Escuela Politécnica Nacional

Curso de Geometría de Nivelación

Clase No. 1
Preparada por Juan Carlos Trujillo∗

Semestre 2021 - A

1 Tema
En esta se describe brevemente el enfoque axiomático con el que se aborda el curso de Geometría.
Además, se presentan tres de los conocimientos previos necesarios para iniciar con el estudio
de la Geometría. Estos conocimientos son:

1. Conjuntos.

2. Números reales.

3. Funciones.

2 Resultados de aprendizaje

3 Introducción
3.1. Presentación del curso. Este curso trata sobre Geometría euclídea con un enfoque enfoque
axiomático. El segundo nombre es importante porque existen diversos tipos de geometrías.
La primera formulación sistemática y axiomática de la Geometría la realizó el matemático
griego Euclides en el siglo III antes de Cristo.
La geometría que estudiaremos en este curso es el fruto de la evolución de la teoría
original de Euclides y de la matemática misma durante 23 siglos. La organización de los
conceptos y sus propiedades que se presentarán en este curso se deben, principalmente,
al matemático estadounidense George David Birkoff quien, en 1932, propuso un conjunto
de postulados para la Geometría basados en la regla y el compás; y al también matemático
estadounidense Edwin Moise quien, a partir de los postulados de Birkoff, elaboró una
propuesta didáctica para la enseñanza de la Geometría a nivel elemental en el año 1964.

3.2. Enfoque axiomático. Como teoría axiomática, la Geometría Euclídea:

(a) Consiste de conceptos y proposiciones sobre estos conceptos.

(b) Los conceptos se clasifican, a su vez, en primitivos y definidos, ya que no es posible
definir explícitamente todos los conceptos, pues es necesario recurrir a otros. Los que
no se definen implícitamente son los primitivos.
∗ Departamento de Matemática de la Escuela Politécnica Nacional
 (c) Las proposiciones se dividen también en dos categorías: axiomas y teoremas, dado que
no se pueden deducir (demostrar) todas las proposiciones, pues para ello, hay que ha-
cerlo a partir de alguna proposición. Las proposiciones que no se demuestran son los
axiomas.
(d) Los conceptos definidos se definen única y exclusivamente mediante los conceptos
primitivos.
(e) Los teoremas se deducen de los axiomas.
(f) Los axiomas también definen implícitamente los conceptos primitivos.

3.3. Los conjuntos. Varios de los conceptos de la Geometría euclídea se definen mediante el con-
cepto de conjunto. Por esta razón, en este capítulo presentaremos un resumen sobre este
concepto.

3.4. Números reales. También una variedad de conceptos de la Geometría se definen mediante
los números reales. Por ello, también presentaremos en esta clase un resumen breve de sus
principales propiedades.

3.5. Lógica. Para deducir teoremas, requeriremos de algunos conceptos y propiedades de la

Lógica Matemática; estos serán presentados en el momento previo a su utilización a lo largo
del curso.

4 Conjuntos
Falta producto cartesiano, y en los conjuntos, pero en los reales, incluir intervalos

4.1. Conceptos básicos. Son conjunto y pertenencia. Usaremos letras mayúsculas y minúsculas
del alfabeto español para representar conjuntos y el símbolo ∈ para la pertenencia con la
siguiente regla: si A y B son conjuntos, el signo

A∈B

expresa la proposición:

“el conjunto A pertenece al conjunto B”.

Si A ∈ B decimos que el conjunto A es un elemento del conjunto B.

También es una proposición la negación de la proposición A ∈ B:

¬ ( A ∈ B) ,

que se lee:

“la negación de el conjunto A pertenece al conjunto B”

o, de forma abreviada,

“el conjunto A no pertenece al conjunto B”.

Utilizaremos el signo
A 6∈ B
como abreviación de esta proposición.

4.2. Definición de conjunto vacío. Hay un conjunto especial, representado por el signo ∅, que
satisface la siguiente propiedad:

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 2

 Para todo conjunto x, x 6∈ ∅;

es decir, el conjunto ∅ no tiene elementos; por ello, su nombre es vacío.

Otra propiedad fundamental del conjunto vacío es:

A 6= ∅ si y solo si existe un conjunto x tal que x ∈ A.

4.3. Definición de igualdad de conjuntos. Dados dos conjuntos A y B,

el conjunto A es igual al conjunto B si todo conjunto x que pertenece al conjunto

A, también pertenece al conjunto B, y todo conjunto x que pertenece a B, también
pertenece al conjunto A.

Utilizaremos la notación A = B para indicar la proposición

“el conjunto A es igual al conjunto B”.

La proposición
¬ ( A = B)
se lee:

“la negación de A es igual a B”,

o también,

“A no es igual a B”.

Abreviaremos esta proposición con el signo

A 6= B.

4.4. Propiedades de la igualdad. De esta definición y de algunas propiedades de la Lógica, se

derivan los siguientes teoremas de la igualdad de conjuntos:

(a) Reflexiva: A = A.
(b) Simétrica: si A = B, entonces B = A.
(c) Transitiva: si A = B y B = C, entonces A = C.

4.5. Definición de subconjunto. Dado un conjunto A, se dice que

A es subconjunto de B si todo conjunto x que pertenece a A, también pertenece

a B.

Utilizaremos el signo A ⊆ B para representar la proposición

“el conjunto A es subconjunto del conjunto B”.

Por tanto:

(a) Si A ⊆ B y x ∈ A, entonces x ∈ B.
(b) Si A ⊆ B y x 6∈ B, entonces x 6∈ A.
(c) Si A no es subconjunto de B, entonces existe x ∈ A tal que x 6∈ B”.

4.6. Propiedades de la relación subconjunto. Si A, B y C son conjuntos, entonces

(a) Reflexiva: A ⊆ A.
(b) Antisimétrica: A = B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 3

 (c) Transitiva: si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.
(d) ∅ ⊆ A.

4.7. Definiciones de conjunto unitario y par desordenado. Si A es el único elemento de B, es-

cribiremos
B = { A}
y le denominaremos el conjunto unitario de A.
Si A y B son los únicos elementos del conjunto C, escribiremos

C = { A, B}.

y le denominaremos par desordenado de A y B.

Por la definición de igualdad de conjuntos, es fácil ver que

{ A, B} = { B, A}.

Si P, Q, R, . . . , S son los únicos elementos de un conjunto A, escribiremos

A = { P, Q, R, . . . , S}.

El orden en el que se escriban estos conjuntos no cambia al conjunto. Así, por ejemplo, se
tiene que
{ X, Y, Z } = {Y, Z, X }.

4.8. Construcción de conjuntos. Dados un conjunto A y una proposición P, se construye

el conjunto B de todos los elementos de A para los cuales P es verdadera.

El conjunto B se representa de la siguiente manera:

B = { x ∈ A : P }.

4.9. Ejemplo. Si A = {s, t} y B = { x, s, y}, la proposición

“son elementos de B que no pertenece a A”

es verdadera para los elementos del conjunto

C = { x, y}.

4.10. Ejemplo. Si x representa un número natural específico y P es la proposición:

“x tiene un solo dígito y es impar”,

entonces si
T = {1, 3, 5, 7, 9},
se tiene que
T = { x : x = 2k + 1 ∧ (k ∈ N ∧ 0 6 k 6 4)},
donde N representa el conjunto de los números naturales
A menudo, simplificaremos esta representación de la siguiente manera:

T = {2k + 1 : k ∈ N ∧ 0 6 k 6 4}.

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 4

4.11. Definición de unión de conjuntos. Si A y B son conjuntos, la unión de A y B, representada
por A ∪ B, es el conjunto de todos los conjuntos que pertenecen a A o pertenecen a B.
Por ejemplo, si A = { a, b, c, y} y B = { a, b, x, y, z}, entonces

A ∪ B = { a, b, c, x, y, z}

porque los elementos de la unión de dos conjuntos son los que elementos de A o los ele-
mentos de B.

4.12. Definición de intersección de conjuntos. Si A y B son conjuntos, la intersección de A y B,

representada por A ∩ B, es el conjunto de todos los conjuntos que pertenecen a A y a B.
Por ejemplo, si A = { a, b, c, y} y B = { a, b, x, y, z}, entonces

A ∩ B = { a, b, y}

porque únicamente a, b y y pertenecen tanto a A como a B. Por ejemplo, x es elemento de

B pero no de A.

4.13. Definición de diferencia de conjuntos. Si A y B son conjuntos, la diferencia de A y B,

representada por A − B, es el conjunto de todos los conjuntos que pertenecen a A pero que
no pertenecen a B.
Por ejemplo, si A = { a, b, c, y} y B = { a, b, x, y, z}, entonces

A − B = {c}

porque la diferencia de A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A pero no

en B; así, a, b y y están en A y en B (por ello, no pertenecen a A − B) y c pertenece a A pero
a B (por ello, es el único elemento de la diferencia).
Tenemos también que
B − A = { x, z}
porque a, b y y, que son elementos de B, también pertenecen a A. Obsérvese que A − B 6=
B − A.

4.14. Algunas propiedades de la unión, intersección y diferencia. Si A, B y C son conjuntos,

entonces las siguientes proposiciones son verdaderas:

(a) La unión y la intersección son conmutativas:

A∪B = B∪A y A ∩ B = B ∩ A.

(b) La unión y la intersección son asociativas:

A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C y A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C.

(c) En general, la diferencia no es conmutativa.

El siguiente ejemplo ilustra la propiedad asociativa de la intersección: si A = { a, b, c, y},

B = { a, b, x, y, z} y C = { a, c, d, x }, entonces

B ∩ C ) = { a, x } y A ∩ B = { a, b, y};

por tanto,
A ∩ ( B ∩ C ) = { a} y ( A ∩ B ) ∩ C = { a }.
Se puede ver, entonces, que

A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C.

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 5

4.15. Propiedades del conjunto vacío respecto de la unión e intersección. Si A es un conjunto,
entonces las siguientes proposiciones son verdaderas:

(a) ∅ ⊆ A. Es decir, el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

(b) A ∪ ∅ = A. Es decir, la unión de un conjunto cualesquiera y el conjunto vacío es igual
al conjunto cualesquiera.
(c) A ∩ ∅ = ∅. Es decir, la intersección de un conjunto cualesquiera y el conjunto vacío
es igual al conjunto vacío.

5 Números reales
5.1 Las relaciones básicas en los números reales
5.1.1. Igualdad de números reales. El conjunto de los números reales se representa por R. Los
elementos de un conjunto también son conjuntos; sin embargo, de aquí en adelante, a los
elementos de R les denominaremos números reales.
La igualdad de números reales es la misma que la igualdad entre conjuntos; esto
significa que utilizamos el mismo signo para su representación: a = b si a ∈ R y b ∈ R.
No está por demás indicar que las propiedades de la igualdad descritas en la sección
anterior son válidas para la igualdad de números reales.
La igualdad satisface, además, el principio de sustitución:

si dos números son iguales, en cualquier proposición en el que aparezca uno

de ellos, se puede sustituir por el otro y el valor de verdad de la proposición
obtenida después de la sustitución es el mismo que el valor de la proposición
original.

5.1.2. Relación de orden “mayor que” de números reales. Si a y b son números reales, la relación
“a es mayor que b” se representa por

a > b.

Hay otras relaciones de orden entre los números reales, pero todas se definen a partir de
ésta o de la igualdad.

5.2 Las operaciones básicas en los números reales

5.2.1. La suma y el producto de números reales. Si a y b son números reales (es decir, pertenecen
al conjunto R), utilizaremos los signos, la suma de a y b y el producto de a, representadas
por
a + b y ab
respectivamente, son de las operaciones entre números reales básicas. Que sean opera-
ciones significa que
a + b ∈ R y ab ∈ R.

La suma y el producto de números reales son operaciones conmutativas, asociativas y,

además, el producto es una operación distributiva respecto de la suma.

5.2.2. El inverso aditivo de un número real. Si a es un número real, el inverso aditivo de a,

representado por − a, es el único número real para el cual la siguiente igualdad es verda-
dera:
a + (− a) = 0,

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 6

 donde 0 es el único número real para el cual la siguiente igualdad es verdadera para todo
número real x:
x + 0 = x.

5.2.3. El inverso multiplicativo de un número real. Si a es un número real distinto de 0, el

inverso multiplicativo de a, representado por a−1 , es el único número real para el cual la
igualdad siguiente es verdadera:
aa−1 = 1,
donde 1 es el único número real para el cual es verdadera la igualdad

x1 = x

para todo número real x.

El número 1 es diferente de 0; es decir, se tiene que 1 6= 0.

5.3 Otras operaciones entre números reales

5.3.1. Definición de resta. Si a ∈ R y b ∈ R, la resta de a y b, representada por a − b, es la suma
de a y −b:
a − b = a + (−b).

5.3.2. Definición de división. Si a ∈ R y b ∈ R tal que b 6= 0, la división de a por b, representada

por ba , es el producto de a y b−1 :
a
= ab−1 .
b
5.3.3. Definición de potencia. Si a es un número real, el cuadrado de a, representado por a2 , es
el producto de a consigo mismo; es decir,

a2 = aa.

5.3.4. Definición de raíz cuadrada. Si a > 0, existe un único número real b > 0 tal 2
√ que b = a.
A ese número b se le denomina raíz cuadrada de a y se lo representa por a. Por tanto,
es verdadera la igualdad
√
2
a = a.

De la definición de raíz cuadrada, tenemos que para todo a > 0, se tiene que
√
a > 0.
√
Puesto que 02 = 0, se define también 0 como el número 0. Por tanto, para todo a tal
que a > 0, se tiene que √
a > 0.
√
Dado que 4 = 22 , entonces 4 = 2. Obsérvese que, a pesar de que 4 = (−2)2 , se tiene
que √
4 6 = −2
pues −2 no es mayor que 0.

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 7

5.4 Otras relaciones entre números reales
5.4.1. Definición de “menor que”. Si a y b son números reales, a es menor que a, y se escribe
b < a, si b > a.

5.4.2. Definición de números positivos y negativos. Un número real a es positivo si a > 0; es

negativo si a < 0. El conjunto de los números reales positivos se representa con R+ .

5.4.3. Axioma de tricotomía.: Para todo número real a, una y solo una de las siguientes propo-
siciones es verdadera: a = 0, a > 0 y a < 0.
En otras palabras, ningún número puede ser positivo y negativo. Luego, tenemos que
el conjunto de los números negativos es igual a

R − R+ ∪ { 0 } .

Por la tricotomía, el 0 no es ni positivo ni negativo.

5.4.4. Definición de “mayor o igual que” y “menor o igual que”. Si a y b son números reales, a
es mayor o igual que b”, lo que se representa por a > b, si a > b o a = b; “a es menor o
igual que b, lo que se escribe a 6 b, si a < b y a = b.

5.5 Algunas propiedades de las operaciones básicas

5.5.1. Aditiva.: Si a = b y c = d, entonces

a+c = b+d y a − c = b − d.

5.5.2. Multiplicativa.: si a = b, c = d, e 6= 0 y e = f , entonces

a b
ac = bd y = .
e f

5.6 Algunas propiedades de las relaciones de orden

5.6.1. Tricotomía. Para todo par de números reales a y b, una y solo una de las siguientes pro-
posiciones es verdadera:
a > b, a = b y b > a.

5.6.2. Transitiva de mayor que. Si a > b y b > c, entonces a > c.

5.6.3. Clausuras del orden. Si a > 0 y b > 0, entonces

a+b > 0 y ab > 0.

5.6.4. Aditivas. Si a > b y c > d, entonces

a+c > b+d y a − c > b − c.

5.6.5. Mayor que y resta. Si a ∈ R y b ∈ R, entonces a > b si y solo si a − b > 0.

5.6.6. Multiplicación por un positivo y un negativo. Si a > b, c > 0 y d < 0, entonces

ac > bc y ad < bd.

5.6.7. Inverso aditivo de un positivo y un negativo. si a > 0 y b < 0, entonces

−a < 0 y − b > 0.

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 5.6.8. Inverso multiplicativo de un positivo y un negativo. Si a > 0 y b < 0, entonces

a −1 > 0 y b−1 < 0.

5.6.9. Cuadrado de un número distinto de 0. Si a 6= 0, entonces a2 > 0. En particular, 1 > 0 (ya

que 1 = 12 y 1 6= 0).

5.6.10. Reflexiva de “mayor o igual” y “menor o igual”. Para todo número real a, se tiene que

a>a y a 6 a.

5.6.11. Antisimétrica de “mayor o igual” y “menor o igual”. Si a > b y a 6 b, entonces a = b.

5.6.12. Transitiva de “mayor o igual” y “menor o igual”. Si a > b y b > c, entonces a > c. Y si
a 6 b y b 6 c, entonces a 6 c.

5.7 Valor absoluto

5.7.1. Definición de valor absoluto. Si a es un número real, el valor absoluto de a, representado
por | a|, se define de la siguiente manera:
(
a si a > 0,
| a| =
− a si a < 0.

Por ejemplo, |5| = 5 porque 5 > 0 y | − 5| = −(−5) = 5 ya que −5 < 0.

5.7.2. El valor absoluto de un número es mayor o igual que 0. Para todo a ∈ R, se tiene que
| a| > 0.
5.7.3. Los valores absolutos de un número y de su inverso aditivo respectivamente son iguales.
Para todo número real a, se tiene | − a| = | a|.

5.7.4. Todo número está acotado entre su valor absoluto y el inverso aditivo del valor absoluto.
Para todo número real a, se tiene que

−| a| 6 a y a 6 | a|.

5.7.5. El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos. Para todo
número real a y todo número real b, se tiene que | ab| = | a||b|.

5.7.6. Propiedades adicionales. Si b > 0, entonces

(a) | a| < b si y solo si −b < a < b.

(b) | a| > b si y solo si a < −b o a > b.
(c) La desigualdad triangular: para todo a ∈ R y todo b ∈ R, se tiene que

| a + b | 6 | a | + | b |.
√
(d) Si a ∈ R, entonces a2 = | a |.

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 9

5.8 Subconjuntos fundamentales de los números reales
5.8.1. Los números naturales. Este conjunto se representa N. El número 0 pertenece a este
conjuntos; es decir, 0 es un número natural. Además, si x ∈ N, entonces x + 1 ∈ N. Así,
1, 2, 3, etcétera, son números naturales.

5.8.2. Los números enteros. Se representa por Z. Este conjunto tiene como elementos a todos
los números naturales sus inversos aditivos; así, −1, −2, etcétera, son números enteros
que no son naturales). Por tanto, se tiene que

N⊆Z y N 6= Z.

5.8.3. Los números racionales. Se representa por Q. Este conjunto tiene como elementos todos
las divisiones de números enteros; por tanto, los naturales y enteros pertenecen a los
racionales. Además, números como 14 , − 83 , 11
7 son números racionales que no son enteros.
Así, tenemos que
Z ⊆ Q y Z 6= Q.

5.8.4. Los números irracionales. Los elementos de este conjunto son todos los números reales
que no son racionales; es decir, este conjunto es

R − Q.
√ √
Números reales como 2, 3, etcétera son números irracionales (es decir, no son racio-
nales). Un número real fundamental en la Geometría Euclídea es el número π (se lee “pi”);
también es un número irracional. Por tanto, tenemos que

R − Q 6= ∅.

6 Funciones
6.1. Definición de función. Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una relación
entre los elementos de A y B de modo que cada uno de los elementos de A está relacionado
con uno y solo un elemento de B.
Si f es una función de A en B, se escribe

f : A −→ B.

Y si x ∈ A, entonces el único elemento de B que está relacionado con x se representa por

f ( x ) y se denomina imagen de x respecto de f , aunque suele leerse “efe de x”.
El conjunto A es el conjunto de salida o dominio de f y el conjunto B, conjunto de
llegada (de f ).
Si x 6∈ A, entonces no hay un elemento en B relacionado con x; es decir, no “existe”
f ( x ).
Es importante no confundir la función f con f ( x ), la imagen de x respecto de f .

6.2. Ejemplo. La relación entre el conjunto de los números naturales N y el de los enteros Z en
la que

cada natural se relaciona con su inverso aditivo

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 10

 es una función de N en Z porque todo número natural tiene inverso aditivo y es único.
Por ejemplo, el número natural 5 está relacionado con −5.
Si a esta relación le nombramos con la letra f , entonces podemos escribir f : N −→ Z.
Así, tenemos que
f (3) = −3, f (9) = −9, f (100) = −100.

Si n ∈ N, entonces f (n) = −n. El dominio de f es N.

¿Cuál es la imagen de −4 respecto de f ? Es decir, ¿qué elemento de Z corresponde a
−4 en la relación f ? Pues, ¡ninguno! ¿Por qué? Porque el dominio de f es N y −4 6∈ N. ¿Y
por qué el dominio de f es N? Simple y llanamente porque así se definió la relación f : una
relación entre los números naturales y los números enteros.

6.3. Ejemplo. Consideremos la relación entre el conjunto de los números reales consigo mismo
en la que

cada número real se relaciona con otro cuyo cuadrado es igual al número real.

Así, por ejemplo, el número 4 se relaciona con el número 2 porque el cuadrado de 2 es 4;

pero también se relaciona con −2 porque (−2)2 = 4.
Por tanto, el número 4 se relaciona tanto con 2 como con −2. Esto significa que esta
relación no es una función de R en R.
Y no solo por esta razón; sino también porque no todos los números reales se relacionan
con un número cuyo cuadrado sea el número real. En efecto, el número −1: el cuadrado de
ningún número puede ser igual a −1, porque el cuadrado de cualquier número es mayor
o igual que 0.

6.4. Ejemplo. La relación en la que

cada número real positivo se relaciona con su raíz cuadrada

es una función de R+ en R+ ya que la raíz de cada número positivo existe y es única.

√
Así, si denominamos g a esta función y x ∈ R+ , entonces g( x ) = x. Con frecuencia
escribiremos
g : R+ −→ R √
+

x 7−→ x
para indicar que g es una función de R+ en R+ en la que cada número real positivo se
relaciona con su raíz cuadrada. A la expresión
√
x 7−→ x

se le denomina ley de asignación de la función g; esta nos indica qué elemento del con-
junto de llegada se relaciona con un elemento del conjunto de salida.
El dominio de g es R+ . Luego, no “existe” g(−2) porque −2 no está en el dominio de
g.

6.5. Ejemplo. La relación en la que

cada número real se relaciona con su raíz cuadrada

no es una función de R en R+ porque no existe la raíz cuadrada de todos los números

reales; más aún, no existe la raíz cuadrada de ningún número real negativo.

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 11

6.6. Definición de igualdad de funciones. Si f : A −→ B y g : A −→ B, la función f es igual a
la función g si para todo x ∈ A, se verifica la igualdad

f ( x ) = g ( x ).

En otras palabras, para que dos funciones sean iguales

deben tener el mismo dominio y las imágenes correspondientes a cada elemento

de dicho dominio respecto de ambas funciones deben ser iguales.

6.7. Ejemplo. Las funciones

f : R −→ R g : R+ −→ R
y
x 7−→ x2 x 7−→ x2
no son iguales.
En efecto: f y g no tienen el mismo dominio. En el primer caso, el dominio de f es R
y el de g es R+ . Así, mientras sí existe la imagen de −1 para f , para g no. Luego, no tiene
siquiera sentido escribir g(−1).

6.8. Ejemplo. Las funciones

h : R − {1} −→ R k : R − {1} −→ R
y
x 7−→ ( x2 − 1)/( x − 1) x 7−→ x + 1

sí son iguales.
En efecto: en primer lugar, ambas funciones tienen el mismo dominio. En segundo
lugar, para todo x ∈ R − {1}, tenemos que

x2 − 1 ( x − 1)( x + 1)
h( x ) = = = x + 1;
x−1 x+1
por tanto,
h ( x ) = k ( x ).

7 Ejercicios resueltos
7.1 Conjuntos
1. Si A = {2, 5, 7, 11, 13, 17}, ¿es verdadera la proposición 11 6∈ A?

Respuesta. No. Es falsa porque la notación

A = {2, 5, 7, 11, 13, 17}

indica que todos los elementos de A son 2, 5, 7, 11, 13 y 17. Ni uno más, ni uno menos. Así que, 11
es un elemento de A y, por tanto, la proposición verdadera es 11 ∈ A y no su negación 11 6∈ A.

2. Si A = {2, 5, 7, 11, 13, 17}, ¿es verdadera la proposición 14/2 ∈ A?

Respuesta. Sí. En efecto, el número 7 sí es un elemento de A; es decir, la proposición

7∈A

es verdadera. Y, dado que 14/2 = 7, entonces la proposición 14/2 ∈ A es verdadera.

3. Si A = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} y B es el conjunto de todos los números primos menores que
20, ¿es verdadera la proposición A = B?

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 12

 Respuesta. No, no lo es. En efecto, los números primos menores que 20 son

2, 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Por tanto,
B = {2, 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.
Recordemos que dos conjuntos son iguales si todo elemento de uno de ellos pertenece al otro y,
viceversa. En este caso, todos los elementos de A pertenecen a B, pero no todos los elementos de
B pertenecen a A: por ejemplo, el número 2 es un elemento de B que no es elemento de A. Luego,
A 6= B.
En resumen, el conjunto A no es igual al conjunto B y, por tanto, la proposición A = B no es
verdadera.

4. Si C es el conjunto de todos los números naturales divisibles por 5 menores que 30, ¿cuáles
son todos los elementos de C?

Respuesta. Consideramos que 0 es un número natural. Los números naturales que son divisibles
por 5 son aquellos que terminan en 0 o en 5. Por tanto, tenemos que

C = {0, 5, 10, 15, 20, 25}.

El número 30 no es un elemento de C porque 30 no es menor que 30.

5. Si X es el conjunto de los números naturales de una cifra que son impares y Y es el

conjunto de los números naturales de una cifra que son divisibles por 3, encuentre todos
los elementos de los siguientes conjuntos: X ∪ Y, X ∩ Y, X − Y y Y − X.

Solución. En primer lugar, tenemos que

X = {1, 3, 5, 7, 9} y Y = {0, 3, 9}.

Ahora bien, el conjunto X ∪ Y es el conjunto cuyos elementos están en X o en Y; así, tenemos

que
X ∪ Y = {0, 1, 3, 5, 7, 9}.

El conjunto X ∩ Y es el conjunto cuyos elementos están tanto en X como en Y; luego, obtene-

mos que
X ∩ Y = {3, 9}.

El conjunto X − Y es el conjunto cuyos elementos están en X pero no en Y:

X − Y = {1, 5, 7}.

Finalmente, el conjunto Y − X es el que conjunto cuyos elementos están en Y pero no en X:

Y − X = {0}.

6. Si E es el conjunto de los números naturales divisibles por tres menores que 20 y F el

de los números naturales divisibles por 5 menores o iguales que 30, encuentre todos los
elementos de E ∪ F, E ∩ F, E − F y F − E.

Solución. En primer lugar, tenemos que

E = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} y F = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30}.

Luego:

i. E ∪ F = {0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30}.

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 13

 ii. E ∩ F = {0, 15}.
iii. E − F = {3, 6, 9, 12, 18}.
iv. F − E = {5, 10, 20, 25, 30}.

7. Si M es el conjunto de los números naturales divisibles por 4 menores que 40 y N el de

los números naturales divisibles por 8 menores que 40, ¿es verdadera la proposición “M
es un subconjunto de N 00 o es verdadera la proposición “N es un subconjunto de M”?

Respuesta. En primer lugar, tenemos que

M = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36} y N = {0, 8, 16, 24, 32}.

Dado que todos los elementos de N también son elementos de M, la proposición N ⊆ M es

verdadera. Y dado que hay elementos de M que no son elementos de N (por ejemplo, 4), entonces
la proposición M ⊆ N no es verdadera; es falsa.

8. Si S = {3k + 1 : k ∈ N ∧ 2 6 7}, entonces

S = {7, 10, 13, 16, 19, 22}

puesto que
k 3k + 1
2 7
3 10
.. ..
. .
7 22.

9. Si W = {12, 18, 24, 30, 36, 42, 48}, entonces

W = {6k : k ∈ N ∧ 2 6 k 6 8}.

10. Si X = {n ∈ N : n 6 30}, Y = {3n + 1 : n ∈ N} y Z = {5n + 1 : n ∈ N}, determine todos

elementos de los conjuntos X ∩ (Y ∩ Z ), ( X ∩ Y ) − Z y ( X ∩ Z ) − Y, respectivamente.

Solución. En primer lugar, observemos que:

i. Todos los elementos del conjunto X son los números naturales entre 0 y 30 (incluyendo tanto
0 como 30). Es costumbre escribir

X = {0, 1, 2, . . . , 29, 30}.

ii. Todos los elementos de Y son los números naturales que se obtienen al multiplicar un nú-
mero natural por 3 y añadir 1 al número obtenido. Así, algunos de los elementos de este
conjunto son: 1, 4, 7. Se acostumbra escribir

Y = {1, 4, 7, 10, 13, . . .}.

iii. Todos los elementos de Z son los números naturales que se obtienen al multiplicar un nú-
mero natural por 5 y añadir 1 al número obtenido. Así:

Z = {1, 6, 11, 16, 21, . . .}.

A continuación, determinemos los elementos X ∩ (Y ∩ Z ), ( X ∩ Y ) − Z y ( X ∩ Z ) − Y, respec-

tivamente.

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 14

 iv. En primer lugar, los elementos de Y ∩ Z son los números naturales que son elementos tanto
de y como de Z. Luego, los elementos de X ∩ (Y ∩ Z ) son aquellos números naturales entre
0 y 30 tales que están tanto en Y como en Z. Así, dado que
Y = {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, . . .} y Z = {1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, . . .},
tenemos que
X ∩ (Y ∩ Z ) = { 1 } .
v. Los elementos de X ∩ Y son todos los números naturales entre 0 y 30 que son elementos de
Y:
X ∩ Y = {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28}.
Por tanto, los elementos de ( X ∩ Y ) − Z son todos los que están en X ∩ Y pero que no son
elementos de Z. Y, como el único elemento de Z que está en X ∩ Y es 1, concluimos que
( X ∩ Y ) − Z = {4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28}.
vi. Los elementos de X ∩ Z son todos los números naturales entre 0 y 30 que son elementos de
Z:
X ∩ Y = {1, 6, 11, 16, 21, 26}.
Por tanto, los elementos de ( X ∩ Z ) − Y son todos los que están en X ∩ Z pero que no son
elementos de Y. Y, como el único elemento de Y que está en X ∩ Z es 1, inferimos que
( X ∩ Z ) − Y = {6, 11, 16, 21, 26}.

7.2 Números reales

1. Si a es un número real, ¿la proposición
−a < 0
es verdadera?

Respuesta. No es verdadera necesariamente. En efecto: lo es si a > 0, efectivamente − a <

0. Pero si a < 0, no es verdadera porque − a > 0 y, por la tricotomía, es imposible que
− a < 0.

2. Si x > 2, ¿podemos concluir que −3x > −6?

Respuesta. No. En efecto, dado que −3 < 0, de x > 2 se obtiene que

−3x < (−3)2;
es decir, se obtiene −3x < −6 y, por la tricotomía, la proposición −3x > −6 es falsa.

3. Si a > 1, ¿cuál de las dos proposiciones es verdadera

1 1
<1 o > 1?
a a
(Por la Tricotomía, no pueden ser verdaderas ambas proposiciones).

Respuesta. La proposición
1
<1
a
es verdadera.
En efecto: como a > 1, entonces a > 0; así, a−1 > 0. Por tanto, de a > 1, tenemos que

aa−1 > 1a−1 ;

así, inferimos que 1 > a−1 ; es decir,
1
< 1.
a

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 15

 4. Si a y b son números reales distintos de 0 tales que a < b. ¿Cuál de las siguientes proposi-
ciones es verdadera siempre? ¿Cuáles no son verdaderas necesariamente? ¿Cuáles nunca
son verdaderas?

i. b < a. b
iii. > 1.
a
ii. b − a > 0. iv. a2 > b2 .

Respuestas.

i. La proposición b < a nunca es verdadera debido a que b > a (ya que a < b) y a la tricotomía.
ii. La proposición b − a > 0 es verdadera siempre ya que se deduce de b > a, que es verdadera
porque a < b lo es.
b
iii. La proposición > 1 no es verdadera necesariamente. En efecto: si a > 0, entonces a−1 > 0;
a
b
luego, de b > a, tenemos que ba−1 > aa−1 ; es decir, > 1.
a
En cambio, si a < 0, entonces a−1 < 0 y, por tanto, ba−1 < aa−1 ; de donde, se obtendría
b b
que < 1 lo que significa que > 1 no es verdadera (por la tricotomía).
a a
iv. La proposición a2 > b2 no es verdadera necesariamente. En efecto: si a = −3 y b = 2,
entonces a2 = 9 y b2 = 4; por tanto, a2 > b2 es verdadera. En cambio, si a = −1 y b = 2,
tenemos que a2 = 1 y a2 < b4 y, por la tricotomía, a2 > b2 no es verdadera.

5. ¿Es falsa la proposición | x | = − x?

Respuesta. No necesariamente: si x 6 0, la proposición es verdadera. Si x > 0 es falsa, ya que

− x < 0 y el valor absoluto de cualquier número siempre es mayor o igual que 0.

6. ¿Es verdadera la proposición | a − b| = |b − a|?

Respuesta. Sí. En efecto: tenemos que

a − b = −(b − a).

Por tanto, concluimos que

| a − b| = | − (b − a)| = |b − a|.

7. ¿Es falsa la proposición |z + 2| = |z| + 2?

Respuesta. No necesariamente. En efecto: si z = 1, entonces

|z + 2| = |1 + 2| = |3| = 3 y |z| + 2 = |1| + 2 = 1 + 2 = 3;

por tanto, |z + 2| = |z| + 2.

Sin embargo, si z = −1, tenemos que

|z + 2| = | − 1 + 2| = |1| = 1 y |z| + 2 = | − 1| + 2 = 1 + 2 = 3;

por tanto, |z + 2| 6= |z| + 2.

8. Si A = { x ∈ R : | x | > 4}, ¿es verdadera la proposición −5 ∈ A?

Respuesta. Sí. En efecto: para que −5 sea un elemento de A, la proposición | − 5| > 4 debe ser
verdadera. Y, puesto que | − 5| = 5 y 5 > 4, entonces | − 5| > 4 es verdadera.

9. Si B = {y : |y| < 2} y a < −2, ¿es verdadera la proposición a ∈ B?

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 16

 Respuesta. No, no lo es. En efecto: para que a ∈ B, debe ser verdadera la proposición

| a| < 2.

Por tanto, debe ser verdadera la proposición

−2 < a < 2.

Sin embargo, se sabe que a < −2 y, por la tricotomía, la proposición −2 < a < 2 es falsa. Así, la
proposición que sí es verdadera es a 6∈ B.
√ √
10. ¿Son verdaderas las dos proposiciones 36 = 6 y 36 = −6?
√
Respuesta. No: únicamente la proposición 36 = 6 lo es; la otra no lo es.
√
En efecto: dado que 6 > 0 y 36 = 62 , por la definición de raíz cuadrada, se tiene que 36 = 6.
En cambio, a pesar de que (−6)2
= 36, tenemos que −6 < 0, por lo que −6 no puede ser la
raíz cuadrada de 36 ni de ningún número real.

7.3 Funciones
1. Si A es un conjunto, la relación

cada elemento de A se relaciona consigo mismo

es una función de A en A. Esta función se denomina función identidad en A y se repre-

senta por I A . Por tanto, se tiene que

I A : A −→ A
x 7−→ x.

¿Cuál es la imagen de z respecto de I A ? Es decir, ¿a qué es igual I A (z)?

Respuesta. Depende. ¿De qué? Si z ∈ A, entonces I A (z) = z. En cambio, si z 6∈ A, simplemente no

existe la imagen de z respecto de I A ; es decir, no tiene sentido escribir I A (z) y, por supuesto, es un
error escribir I A (z) = a.
Obsérvese que al no indicar explícitamente si z pertenece o no al conjunto A, no podemos
asumir ninguna de las dos situaciones; lo que hay que hacer es responder la pregunta para cada
una de ellas.

2. Si
f : R − {0} −→ R
1
x 7−→ ,
x
¿cuál es la imagen de 0 respecto de f ? Si u ∈ R tal que u 6= 0, ¿cuál es la imagen de u1 ?
¿Cuál es la imagen de
1
2
z +1
si z ∈ R?

Respuestas. Para la primera pregunta, la respuesta es “no hay la imagen de 0 respecto de f porque
0 no está en su dominio.
1
Para la segunda pregunta, dado que u 6= 0, entonces existe u (es decir, es un número real) y
también
1
6= 0.
u

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 17

 Por tanto, este número sí pertenece al dominio de f y
 
1 1
f = 1 = u.
u u

Para la tercera pregunta, dado que para todo número real z, siempre tenemos que

z2 + 1 > 0,

entonces z2 + 1 6= 0 y, por tanto,

1
z2 + 1
es un número real distinto de 0; así, este número sí está en el dominio de f ; luego, existe su imagen
respecto de la función:  
1 1
f = = z2 + 1.
z2 + 1 1
z2 + 1

3. Si
ϕ : R −→ R
(√
x si x > 0 ,
x 7−→ √
−x si x < 0,
¿cuáles son las imágenes de 9, −9, respectivamente? Si y ∈ R, ¿cuál es la imagen de y?
Si u ∈ R, ¿cuál es la imagen de −u? Si z ∈ R tal que z < 0, ¿cuál es la imagen de −z? Si
t > 1, ¿cuál es la imagen de 1 − t?

Respuestas. Primer pregunta: 9 está en el dominio de ϕ y 9 > 0; entonces

√
ϕ(9) = 9 = 3.

Segunda pregunta: −9 también está en el dominio de ϕ, pero −9 < 0; luego,

q √
ϕ(−9) = −(−9) = 9 = 3.

Tercera pregunta: si y ∈ R, entonces tenemos que

(√
y si y > 0,
ϕ(y) = √
−y si y < 0.

Cuarta pregunta: si u ∈ R, entonces

(
−u < 0 si u > 0,
−u > 0 si u 6 0;

por tanto, (p
−(−u) si u > 0,
ϕ(−u) = √
−u si u 6 0.
Así, concluimos que (√
u si u > 0,
ϕ(−u) = √
−u si u 6 0.

Quinta pregunta: si z < 0, entonces −z > 0; luego,

√
ϕ(−z) = −z.

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 18

 Última pregunta: si t > 1, entonces −t < −1; por tanto, 1 − t < 0; Así
q
ϕ(1 − t) = −(1 − t).

Y, como −(1 − t) = t − 1, entonces

√
ϕ (1 − t ) = t − 1.

4. Sea
h : R −→ R
1

si x 6= 0,
x 7−→ x
− 1 si x = 0.
2

¿El número 0 está en el dominio de h? Si a ∈ R, ¿cuál es la imagen de a − 1 respecto de h?

Si x ∈ R, ¿cuál es la imagen de h( x ) respecto de h?

Respuestas. Primera pregunta: sí, y su imagen respecto de h es −1; es decir, tenemos que h(0) =
−1.
Segunda pregunta: si a − 1 6= 0, entonces

1
h ( a − 1) = .
a−1
Si a − 1 = 0 (es decir, si a = 1), entonces
1
h ( a − 1) = − .
2

En resumen, como a − 1 6= 0 cuando a 6= 1, entonces


 1 si a 6= 1,
h ( a − 1) = a − 1
− 1 si a = 1.
2

Tercera pregunta: si x 6= 0, entonces

1
h( x ) = .
x
Por tanto, h( x ) 6= 0; luego,
1
h(h( x )) = = x.
h( x )
Si x = 0, entonces h( x ) = − 21 ; por tanto, h( x ) 6= 0, de donde
 
1 1
h(h( x )) = h − = 1 = −2.
2 −2

8 Ejercicios propuestos
8.1 Conjuntos
1. Si A es el conjunto de todos los números enteros mayores que −5 y menores o iguales
que −5, ¿−5 ∈ A?

2. Sean B es el conjunto de todos los números naturales pares y de dos cifras; y C el conjunto
de todos los números naturales que son el cuadrado de un número natural. Determine
todos los elementos de los conjuntos B − C y B ∩ C.

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 19

 3. Sean

X0 = {3k : k ∈ N ∧ 0 6 k < 10},

X1 = {3k + 1 : k ∈ N ∧ 0 6 k < 10},
X2 = {3k + 2 : k ∈ N ∧ 0 6 k < 10}.

Determine todos los elementos de los siguientes conjuntos:

X0 ∪ ( X1 ∪ X2 ) , X0 ∩ X1 , X0 ∩ X2 y X1 ∩ X2 .

4. Si
M = {1, 5, 9, 13, 17, . . . , 41},
determine la proposición P (k ) y los números naturales a y b tales que

M = {P ( k ) : k ∈ N ∧ a 6 k 6 b }.

5. Si
N = {−24, −17, −10, . . . , 18, 25, 32},
determine la proposición P (k ) y los números enteros a y b tales que

N = {P ( k ) : k ∈ Z ∧ a 6 k 6 b }.

8.2 Números reales

1. Si z ∈ R, ¿es verdadera la proposición |1 + z2 | = 1 + z2 ?

2. Si a ∈ R y b ∈ R, ¿puede ser verdadera la proposición | a − b| = | a| − |b|?

3. Si x ∈ R y a > 2, ¿puede ser verdadera la proposición ax < 2x?

4. ¿Es verdadera la proposición

1
=x
1
x
si x ∈ R?
√
5. ¿Es verdadera la proposición | − x | = x2 para todo número real x?

8.3 Funciones
1. Si A y B son dos conjuntos y f es una relación entre los elementos de A y B. Si dos
elementos de A se relacionan con un mismo elemento de B, ¿puede ser f una función de
A en B?

2. Si A y B son dos conjuntos y f es una relación entre los elementos de A y B. Si un elemento

de A se relaciona con un elemento de B, este elemento de B es único. Sin embargo, hay
algunos elementos de A que no se relacionan con ningún elemento de B. ¿Puede ser la
relación f una función de A en B?

3. Sean
h : R −→ R
1

si x 6= 0,
x 7−→ x
 −1 si x = 0.

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 20

 y
g : R −→ R
x 7−→ h(h( x )).
¿Es verdadera la proposición f = g?

4. Si
sgn : R −→ R

−1 si x < 0,

x 7−→ 0 si x = 0,

1 si x > 0,

√
¿cuáles son las imágenes de − 2, x − x, donde x ∈ R y π (el número “pi”), respectiva-
mente?

5. La relación

cada elemento de R+ se relaciona con un número real cuyo cuadrado es dicho

número positivo,

¿es una función de R+ en R?

6. Si A ⊆ R y
f : A −→ R
√
x 7−→ 1 − x,
¿la proposición 3 ∈ A es verdadera? Si u > 1, ¿es verdadera la proposición u ∈ A? ¿Cuál
es la imagen de w si w < 1?

J. C. Trujillo O. EPN - 2021 - A. Versión 1: 20/05/21 21