Una sucesión es un conjunto de elementos, comúnmente números, dispuestos uno a

continuación de otro

A cada elemento dentro de la sucesión se le conoce como término de la sucesión. El

subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión. Así, en general, denota
al n-eximo término de la sucesión . Por ejemplo, el décimo término de la sucesión
es .
Determinación de una sucesión

Término general

Podemos determinar una sucesión por medio de lo que conocemos término general. El
término general nos ayuda a calcular el valor de cada término de la sucesión con base a su
posición. En general, tenemos que

y denotamos como

Ejemplo: Encontrar los primeros cinco términos de la sucesión

La sucesión está dada por el término general

Para encontrar los términos de la sucesión, sustituimos los valores de

Formalmente las sucesiones se conocen como funciones que van del conjunto de los
números naturales al conjunto de los números reales, esto es

Por recurrencia

Aunque la recurrencia no es muy formal es común ver sucesiones definidas por este
método. La recurrencia consiste en definir un número finitos de términos por un valor
específico y los demás por medio de operaciones entre los términos anteriores, estas
operaciones las definimos por medio de una función de la forma

Comúnmente sólo definimos el primer término con un valor específico y los demás términos
como una función del término anterior inmediato.

Ejemplo: Encontrar los primeros cinco términos de la sucesión definida por

y para .

Los términos de la sucesión vienen definidos a partir del término anterior, esto es, a partir
conocer un término podemos encontrar el término siguiente. Conocemos el primer término
, entonces podemos encontrar el segundo término
Conocemos el segundo término , entonces podemos encontrar el tercer término

Conocemos el tercer término , entonces podemos encontrar el cuarto término

Conocemos el cuarto término , entonces podemos encontrar el quinto término

dando como resultado

Operaciones entre sucesiones

Es esta parte veremos las operaciones que se pueden hacer entre sucesiones o bien entre
una sucesión y un número real.

Suma de sucesiones

Si tenemos dos sucesiones y , la suma de estas sucesiones es una nueva

sucesión

en pocas palabras, sumamos los términos que están en la misma posición.

Ejemplo: Encuentra la suma de las siguientes sucesiones

Calculamos los términos de cada sucesión

Sumando término a término se obtiene

Notemos que el término general de la suma es igual a la suma de los términos generales de
las sucesiones involucradas.

Propiedades de la suma de sucesiones

1 conmutatividad: Si tenemos dos sucesiones y , entonces se cumple

que

2 asociatividad: Si tenemos tres sucesiones , y , entonces se

cumple que

3 elemento neutro: Existe la sucesión tal que

4 elemento inverso: Para toda sucesión existe la sucesión , la cual

tiene los mismos elementos que pero con signo opuesto, tal que

Resta de sucesiones

Si tenemos dos sucesiones y , la resta de estas sucesiones se

define como
en pocas palabras, restamos los términos que están en la misma posición.

Ejemplo: Encuentra la resta de las siguientes sucesiones

Calculamos los términos de cada sucesión

Restando término a término se obtiene

Notemos que el término general de la resta es igual a la resta de los términos generales de
las sucesiones involucradas.

La resta de y es equivalente a la suma de y , en

donde es el inverso de respecto a la suma.
Multiplicación de sucesiones

Si tenemos dos sucesiones y , la multiplicación de estas sucesiones se

define como

en pocas palabras, multiplicamos los términos que están en la misma posición.

Ejemplo: Encuentra la multiplicación de las siguientes sucesiones

Calculamos los términos de cada sucesión

Multiplicando término a término se obtiene

Notemos que el término general de la multiplicación es igual a la multiplicación de los
términos generales de las sucesiones involucradas.

Propiedades de la multiplicación de sucesiones

1 conmutatividad: Si tenemos dos sucesiones y , entonces se cumple

que

2 asociatividad: Si tenemos tres sucesiones , y , entonces se

cumple que

3 elemento neutro: Existe la sucesión tal que

 4 elemento inverso: Para toda sucesión , tal que para todo ,
existe la sucesión , la cual tiene los recíprocos de los elementos de y
cumple que

5 Distributividad respecto a la suma: Si tenemos tres sucesiones , y

, entonces se cumple que

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División de sucesiones

Si tenemos dos sucesiones y , la división de estas sucesiones se define

como

en pocas palabras, dividimos los términos que están en la misma posición. Notemos que
todos los términos de deben de ser distintos de cero, esto porque la división entre
cero no está bien definida.

Ejemplo: Encuentra la división de entre

Calculamos los términos de cada sucesión

Dividiendo término a término se obtiene

Notemos que el término general de la división es igual a la división de los términos

generales de las sucesiones involucradas.

La división de y es equivalente a la multiplicación de y

, en donde es el inverso de respecto a la multiplicación.

Límite de una sucesión

Dada una sucesión , decimos que el límite de esta es el valor al cual se van
acercando los elementos de la sucesión conforme crece. Comúnmente el límite se
denota por .

Ejemplo: Encuentra el límite de la sucesión

Lo términos de la sucesión son:

Hay que notar que conforme crece, el término se hace más pequeño.

La sucesión tiene como límite , esto ya que conforme crece se acerca

al cero.

Ahora bien, no todas las sucesiones tienen límite, en este caso se tienen tres posibilidades:

1 convergente. Una sucesión se dice que converge si tiene límite.

2 no convergente. Una sucesión se dice que no converge si no tiene límite.

 3 divergente. Una sucesión se dice que diverge a infinito o menos infinito si sus
términos se van aproximando a infinito ( ) o a menos infinito ( ),
respectivamente, conforme crece.

Ejemplos: La sucesión

es convergente ya que .

La sucesión

no tiene límite ya que sus elementos se van alternando entre y , por lo cual no
es convergente.

La sucesión

es divergente ya que sus términos siguen y siguen creciendo sin parar conforme crece.
Sucesiones monótonas

En esta parte clasificaremos las sucesiones respecto a la forma en que comparamos cada
par consecutivo de términos.

Sucesión monótona creciente

Una sucesión es monótona creciente (o monótonamente creciente) si para cada
par de términos consecutivos y se cumple que

Ejemplo: Para la sucesión

notamos que

La última inecuación se cumple para todo , por lo tanto, la sucesión es monótona

creciente.

Sucesión estrictamente creciente

Una sucesión es estrictamente creciente si para cada par de términos

consecutivos y se cumple que

Ejemplo: Para la sucesión

notamos que

La última inecuación se cumple siempre, por lo tanto, la sucesión es estrictamente

creciente.

Sucesión monótona decreciente

Una sucesión es monótona decreciente (o monótonamente decreciente) si para

cada par de términos consecutivos y se cumple que

Ejemplo: Para la sucesión

notamos que

La última inecuación se cumple para todo , por lo tanto, la sucesión es monótona

decreciente.
Sucesión estrictamente decreciente

Una sucesión es estrictamente decreciente si para cada par de términos

consecutivos y se cumple que

Ejemplo: Para la sucesión

notamos que

La última inecuación se cumple siempre, por lo tanto, la sucesión es estrictamente

decreciente.

Sucesiones acotadas

Aquí veremos lo que es una sucesión acotada y los distintos tipos de cotas.

Sucesión acotada inferiormente

Una sucesión está acotada inferiormente si existe un número real

tal que
en pocas palabras, si es menor o igual que todos los términos de la sucesión. En este
caso decimos que es una cota inferior de . Notemos que todo número real
que cumpla que

es una cota inferior de .

Ejemplo: Para la sucesión

siempre se cumple que

Así tenemos que es una cota inferior de . Por lo tanto es una

sucesión acotada inferiormente. Igual los números , también son cotas
inferiores de .
Sucesión acotada superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si existe un número real

tal que

en pocas palabras, si es mayor o igual que todos los términos de la sucesión. En este
caso decimos que es una cota superior de . Notemos que todo número
real que cumpla que
es una cota superior de .

Ejemplo: Para la sucesión

siempre se cumple que

Así tenemos que es una cota superior de . Por lo tanto es una

sucesión acotada superiormente. Igual los números , también son cotas
superiores de .

Sucesión totalmente acotada

Una sucesión está totalmente acotada si está acotada inferior y superiormente.

En otras palabras, si existen números reales tales que

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Otra definición equivalente es que está totalmente acotada si existe número real
tal que
Ejemplo: Para la sucesión que analizamos previamente

siempre se cumple que

Así tenemos que es una cota superior de .

Además, para toda , por lo tanto

Así tenemos que es una sucesión totalmente acotada.

Progresiones Aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término es igual
a un número fijo más veces una cantidad (llamada diferencia). La
fórmula está dada por

o bien
Notemos que esta sucesión está completamente definida por y . Además, la
fórmula es muy parecida a la de una recta en donde nuestros
valores de tomarían solo números naturales.

Notemos que en una sucesión aritmética siempre tenemos que

por este motivo se suele decir que una sucesión aritmética tiene la forma

Ejemplo: Encontrar los términos de la sucesión aritmética

Notamos que y

Evaluamos el término general para los distintos valores de

Observa que dos términos consecutivos difieren en

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números donde cada término es igual
a un número fijo multiplicado por una cantidad (llamada razón) elevada a la
potencia . La fórmula está dada por

Notemos que esta sucesión está completamente definida por y .

Notemos que en una sucesión geométrica siempre tenemos que

por este motivo se suele decir que una sucesión geométrica tiene la forma

Ejemplo: Encuentra los términos de la sucesión geométrica

Notamos que y

Evaluamos el término general para los distintos valores de

Término general de una sucesión

Para poder obtener el término general aquí te dejamos algunas recomendaciones

1 comprobar si es una progresión aritmética.

2 comprobar si es una progresión geométrica.

3 comprobar si los términos son cuadrados perfectos.

4 si los términos de la sucesión cambian de signo de forma alternada. En estos casos suele
haber un término (pares positivos) o (impares positivos)
multiplicando los términos, haciendo que estos alternen.

5 si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión), entonces se
calcula el término general del numerador y denominador por separado.

Ejemplo: Encontrar el término general de la sucesión

Observamos que en valor absoluto los términos son consecutivos.

El signo del primer término es negativo y luego estos se van alternando. Así, el término
general viene dado por

Ejemplo: Encontrar el término general de la sucesión

Observamos que el numerador del segundo y tercer término son pares consecutivos por lo
que proponemos .

De la misma forma el denominador del segundo y tercer término son enteros consecutivos
por lo que proponemos .

El término general propuesto es .

Verificamos que el término general propuesto satisface el primer término

Como los términos proporcionados satisfacen la expresión propuesta, concluimos que