Mathematics">
FDP Volumen 2
FDP Volumen 2
FDP Volumen 2
UNIDAD Nº 1
Álgebra Digital y Conceptos Básicos
www.iplacex.cl
SEMANA 2
Desarrollo
Retomando la definición presentada en el apunte de la semana anterior: "una
función booleana es una relación entre múltiples entradas binarias, las cuales tiene
como salida una variable binaria". Por ejemplo, el bloque de la Figura 1, tiene
entradas binarias: "a", "b" y "c"; y de salida del sistema la variable binaria "z". Esta
variable, al ser binaria, tiene valores “0” o “1” según los valores que tengan las
entradas.
a
Función
b z
Booleana
c
Adicionalmente, para que una función booleana sea definida como tal, la
salida debe tener valores establecidos para todas las combinaciones posibles de sus
entradas. Como ya se mencionó, una función booleana de 𝑛 entradas, debe estar
definida para sus 2𝑛 combinaciones.
2 www.iplacex.cl
Figura 2: Operadores booleanos típicos.
Una forma muy útil para describir funciones booleanas es por medio de las
denominadas “Tablas de Verdad”. Estas tablas de verdad expresan los valores que
adquiere la salida de una función booleana frente a todas las combinaciones
posibles de sus entradas.
Función NOT.
x1 𝑍
1 0
0 1
Función OR
3 www.iplacex.cl
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Función AND
x1 x2 𝑍
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Según muestra su tabla de verdad, la función AND adquiere valor “1” sólo
cuando ambas entradas tienen valor “1”.En todas las demás combinaciones se tiene
que 𝑍 = 0.
Función NOR
x1 x2 𝑍
4 www.iplacex.cl
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Función NAND
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Función XOR
5 www.iplacex.cl
x1 x2 𝑍
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Función XNOR
x1 x2 𝑍
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Según muestra su tabla de verdad, la función XOR entrega valor “1” cuando
ambas entradas tienen el mismo valor “1” o “0”.Esta función esquivalente a la
interconexión de una función NOT a la salida de una función XOR, según muestra la
Figura 5.
6 www.iplacex.cl
ÁLGEBRA DE BOOLE PARA SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES.
Operación OR “+”
𝑥1 + 𝑥2
𝑥1 𝑥2 𝑧 = 𝑥1 + 𝑥2
0 0 0+0= 0
0 1 0+1= 1
1 0 1+0= 1
1 1 1+1= 1
𝑥1 𝑥2 𝑧 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2
0 0 0⋅0=0
7 www.iplacex.cl
0 1 0⋅1=0
1 0 1⋅0=0
1 1 1⋅1=1
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐
Luego, la tabla de verdad para funciones OR y AND para tres o más entradas
se extrapola a partir del caso de dos entradas.
Para una función AND de 𝑛 entradas, su salida adquiere valor “1” sólo cuando
todas las entradas tienen valor “1”. Si esto no ocurre, la salida adquiere valor “0”.
Las tablas de verdad de funciones OR y AND para 3 entradas se muestran unidas a
continuación
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎+𝑏+𝑐 𝑎⋅𝑏⋅𝑐
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
8 www.iplacex.cl
0 1 0 1 0
1 0 0 1 0
0 1 1 1 0
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
1. Identidad: Cada operación (OR y AND) cuenta con un número denominado “neutro”.
Para el caso de la compuerta OR note que cuando una de las entradas es igual a 0
la salida es igual al valor de la entrada restante.
Por otro lado, el neutro para la compuerta AND es igual a 1, ya que de esta forma si
la entrada restante es igual a cero la salida es cero, pero si la entrada es igual a 1 la
salida es 1 (¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.).
𝑎+0=𝑎
𝑎∙1=𝑎
𝑎 + (𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑏 ∙ 𝑐) + 𝑎 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑐)
𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑐) ⋅ 𝑎 = (𝑎 ∙ 𝑏) + (𝑎 ∙ 𝑐)
𝑎 ∙ 𝑎′ = 0
1+0=1
1∙0=0
10 www.iplacex.cl
Considerando que toda función booleana se puede escribir como una expresión,
considere dos expresiones booleanas generales 𝑋, 𝑌:
1. Igualdad: Dos expresiones 𝑋, 𝑌 son iguales si tienen la misma salida para todas sus
entradas.
2. Identidad: Considere una expresión booleana general 𝑋. Al aplicar la operación OR
con 0 se obtiene la misma expresión. De forma análoga, al aplicar la operación AND
con 1 se obtiene X:
𝑋+0=𝑋
𝑋∙1=𝑋
𝑋∙0=0
𝑋∙𝑋 =𝑋
𝑋 ∙ 𝑋′ = 0
𝑋∙𝑌 =𝑌∙𝑋
11 www.iplacex.cl
(𝑋 ∙ 𝑌) ∙ 𝑍 = 𝑋 ∙ (𝑌 ∙ 𝑍)
𝑋 + (𝑌 ∙ 𝑍) = (𝑋 + 𝑌) ∙ (𝑋 + 𝑍)
(𝑋 ∙ 𝑌 ∙ … )′ = 𝑋 ′ + 𝑌 ′ +. ..
EJEMPLO
𝑍 = 𝑋 ′ ⋅ 𝑌 ′ = (𝑎 + 𝑏)′ ⋅ (𝑐 ⋅ 𝑑 + 𝑒)′
𝑍 = 𝑎′ ⋅ 𝑏 ′ ⋅ 𝑒 ′ ⋅ 𝑐′ + 𝑎′ ⋅ 𝑏 ′ ⋅ 𝑒 ′ ⋅ 𝑑 ′
12 www.iplacex.cl
13 www.iplacex.cl