Actividad 5

TEOREMA de GAUSS - Factorización de POLINOMIOS
https://www.youtube.com/watch?v=slD6YXohOAs
Al revisar diversos videos elegí este en particular ya que la mayoría abordaba la

factorización de polinomios únicamente por el método de Ruffini, y el tiempo que se
puede emplear al resolverlo solo por Ruffini es mayor. El resolverlo por el método de
Gauss agiliza el procedimiento encontrando las posibles raíces utilizando el Término
independiente y el Coeficiente principal. La profesora que hace la explicación es muy clara
incluso sin tener conocimientos previos del tema se puede comprender, ya que indica la
descripción del polinomio y el grado del polinomio, va paso por paso explicando desde
cómo se debe ordenar de forma decreciente la ecuación de acuerdo al elemento de
máxima potencia, y de esa forma va desarrollando toda la solución hasta encontrar las
raíces. En general es un buen video organiza el pizarrón para colocar los datos, utiliza
varios colores para resaltar cada uno de los pasos, su voz es clara, tiene buena dicción,
básicamente esas son sus fortalezas, sus áreas de oportunidad o posibles mejoras tal vez
los elementos que utiliza para realizar el video son muy caseros y en ocasiones se opaca
la imagen, necesitaría una cámara más nítida y micrófono para escucharse mejor, además
como la profesora aparece en el video y cambia de posición constantemente eso puede
ser un factor de distracción y perderse en el tema, se podría resolver enfocando la cámara
únicamente al pizarrón y así centrarse más en la explicación que es el objetivo principal
Mariana [Resueltos con Mariana]. (2019 Marzo 07). TEOREMA de GAUSS -

Factorización de POLINOMIOS. [Video]. Recuperado de
POLINOMIOS Y ECUACIONES
1. A continuación se te presentan distintas ecuaciones. Encuentra las raíces de cada una y

presenta a la ecuación en su forma factorizada. También deberás realizar la gráfica de cada
una de ellas.
a) x 4 −3 x 2−4=0
4 Término independiente (Resueltos con Mariana, 2017)
± 1, ± 2 ,± 4 Divisores del Término independiente (Resueltos con Mariana,
2017)
1 0 -3 0 -4
1 1 1 -2 -2
1 1 -2 -2 -6
1 0 -3 0 -4
-1 -1 1 2 -2
1 -1 -2 2 -2
1 0 -3 0 -4 X=2
2 2 4 2 4
1 2 1 2 0
1 2 1 2 X=-2
-2 -2 0 -2
1 0 1 0
2
x + 1=0
x 2+ 1=0
x 2=−1
x=± √ −1
x=± i
Raíces x 1=−2 , x2 =2, x 3=i , x 4 =−i

Ecuación factorizada: ( x ¿¿ 2+1) ( x−2 ) ( x +2 ) ¿
Comprobación x 4 −3 x 2−4=0
x=-2 x=2
4 2
(−2) −3(−2) −4=0 (2)4−3(2)2 −4=0
(−2)4 −3(−2)2−4=0 (2)4−3(2)2 −4=0
(16)−3 (4)−4=0 (16)−3 (4)−4=0
16−12−4=0 16−12−4=0
16−16=0 16−16=0
0=0 0=0
x=i
(i) 4−3( i)2−4=0
(i 2)2−3 (i)2−4=0 x=-i
¿ (−i)4−3 (−i)2−4=0
1−3 (−1 ) −4=0 (−i 2)2 −3(−i)2 −4=0
1+3−4=0
0=0 ¿
1+3−4=0
0=0
Grafica ecuación : x 4 −3 x 2−4=0

a) x 5+ 6 x 4 +5 x3 −24 x 2−36 x=0
Factorizar para sacar término independiente
x ( x ¿ ¿ 4+ 6 x3 +5 x 2−24 x−36)=0 ¿
x 4 +6 x 3 +5 x2 −24 x−36=0
36 Término independiente
± 1, ± 2 ,± 3 , ± 4 , ±6 ,± 9 , ±12 , ±18. ±36 Divisores del Término independiente
1 6 5 -24 -36
2 2 16 42 36 X=2
1 8 21 18 0
X=-2
1 8 21 18
-2 -2 -12 -18
1 6 9 0
1 6 9
-3 -3 -9 X=-3
1 3 0
Raíces x 1=2 , x 2=−2, x 3=−3

Ecuación factorizada: x ( x−2 )( x +2 ) ¿
Comprobación x 5+ 6 x 4 +5 x3 −24 x 2−36 x=0
x=2
(2)5+ 6(2)4 +5(2)3−24 ( 2 )2−36(2)=0

32+6 ( 16 ) +5 ( 8 ) −24 ( 4 )−72=0
32+6 ( 16 ) +5 ( 8 ) −24 ( 4 )−72=0
32+96+ 40−96−72=0
168−168=0
0=0
x=-2
(−2)5 +6(−2)4 +5 (−2)3 −24 (−2 )2−36 (−2)=0

-32+6 ( 16 ) +5 (−8 )−24 ( 4 )−72=0
−32+6 ( 16 ) +5 (−8 )−24 ( 4 )−72=0
−32+96−40−96+ 72=0
168−168=0
0=0
x=-3
(−3)5 +6(−3) 4 +5(−3)3−24 (−3 )2−36(−3)=0

-243+6 (−81 )+5 (−27 )−24 ( 9 )+ 108=0
−243+ 486−135−216+108=0
−594+ 594=0
0=0
Gráfica:
b) x 4 −x3 −11 x2− x−12=0
12 Término independiente
± 1, ± 2 ,± 3 , ± 4 , ±6 ,± 12 Divisores del Término independiente
1 -1 -11 -1 -12
X=4
4 4 12 4 12
1 3 1 3 0
1 3 1 3
-3 -3 0 -3 X=-3
1 0 1 0
x 2+ 1=0
x 2+ 1=0
x 2=−1
x=± √ −1
x=± i
Raíces x 1=4 , x 2=−3 , x 3=i , x 4=−4

Ecuación factorizada: ( x 2 +1 ) ( x −4 )( x +3 )
Comprobación x 4 −x3 −11 x2− x−12=0
x=4
( 4)4− ( 4 )3−11 ( 4 )2−( 4 )−(12)=0
256−64−176−4−12=0
256−256=0
0=0
x=-3
(−3)4 −(−3 )3−11 (−3 )2−(−3 ) −(12)=0
81+27−99+3−12=0
111−111=0
0=0
x=i
(i) 4−( i )3−11 ( i )2−( i )−(12)=0
(i 2)2−(i 2 . i)−11 (−1 )−( i )−( 12)=0
(−1)2−(−1. i ) +11−( i )−(12)=0
1+i+ 11−i−122=0
12−12=0
0=0
x=-i
(−i)4−(−i )3−11 (−i )2− (−i ) −(12)=0
(−i 2)2 −(i 2 . i)−11 (−1 )−(−i )−(12)=0
1−i−11−1+i−12=0
1−i+11+i−12=0
−i+i=0
0=0
Gráfica
2. Construye al menos dos polinomios de grados distintos, que tenga como raíces los
puntos que se muestran en la siguiente figura. Explica cómo lo construiste y
completa la gráfica de cada uno.
Al tener las raíces podemos obtener el factor que se observa en la columna dos.
Cada raíz tiene asociado un factor.
Raiz Factor
-1 x+1
4 x-4
Multiplicamos los 2 factores y obtenemos el polinomio.
( x +1 )( x−4 )= x 2−4 x+ x−4

Polinomio obtenido es x 2−3 x−4=0
Comprobación
x=-1
(−1)2−3 (−1 )−4=0

1+3−4
4−4=0
0=0
x=4
( 4)2−3 ( 4 )−4=0
16−12−4
16−16=0
0=0
Gráfica
Para calcular el polinomio de otro grado se puede elevar los factores al cuadrado de
la primera ecuación ( x +1)( x −4) y realizar las multiplicaciones correspondientes
¿=
¿¿¿
Polinomio obtenido es x 4−6 x 3 + x 2 +24 x+ 16

Comprobación
x=-1
(−1)4−6 (−1 )3+ (−1 )2+24 (−1 )+ 16=0

1+6+1−24+16=0
24−24=0)
0=0
x=4
( 4)4−6 ( 4 )3+ ( 4 )2 +24 ( 4 )+16=0

256−384+16+ 96+16=0
384−384=0)
0=0
3. Se tiene la siguiente gráfica.
a) ¿Cuál es el mínimo grado que puede tener la ecuación que representa la gráfica?
Justifica tu respuesta. Al resolver la ecuación nos damos cuenta que las Raíces (2 y
-3) no tiene un cambio de signo por lo que tienen un exponente par por lo que a lo
mínimo que se eleva es al exponente par al cuadrado. Factorizada se representa
de esta forma y se obtiene el grado Por lo que el mínimo grado ya al evaluar la
ecuación es 5
Se consultó (Khan, 2019)
( x +2 )2 ( x−3 )2( x −4)
c) Encuentra la ecuación de mínimo grado que se puede calcular con las raíces
mostradas en la gráfica
Raices
-2
3
4
¿ ( x+ 2 )2 ( x−3 )2 (x−4)
=( x ∓ 2)( x +1)( x −3)(x −3)( x−4)
=( x 2 ∓ 4 x+ 4)( x 2−6 x +9)¿)
=( x 4 −2 x 3−11 x 2 +12 x +36)( x−4)
Resultado
= x 5−6 x 4 −3 x 3 +56 x 2−12 x−144
Comprobación
X=-2
(−2)5−6 (−2 ) 4−3 (−2 )3 +56 (−2 )2−12 (−2 )−144=0
(−2)5−6 (−2 ) 4−3 (−2 )3 +56 (−2 )2−12 (−2 )−144=0
−32−96+24+ 224+24−144=0
272−272=0
0=0
x=3
(3)5−6 ( 3 ) 4−3 ( 3 )3 +56 ( 3 )2−12 ( 3 )−144=0
243−486−81+504−36−144=0
144−144=0
0=0
x=4
( 4)5−6 ( 4 )4 −3 ( 4 )3+ 56 ( 4 )2 −12 ( 4 ) −144=0
1024−1536−192+ 896−48−144
144−144=0
0=0
Grafica
4. En la ecuación:
2 x3 −8 x2 +mx +n=0
Una raíz es 3 + √5. Calcula la raíz entera
Aplicamos Teorema de Cardano Vieta

Se consultó (Academia Internet, 2016)
P(x)=2 x3 −8 x2 +mx +n
Raíces
x 1=3+ √ 5
x 2=3−√5
x 3=?
Teorema del Factor

P(x)= ¿
P(x)=¿
P(x)= ( x 2−6 x +4 ) Q(x)
2 x3 −8 x2 +mx +n=( x 2−6 x +4) Q(x)
( 2 x 3−8 x 2 +mx+ n )
=Q(x)
x 2−6 x+ 4
Dividimos con el método de Horner
1 2 -8 m n
6 12 -8
24 -16
-4
2 4 16 -16
2 x+ 4=0
P(x)= ( x 2−6 x +4 ¿(2 x + 4)

2 x+ 4
2 x +4
2
(x+2)
Solución la raíz entera es x 3=-2
Polinomio resultante de la multiplicación ( x 2−6 x +4 ¿(2 x + 4)

2 x3 −8 x2 −16 x+16=0
Comprobación
Valor de m=-16, n=16
x 1=3+ √ 5
3 2
2(3+ √5) −8 (3+ √ 5) −16 ¿
144+ 64 √ 5−112−48 √ 5 ¿−48 √5−48−16 √ 5+16=0
64 √5−48 √ 5−16 √ 5=0
16 √ 5−16 √ 5=0
0=0
x 2=3−√5
3 2
2(3−√ 5) −8 ( 3− √ 5 ) −16 ¿
144−64 √ 5−112 +48 √ 5 ¿−48 √5−48+16 √ 5+16=0
−64 √ 5+ 48 √ 5−16 √5=0
−16 √ 5+16 √ 5=0
0=0
x 3=−2
2(−2)3−8 (−2 )2−16(−2)+ 16=0
−16−32+32+ 16−¿ 0
48−48=0
0=0
Bibliografía
Mariana [Resueltos con Mariana]. (2019 Marzo 07). TEOREMA de GAUSS -

Factorización de POLINOMIOS. [Video]. Recuperado de
Khan [Khan Academy en Español]. (2019 Julio 28). Multiplicidad de
polinomios.. [Video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?
v=pVTNkxZ_pJI
Academia [Academia Internet]. (2016). Teoría de Ecuaciones Teorema de
Cardano-Viete. [Video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?
v=6zeh783IRAQ&t=2512s
Academia [Academia Internet]. (2016). División Algebraica, Método de Horner,
Regla de Ruffini, Teorema del Resto. [Video]. Recuperado de
https://www.youtube.com/watch?v=AAlrnIRWEM8&t=1136s
https://campus.unadmexico.mx/contenidos/DCEIT/BLOQUE1/EM/1-
EMPMA/U2/descargables/01_em_01_empma_U2_Div_
%20sintetica_y_teoria_del_factor.pdf

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1. A continuación se te presentan distintas ecuaciones. Encuentra las raíces de cada una y

Raíces x 1=−2 , x2 =2, x 3=i , x 4 =−i

Grafica ecuación : x 4 −3 x 2−4=0

Raíces x 1=2 , x 2=−2, x 3=−3

(2)5+ 6(2)4 +5(2)3−24 ( 2 )2−36(2)=0

(−2)5 +6(−2)4 +5 (−2)3 −24 (−2 )2−36 (−2)=0

(−3)5 +6(−3) 4 +5(−3)3−24 (−3 )2−36(−3)=0

Raíces x 1=4 , x 2=−3 , x 3=i , x 4=−4

Multiplicamos los 2 factores y obtenemos el polinomio.

( x +1 )( x−4 )= x 2−4 x+ x−4

(−1)2−3 (−1 )−4=0

Polinomio obtenido es x 4−6 x 3 + x 2 +24 x+ 16

(−1)4−6 (−1 )3+ (−1 )2+24 (−1 )+ 16=0

( 4)4−6 ( 4 )3+ ( 4 )2 +24 ( 4 )+16=0

( x +2 )2 ( x−3 )2( x −4)

Una raíz es 3 + √5. Calcula la raíz entera

Aplicamos Teorema de Cardano Vieta

Teorema del Factor

2 x3 −8 x2 +mx +n=( x 2−6 x +4) Q(x)

Dividimos con el método de Horner

P(x)= ( x 2−6 x +4 ¿(2 x + 4)

Solución la raíz entera es x 3=-2

Polinomio resultante de la multiplicación ( x 2−6 x +4 ¿(2 x + 4)

Mariana [Resueltos con Mariana]. (2019 Marzo 07). TEOREMA de GAUSS -

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