LECTURA 4: TEORÍA DE CONJUNTOS

1. Conjuntos
En nuestra experiencia, un conjunto es un ente formado por objetos que satisfacen una condición
dada, como el conjunto de puntos en el plano o el conjunto de los números pares. De manera
precisa, un conjunto es un término no definido al que se le da significado a través de axiomas. Para
el objetivo de este texto, sin embargo, bastará considerar la idea intuitiva de conjunto. Por esta
razón, los términos conjunto, elemento y pertenece a se consideran primitivos y podrán ser usados
en la forma intuitiva usual.
Usaremos como sinónimos las palabras conjunto, familia y colección y en general, utilizaremos
las letras mayúsculas A, B, C, etc., para denotarlos. Para indicar que un objeto a es un elemento
de un conjunto A, escribiremos a ∈ A. La negación de este enunciado se escribe simplemente como
a∈/ A. Supondremos que si x ∈ A, entonces A ∈ / x y en consecuencia para cada conjunto A debemos
tener A ∈ / A. La igualdad entre conjuntos se define por su extensión. Es decir, diremos que A y B
son iguales, en sı́mbolos A = B, si están compuestos por exactamente los mismos elementos. En
caso de ser lo anterior falso, escribiremos A 6= B.
Para especificar los elementos de un conjunto usaremos la escritura entre llaves. Por ejemplo, si
A es un conjunto que contiene exclusivamente a los números 1, 2 y 3, escribimos
A = {1, 2, 3}.
Es importante mencionar que bajo esta notación, el orden en que se listan los elementos es irrelevante
y lo mismo lo es el número de veces que un elemento es mencionado. Esto es consecuencia de la
igualdad entre conjuntos.
Hay varios conjuntos muy importantes en matemáticas que resultan sumamente interesantes y
que resultarán de mucha utilidad en nuestro desarrollo:
El conjunto de los números naturales:
N = {0, 1, 2, · · · }
El conjunto de los números enteros:
Z = {0, 1, −1, 2, −2, · · · }.
La descripción que se da de estos conjuntos es, de nueva cuenta, primitiva y debe sobreentenderse
su significado, asumiendo por supuesto, que existen dichos conjuntos. Más adelante, tendremos
oportunidad de describir el primero de estos conjuntos abundando en algunos detalles.

2. Subconjuntos
Si A y B son conjuntos y cada elemento de B es también un elemento de A, entonces diremos
que B es un subconjunto de A. En sı́mbolos esto se escribe B ⊆ A. Sinónimos para este fenómeno
son las expresiones B está contenido en A y B está incluido en A. De la igualdad entre conjuntos
podemos observar que dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A. Es importante
notar que A ⊆ A es siempre cierto; por esta razón diremos que B es un subconjunto propio de A,
en sı́mbolos B ⊂ A, si B ⊆ A pero A 6= B.
1
Ejemplo 4.1. Cade elemento del conjunto de los números naturales pertenece también al conjunto
de los números enteros. Sin embargo, no todo elemento del conjunto de los enteros es un natural,
e.g., el número entero -2. Todo esto nos permite afirmar que N ⊂ Z.
Si A es un conjunto y α una propiedad, entonces todos los elementos de A que satisfacen α forman
un conjunto, el cual resulta en particular un subconjunto de A. A este conjunto lo escribimos como
{x ∈ A | α(x)}.
Lo anterior se lee como ((todos los elementos de A que satisfacen α)). Cuando un conjunto se obtiene
de esta manera se dice estar descrito por especificación.
Ejemplo 4.2. Usando la notación anterior, es posible especificar el conjunto de los enteros negativos
como
Z− = {x ∈ Z | x ∈ / N}.
En todas las situaciones que abordaremos, todos los conjuntos considerados serán subconjuntos
de un conjunto fijo. A tal conjunto se le denomina conjunto universo y aunque pocas veces se
mencionará explı́citamente, su existencia se asumirá en contexto. Usaremos una convención tomando
ventaja de asumir la existencia del conjunto universo: Para una propiedad α, la expresión
{x | α(x)}
indicará el conjunto de todos los elementos del conjunto universo que satisfacen α. Esto quiere decir
que la omisión de un conjunto base hace referencia a una especificación sobre el conjunto universo.
Ejemplo 4.3. Afirmaremos que existe un único conjunto que carece de elementos, el cual recibe
el nombre de conjunto vacı́o al cual denotaremos por el sı́mbolo ∅. A este conjunto podemos
especificarlo como
∅ = {x | x 6= x}.
En otras palabras, para cualquier elemento a —obsérvese que éste se toma del conjunto universo—,
debemos tener a ∈/ ∅. Esta descripción nos permite afirmar que, para cualquier conjunto A,
∅ ⊆ A.

3. Operaciones en conjuntos
Usando el proceso de especificación descrito en la sección anterior, podemos pensar a los conjuntos
como enunciados lógicos. Como en los enunciados lógicos, los conjuntos vienen equipados con algunas
operaciones básicas.
Definición 4.1. Sean A y B conjuntos. La unión de los conjuntos A y B es el conjunto
A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}
Bajo la definición anterior, a ∈ A ∪ B si y sólo si a ∈ A o a ∈ B. Debemos recordar que
en matemáticas, la disyunción, ((o)), tiene un significado inclusivo a diferencia de nuestro lenguaje
común donde es interpretada con un sentido exclusivo. En el sentido exclusivo del término, el
conjunto A ∪ B está formado por elementos que pertenecen al conjunto A, al conjunto B o a ambos.
Ejemplo 4.4. Consideramos los conjuntos A = {a, b, c} y B = {c, d, e}. La unión de éstos resulta
simplemente el conjunto
A ∪ B = {a, b, c, d, e}.
Debe notarse que el elemento c que pertenece a ambos conjuntos aparece en la unión.
2
Proposición 4.1. Para conjuntos A, B y C:
1) A ∪ A = A.
2) A ∪ B = B ∪ A.
3) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
4) A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B.
Demostración. Los cuatro enunciados deben ser inmediatos de las reglas lógicas asociadas a la
disyunción y para verificarlos basta seguir las definiciones en cada caso. 

Las reglas expuestas en la proposición son las mismas que gobiernan la disyunción en lógica
proposicional. De hecho, la prueba de los enunciados se recarga completamente en el comporta-
miento de la disyunción. Si existiera alguna duda acerca del porqué la proposición debe ser cierta,
es importante realizar todos los pasos en ella.
Definición 4.2. Sean A y B conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto
A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}
Podemos describir de manera coloquial a la intersección de dos conjuntos como el proceso de
tomar los elementos que tienen en común. Esto simplemente resulta de observar que existen dos
condiciones que definen al conjunto y las cuales se deben cumplir simultáneamente.
Ejemplo 4.5. Considerando los conjuntos A = {a, b, c, d} y B = {a, c, e, g}, la intersección de los
conjuntos A y B queda descrita como el conjunto
A ∩ B = {a, c}.
Como en el caso de la unión, las reglas para la intersección son las mismas que gobiernan la
conjunción y la siguiente proposición es un reflejo de la proposición 4.1.
Proposición 4.2. Para conjuntos A, B y C:
1) A ∩ A = A.
2) A ∩ B = B ∩ A.
3) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
4) A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B.
Demostración. Los cuatro enunciados deben ser inmediatos de las reglas lógicas asociadas a la
disyunción y para verificarlos basta seguir las definiciones en cada caso. 

Por la manera en que hemos definido las operaciones, la unión y la intersección de conjuntos son
la interpretación de las operaciones de disyunción y conjunción en lógica; y lo mismo que éstas,
no debe sorprender que las leyes distributivas de la lógica proposicional hagan su aparición en las
operaciones que hemos definido.
Proposición 4.3. Para conjuntos A, B y C:
1) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
2) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Demostración. Se probará únicamente el primer enunciado dejando que la prueba del segundo se
obtenga por analogı́a. Si a ∈ A ∩ (B ∪ C), entonces a ∈ A y a ∈ B ∪ C; además, si a ∈ B ∪ C,
entonces a ∈ B o a ∈ C. En suma, a ∈ A y a ∈ B o a ∈ C. Si a ∈ B entonces tendrı́amos a ∈ A ∩ B
3
y si a ∈ C, entonces a ∈ A ∩ C; en consecuencia a ∈ A ∩ B o a ∈ A ∩ C, lo cual implica que
a ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Esto significa que
A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
La otra contención se obtiene de manera similar y no hace falta expresarla explı́citamente. 

Definición 4.3. Sean A y B dos conjuntos. La diferencia entre A y B, es el conjunto

A\B = {x ∈ A | x ∈
/ B}.
Si B ⊂ A entonces al conjunto A\B se le denomina el complemento relativo de B en A. En
particular, el complemento relativo de A en el conjunto universo, al que se le denomina simplemente
el complemento de A, se denota con el sı́mbolo Ac .
Ejemplo 4.6. Ya hemos definido el conjunto de los enteros negativos especificándolo. Bajo la
definición anterior podemos argumentar de manera muy sencilla que
Z− = Z\N.
Para comprobar esto, basta observar la especificación del conjunto Z− y la especificación del con-
junto Z\N para concluir que son idénticas.
Aunque la definición no da una expresión explı́cita del complemento de A, es sencillo encontrarla
usando nuestra convención acerca del conjunto universo podemos obtener una de manera muy
sencilla:
Ac = {x | x ∈ / A}.
De nueva cuenta, este conjunto está asociado con una operación utilizada en lógica, la negación, y
se comporta de manera similar.
Proposición 4.4. Sea U el conjunto universo y sea A un conjunto cualquiera. Entonces:
c
1) (Ac ) = A.
2) A ∪ Ac = U .
3) A ∩ Ac = ∅.
Demostración. El primer enunciado es inmediato de la doble negación de un enunciado. El segun-
do del principio del medio excluido que nos permite obtener tautologı́as. El tercer enunciado es
resultado del principio de no contradicción. 

Ejemplo 4.7. Tomando U = Z como el conjunto universo, el conjunto A = {x | x es par} tiene

como su complemento al conjunto Ac = {x | x es impar}. Otra forma de expresar esto consiste en
afirmar que los números pares complementan a los impares en los números enteros.
Como en el caso de la conjunción, disyunción y negación, las operaciones de unión, intersección
y complemento, interactúan a través de las denominadas leyes de De Morgan.
Proposición 4.5. Para cualesquiera conjuntos A y B, son válidas las igualdades:
c
1) (A ∪ B) = Ac ∩ B c .
c
2) (A ∩ B) = Ac ∪ B c .
Demostración. Los dos enunciados deben ser inmediatos a partir de las leyes de DeMorgan que
involucran disyunción y conjunción. Basta seguir las definiciones en cada caso. 

Aunque en apariencia diferente al complemento, la diferencia entre conjuntos representa también

una versión de la negación en lógica y no está exenta de un comportamiento parecido.
4
Proposición 4.6. Para cualesquiera conjuntos A, B y C, son válidas las igualdades:
1) A\B = A ∩ B c .
2) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C).
3) A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C).
Demostración. Para probar el primer enunciado es necesario observar que a ∈ A\B si y sólo si
a ∈ A y a ∈ / B. Como a ∈ / B si y sólo si a ∈ B c , es posible concluir que a ∈ A\B si y sólo si
c
a ∈ A ∪ B . En otras palabras,
A\B = A ∩ B c .
Para la prueba del segundo, usaremos el primero junto a las leyes de DeMorgan:
A\(B ∪ C) = A ∩ (B ∪ C)c
= A ∩ (B c ∩ C c )
= (A ∩ B c ) ∩ (A ∩ C c )
= (A\B) ∩ (A\C).
La prueba del último es similar a la del segundo y se puede construir por analogı́a. 

4. Producto cartesiano
Como hemos mencionado, el orden en que se describe un conjunto es irrelevante. Por ejemplo, el
conjunto {1, 2} resulta idéntico al conjunto {2, 1}. Sin embargo, en algunas situaciones es importante
distinguir el orden en que se presentan los elementos y eso requiere una construcción especial.
Definición 4.4. Sean a y b elementos cualquiera. Se denomina la pareja ordenada de a y b, al
conjunto
(a, b) = {{a}, {a, b}} .
Para considerar honesta una definición deberı́a tener sentido y motivación a priori y ciertamente
la anterior no parece tener ni sentido ni motivación. Al contrario, parece un acto de profundo
esoterismo. Nuestro objetivo, sin embargo, es claro: Necesitamos un objeto que tenga dos partes
que no puedan ser intercambiadas sin cambiar el objeto en sı́, i. e., dos de estos objetos serán iguales
si las partes se presentan en el mismo orden y son iguales. La siguiente proposición explica con toda
precisión lo anterior y garantiza que nuestra definición de pareja ordenada cumple su cometido.
Proposición 4.7. Sean a, b, c y d elementos del conjunto universal. Entonces,
(a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d.
Demostración. Si suponemos primero que a = c y b = d es inmediato admitir que las parejas (a, b)
y (c, d) son iguales desde el punto de vista de conjuntos.
Supongamos ahora que (a, b) = (c, d), entonces
{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} .
Debemos notar que el conjunto al lado izquierdo de la igualdad contiene a los conjuntos {a} y {a, b}
los cuales tienen en común solamente al elemento a; de la misma forma, el conjunto a la derecha de la
igualdad contiene dos conjuntos que tienen en común solamente al elemento c. Usando la definición
para la igualdad de conjuntos, lo anterior nos permite afirmar que a = c y en consecuencia
{{a}, {a, b}} = {{a}, {a, d}} .
Para probar b = d, distinguiremos dos casos:
5
 Supongamos primero que b = a. Entonces, {a} = {a, b} por lo que tenemos
{{a}, {a, b}} = {{a}}
y por tanto
{{a}, {a, d}} = {{a}} .
Ahora, por igualdad de conjuntos, debemos tener {a} = {a, d} y por tanto a = d; en otras
palabras b = a = d tal como deseábamos.
Supongamos ahora lo contrario, b 6= a. Entonces, b sólo pertenece a {a, b} pero no al conjunto
{a}. En ese caso, b es un miembro de {a, d} y como b 6= a debe ser b = d, justo como
buscábamos.
En resumen, a = c y b = d como buscábamos. 

La proposición anterior no permite describir una pareja ordenada como un conjunto removiendo
las inquietudes que pueden de dar la definición como se ha hecho. Sin embargo, la desconfianza
puede continuar pues podemos descubrir propiedades accidentales de la definición, por ejemplo, al
tener {a} ∈ (a, b). Estas excentricidades son el precio a pagar por describir una pareja ordenada en el
marco de la teorı́a de conjuntos y podrán ser ignoradas a conveniencia. Realmente la única propiedad
que nos interesará es la descrita en la proposición y bien prodrı́amos haber usado ésta como la
propiedad que define a las parejas ordenadas aunque en tal aproximación habrı́amos requerido un
objeto externo a la teorı́a que presentamos.
Definición 4.5. Sean A y B conjuntos. Definimos el producto cartesiano de A y B como el conjunto
A × B = {(a, b) | a ∈ A y b ∈ B}.
La definición anterior es un paso natural una vez definidas las parejas ordenadas de un par
de elementos: Ahora se coleccionan todas las posibilidades dados los elementos de dos conjuntos
respetando el orden en que se presentan tales conjuntos.
Ejemplo 4.8. Para los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, el producto cartesiano es un conjunto
formado por parejas ordenadas y descrito en su totalidad por
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.
En una pareja ordenada (a, b), al elemento a se le denomina primer componente de la pareja
o primera coordenada de la pareja y de manera similar al elemento b se le denomina segundo
componente de la pareja o segunda coordenada de la pareja. De esta forma, podemos describir al
conjunto A × B como aquel formado por todas las parejas ordenadas donde su primer componente
es miembro de A y su segundo componente es miembro de B.
Proposición 4.8. Sean A y B conjuntos cualquiera. Entonces, A × B = ∅ si y sólo si A = ∅ o
B = ∅.
Demostración. Supongamos primero que A o B son el conjunto vacı́o. En ese caso, si (a, b) ∈ A×B,
se debe cumplir a ∈ A o b ∈ B. Lo anterior es imposible pues hemos dado como hipótesis que al
menos uno de los dos es vacı́o, debemos entonces concluir que A × B no puede tener elementos.
Supongamos ahora que tanto A como B son no vacı́os, eso quiere decir que existen a ∈ A y b ∈ B
de forma que (a, b) ∈ A × B mostrando con esto que A × B no es vacı́o. El resultado sigue entonces
por contraposición. 
6
 Es interesante preguntarse por qué de denominar producto a tal operación. El motivo reside en
una interpretación algebraica de su comportamiento respecto a las otras operaciones elementales
que hemos definido y queda expuesto a continuación.
Proposición 4.9. Para cualesquiera conjuntos A, B y C,
1) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
2) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
Demostración. Mostraremos el resultado usando dos contenciones. La primera igualdad se deduce
como sigue: Si (a, b) ∈ A × (B ∪ C) entonces a ∈ A y b ∈ B ∪ C. La segunda pertenencia, indica
que b ∈ B o b ∈ C, esto indica que (a, b) ∈ A × B o (a, c) ∈ A × C, lo cual lleva a la definición de
unión. Entonces,
A × (B ∪ C) ⊆ (A × B) ∪ (A × C).
Para mostrar la otra contención, supongamos (a, b) ∈ (A×B)∪(A×C, esto implica que (a, b) ∈ A×B
o (a, b) ∈ A × C. Por definición, lo anterior significa que a ∈ A y, b ∈ B o b ∈ C. Esto último se
puede interpretar afirmando que b ∈ B ∪ C y en ese caso (a, b) ∈ A × (B ∪ C). La segunda igualdad
se puede mostrar usando un argumento análogo. 

5. Conjunto potencia
Hasta ahora, ninguno de nuestros conceptos asociados a conjuntos, excluye la posibilidad de
tener un conjunto cuyos elementos sean otros conjuntos. Conjuntos de esta naturaleza constituyen
una clase muy peculiar y uno muy importante define una operación sobre conjuntos que se aleja de
los elemental.
Definición 4.6. Sea A un conjunto. Se define el conjunto potencia de A como el conjunto
P(A) = {X | X ⊆ A}.
El conjunto P(A), colecciona todos todos los subconjuntos de A. Es decir, B ∈ P(A) si y sólo si
B ⊆ A. En particular, los conjuntos ∅ y A son miembros de P(A), mostrando con esto que P(A) no
es vacı́o, sin importar cual conjunto A tomemos. Esto puede ser interpretado de manera alegórica,
afirmando que el conjunto potencia de A es más grande en comparación con A.
Ejemplo 4.9. Si A = ∅, la situación resulta bastante sencilla al obtener P(∅) = {∅}. Tampoco es
difı́cil calcular el conjunto potencia de un conjunto unitario, i. e., un conjunto con un solo elemento,
(P )({a}) = {∅, {a}};
o el conjunto potencia de un conjunto con dos elementos,
P({a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
A pesar de parecer sencillo, incrementar al número de elementos del conjunto, el conjunto potencia
se vuelvo inmanejable muy pronto. Por ejemplo, el conjunto potencia de un conjunto con seis
elementos, está formado por sesenta y cuatro conjuntos.
Proposición 4.10. Sean A y B conjuntos. Entonces se cumplen:
1) P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B).
2) P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B).
3) B ⊆ A implica P(B) ⊆ P(A).
7
Demostración. Para probar el primer enunciado, debemos notar que S ∈ P(A) ∩ P(B) si y sólo si
S ∈ P(A) y S ∈ P(B) lo que sucede si y sólo si S ⊆ A y S ⊆ B lo que de igual forma sucede si y
sólo si S ⊆ A ∩ B y por último esto sucede si y sólo si S ∈ P(A ∩ B). En otras palabras
P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B).
La prueba del segundo requiere suponer que S ∈ P(A) ∪ P(B). Esto quiere decir que S ∈ P(A) o
S ∈ P(B) lo que implica que S ⊆ A o S ⊆ B. De cualquiera de las posibilidades podemos concluir
que S ⊆ A ∪ B por lo que S ∈ P(A ∪ B). En conclusión,
P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B).
Para el último, suponemos que B ⊆ A y S ∈ P(B). Entonces, si S ⊆ B debemos también tener
S ⊆ A. En otras palabras S ∈ P(A). Luego
P(B) ⊆ P(A). 

Ejercicios
Ejercicio 4.1. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} el universo y sean A = {1, 3, 5, 7}, B = {1, 3, 4, 5, 6}
y C = {2, 4, 6, 7, 8}. Encuentra:

a) A ∪ B. c) B\C.
b) A ∩ C. d) Ac .

Ejercicio 4.2. Para los conjuntos del ejercicio anterior, encuentra:

a) (A ∪ B)\C . c) (A ∪ C)\(C ∩ A).

b) (A ∪ B)c . d) (A)\(B ∪ C)c .

Ejercicio 4.3. Si A = {a, b, a, b, a, c}, B = {a, a, a, a, b, c, c}, C = {a, a, a, c}, D = {a, a}, E = {a},
F = {c, a}, ¿cuáles de ellos son iguales como conjuntos?
Ejercicio 4.4. Sean A = {1} y B = {1, 2} conjuntos. Determina la validez de las afirmaciones:

a) A ⊂ B d) A ∈ B
6 B
b) A = e) 1 ⊂ A
c) 1 ∈ A f) 1 ⊂ B

Ejercicio 4.5. Determina la validez de las siguientes afirmaciones:

a) ∅ ∈ ∅ d) {∅} ⊂ {∅, {∅}}

b) ∅ ∈ {∅} e) {∅} ∈ {∅, {∅}}
c) ∅ ⊂ ∅ f) ∅ 6= {∅}

Ejercicio 4.6. Si dos conjuntos A y B son tal que su unión y su intersección son iguales, ¿qué se
puede decir que ellos?
Ejercicio 4.7. Sean A y B conjuntos cualquiera y sea S ⊆ A y S ⊆ B. Demuestra que S ⊆ A ∩ B.
Ejercicio 4.8. Sean A, B y C conjuntos. Demuestra que A ∩ B = ∅ si y sólo si A\B = A.
Ejercicio 4.9. Para los conjuntos A = {3, 4} y B = {x, y, z} encuentra:
8
a) A × A. b) A × B. c) B × A. d) B × B.

Ejercicio 4.10. Determina si son iguales los conjuntos A × B y B × A. Explica tu respuesta.

Ejercicio 4.11. Usando los conjuntos del ejercicio 4.9, encuentra:

a) (A × A) ∪ (A × B). b) A ∪ (A × B).

Ejercicio 4.12. Sean A y B conjuntos de forma que A 6= B. Si Z es un conjunto tal que A × Z =

B × Z, demuestra que Z = ∅.
Ejercicio 4.13. Sean A y B conjuntos. Si A × B = A × A, demuestra que A = B.
Ejercicio 4.14. Para conjuntos A, B y C, demuestra que
a) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
b) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)
Ejercicio 4.15. Si B ⊂ A, demuestra que Ac ⊂ B c .
Ejercicio 4.16. Sean A, B, X y Y conjuntos. Si A ⊆ X y B ⊆ Y , demuestra que A × B ⊆ X × Y .
Ejercicio 4.17. Sean A, B, X y Y conjuntos de modo que A × B ⊆ X × Y . Demuestra que A ⊆ X
y B ⊆Y.
Ejercicio 4.18. Encuentra una pareja de conjuntos A y B de forma que
P(A) ∪ P(B) 6= P(A ∪ B).
Ejercicio 4.19. Si para dos conjuntos A y B se tiene P(A) = P(B), demuestra que A = B.

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 Referencias
[Gri97] Grimaldi, Ralph P.: Matemáticas discreta y combinatoria. Addison Wesley Iberoamericana, 3a edición, 1997.
[Gó07] Gómez Laveaga, Carmen: Introducción a la Teorı́a Intuitiva de Conjuntos. Las prensas de Ciencias, 2007.
[Hal66] Halmos, Paul Richard: Teorı́a Intuitiva de Conjuntos. Compañia Editorial Continental, 1966.
[Sig76] Sigler, L. E.: Exercises in set theory. Springer-Verlag, 1976.

Eduardo
c Antonio Gomezcaña Alanis. Versión 04df005 (2019-08-19 08:53:13 -0500)
Esta obra está licenciada bajo la Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual
4.0 Internacional. Para ver una copia de esta licencia, visita http://creativecommons.org/licenses/
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