MATEMÁTICAS CCSS 1º DE BACHILLERATO ECUACIONES

Identidades Notables

 (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
 (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab
 (a + b)(a − b) = a2 − b2

Ecuaciones
Ecuaciones de Primer Grado

Para resolverlas:

 Eliminamos denominadores calculando previamente el m.cm

 Eliminamos paréntesis.
 Agrupamos los términos x en un lado de la igualdad y los términos independientes en
el otro.
 Operamos y calculamos la solución de la ecuación.

Ejemplo:
2𝑥−5 3𝑥−6 4𝑥−7
 1− + =2−
3 4 12

 Calculamos el m.c.m. En nuestro caso m.c.m(3,4,12) = 12

12 4(2𝑥−5) 3(3𝑥−6) 24 (4𝑥−7)
 12
− 12
+ 12 = 12 − 12

 Eliminamos los denominadores

 12 – 4(2x-5) + 3(3x-6) = 24 - (4x-7)
 Eliminamos los paréntesis.
 12-8x+20+9x-18 =24-4x+7
 Agrupamos los términos x en un lado de la igualdad y los términos independientes en
el otro.
 -8x+9x+4x=24+7-12-20+18
 5x=17
17
 x=
5
Ejercicios Propuestos

 2  2
a)  3x   3x    4  3x  52 
5
Solución: x=1
 3  3 9
1 1 3 27
b) (𝑥 − ) (𝑥 + ) − 7 = (𝑥 − 1)2 − Solución: x =
2 2 2 8

5(𝑥−4) 3−𝑥 114

c) 6 − =2− Solución: x=
4 6 17

2𝑥 𝑥 7 𝑥 3𝑥 110
d) 3
− (5 − 3
) = − 2
(5 − 𝑥 − 6) Solución: x = -
13
3
5𝑥−1 4𝑥− 6
2
e) 4
− 6𝑥 = 2
− (5𝑥 − 2) Solución: x = -
7
Ecuaciones de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado tiene la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Cuando tenemos una ecuación de segundo grado completa, las soluciones serán de la
−b±√b2 −4ac
siguiente forma : x = 2a

Ecuaciones de Segundo Grado Incompletas

ax 2 + bx = 0 → Se resuelven sacando factor común
ax 2 + c = 0 → Se resuelven despejando directamente la incógnita

Ejercicios Propuestos

−3
a) (𝑥 − 2)2 + (𝑥 + 4)(𝑥 − 2) = 2 − 3(𝑥 + 1) Solución: x = 1 y x =
2
3x 2  1 1  2 1  x2  5
b)   x  2  x  Solución: x= 0 y x=1/4
4 2 2  4
c) 0.5x  12  0.25x  12  4  x Solución: x= -3 y x=5
𝑥(𝑥−1) (𝑥−6)2 (𝑥+2)2 (3𝑥−2)(3𝑥−4)
d) 15
+ 5
+ 3
= 15
Solución: x= -120

Ecuaciones Bicuadradas

Son las ecuaciones de cuarto grado que tienen la siguiente forma: 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 = 0

Como se trata de una ecuación de 4º grado, como máximo tendrá 4 soluciones.

Para resolverlas:

 Hacemos un cambio de variable z = 𝑥 2

 Resolvemos la ecuación de segundo grado.
 Deshacemos el cambio

Ejemplo x 4  3x 2  2  0
 Realizamos el cambio de variable z = 𝑥 2

z 2  3z  2  0
 Resolvemos la ecuación de 2ºGrado
𝑧 = −1
z 2  3z  2  0 → z = −3±√9−8 ={
2 𝑧 = −2
 Deshacemos el cambio
−2 = 𝑥 2 → 𝑥 = ±√−2
z = 𝑥2 → { → no existe solución real ya que se trata de una raíz
−1 = 𝑥 2 → 𝑥 = ±√−1
de un número negativo. Por lo tanto nuestra ecuación no tiene solución
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Ejercicios Propuestos

a) 3𝑥 4 − 60𝑥 2 + 192 = 0 Solución: 𝑥1 = −4, 𝑥2 = −2, 𝑥3 = 2 𝑦 𝑥4 = 4

8
b) 𝑥2
= 𝑥2 − 2 Solución: 𝑥1 = −2 𝑦 𝑥2 = 2
1 1
c) 8𝑥 4 + 14𝑥 2 − 4 = 0 Solución: 𝑥1 = − 𝑦 𝑥2 =
2 2
4 3
d) 2(𝑥 + 1) − 8(𝑥 + 3) = −8 + 8𝑥 Solución: 𝑥1 = −, 𝑥2 = 1

Ecuaciones Polinómicas de grado superior a dos

Para resolverlas:
 Igualamos el polinomio a cero p(x)=0
 Siempre que no tengamos término independiente, lo que haremos es extraer factor
común.
 Aplicamos la regla de Ruffini
 Las dos últimas raíces las calcularemos mediante la ecuación de 2ºGrado.

Ejemplo x 4  5x 3  5x 2  5x  6  0 Solución: x=-1, x=1 , x=2 y x=3

 Igualamos el polinomio a cero p(x)=0

En nuestro caso, la ecuación está igualada a cero.
 NO podremos extraer factor común debido a que tenemos término independiente (-6)
 Aplicamos la regla de Ruffini

 Las dos últimas raíces las calcularemos mediante la ecuación de 2ºGrado.

5±√25−24 𝑥1 = 2
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 → 𝑥 = ={
2 𝑥2 = 3

𝑥1 = −1
𝑥 =1
 Por lo tanto las 4 soluciones serán: { 2
𝑥3 = 2
𝑥4 = 3
Ejercicios Propuestos

a) 3𝑥 3 − 18𝑥 2 + 27𝑥 − 12 = 0 Solución: 𝑥1 = 1 𝑦 𝑥2 = 4

−3 1
b) 16𝑥 4 + 20𝑥 3 − 34𝑥 2 − 14𝑥 + 12 = 0 Solución: 𝑥1 = −2, 𝑥2 = , 𝑥3 = 𝑦 𝑥4 = 1
4 2

c) 2(𝑥 + 1)4 − 8𝑥 3 = 8(𝑥 + 3) − 8 Solución: 𝑥1 = −1 𝑦 𝑥2 = 1

26 22 10 2
d) 2𝑥 4 − 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥=4 Solución: 𝑥1 = − , 𝑥2 = 1 𝑦 𝑥4 = 3
3 3 3 3
2 (𝑥
e) 5𝑥 + 1) = 5𝑥(𝑥 + 1) Solución: 𝑥1 = −1, 𝑥2 = 0 𝑦 𝑥3 = 1
−3 1
f) 𝑥 2 (𝑥 4 + 𝑥 2 ) = 2𝑥 3 (𝑥 2 + 1) Solución: 𝑥1 = −2, 𝑥2 = , 𝑥3 = 𝑦 𝑥4 = 1
4 2

Ecuaciones Racionales

Son aquellas en la que la incógnita aparece en fracciones algebraicas

Para resolverlas:
 Eliminamos los denominadores multiplicando los dos miembros por el m.c.m y
resolvemos la ecuación polinómica obtenida.
 Comprobación de la solución. Nunca será solución aquellos valores que anulen el
denominador.

2𝑥 6 18
Ejemplo − =
𝑥−3 𝑥 𝑥 2 −3𝑥

Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores

m.c.m (x-3, x,𝑥 2 − 3𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥

Multiplicamos todos los numeradores por el m.c.m

2𝑥(𝑥) 6(𝑥 − 3) 18(1)
− = 2
𝑥−3 𝑥 𝑥 − 3𝑥
Se opera y se resuelve la ecuación polinómica obtenida:
2𝑥 2 − 6𝑥 + 18 = 18 → 2𝑥 2 − 6𝑥 = 0

Como no tenemos término independiente sacamos factor común

𝑥=0
𝑥(2𝑥 − 6) = 0 → {
2𝑥 − 6 = 0 → 𝑥 = 3

Comprobación: Sustituimos las posibles soluciones en la ecuación inicial y observamos que

tanto para x=0 y para x= 3 , el denominador se anula, Por lo tanto esta ecuación no tendría
solución.
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Ejercicios Propuestos

x2 x2 x 1
a)   Solución: x= -3
x  1 x  1x  2 2  x
x 1 x 1
b)   3 0 Solución: x= 2
x 2
x 1 x  x2
𝑥 𝑥−1 𝑥 2 +1
c) + 𝑥+1 = Solución: x=0 (si) y x=1 (No)
𝑥−1 𝑥 2 −1
3 4 1 8
d) + 2𝑥 2 −4𝑥 = 2𝑥−4 Solución: x= (si)
𝑥 5

𝑥−1 2𝑥−2 5𝑥−5

e) − 𝑥 2 +3𝑥 = 𝑥 2 +𝑥−6 Solución: x=1 (si) y x=2 (No)
𝑥−2
𝑥+1 2𝑥+1 3 9
f) + =2 Solución: x= (No) y x= 4 (Si)
3𝑥−2 𝑥+5 5

𝑥+4 1−2𝑥
g) − 𝑥 2 −𝑥−6 = 0 Solución: x= -1(Si ) y x= -7 (No)
𝑥−3
1 1 1 1
h) + x+b = x2 −b2 Solución: x= (Si)
x−b 2

2 2−𝑥
i) − 𝑥+3 = 1 Solución: No existe solución
𝑥
𝑥 𝑥−1 3 4
j) + 𝑥+2 = 𝑥−2 − 2 Solución: x=- y x=3
𝑥 2 −4 3

Ecuaciones Irracionales (Con radicales)

Las ecuaciones irracionales son aquellas en la que la incógnita aparece bajo signos radicales.

Para resolverlas:
 Aislamos una de las raíces.
 Elevamos ambos lados de la ecuación al orden de nuestra raíz.

Importante: Debemos comprobar si las soluciones obtenidas son correctas.

Ejemplo: 2x  1 + x4 =6 Solución: x=5 (si) y x= 221 (no)

Aislamos una de las raíces de la ecuación.

2x  1 = 6 - x4

Elevamos los dos miembros de la ecuación al orden de nuestra raíz, en este caso (índice 2),
por eso lo elevaremos al cuadrado.

2
( 2 x  1 )2 = (6 − x  4 ) → 2𝑥 − 1 = 36 + (𝑥 + 4) − 12√𝑥 + 4

Aislamos de nuevo la raíz de la ecuación:

12√𝑥 + 4 = 36 + 𝑥 + 4 − 2𝑥 + 1 → 12√𝑥 + 4 = 41 − 𝑥
Volvemos a elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación.

2
(12√𝑥 + 4) = (41 − 𝑥)2 → 144(𝑥 + 4) = 1681 + 𝑥 2 − 82𝑥

𝑥 2 − 226𝑥 + 1105 = 0 → Resolvemos la ecuación de 2º Grado

𝑥 =5
Las soluciones posibles son: { 1
𝑥2 = 221

Para comprobar que nuestras soluciones son correctas, debemos realizar la comprobación.

Comprobación: 𝑥1 = 5 → 2  5 1 + 5  4 = 6 → √9 + √9 = 6 → 6 = 6 Se cumple
𝑥2 = 221 → 2  221 1 + 221 4 = 6 → √441 + √225 = 6 → 36 ≠ 6 No
se cumple

Por lo tanto, solo tendremos una única solución que será x = 5

Ejercicios propuestos:

a) x + x4 = 2 Solución: x=4

7x  1 5x  7
b) = Solución: x= 5 (si) y x= 8/25 (no)
4 6
c) 2  5x  x 3  0 Solución: x= -2
d)  
x x2 x 0 Solución: x= 0 y x=4 , x= 1( no es)

e) 2  x  4 = 12  x Solución: x= 8 (si) x=13 (no)

2x 1 3
f) = Solución: x= 13/2 (válida)
4 2x  1
x 2
g)   2x Solución: x=+ 2 y x= - 2 (válidas)
2 x
h) x5 + 2x  8 = 7 Solución: x= 4 (si) y x= 284 (no)

Ecuaciones Exponenciales

La incógnita se encuentra en el exponente. Para resolverlas aplicamos la siguiente propiedad:

Si tienen la misma base: igualamos los exponentes  𝑎𝑏 = 𝑎𝑐 → 𝑏 = 𝑐

Propiedades
 Producto: nos encontramos con una suma de exponentes ponemos el producto  𝑎𝑏+𝑐 = 𝑎𝑏 · 𝑎𝑐
 Cociente: nos aparece una resta de exponentes, ponemos el cociente 𝑎𝑏−𝑐 = 𝑎𝑏 : 𝑎𝑐
 Potencia de potencia: nos aparece un producto en el exponente  𝑎𝑏·𝑐 = (𝑎𝑏 )𝑐
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Ecuaciones exponenciales que se reducen a ecuaciones de primer grado

Ejemplos
 2x+1 = 8 → 2x+1 = 23 → x + 1 = 3 → x = 2
Cuando tenemos un solo término en ambos miembros de la ecuación, descomponemos en factores
para conseguir la misma base. Igualamos los exponentes y resolvemos

 2𝑥−1 + 2𝑥 + 2𝑥+1 = 7
2𝑥
 Aplicamos las propiedades de las potencias, para descomponer + 2𝑥 + 2 · 2𝑥 = 7
2
𝑡 𝑡+2𝑡+4𝑡 14
 Realizamos un cambio 2𝑥 = 𝑡 → + 𝑡 + 2𝑡 = 7 → = → 𝑡 + 2𝑡 + 4𝑡 = 14 → 𝑡 = 2
2 2 2

 Deshacemos el cambio 2𝑥 = 𝑡 → 2𝑥 = 2 → 𝑥 = 1

 3𝑥 + 3𝑥−1 + 3𝑥+1 = 117

3𝑥
 Aplicamos las propiedades de las potencias, para descomponer 3𝑥 + + 3 · 3𝑥 = 117
3
𝑡 3𝑡+𝑡+9𝑡 351
 Realizamos un cambio 3𝑥 = 𝑡 → 𝑡 + + 3 · 𝑡 = 117 → = → 13𝑡 = 351 → 𝑡 = 27
3 3 3

 Deshacemos el cambio 3𝑥 = 27 → 3𝑥 = 33 → 𝑥 = 3

Ecuaciones exponenciales que se reducen a ecuaciones de segundo grado

Ejemplos

 2x+3 + 4x+1 − 320 = 0

 Aplicamos las propiedades de las potencias: 2𝑥 · 23 + (22 ) 𝑥+1 − 320 = 0 → 2𝑥 · 23 + (22 )𝑥 ·
22 − 320 = 0 → 2𝑥 · 23 + (2𝑥 )2 · 22 − 320 = 0
 Realizamos el cambio 2𝑥 = 𝑡 → 8𝑡 + 4𝑡 2 − 320 = 0
 Resolvemos la ecuación de segundo grado para obtener los valores de t. Finalmente calculamos
x
𝑥 𝑥 3
4𝑡 2 + 8𝑡 − 320 = 0 → {𝑡 = 8 → 2 = 8 → 2 = 2 → 𝑥 = 3
𝑡 = −10 → 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

 52x − 6 · 5x + 5 = 0
 (5x )2 − 6 · 5x + 5 = 0
 Realizamos el cambio 5𝑥 = 𝑡 → 𝑡 2 − 6𝑡 + 5 = 0
𝑡=5
 Resolvemos la ecuación de segundo grado: 𝑡 2 − 6𝑡 + 5 = 0 → {
𝑡=1
5𝑥 = 5 → 𝑥 = 1
 Deshacemos el cambio: {
5 = 1 = 50 → 𝑥 = 0
𝑥


Ejercicios

17
a) 81 x  23 x 1  Solución: x = -1
16
x 2 5 x  6
b) 7 =1 Solución: x=2 y x=3
c) 9x - 2·3x·9 + 81 = 0 Solución: x=2
d) 4x - 5· 2x +4=0 Solución: x=0 y x=2
e) 4x · 16x =2 Solución: x=1/6
f) 2x · 3x = 216 Solución: x=3
g) 2x+1 + 2x + 2x-1=28 Solución: x = 3
h) 3x+2 + 3x+1 + 3x + 3x-1 = 120 Solución: x = 2
i) 4x + 4x-1 + 4x-2 =336 Solución: x= 4
j) 5x+1 + 5x + 5x-1 = 775 Solución: x= 3
k) 2x-1 + 2x-2 + 2x-3 + 2x-4 =960 Solución: x= 10
l) 22x + 22x-1 + 22(x-1) + 22x-3 + 22(x-2)=1984 Solución: x= 5
m) 32x-1 -8 · 3x-1 =3 Solución: x= 2 y x=log-1/log3 (no válida)
n) 22x-1 -6· 2x-1 +4 =0 Solución: x= 1 y x = 2
o) 4x+1 + 2x+3 = 320 Solución: x=3 y x = log-10/log2 (no válida)
p) 72x+1 -2·7x+1 +7 = 0 Solución: x=0
q) 53x+2 + 3·56x+2 -100 = 0 Solución: x=0 y x= log(-8/6)/3·log5 (no válida)
r) 6x - 9·6-x + 8 =0 Solución: x= 0
s) 32(x+1) - 18·3x + 9=0 Solución: x=0
t) 22x-1 - 5· 2x-1 + 2=0 Solución: x=0,x=2

Ecuaciones Logarítmicas

Se denomina logaritmo en base a del número N el exponente z al que se debe elevar a para obtener
N.
Ejemplos:
log 𝑎 𝑁 = 𝑥 → 𝑎 𝑥 = 𝑁 a >0 e a≠1
3 3 1
a) log 2 √2 = 𝑥 → 2𝑥 = √2 → 2𝑥 = 21/3 → 𝑥 =
3
3 3 1
b) 𝑙𝑛 √𝑒 = 𝑥 → log 𝑒 √𝑒 = 𝑥 → 𝑒 𝑥 = 𝑒 1/3 → 𝑥 =
3

c) log 7 𝑥 = 3 → 73 = 𝑥 → 𝑥 = 343
1 1 3
d) log 𝑥 = −3 → 𝑥 −3 = → 𝑥 = √7
7 7

𝑥 = 2 Es solución
e) log 𝑥 (6 − 𝑥) = 2 → 𝑥 2 = 6 − 𝑥 → 𝑥 2 + 𝑥 − 6 = 0 → {
𝑥 = −3 No es solución
22−𝑥 22−𝑥
f) log = −1 → 10−1 = → 𝑥 = 220 − 10𝑥 → 𝑥 = 20 Es solución
𝑥 𝑥
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Propiedades de los logaritmos

 log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 𝑥 · 𝑦

𝑥
 log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 = log 𝑎
𝑦

 x·log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 𝑦 𝑥
 log 𝑎 1 = 0
 log 𝑎 𝑎 = 1
 No existen los logaritmos de números negativos ni de 0.

Ejemplos aplicando propiedades de los logaritmos.

a) log x + log 20 = 3
El logaritmo de la suma se transforma en producto
log x + log 20 = 3 → log (20·x) = 3 → Aplico la definición de logaritmo
103 = 20𝑥 → 𝑥 = 50 Es solución

b) log x3 = log 6 + 2logx

log x3 = log 6 + log x2 → log x3 = log ( 6·x2 ) → x3 = 6x2 → x3- 6x2 = 0
𝑥 = 0 → No es solución ya que no existe log0
x2(x-6)=0 → {
𝑥 = 6 → Si es solución

c) 2logx = log (10-3x)

𝑥 = −5 no es solución ya que no existe log(−5)
log x2 = log (10-3x) → x2 =10-3x → x2 +3x-10=0 → {
𝑥 = 2 si es solución

d) log4 + 2log(x-3) = logx

log4+ log(𝑥 − 3)2 = logx → log4·(𝑥 − 3)2 = logx → 4·(x2-6x+9)= x
𝑥 = 4 Es solución
4x2 - 24x + 36 – x = 0 → 4x2-25x+36 = 0 → { 9 9 𝟑
𝑥= No es solución 2 log ( − 3) = 2𝑙𝑜𝑔 (− )
4 4 𝟒

e) 3logx = 2 logx + log3

x = 0 no es solución ya que lo existe log0
log𝑥 3 = log (𝑥 2 ·3) → x3- 3x2 = 0 → x2(x-3)=0→ {
x = 3 si es solución
log 3+log(11−𝑥 3 )
f) = 2 → log 3·(11-x3)=2·log(5-x)→ log 3(11-x3)= log(5 − 𝑥)2 →
log(5−𝑥)

𝑥 = 2 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
33 - 3x3 = 25 +x2- 10x → 3x3 + x2 -10x -8 = 0 → { 𝑥 = −14 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
𝑥 = − 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
3

2 −5𝑥+9 2 −5𝑥+9 2 −5𝑥+9 2 −5𝑥+9

g) log 2𝑥 + log 125 = 3 → log 125·2𝑥 = 3→ 103 = 125 · 2𝑥 → 8 = 2𝑥 →
2 −5𝑥+9 x = 2 Si es solución
23 = 2 𝑥 → 3=x2-5x+9→ {
x = 3 Si es solución
Ejercicios Propuestos

a) log 3x  5  log x  1 Solución: (x=5 si y x=-20/3 no)

b) log 2 x  3  log x  5  1  log 30 Solución: (x=6 si, x= ½ no)

c) 2log x 2  7 log x  9  0
√10
Solución: (x=10 si , )
105

d) log2 + log(11- x2)= 2log(5-x) Solución: (x=3, x = 1/3)

e) log(x+3) = log6 – log2(x+1) Solución: x=0
f) logx –log(x-2) =-2 No tiene solución, pues resulta un número negativo, y no vale como argumento de un
número negativo.
g) log(2x+4) + log(3x+1)=2log(8-x)+log4 Solución: x=3

h) log(x2+1)-log(x-1)-log(x+1)=1 Solución: x= 11 /3
i) 2logx – 2log(x+1) = 0 Solución: x=-1/2 (No vale)

log(35  x 3 )
j) =3 Solución: x=2 y x=3 (valen)
log(5  x )
k) logx + log(x+3) =2log(x+1) Solución: x=1 (vale)
x 625
l) 4log( )+log ( ) = 2 log x Solución : x = 0 (no es), x= -2 (no es), x=2 (si es)
5 4
m) log(25 − 𝑥 3 ) – 3 log (4 − 𝑥) = 0 Solución : 2± 3 /2 ( valen)
n) 3 logx – log32= log x/2 Solución: x= 4 (vale), x=0 y x=-4 (no valen)
o) 2logx = log x/2 - 1 Solución: x= 1/20 (vale) y x=0 (no vale)
p) 2logx = 3+log x/10 Solución: x=100 (vale) y x=0 (no vale)
q) 2logx – log(x-16) =2 Solución: x= 20 y x= 80 (valen)

r) log 3x  1 - log 2 x  3 =1 – log 5 Solución: x=13/5 (vale)

s) log(5x-3)3 + 2log(2x+3) =2 Solución: x=1 (vale)
t) log(28-x3) -3log(4-x) = 0 Solución: x= 1 y x=3 (valen)
u) (x2-5x+9) log2 + log125 =3 Solución: x=2 y x=3 (valen)