Introducción A La Derivada
Introducción A La Derivada
Introducción A La Derivada
ituir x por c. x c
Las funciones con este buen comportamiento son continuas en c. En la sección 1.4 se
examinará con más detalle este concepto.
DEMOSTRACIÓN Para comprobar la propiedad 2 del teorema 1.1, es necesario demostrar que
Figura 1.16
para todo 0 existe un 0 tal que x c siempre que 0 x c . Para lograrlo, elegir . Entonces,
la segunda desigualdad lleva implícita a la primera, como se muestra en la figura 1.16. Con
NOTA Cuando se tengan nuevas esto se realiza la comprobación. (Las comprobaciones de las demás propiedades de los
notaciones o símbolos en matemáticas, límites de esta sección se encuentran en el apéndice A o se analizan en los ejercicios.)
hay que cerciorarse de conocer cómo se
leen. Por ejemplo, el límite del ejemplo
1c se lee “el límite de x2 cuando x se
aproxima a 2 es 4”. EJEMPLO 1 Evaluación de límites básicos
Propiedades de los
límites a) lím 3 3 b) lím x 4 c) lím x2 22 4
En la sección 1.2 se vio que el límite x2 x 4 x2
422 3 Ejemplo 1.
19 Simplificar.
lím p x p2 4 22 3 19.
x2
Esta propiedad de sustitución directa es válida para todas las funciones polinomiales y
racionales cuyos denominadores no se anulen en el punto considerado.
lím px pc.
xc
Si r es una función racional dada por r(x) p(x) q(x) y c un número real tal que q(c) NJ
0, entonces
pc
xlímc rx rc c.
q
EJEMPLO 3 Límite de una función racional
lím n x n c x c
lím f g x f lím g x f L .
xc xc
a) Puesto que
lím x2 4 02 4 4 y x 0 lím x 4 = 2 x 4
se sigue que
lím x2 4 4 2. x 0
b) Puesto que
lím 3 2x2 10 3 8 2. y x3
Se ha visto que los límites de muchas funciones algebraicas se pueden calcular por
medio de la sustitución directa. Las seis funciones trigonométricas básicas también cuentan
con esta deseable propiedad, como se muestra en el siguiente teorema (presentado sin
demostración).
teorema siguiente, permite desarrollar una estrategia para calcular límites. Ver la
demostración de este teorema en el apéndice A.
TEOREMA 1.7 FUNCIONES QUE COINCIDEN EN TODO SALVO EN UN
PUNTO
Sea c un número real y f(x) g(x) para todo x c en un intervalo abierto que contiene
a c. Si existe el límite de g(x) cuando x se aproxima a c, entonces también existe el
límite de f(x) y
lím f x lím g x .
xc xc
x3 1
lím .
Encontrar el límite: x 1 x 1
Solución Sea f(x) (x3 1) (x 1). Al factorizar y cancelar factores, f se puede escribir
como
fx x2 x 1 gx, x 1.
De tal modo, para todos los valores de x distintos de x 1, las funciones f y g coinciden,
como se muestra en la figura 1.17. Puesto que el lím g(x) existe, se puede aplicar el teorema
f y g coinciden salvo en un punto x1
x3 1 x
1 x2 x 1 lím
AYUDA DE ESTUDIO Cuando se aplique
esta estrategia al cálculo de límites, lím
recordar que algunas funciones no Factorizar.
tienen límite (cuando x se aproxima a x1x 1 x1
c). Por ejemplo, el siguiente límite no
x 1 lím Cancelar factores idénticos o factores comunes.
existe lím 3 .x 1x
x1
1
lím x2 x 1 Aplicar el teorema 1.7.
Una estrategia para el x1
4. x2
Utilizar una gráfica o una tabla para respaldar la conclusión. x 6
Encontrar el límite: lím . x3
x3
Solución Aunque se trata del límite de una función racional, no se puede aplicar el teorema
1.3 debido a que el límite del denominador es 0.
lím x2 x 6 0
x 3
CONFUSIÓN fx ygxx2x 3
TECNOLÓGICA Puesto que
las gráficas de difieren sólo en el punto ( 3, 5), la configuración normal de una herramienta de
graficación podría no distinguir entre ellas. No obstante, debido a la configuración de
x2 x 6 puntos (“pixeles”) y a los errores de redondeo, quizá sea posible encontrar
configuraciones de pantalla que distingan las gráficas. De manera específica, aplicando
el zoom repetidas veces cerca del punto ( 3, 5) en la gráfica de f, la herramienta de
graficación podría mostrar fallas o irregularidades que no existen en la gráfica real (ver
la figura 1.19). Si se modifica la configuración de pantalla, podría obtenerse la gráfica
correcta de f.
EJEMPLO 8 Técnica de racionalización
lím
x
1
1
0
x0
Ahora, cuando se emplea el teorema 1.7, se puede evaluar el límite como se muestra a
continuación:
1
lím lím
x0 x x0 x 1 1
NOTA La técnica de racionalización en el cálculo de límites se basa en multiplicar por una forma
conveniente de 1. En el ejemplo 8, la forma apropiada es
1 x 1 1.
x 1 1
lím h x L lím g x
xc xc
En la demostración del teorema 1.9 se aprecia la utilidad del teorema del encaje (también
se le llama teorema del emparedado o del pellizco).
TEOREMA 1.9 DOS LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES
x 1 cos x
1. lím 1 2. lím 0 sen
x0 x x0 x
DEMOSTRACIÓN Con el fin de evitar la confusión entre dos usos distintos de x, se presenta la
demostración utilizando la variable , donde denota un ángulo agudo positivo medido en
radianes. En la figura 1.22 se muestra un sector circular encajado o emparedado entre dos
triángulos.
sen
1 1 1
Área del triángulo Área del sector Área del
triángulo
tan sen
x 2 2 2
s
e
n
c
o
s
1
.
El límite de g(x) cuando x se aproxima a 0 es 4
Puesto que cos cos ( ) y (sen ) Figura 1.24
[sen ( )] ( ), se concluye que esta EJEMPLO 9 Un límite en el que interviene una función trigonométrica
0 0
cluir que lím (sen ) 1. La demostración del segundo límite se deja como ejercicio
para
0
se puede obtener
tan 1
lím x lím0 sen x x
lím cos x
El límite de f(x) cuando x se x0 x x x0
aproxima a 0 es 1 11
Figura 1.23 1.
(Ver la figura 1.23.)
x
sen 4
Encontrar el límite: lím .
x0 x
Ejercicios
x x
En los ejercicios 1 a 4, utilizar una herramienta de graficación 35. lím tan 36. lím sec para representar la función
x 3 4 x76
y estimar los límites de manera visual. En los ejercicios 37 a 40, utilizar la información que se expone
1. h x –x2 4x 12 x x 3 37. para evaluar los límites.
9
2. g x lím g x x
a) lím h x x lím f x 3 x
4 4 c
a)
b) lím h x x lím g x x lím g x 2
1 x c
b) 0 4
3. f x x cos x a) lím 5g x
4. f t tt x c
a) lím f x x
0 a) lím f t t b) lím f x
x c
4
b) lím f x x b) d) lím
3 lím f t c) lím f x g x x
t 1
cf x g x En los ejercicios 5 a 22, calcular el
x 4x x cg x
x0 x0 límite.
s 3 6. lím x4 39. x límc f x 4
e 5. lím x
n x 2 x 2 3
y
7. lím 2x 1 8. lím 3x 2 a) xlímc fx
x 0 x 3
í
m 11. lím 2x2 4x 1 12. lím 3x3 2x2 4 c) xlímc 3f x
y x 3 x 1
0 d) lím f x 3 2
y 13. lím x 1 14. lím 3 x 4 x c
lím g x
x c
A
p a) lím 4f x
x c
l
i b) lím f x gx
x c
68 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades
c) lím f x g x x fx
c
b) lím x c 18
c) lím f x 2
fx x c
d) lím xcg x
d) lím f x 2 3 x c
40. lím f x 27 x c
a) lím f x x c
x 4 x 0 límite
(si existe) de manera visual. Escribir una función más simple 1 2 que coincida con la dada, salvo en un punto.
En los b) lím g x x
17. lím 18. xlím3 x 2 x 2 x 1
ejercicios 27
23. fx 5 x, g x x3
a) lím f x b) lím g x c) lím g f x x 1 x 4 x 1
24. fx x 7, g x x2
a) lím f x b) lím g x c) lím g f x x 3 x 4 x 3 b) lím h x
x 1
25. fx 4 x2, g x x 1
b) lím f x x
0
a) xlím1 f x b) xlím3 g x c) xlím1 g f x 43.
26. fx 2x2 3x 1, g x 3x 6
a) lím f x b) lím g x c) lím g f x x 4 x 21 x 4 b) lím g x
SECCIÓN 1.3 Cálculo analítico de límites 69
En los ejercicios 45 a 48, encontrar el límite de la función (si En los ejercicios 65 a 76, determinar el límite (si existe) de la
existe). Escribir una función más simple que coincida con la dada función trigonométrica.
salvo en un punto. Utilizar una herramienta de graficación para sen 3 1 cos
confirmar el resultado. x 66. lím xx
65. lím x x 0
0
x2 1 2x2 x 3
5x
45. lím 46. lím 67.
xx 1 x 1 lím sen x 1x2 cos x 68. lím0 cos tan
x 0
x3
1 47. lím 48. lím lím lím 69.
x 2x 2 x 1x 1 x 0 x x x0
x 3x
50. l m Ó
x 0x 0
tan2 x
55. lím 56. lím 70. t 0 2t
x 4x
x
57. lím 58. lím
x 0x 0 x
1 2 x 12 x5 32 x
79. lím 80. lím sen
x 0 x x 2x 2 f x
x
t cos x ,
81. límt0 sen 3t 82. xlím0 2 x2
g
1 x
s
e
n
83. xlím0 sen xx2 84. xlím0 sen 3 xx
x
x
fx x fx ,
En los ejercicios 85 a 88, encontrar lím . x0 x y
h
85. f x 3x 2 x
x
86. f x
en la misma ventana. Comparar las magnitudes de f(x) y g(x)
fx x 3 cuando x se acerca a 0. Utilizar la comparación para escribir un
88. f x x2 4x breve párrafo en el que se explique por qué
87.
lím h x 1. x 0
102. Redacción Utilizar una herramienta de
graficación para representar
En los ejercicios 89 y 90, utilizar el teorema del encaje para
calcular lím f x . x c 2x y hx sen2 x fx x, gx sen x
en la misma ventana. Comparar las magnitudes de f(x) y g(x)
89. c 0
cuando x se acerca a 0. Utilizar la comparación para escribir un
4 x2 fx 4 x2 breve párrafo en el que se explique por qué lím h(x) 0.
x 0
90. c a
b x a fx b x a Objeto en caída libre En los ejercicios 103 y 104, utilizar la función
de posición s(t) 16 t2 500, que da la altura (en pies) de un objeto
En los ejercicios 91 a 96, utilizar una herramienta de graficación que lleva cayendo t segundos desde una altura de 500 pies. La
para representar la función dada y las ecuaciones y | x | y y | x | velocidad en el instante t a segundos está dada por sa st lím
en una misma ventana. Usando las gráficas para visualizar el . taa t
teorema del encaje, calcular lím f(x). x0
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 117 a 122, determinar si la diante concluye que el límite, y no 1, era 0.01745. Determinar
afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa explicar por qué o la probable causa del error.
proporcionar un ejemplo que lo demuestre.
x
117. lím 1x 0x
x
sen
118. lím 1x x
x2
121. lím f x 3, donde f x 3, x2 0, x>2
122. Si f x < g x para todas las x a, entonces lím f x < lím g x .
x a x a