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PROCESOS
UNIDAD Nº 3
Análisis de los Procesos Industriales con Herramientas de Simulación
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SEMANA 6
Introducción
En esta semana aprenderemos a obtener la respuesta temporal de sistemas
lineales y continuos de primer y segundo orden, ante una entrada impulso y una entrada en
escalón, la respuesta temporal se puede obtener mediante la Transformada Inversa de
Laplace, pero además se entregará la fórmula para obtener dicha respuesta, analizando y
clasificando el sistema de acuerdo con sus parámetros. Se analizarán las principales
características de la respuesta al variar los parámetros, constantes y configuración de la
planta en estudio. Además se utilizara el software de simulación para comprender y
visualizar cómo se comporta, de manera gráfica, la respuesta del sistema, diferenciando
entre sistemas amortiguados, subamortiguados y críticamente amortiguados,
comprendiendo cómo influyen los polos y ceros en dicha respuesta.
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Ideas Fuerza
1. Respuesta temporal: Una señal de entrada del tipo escalón permite conocer la
respuesta del sistema frente a cambios abruptos en su entrada. Así mismo, nos da
una idea del tiempo de establecimiento de la señal, es decir, cuanto se tarda el
sistema en alcanzar su estado estacionario.
5. Ceros: Las raíces del numerador son denominados los ceros de la función de
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Desarrollo
1. Respuesta temporal.
El sistema puede ser excitado con distintas señales de entrada 𝑟(𝑡). Las más utilizadas
son las funciones impulso unidad, escalón unidad, rampa unidad y sinusoidal de amplitud
unidad que se encuentran en la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2. La respuesta del sistema ante las distintas
entradas suele tener un régimen transitorio y otro permanente, aunque este último puede
no darse y depende de la estabilidad del sistema.
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Sistemas de primer orden
La salida temporal 𝑐(𝑡) del sistema de primer orden ante una entrada impulso unidad es:
𝐾
𝐾 𝐾 −𝑡 𝑐(0+ ) =
𝐶(𝑡) = ℒ −1 [𝐶(𝑠)] = ℒ −1 [𝐺(𝑠)𝑅(𝑠)] = ℒ −1 [ ]= 𝑒 𝑇 ⟹ { 𝑇 (1)
1 + 𝑇𝑠 𝑇
𝑐(∞) = 0
Donde se han calculado los valores inicial y final de dicha salida. La pendiente inicial de
la curva se puede calcular a partir de la expresión general de la derivada:
𝑑𝑐(𝑡) 𝐾 𝑡 𝐾
𝑐̇ (𝑡) = = − 2 𝑒 −𝑇 ⟹ 𝑐̇ (0+ ) = − 2 (2)
𝑑𝑡 𝑇 𝑇
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𝐾 𝐾
𝑐(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚+ 𝑐(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝐶(𝑠) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠 = (3)
𝑡→0 𝑠→∞ 𝑠→∞ 1 + 𝑇𝑠 𝑇
𝐾
𝑐(∞) = 𝑙𝑖𝑚 𝑐(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝐶(𝑠) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠 =0 (4)
𝑡→∞ 𝑠→0 𝑠→0 1 + 𝑇𝑠
𝐾 𝐾 𝐾
𝑐̇ (𝑡) = 𝑙𝑖𝑚+ 𝑐̇ (𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠[𝑠𝐶(𝑠) − 𝑐(0+ )] = 𝑙𝑖𝑚 𝑠 [𝑠 − ]=− 2 (5)
𝑡→0 𝑠→∞ 𝑠→∞ 1 + 𝑇𝑠 𝑇 𝑇
2
𝐺(𝑠) = (6)
𝑠+3
2/3
𝐺(𝑠) = (7)
1
3𝑠 +1
2
𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎: 𝐾 =
3
1
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜: 𝑇 =
3
2 𝑡
𝑡 −1
𝐾 −
- Respuesta o salida temporal: 𝑐(𝑡) = 𝑇 𝑒 𝑇 3
= 𝑒
1 3 = 2𝑒 −3𝑡
3
𝐾 2/3
- Valor inicial: = 1/3 = 2
𝑇
- Valor final: 0
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2
𝐾 3
- Pendiente: − 𝑇 2 = − 1 2
= −6
( )
3
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Ilustración 5, modelo en Simulink de la respuesta al impulso.
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Respuesta ante entrada escalón
La salida temporal del sistema de primer orden ante una entrada escalón unidad es:
𝐾 −
𝑡 𝑐(0+ ) = 0
𝑐(𝑡) = ℒ −1 [𝐶(𝑠)] = ℒ −1 [ ] = 𝐾 (1 − 𝑒 𝑇 ) ⟹ { (8)
𝑠(1 + 𝑇𝑠) 𝑐(∞) = 𝐾
Donde se han calculado los valores inicial y final de dicha salida. La pendiente inicial de
la curva es:
𝑑𝑐(𝑡) 𝐾 − 𝑡 𝐾
𝑐̇ (𝑡) = = 𝑒 𝑇 ⟹ 𝑐̇ (0+ ) = (9)
𝑑𝑡 𝑇 𝑇
Estas líneas pueden usarse como referencias para dibujar la respuesta de un sistema a
mano alzada. Por tanto, el valor de la respuesta en régimen permanente coincide con la
ganancia estática 𝐾. Cuanto menor sea la constante de tiempo 𝑇 más rápidamente tiende
la respuesta del sistema a su valor en régimen permanente. La constante de tiempo da
una idea de la duración del régimen transitorio del sistema. Aproximadamente la salida
llega al 62 % del régimen permanente en el instante de tiempo igual a la constante de
tiempo del sistema:
𝑐(𝑇) ≈ 0.62𝐾
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Ilustración 8, respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada escalón.
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Ilustración 10, gráficos obtenidos al simular la respuesta de distintos sistemas de primer orden ante la entrada
escalón unitario, variando la constante de tiempo.
Como se aprecia en la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 10, todas las curvas tienen por valor final, o régimen
permanente, igual a la ganancia estática 𝐾, en este caso 𝐾 = 2/3, variando la velocidad
con la cual se aproximan a dicho valor, mientras menor sea el valor de 𝑇, con mayor
velocidad la respuesta llegará a su régimen permanente.
Un sistema de segundo orden es aquel que posee dos polos. Este tipo se sistemas se
suele representar de la siguiente forma:
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La constante 𝐾 es la ganancia estática del sistema, 𝜁 es el amortiguamiento y 𝜔𝑛 es la
frecuencia natural. Dependiendo del carácter de los polos, el sistema de segundo orden
puede ser:
𝑝1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 √1 − 𝜁 2 𝑗 = −𝜎 ± 𝜔𝑑 𝑗 ( 10 )
𝑝1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 √𝜁 2 − 1 ( 11 )
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Cualquiera que sea el amortiguamiento del sistema, existen tres puntos clave de la
respuesta temporal que siempre cumplen los sistemas de segundo orden ante una
entrada escalón unidad:
𝐾𝜔𝑛2
𝑐(0+ ) = 𝑙𝑖𝑚+ 𝑐(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝐶(𝑠) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠 =0 ( 13 )
𝑡→0 𝑠→∞ 𝑠→∞ (𝑠 2 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2 )𝑠
𝐾𝜔𝑛2 ( 14 )
𝑐(∞) = 𝑙𝑖𝑚 𝑐(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝐶(𝑠) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠 2 2 )𝑠 = 𝐾
𝑡→∞ 𝑠→0 𝑠→0 (𝑠 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛
𝑝1,2 = ±𝑗𝜔𝑛 ( 16 )
En este último caso no existe ningún valor de régimen permanente ante entrada
escalón unidad.
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Respuesta subamortiguada ante entrada escalón
𝑒 −𝜎𝑡
𝑐(𝑡) = 𝐾[1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑 𝑡 + 𝜙] ( 17 )
√1 − 𝜁 2
4
𝐺(𝑠) = ( 18 )
𝑠2 + 0.75𝑠 + 4
ωn = 2
𝜁 = 0.1875
𝐾=1
σ = 0.375
ωd = 1.964
De la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 12 se deduce:
ωd 1.964
𝑡𝑔(𝜙) = =
σ 0.375
𝜙 = 0.439𝜋
e−0.375t
c(t) = 1 − sen(1.964t + 0.439𝜋)
√1 − 0.18752
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El sistema modelado en Simulink se muestra en la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 13. En la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 14
se muestra la respuesta del sistema ante una entrada de escalón unitario. En la
𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 15 se muestra el grafico de la respuesta temporal del sistema
Ilustración 13, modelo en Simulink de un sistema de segundo orden subamortiguado ante una entrada escalón.
Ilustración 14, respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.
Ilustración 15, gráfico de la respuesta temporal de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón,
utilizando geogebra
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Existen varios puntos clave en la respuesta temporal. El primero es el tiempo de
levantamiento 𝑡𝑟 , es el instante en el que la salida pasa por primera vez por el valor de
su régimen permanente.
𝜋−𝜙
𝑡𝑟 = ( 19 )
𝜔𝑑
𝜋
𝑡𝑝 = ( 20 )
𝜔𝑑
−𝜋𝜁 −𝜋
𝑐(𝑡𝑝 ) − 𝑐(∞) 2
𝑀𝑝 = = 𝑒 √1−𝜁 = 𝑒 𝑡𝑎𝑛𝜙 ( 21 )
𝑐(∞)
4 4
𝑡𝑠 (2%) ≈ =
𝜁𝜔𝑛 𝜎
3 3
𝑡𝑠 (5%) ≈ =
𝜁𝜔𝑛 𝜎
En los sistemas de control no es deseable que exista una respuesta con mucho
sobreimpulso ni muy oscilatoria. Se suele buscar que el sistema controlado posea un
sobreimpulso entre el 0% y el 20% con el menor tiempo de establecimiento posible.
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Respuesta sobreamortiguada ante entrada escalón
𝜔𝑛 𝑒 −𝑝1 𝑡 𝑒 −𝑝2 𝑡
𝑐(𝑡) = 𝐾 [1 + ( − )] ( 22 )
2√𝜁 2 − 1 𝑝1 𝑝2
4
𝐺(𝑠) = ( 23 )
𝑠 2 + 5𝑠 + 4
ωn = 2
𝜁 = 1.25
𝐾=1
𝑝1 = −1
𝑝2 = −4
4 e−4t
c(t) = 1 + (e−t − )
3 4
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Ilustración 16, respuesta de un sistema de segundo orden sobreamortiguado ante una entrada escalón.
Ilustración 17, gráfico de la respuesta temporal de un sistema de segundo orden sobreamortiguado ante una entrada
escalón, utilizando geogebra
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Ilustración 18, respuesta de un sistema de segundo orden.
25
𝐺(𝑠) = ( 25 )
𝑠2 + 10𝑠 + 25
ωn = 5
𝜁=1
𝐾=1
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La respuesta temporal es:
Ilustración 19, respuesta de un sistema de segundo orden críticamente amortiguado ante una entrada escalón.
Ilustración 20, gráfico de la respuesta temporal de un sistema de segundo orden críticamente amortiguado ante una
entrada escalón, utilizando geogebra
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Influencia de los ceros
Los ceros del sistema son las raíces del numerador de la función de transferencia. La
presencia de ceros en la función de transferencia, modifica la respuesta que se podría
esperar del sistema atendiendo a la posición de los polos. Se va a mostrar la con el
ejemplo de la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 21. La presencia de un cero real negativo hace el efecto
contrario a un polo, es decir, adelanta la respuesta temporal en lugar de retrasarla.
Además, modifica las condiciones iniciales de la respuesta temporal. Si el sistema tenía
dos polos, la pendiente inicial del sistema pasa de ser nula a no nula. Si el sistema tenía
tres polos, la derivada segunda en el instante inicial pasa de ser nula a no nula. Y así
sucesivamente. En el caso concreto de sistema de segundo orden con cero, como es el
caso de este ejemplo, se puede calcular la pendiente inicial de forma sencilla:
𝐾𝜔𝑛2 (𝑠 + 𝑧) 𝐾𝜔𝑛2
𝑐̇ (0+ ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠[𝑠𝐶(𝑠) − 𝑐(0+ )] = 𝑙𝑖𝑚 𝑠 [𝑠 − 0] = ( 26 )
𝑠→∞ 𝑠→∞ 𝑧(𝑠 2 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2 )𝑠 𝑧
Por tanto, conforme el cero esta más cerca del origen mayor es el valor de la pendiente
inicial.
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Otro efecto muy interesante que se puede dar en un sistema es la cancelación de un
polo con un cero. Esto ocurre en el ejemplo de la 𝐼𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 21 cuando 𝑧 toma el valor
1. En ese caso, el sistema disminuye su orden en una unidad y pasa de ser de orden dos
a ser de orden uno. Se puede comprobar que la respuesta temporal en ese caso es
efectivamente una exponencial con constante de tiempo igual a la que fija el polo que
permanece en el sistema. En la práctica, para cancelar un polo con un cero no es
necesario que ambos se encuentren exactamente en la misma posición. Basta con que
estén muy próximos para que el efecto de uno se anule con el del otro.
Los sistemas de fase no mínima son aquellos que poseen un cero real positivo. La
respuesta temporal de este tipo de sistemas tiene la característica de que comienza
evolucionando en la dirección contraria al valor en régimen permanente. A continuación
se presenta un ejemplo definido por la 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 27.
3(1 − 𝑠)
𝐺(𝑠) = ( 27 )
𝑠2 + 4𝑠 + 3
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Conclusión
En esta semana se comprendió la manera de obtener la respuesta temporal de un
sistema ante entradas de tipo escalón e impulso. Analizando sus parámetros se logró
clasificar los tipos de respuestas en sistemas continuos de primer y segundo orden. Con
los conocimientos adquiridos es posible configurar un sistema en específico, según la
respuesta deseada, así como obtener el modelo matemático de una planta en estudio, y
de este modo simular su funcionamiento óptimo.
La teoría de control es la acción o el efecto de poder decidir sobre el desarrollo de un
proceso o sistema, y con la ayuda de herramientas de simulación podemos visualizar
estos efectos sin necesitada de intervenir el sistema, logrando tomar mejores decisiones,
optimizando los costos en una industria.
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Bibliografía
Bordóns, C., Ruiz, M., & Limón, D.. (2001). Teoría de sistemas. Sevilla: Universidad de
Sevilla.
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