97.8744%.
La cantidad esperada ganada es (1 × 0.978744) = 0.978744.
La cantidad esperada perdida es (63 × 0.021256) = 1.339118.
Así, el valor esperado total para cada aplicación del sistema de apuestas es
(0.978744 − 1.339118) = −0.360374. En una circunstancia ´única, esta estrategia
puede tener sentido. Supongamos que el jugador posee exactamente 63 unidades
pero necesita desesperadamente un total de 64. Suponiendo que q > 1/2 (en un
casino real) y que solo puede hacer apuestas con probabilidades iguales, su mejor
estrategia es el juego audaz: en cada giro, él debe apostar la menor cantidad
posible de manera que si gana alcance su objetivo inmediatamente, y si no tiene
suficiente para esto, simplemente debe apostar todo. Eventualmente, o se arruina
o alcanza su objetivo. Esta estrategia le da una probabilidad de 97.8744% de lograr
el objetivo de ganar una unidad frente a una probabilidad del 2.1256% de perder las
63 unidades, y esa es la mejor probabilidad posible en esta circunstancia, sin
embargo, el juego audaz no siempre es la estrategia óptima para tener la mayor
oportunidad posible de aumentar un capital inicial a una cantidad mayor deseada.
Si el jugador puede apostar cantidades arbitrariamente pequeñas con
probabilidades arbitrariamente altas (pero aún con la misma pérdida esperada de
10/19 de la apuesta en cada apuesta) y solo puede realizar una apuesta en cada
giro, entonces existen estrategias con más del 98%. posibilidad de lograr su
objetivo, y estos usan un juego muy tímido a menos que el jugador este cerca de
perder todo su capital, en cuyo caso cambia a un juego extremadamente audaz.
Anti-martingala
En un estilo clásico de apuestas martingala, los jugadores aumentan las apuestas

después de cada pérdida con la esperanza de que una eventual ganancia recupere
todas las pérdidas anteriores. El enfoque anti-martingala, también conocido como
martingala inversa, en cambio aumenta las apuestas después de ganar, mientras
que las reduce después de una pérdida. La percepción es que el jugador se
beneficiara de una racha ganadora o una ”mano caliente”, mientras reduce las
pérdidas mientras está ”frío” o tiene una racha perdedora. Como las apuestas
simples son independientes entre sí (y de las expectativas del jugador), el concepto
de ”rachas” ganadoras es simplemente un ejemplo de la falacia del jugador, y la
estrategia antimartingala no genera dinero. Si, por otro lado, los rendimientos de
las acciones de la vida real están correlacionados en serie (por ejemplo, debido a
los ciclos económicos y la reacción retrasada a las noticias de los participantes más
importantes del mercado), las ”rachas” de ganancias o pérdidas ocurren con más
frecuencia y son más largas que las que se dan en un periodo determinado, proceso
puramente aleatorio, la estrategia anti-martingala teóricamente podría aplicarse y
puede usarse en sistemas comerciales (como seguimiento de tendencia o
”duplicación”).
¿Qué es una martingala en términos de procesos estocásticos?
Una definición básica de una martingala de tiempo discreto es un proceso

estocástico de tiempo discreto (es decir, una secuencia de variables aleatorias) X 1,
X2, X3, ... que satisface para cualquier tiempo n:
E(|Xn|) < ∞
E(Xn+1 | X1, . . . , Xn) = Xn
Es decir, el valor esperado condicional de la siguiente observación, dadas todas las

observaciones pasadas, es igual a la observación más reciente.
Referencias bibliográficas:
• Siegrist, K. (2004). martingalas. Properties and Constructions. University of

Alabama in Huntsville. Department of Mathematical Sciences. Rando
• Brzezniak, Z. y Zastawniak, T. (1999). Basic stochastic processes. Great
Britain: Springer.
• Chung, K. L. y Williams R. J. (1990). Introduction to Stochastic Integration.
USA: Birkhäuser.
• Klebaner, F. (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications.
Imperial College Press.

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¿Qué es una martingala en términos de apuestas?

Después de una victoria, el jugador se” reinicia” y se considera que ha comenzado

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La probabilidad de que el jugador no pierda todas las n apuestas es 1 − qn. En todos

Supongamos que un jugador tiene un bankroll de juego de 63 unidades. El jugador

En este ejemplo, la probabilidad de perder todo el bankroll y no poder continuar con

La cantidad esperada ganada es (1 × 0.978744) = 0.978744.

La cantidad esperada perdida es (63 × 0.021256) = 1.339118.

En un estilo clásico de apuestas martingala, los jugadores aumentan las apuestas

Una definición básica de una martingala de tiempo discreto es un proceso

E(Xn+1 | X1, . . . , Xn) = Xn

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• Siegrist, K. (2004). martingalas. Properties and Constructions. University of

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