SIMULACIÓN Y CONFIGURACIÓN DE

PROCESOS
UNIDAD Nº 3
Análisis de los Procesos Industriales con Herramientas de Simulación

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 SEMANA 5

Introducción
En esta semana aprenderemos la diferencia de un sistema de control de lazo abierto y
uno de lazo cerrado, además utilizaremos el software de simulación para modelar un
ejemplo sencillo de un sistema de control de lazo cerrado, comprendiendo la manera en
que estos sistemas reciben una retroalimentación que les permite corregir el error. Donde
aparecerán nuevas herramientas que nos permitirán modelar y controlar distintos tipos de
sistemas. También aprenderemos a modelar un sistema electromecánico y conoceremos
como relacionar la parte eléctrica con la parte mecánica del sistema, aplicando en su
resolución ecuaciones diferenciales, Función de Transferencia, diagrama de bloques y
espacio de estados. También se verá el paso a paso de como modelar un sistema de dos
ecuaciones diferenciales relacionadas utilizando Simulink.

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 Ideas Fuerza
1. Realimentación: La realimentación es un concepto que aparece con

frecuencia en distintas disciplinas y especialmente en la dinámica de

sistemas. Su importancia deriva del hecho de que provee una herramienta
poderosa para enfrentarse a las incertidumbres y variaciones del mundo
real.

2. Controlador: Instrumento que compara el valor medido con el valor

deseado, en base a una comparación calcula el error (diferencia entre valor

medido y valor deseado), para luego actuar a fin de corregir este error.

3. Actuador: Es un dispositivo inherentemente mecánico cuya función es

proporcionar fuerza para mover o “actuar” otro dispositivo mecánico.

4. Sensor: Los sensores son dispositivos electrónicos con la capacidad de

detectar la variación de una magnitud física tales como temperatura,

iluminación, movimiento y presión; y de convertir el valor de ésta, en una
señal eléctrica ya sea analógica o digital.

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 Desarrollo
1. Análisis simulado de sistemas retroalimentados.

Sistemas de control realimentados. Un sistema que mantiene una relación

determinada entre la salida y la entrada de referencia, comparándolas y usando
la diferencia como medio de control, se denomina sistema de control
realimentado. Un ejemplo sería el sistema de control de temperatura de una
habitación. Midiendo la temperatura real y comparándola con la temperatura de
referencia (temperatura deseada), el termostato activa o desactiva el equipo de
calefacción o de enfriamiento para asegurar que la temperatura de la habitación
se mantiene en un nivel confortable independientemente de las condiciones
externas. Los sistemas de control realimentados no se limitan a la ingeniería,
sino que también se encuentran en diversos campos ajenos a ella. Por ejemplo,
el cuerpo humano es un sistema de control realimentado muy avanzado. Tanto
la temperatura corporal como la presión sanguínea se conservan constantes
mediante una realimentación fisiológica. De hecho, la realimentación realiza una
función vital: hace que el cuerpo humano sea relativamente insensible a las
perturbaciones externas, permitiendo que funcione de forma adecuada en un
entorno cambiante.

Sistemas de control en lazo cerrado. Los sistemas de control realimentados se

denominan también sistemas de control en lazo cerrado. En la práctica, los
términos control realimentado y control en lazo cerrado se usan indistintamente.
En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de
error de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de
realimentación (que puede ser la propia señal de salida o una función de la señal
de salida y sus derivadas y/o integrales), con el fin de reducir el error y llevar la
salida del sistema a un valor deseado. El término control en lazo cerrado siempre
implica el uso de una acción de control realimentado para reducir el error del
sistema.

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Ilustración 1, sistema de control retroalimentado.

Sistemas de control en lazo abierto. Los sistemas en los cuales la salida no tiene
efecto sobre la acción de control se denominan sistemas de control en lazo
abierto. En otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no se mide
la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. Un ejemplo práctico
es una lavadora. El remojo, el lavado y el centrifugado en la lavadora operan con
una base de tiempo. La máquina no mide la señal de salida, que es la limpieza
de la ropa. En cualquier sistema de control en lazo abierto, la salida no se
compara con la entrada de referencia. Así, a cada entrada de referencia le
corresponde una condición de operación fija; como resultado de ello, la precisión
del sistema depende de la calibración. Ante la presencia de perturbaciones, un
sistema de control en lazo abierto no realiza la tarea deseada. En la práctica, el
control en lazo abierto sólo se usa si se conoce la relación entre la entrada y la
salida y si no hay perturbaciones internas ni externas. Es evidente que estos
sistemas no son de control realimentado. Obsérvese que cualquier sistema de
control que opere con una base de tiempo está en lazo abierto. Por ejemplo, el
control de tráfico mediante señales operadas con una base de tiempo es otro
ejemplo de control en lazo abierto.

A continuación modelaremos un sistema de control retroalimentado utilizando

Simulink. Para el ejemplo crearemos un sistema que tendrá la siguiente función
de transferencia:
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 1
(1) 𝐺(𝑠) =
𝑠+1

El cual puede ser el caso de un sistema de control de temperatura de una

habitación.

Como se explicó anteriormente, para que el sistema sea retroalimentado, es

necesario ejercer un control sobre el sistema, para este ejemplo utilizaremos un
controlador PI (Proporcional e Integrador). Además agregaremos una
perturbación al sistema para analizar la manera en que este tipo de sistema de
control logra llegar al equilibrio a pesar de la actuación de agentes externos.

El primer paso es abrir Matlab y ejecutar Simulink, una vez creado el nuevo
modelo se deben determinar los bloques a utilizar desde el Library Browser, en
este caso serán los siguientes:

- 𝑆𝑡𝑒𝑝 (3) - Librería 𝑆𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒𝑠

- 𝑆𝑢𝑚 (3) - Librería 𝑀𝑎𝑡ℎ 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠

- 𝑃𝐼𝐷 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑙𝑒𝑟 (1) – Librería 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠

- 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟 𝐹𝑐𝑛 (1) - Librería 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠

- 𝑆𝑐𝑜𝑝𝑒 (1) - Librería 𝑆𝑖𝑛𝑘𝑠

Una vez se tienen todos los bloques necesarios en el espacio de trabajo, se

procede a configurar los parámetros de cada bloque y posteriormente a
conectarlo al sistema.

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Ilustración 2, espacio de trabajo Simulink, bloque necesarios para simular un sistema retroalimentado.

El primer bloque que se configurará será el bloque 𝑆𝑡𝑒𝑝, el cual cumple la función
de señal de referencia (𝑆𝑒𝑡𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡). En este caso se quiere que la habitación tenga
una temperatura constante de 25°C y se quiere que el sistema comience a
funcionar desde el tiempo cero, por lo cual el parámetro 𝑆𝑡𝑒𝑝 𝑡𝑖𝑚𝑒 queda en cero,
haciendo que la función escalón tome su valor final a partir del tiempo igual a
cero. El valor final quedará en 25, lo cual representa la temperatura de referencia
como se muestra en la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3.

Ilustración 3, configuración de parámetros bloque 𝑆𝑡𝑒𝑝, para ser utilizado como señal de referencia.

El siguiente bloque a configurar es el bloque 𝑆𝑢𝑚, en este caso se quiere que la

respuesta del sistema se reste a la señal de referencia, de este modo se obtiene
el error que ocurre en el sistema el cual luego será procesado por el controlador.
La configuración de estos parámetros se muestra en la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 4.

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Ilustración 4, configuración de parámetros bloque 𝑆𝑢𝑚.

A continuación se procede a configurar los parámetros del controlador, como se

requiere un controlador de tipo PI, en la configuración se escoge dicha opción,
como se muestra en la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (5), donde además se configuran los valores
de las constantes de la parte Proporcional y la parte Integral del controlador, para
este caso se deja un valor igual a uno en ambas partes, cuando se realice un
análisis de la simulación observaremos lo que ocurre al modificar estos
parámetros. También se modificaran los limites en la salida del controlador
(𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 6), dejando 100 en el límite superior y cero en el límite inferior, esta
configuración es la más utilizada, ya que permite operar en forma de porcentaje
por ejemplo el caso de una válvula que se encuentre completamente abierta o
completamente cerrada.

Ilustración 5, configuración de parámetros bloque 𝑃𝐼𝐷 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑙𝑒𝑟.

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Ilustración 6, configuración de parámetros bloque 𝑃𝐼𝐷 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑙𝑒𝑟.

A continuación, se procede a configurar los parámetros de la Función de

Transferencia, la cual se encuentra expresada en el 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (1). La
𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 7 muestra cómo quedan los parámetros de la función.

Ilustración 7, configuración de parámetros bloque 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟 𝐹𝑐𝑛.

A continuación, se muestra como configurar los parámetros del bloque sum de

forma que se acomode a la configuración de este diagrama de bloques en
específico (los bloques se pueden rotar presionando ctrl+R).

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Ilustración 8, configuración de parámetros bloque 𝑠𝑢𝑚.

Ilustración 9, configuración de parámetros bloque sum.

Ahora solo queda configurar los parámetros de la perturbación que se quiere

ejercer sobre el sistema. En este caso simularemos una baja de temperatura que
puede ocurrir al momento de abrir y cerrar una puerta de la habitación. Esto lo
efectuaremos sumando dos bloques del tipo 𝑆𝑡𝑒𝑝 (lo que representará una señal
de pulso negativo). En la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 10 se muestra la configuración de los
parámetros para que la temperatura disminuya en 5°C por un periodo de 10
segundos. La representación gráfica de esta perturbación se puede observar en
la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 13.

Ilustración 10, configuración de parámetros de dos bloques 𝑆𝑡𝑒𝑝, para simular una perturbación.

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Finalmente se unen todos los bloques para formar un sistema de lazo cerrado
como se muestra en la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 11.

Ilustración 11, sistema retroalimentado modelado en Simulink.

Una vez realizado el modelo del sistema, se debe definir lo que se quiere
analizar. En este caso mediante el bloque 𝑆𝑐𝑜𝑝𝑒, que mostrará el
comportamiento del sistema en funcion del tiempo en los puntos de interes que
se asignen, para este ejemplo se observaran tres salidas, la primera mostrará el
comportamiento de la perturbacion, la segunda mostrara la respuesta del
sistema, y la tercera, mostrara la señal de referencia o 𝑠𝑒𝑡𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡.

Ilustración 12, sistema retroalimentado modelado en Simulink.

Al ejecutar la simulación, para un tiempo de 40 segundos se obtiene el gráfico

de la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 13, donde la línea segmentada representa el 𝑠𝑒𝑡𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡, la curva
de color azul representa la salida del sistema y la línea amarilla representa la

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perturbación. Como se aprecia, el controlador utilizado logra estabilizar el
sistema en un tiempo de 5 segundos, la velocidad con la que se estabiliza el
sistema la podemos controlar modificando los parámetros del controlador, pero
como se verá más adelante, esto afecta directamente el actuador del sistema.
También se aprecia la manera en que la perturbación afecta al sistema, para
este ejemplo, simulaba el abrir y cerrar la puerta de la habitación, provocando
una disminución de la temperatura de 5°C, aquí nuevamente el controlador
cumple su función y logra estabilizar el sistema.

Ilustración 13, respuesta del sistema utilizando bloque Scope.

A continuación se muestra como programar la simulación de un sistema

electromecánico, para esto se utilizará como ejemplo un motor DC.

El motor de corriente continua, denominado también motor de corriente directa,

o motor DC (por las iniciales en inglés direct current), es una máquina que
convierte energía eléctrica en mecánica, provocando un movimiento rotatorio,
gracias a la acción de un campo magnético.

Un motor de corriente continua se compone, principalmente, de dos partes:

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- El estator da soporte mecánico al aparato y contiene los polos de la máquina,
que pueden ser o bien devanados de hilo de cobre sobre un núcleo de hierro, o
imanes permanentes.

- El rotor es generalmente de forma cilíndrica, también devanado y con núcleo,

alimentado con corriente directa a través del colector formado por delgas. Las
delgas se fabrican generalmente de cobre y están en contacto alternante con las
escobillas fijas.

Los elementos fundamentales de un motor DC se muestran en 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 14,

𝑖𝑓

Ilustración 14, modelo de un motor DC.

La armadura del motor DC se modela como si tuviera una resistencia constante

𝑅 en serie con una inductancia constante 𝐿 que representa la inductancia de la
bobina de la armadura, y una fuente de alimentación 𝑣 que representa la tensión
generada en la armadura.

La primera ecuación se realiza haciendo un análisis de la malla del circuito:

𝑑𝑖(𝑡)
𝑣(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) + 𝐿 + 𝐸𝑎 (𝑡)
𝑑𝑡

Despejando el término de orden superior se obtiene:

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 𝑑𝑖(𝑡)
(2) 𝐿 = 𝑣(𝑡) − 𝑅𝑖(𝑡) − 𝐸𝑎 (𝑡)
𝑑𝑡

Donde 𝐸𝑎 (𝑡) es una tensión generada que resulta cuando los conductores de la
armadura se mueven a través del flujo de campo establecido por la corriente del
campo 𝑖𝑓 .

Toda potencia mecánica desarrollada en el rotor se entrega a la carga mecánica

conectado al eje del motor DC.

Parte de la potencia desarrollada se pierde a través de la resistencia de la bobina

del rotor, la fricción, por histéresis y pérdidas por corrientes de Foucault en el
hierro del rotor.

Desde aquí las pérdidas por fricción y parte de la energía desarrollada es

almacenada como energía cinética en la masa giratoria del rotor. La ecuación de
la sección mecánica viene dada por la 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (3).

𝑑𝜔(𝑡)
(3) 𝑇𝑚 (𝑡) = 𝐽 + 𝐵𝜔(𝑡)
𝑑𝑡

Despejando el término de orden superior se obtiene:

𝑑𝜔(𝑡)
(4) 𝐽 = 𝑇𝑚 (𝑡) − 𝐵𝜔(𝑡)
𝑑𝑡

Donde 𝑇𝑚 (𝑡) es el torque del motor de corriente continua, 𝐵 es el coeficiente de

fricción equivalente al motor DC (corriente continua) y la carga montados sobre
el eje del motor, 𝐽 es el momento de inercia total del rotor y de la carga con
𝑑𝜔(𝑡)
relación al eje del motor, 𝜔(𝑡) es la velocidad angular del motor y es la
𝑑𝑡

aceleración angular.

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Para lograr la interacción entre las ecuaciones anteriores se proponen las
siguientes relaciones que asumen que existe una relación proporcional 𝑘𝑎 entre
el voltaje inducido en la armadura y la velocidad angular del eje del motor.

(5) 𝐸𝑎 (𝑡) = 𝑘𝑎 𝜔(𝑡)

Y se supone la siguiente relación electromecánica que establece que el torque

mecánico es proporcional, 𝑘𝑚 , a la corriente eléctrica que circula por el motor
DC.

(6) 𝑇𝑚 (𝑡) = 𝑘𝑚 𝑖(𝑡)

Función de Transferencia del motor DC

Para obtener la Función de Transferencia del sistema, primero se debe obtener

la transformada de Laplace de las 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (2), (4), (5) y (6).

(7) 𝐿𝑠𝑖(𝑠) = 𝑣(𝑠) − 𝑅𝑖(𝑠) − 𝐸𝑎 (𝑠)

(8) 𝐽𝑠𝜔(𝑠) = 𝑇𝑚 (𝑠) − 𝐵𝜔(𝑠)
(9) 𝐸𝑎 (𝑠) = 𝐾𝑎 𝜔(𝑠)
(10) 𝑇𝑚 (𝑠) = 𝐾𝑚 𝑖(𝑠)

Reemplazando (9) y (10) en (7)

𝑇𝑚 (𝑠) 𝑇𝑚 (𝑠)
𝐿𝑠 = 𝑣(𝑠) − 𝑅 − 𝐾𝑎 𝜔(𝑠)
𝐾𝑚 𝐾𝑚
𝑇𝑚 (𝑠) 𝑇𝑚 (𝑠)
𝑣(𝑠) = 𝐿𝑠 +𝑅 + 𝐾𝑎 𝜔(𝑠)
𝐾𝑚 𝐾𝑚
𝑇𝑚 (𝑠)(𝐿𝑠 + 𝑅)
(11) 𝑣(𝑠) = + 𝐾𝑎 𝜔(𝑠)
𝐾𝑚
Reemplazando (8) en (11)
𝑇𝑚 (𝑠)(𝐿𝑠 + 𝑅) 𝑇𝑚 (𝑠)
(12) 𝑣(𝑠) = + 𝐾𝑎
𝐾𝑚 𝐽𝑠 + 𝐵
(𝐿𝑠 + 𝑅)(𝐽𝑠 + 𝐵) + 𝐾𝑎 𝐾𝑚
(13) 𝑣(𝑠) = 𝑇𝑚 (𝑠)
𝐾𝑚 (𝐽𝑠 + 𝐵)

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De esta forma podemos obtener la función de transferencia que relaciona la
salida (torque) del motor DC con la entrada (voltaje)

𝑇𝑚 (𝑠) 𝐾𝑚 (𝐽𝑠 + 𝐵)
(13) =
𝑣(𝑠) (𝐿𝑠 + 𝑅)(𝐽𝑠 + 𝐵) + 𝐾𝑎 𝐾𝑚

Espacio de Estados

Una vez obtenida la Función de Transferencia, el espacio de estados también es

muy sencillo de obtener, partiendo de las ecuaciones del 1 al 4, podemos
nombrar nuestros estados como:

𝑥1 = 𝜔
𝑥̇ 1 = 𝜔̇
𝑥2 = 𝑖
𝑥̇ 2 = 𝑖̇̇

Reescribiendo las 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (2), (4), (5) y (6) utilizando las definiciones del
espacio de estados se obtiene:

𝐵 𝐾𝑚
𝑥̇ 1 = − 𝑥1 + 𝑥
𝐽 𝐽 2
𝑅 𝐾𝑎 1
𝑥̇ 2 = − 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑣
𝐿 𝐿 𝐿

La representación del motor DC en espacio de Estados es la siguiente:

𝐵 𝐾𝑚
− 𝑥1 0
𝑥̇ 𝐽 𝐽
[ 1] = [𝑥 ] + [1] 𝑣
𝑥̇ 2 𝐾𝑎 𝑅 2
− − 𝐿
[ 𝐿 𝐿]
𝑦1 1 0 𝑥1
[𝑦 ] = [ ][ ]
2 0 1 𝑥2

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A continuación modelaremos en Simulink el sistema anterior de 3 maneras
distintas, la primera utilizando la ecuación del sistema, la segunda utilizando la
Función de Transferencia del sistema y por ultimo utilizando variables de estado.

Forma 1, Modelando Ecuación Diferencial.

A partir de las 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (2), (4), (5) y (6) que modelan el sistema, se
determinan los bloques necesarios, pero antes se reducirá el sistema a solo 2
ecuaciones.

𝑑𝑖(𝑡)
(2) 𝐿 = 𝑣(𝑡) − 𝑅𝑖(𝑡) − 𝐸𝑎 (𝑡)
𝑑𝑡

𝑑𝜔(𝑡)
(4) 𝐽 = 𝑇𝑚 (𝑡) − 𝐵𝜔(𝑡)
𝑑𝑡

(5) 𝐸𝑎 (𝑡) = 𝑘𝑎 𝜔(𝑡)

(6) 𝑇𝑚 (𝑡) = 𝑘𝑚 𝑖(𝑡)

Reemplazando (5) en (2) y (6) en (4) se obtiene:

𝑑𝑖(𝑡)
(14) 𝐿 = 𝑣(𝑡) − 𝑅𝑖(𝑡) − 𝑘𝑎 𝜔(𝑡)
𝑑𝑡

𝑑𝜔(𝑡)
(15) 𝐽 = 𝑘𝑚 𝑖(𝑡) − 𝐵𝜔(𝑡)
𝑑𝑡

La 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (14) representa la armadura del motor (parte eléctrica) y la

𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (15) representa la parte mecánica del motor.

Bloques necesarios:

- 𝑆𝑡𝑒𝑝 (1) - Librería 𝑆𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒𝑠

- 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 (5) – Librería 𝑆𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒𝑠

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 - 𝐴𝑑𝑑 (2) - Librería 𝑀𝑎𝑡ℎ 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠

- 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 (2) - Librería 𝑀𝑎𝑡ℎ 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠

- 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡 (4) - Librería 𝑀𝑎𝑡ℎ 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠

- 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟 (2) – Librería 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠

- 𝑆𝑐𝑜𝑝𝑒 (1) - Librería 𝑆𝑖𝑛𝑘𝑠

A continuación se procede a obtener los bloques necesarios desde el Library

Browser y definir los parámetros como se ha realizado en los ejemplos
anteriores, en este caso, los parámetros de las constantes se definirán utilizando
su valor alfabético, ya que posteriormente se otorgaran valores declarando las
variables en Matlab,

Ilustración 15, parámetros de bloques 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡.

Comenzando por la 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (14), se tiene que la derivada de la corriente es

igual a la suma del voltaje (que representa la entrada al sistema), la corriente (la
cual se obtiene al integrar la derivada de la corriente) y la velocidad angular (que
se obtendrá de la 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (15)).

El modelo de la 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (14) se muestra en la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (16), los parámetros

que se utilizaron para definir la entrada al sistema se muestran en la
𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (17) que representa una entrada de 12 𝑣 que aparece en el tiempo
igual a 1.

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 𝑑𝑖(𝑡)
𝑖(𝑡) 𝑡
𝑅𝑖(𝑡)

𝑣(𝑡)

𝑘𝑎 𝜔(𝑡)

𝜔(𝑡)

Ilustración 16, modelo de 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (14) en Simulink.

Ilustración 17, parámetros de bloque 𝑆𝑡𝑒𝑝 para modelar entrada el sistema.

A continuación se procede a modelar la 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (15), para esto tomaremos la

señal de la corriente 𝑖(𝑡) del modelo de la 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (14) y obtendremos la señal
𝑑𝜔(𝑡)
de la derivada de la velocidad angular (aceleración angular ), quedando todo
𝑑𝑡

el sistema modelado en la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 18.

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 𝑖(𝑡)
𝑅𝑖(𝑡) 𝑑𝑖(𝑡)
𝑡

𝑣(𝑡)

𝑘𝑎 𝜔(𝑡)

𝜔(𝑡)

𝐵𝜔(𝑡)

𝑑𝜔(𝑡)
𝑡
𝑘𝑚 𝑖(𝑡)

Ilustración 18, modelo de las ecuaciones diferenciales de un sistema electromecánico.

Una de las ventajas de modelar la ecuación del sistema es que podemos

visualizar cualquier señal que nos interese utilizando un bloque 𝑆𝑐𝑜𝑝𝑒, en cambio
al modelar la Función de Transferencia solo se obtendrá la relación que entrega
dicha función, en este caso se obtuvo la Función de Transferencia que relaciona
el torque del motor con el voltaje de entrada, pero si se quiere observar otra
relación como puede ser entre la velocidad angular y el voltaje, se debe obtener
dicha Función de Transferencia y posteriormente ser modelada, en cambio en el
modelo de la ecuación diferencial, basta con unir un 𝑆𝑐𝑜𝑝𝑒 a la señal de la
velocidad angular para obtener la información.

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A continuación se le otorgaran valores a las constantes y se ejecutara la
simulación del sistema:

𝑘𝑔 𝑚2
𝐽 = 0.03
𝑠2
𝐵 = 0.15 𝑁𝑚
𝑘𝑚 = 0.01
𝑘𝑎 = 0.05
𝑅 = 1.5 𝑜ℎ𝑚
𝐿 = 0.7 𝐻

Para declarar las variables en Matlab, simplemente se escribe en el Command

Window en nombre de la variable, un signo igual, el valor de la variable y luego
se presiona Enter, se debe recordar que Matlab distingue entre mayúsculas y
minúsculas. Las variables declaradas quedan guardadas en el Workspace y
automáticamente se pueden utilizar en Simulink, ahora los bloques que se
definieron para las constantes poseen un valor numérico, esto lo podemos notar,
ya que estos bloques dejaran de estar sombreados con rojo.

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Ilustración 19, definiendo valores de variables en Matlab.

En la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑥 se muestra el resultado de la simulación para el torque del

motor utilizando un bloque 𝑆𝑐𝑜𝑝𝑒.

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Ilustración 20, modelo de las ecuaciones diferenciales de un sistema electromecánico.

Ilustración 21, resultado de la simulación del torque del motor DC.

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Forma 2, utilizando Función de Transferencia

A partir de la 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (13), que relaciona la salida (torque) del motor DC con la
entrada (voltaje)

𝑇𝑚 (𝑠) 𝐾𝑚 (𝐽𝑠 + 𝐵)
(13) =
𝑣(𝑠) (𝐿𝑠 + 𝑅)(𝐽𝑠 + 𝐵) + 𝐾𝑎 𝐾𝑚

Utilizando los valores de las constantes y reemplazándolos en la Ecuación (13),

se obtiene la siguiente Función de Transferencia:

𝑇𝑚 (𝑠) 𝐾𝑚 𝐽𝑠 + 𝐾𝑚 𝐵
=
𝑣(𝑠) 𝐿𝐽𝑠 2 + (𝐿𝐵 + 𝑅𝐽)𝑠 + 𝑅𝐵 + 𝐾𝑎 𝐾𝑚

𝑇𝑚 (𝑠) 0.01 ∗ 0.03 𝑠 + 0.01 ∗ 0.15

=
𝑣(𝑠) 0.7 ∗ 0.03𝑠 2 + (0.7 ∗ 0.15 + 1.5 ∗ 0.03)𝑠 + 1.5 ∗ 0.15 + 0.05 ∗ 0.01

𝑇𝑚 (𝑠) 0.0003𝑠 + 0.0015

(16) = 𝐺(𝑠) =
𝑣(𝑠) 0.021𝑠 2 + 0.15𝑠 + 0.2255

Los bloques necesarios para realizar el modelo en Simulink son los siguientes:

- 𝑆𝑡𝑒𝑝 (1) - Librería 𝑆𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒𝑠

- 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟 𝐹𝑐𝑛 (1) - Librería 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠

- 𝑆𝑐𝑜𝑝𝑒 (1) - Librería 𝑆𝑖𝑛𝑘𝑠

En el bloque 𝑆𝑡𝑒𝑝 se utiliza la misma configuración que en el modelo de la

ecuación diferencial, ya que estamos modelando el mismo sistema. Los
parámetros de la Función de Transferencia se muestran a continuación:

Ilustración 22, parámetros de boque 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟 𝐹𝑐𝑛.

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El modelo del sistema se muestra en la Ilustración 23. Se puede observar
además que el grafico resultante de la simulación es el mismo que se obtiene
mediante el modelo de la ecuación diferencial.

Ilustración 23, modelo del sistema utilizando Función de Transferencia.

Ilustración 24, resultado de la simulación del torque del motor DC utilizando Función de Transferencia.

Forma 3, utilizando espacio de estado.

Anteriormente se obtuvo la definición del sistema en el espacio de estados

𝐵 𝐾𝑚
− 𝑥1 0
𝑥̇ 𝐽 𝐽
(17) [ 1] = [𝑥 ] + [1] 𝑣
𝑥̇ 2 𝐾𝑎 𝑅 2
− − 𝐿
[ 𝐿 𝐿]
𝑦1 1 0 𝑥1
(18) [𝑦 ] = [ ][ ]
2 0 1 𝑥2

Reemplazando los valores de las constantes en la 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (17) se obtiene lo

siguiente:

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 𝑥̇ −5 0.3333 𝑥1 0
(19) [ 1] = [ ] [𝑥 ] + [ ]𝑣
𝑥̇ 2 −0.0714 −2.1428 2 1.4285
Donde 𝑥1 representa la velocidad angular del motor y 𝑥2 representa la corriente
del motor. La Ecuación (18) representa la salida del sistema, para visualizar solo
la corriente (𝑥2 ), la matriz debe quedar de la siguiente manera:

𝑦1 0 0 𝑥1
(20) [𝑦 ] = [ ][ ]
2 0 1 𝑥2

Utilizando las 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (17) y (20) para definir el espacio de estados en

Simulink (también se puede utilizar la 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (19), pero para una mayor
exactitud en los cálculos se usan directamente las variables ya definidas en
Matlab). Para definir los parámetros se debe hacer en forma matricial, para
definir una matriz se utilizan corchetes ([ ]), para separar las filas se utiliza
espacio y para separar las columnas se utiliza punto y coma (;).

Ilustración 25, definiendo parámetros de forma matricial en bloque 𝑆𝑡𝑎𝑡𝑒 − 𝑆𝑝𝑎𝑐𝑒.

El modelo del sistema en espacio de estados en Simulink se muestra en la

𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 26, lo que entregara como salida la intensidad de corriente como se
muestra en la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 27.

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Ilustración 26, modelo del sistema en espacio de estados.

Ilustración 27, intensidad de corriente del sistema utilizando bloque 𝑆𝑐𝑜𝑝𝑒.

Si quisiéramos representar el torque del motor, debemos multiplicar la salida del

sistema por una ganancia, como se sabe de la 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (6) 𝑇𝑚 (𝑡) = 𝑘𝑚 𝑖(𝑡), por
lo tanto se debe multiplicar por 𝑘𝑚 .

Ilustración 28, modelando el torque del motor DC agregando una ganancia (bloque 𝐺𝑎𝑖𝑛) con el valor de la
constante 𝑘𝑚 )

Al ejecutar esta nueva simulación, se observa mediante el grafico de la

𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 29 que se obtiene el mismo resultado que con las formas anteriores.

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Ilustración 29, torque del motor DC utilizando espacio de estados.

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 Conclusión
En esta semana se profundizó en el uso del software de simulación Simulink,
conociendo el funcionamiento de distintos bloques que se utilizan para modelar
los diferentes tipos de sistemas. Se observó la manera de representar un sistema
de control retroalimentado, donde a través de gráficos se pudo comprender cómo
el controlador actúa para que el sistema opere en torno a la señal de referencia.
También se observó la manera en que interactúan dos ecuaciones diferenciales
para modelar un mismo sistema, representándolas en el software. Además
aprendimos como modelar un sistema en Simulink utilizando espacio de estados.
En la semana numero 6 utilizaremos todos estos conocimientos para modelar y
configurar sistemas, analizando la respuesta o salida que presentan al probar
distintos tipos de entradas y perturbaciones.

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 Bibliografía
Ogata, k. (2010). Ingeniería de control moderno. Madrid: PEARSON
EDUCACIÓN.

Bordóns, C., Ruiz, M., & Limón, D.. (2001). Teoría de sistemas. Sevilla:
Universidad de Sevilla.

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